高考数学中的染色问题的解题策略
安徽省太湖县牛镇高中 黄军华
近几年来，数学高考以能力立意来命题，每年都出现一批立意独特、情景新颖脱俗的有关染色问题的试题。染色问题常以生活实际为背景，其背景公平，突出了数学思维能力和学习潜能的考查，是高考的热点素材之一，但是学生解答并不理想，症结在哪里呢？
（1）对问题的背景不熟悉，染色问题情景生动有趣，虽然源于生活实际，但学生的阅历浅，从未见过，更无具体模式可套，因此倍觉破题困难；
（2）不能正确地选好分类标准和优化分类顺序；
（3）不能正确地将染色问题模型化、构造转化为熟悉的数学问题。
针对染色问题的特点和学生解答染色问题时存在的问题，下面本文将从两方面入手谈谈染色问题的常用解题策略。
1、选好分类标准，优化分类顺序的策略
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答。因此，采用分类策略解答染色问题时，我们可以从三个方面入手考虑：
1.1从确定染色顺序入手 根据染色问题的要求，先确定好区域的染色顺序，对各个区域分步染色，再由乘法原理计算出染色的种数，是处理这类问题最基本的方法。
例1 如图(1)所示，用五种不同的颜色分别为A 、B 、C 、D 、E 五部分染色，相邻区域不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，求符合这种要求的不同染色方法的种数。
分析：按照分步计数原理，先为A 染色共有5种，
再为B 染色有4种（不能与A 同色），接着为C 染色有3种（不与A 、B
同色），同理依次为D 、E 染色各有3种，所以不同染色方法的种数为5×4
×3=540（种）
1.2从使用颜色的种类入手 按照染色问题中的题设要求，从使用了多少
种颜色分类讨论入手，分别计算出各种情形的种类，再用分类计数原理求出
不同的染色方法的种数。
例2（2007年天津市理科高考题）
如图(2)所示，用6种不同的颜色给图中的四个格子染色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的染色方法的种数共有多少种？
解析：要给图中的四个区域染色，可用2种或3种颜色完成染色任务，故需分成两类：
（1）用2种颜色染色，必有A 与C ，B 与D 同色，故不同 的染色方法有C 6A 2=30种；
（2）用3种颜色对四个区域染色，必有一对不相邻区域要涂成同种颜色，
此时必有A 与C 或A 与D 或B 与D 中之一同色，所以不同的染色方法总数
为C 6C 3A 3=360种；综上可知，不同的染色方法共有390种。 313223
1.3从相对区域是否同色入手
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种类。
例3 如图(3)所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图染色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的染色方法共有多少种？
分析：要涂5个行政区域，可用3种颜色，也可用4种颜色，故需分成两类，由于颜色数少于区域数，那么不相邻的区域可能要涂成同色，因此要先对不相邻区域3、5或2、4染色，再染余下的，故需分步完成。
解析：先分类讨论，再分步染色。
（1）若区域3与5同色有C 4种染色方法，区域2、1、4不同色共有A 3
3种方法，共有C 4A 3=24（种）；
3同理，区域2和4同色，区域3、1、5不同色，共有C 4A 3=24（种） 1113
（2）若区域3与5同色有C 4种染色方法，区域2和4也同色有C 3种染色方法，则区域1可在
1余下的两种颜色中任选一种有C 2种选法，此时染色方法有C 4C 3C 2=24（种） 11111
综上可知，不同染色方法共有72种。
2、构造转化的策略
构造思想的实质是根据已知条件的特征，创造一个新的数学对象，从而实现问题的转化，显然它对培养学生创新意识和创新能力有重要的作用。对某些染色问题，倘若充分地挖掘题设与结论的内在联系，把染色问题与某个熟知的公式、图形联系起来，并恰当地构造数列模型，就可得到富有新意的独特解法。
如图6，用k 种颜色对n 个扇形区域染色，要求相邻扇形区域的颜色不同的染色问题，可令a n 表示对n 块区域染色方法的种数，按区域的顺序研究区域i （i =1，2，3，…，n ）的染色方法，区域1有k 种染色方法，其它区域各有k -1种染色方法，故共有k ∙(k -1) n -1种方法，但这样的涂法只能保证区域i 与区域i －1（i =2，3，…，n ）不同色，但不能保证区域1与区域n 不同颜色。于是k ∙(k -1) n -1种染色方法中包含了两类，一类是区域1与区域n 不同色的a n 种符合要求的染色方法，另一类是区域n 与区域1同色的不符合要求的染色方法，这时可以把区域n 与区域1看成一部分，这样的染色方法相当于n －1部分符合要求的染色方法即a n -1种染色方法，根据分类计数原理，则有：
a n +a n -1=k ∙(k -1) n -1
然后，依据上述数列的递推关系式求出数列的通项公式即可
例4 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环部分分为n (n ≥3, n ∈N ) 等份，种植红、黄、蓝三种不同的花，要求相邻部分种植不同颜色的花。
（1）如图（4），圆环分成三等份有多少种不同的种植方法？如图5圆环分成四等份又有多少种种植方法？
（2）如图（6），若圆环分成n 等份，又有多少种不同的种植方法？
（2）如图6，圆环分成几等份，有多少种不同的种植方法？
解：（1）a 3=
A 33=6（种）
解：（1）由a 3+a 4=3·2 知：a 4=18
（2）设不同的种植方法总数为a n 种，依据上述分析，则有： 3
a n +a n -1=3∙2n -1 (n ≥3)
n n -1设 a n +x 2=－（a n -1+x 2）
则有 a n =－a n -1－3x ∙2
比较系数，得：x =-1
故a n －2=－（a n -1-2
n n n -1 n -1）， 从而｛a n －2｝是首项为a 3-23=-2，公比q =-1的等比数列
∴a n －2=－2·(-1)
n n n -3 ∴a n =2－2·(-1) n -3 （n ≥3）
因此，符合要求的种植方法有2－2·(-1) n -3 （n ≥3）种
例：（2007年天津市文科高考题）
如图(2)所示，用6种不同的颜色给图中的四个格子染色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的染色方法的种数共有多少种？
分析：由于题设中要求两端的格子的颜色也不同，因而本题的实质是用6种颜色给下图（7）中4个区域染色且相邻区域不同色的染色问题。
解：设a n 表示用6种颜色对n 块区域染色方法种数，则有：
a n +a n -1=6∙5n -1
3由题意知：a 3=A 6=120 n
a 4+a 3=6·53=750
故 a 4=630
因此，不同的染色方法的种数共有630种。
3、结束语
概括地说，解答染色问题这种类型的创新试题，入口较宽，解题自由度大，求解时联想、迁移的空间较大，可反映学生理解能力的高低，独立分析，解决问题能力的强弱。既考查了能力，又为中学数学注入了活力；同时，也可看出中学数学教学中，教师是以培养能力为核心还是以知识为主的问题。随着课改的不断深入，学生的能力必将有较大的提高。
高考数学中的染色问题的解题策略
安徽省太湖县牛镇高中 黄军华
近几年来，数学高考以能力立意来命题，每年都出现一批立意独特、情景新颖脱俗的有关染色问题的试题。染色问题常以生活实际为背景，其背景公平，突出了数学思维能力和学习潜能的考查，是高考的热点素材之一，但是学生解答并不理想，症结在哪里呢？
（1）对问题的背景不熟悉，染色问题情景生动有趣，虽然源于生活实际，但学生的阅历浅，从未见过，更无具体模式可套，因此倍觉破题困难；
（2）不能正确地选好分类标准和优化分类顺序；
（3）不能正确地将染色问题模型化、构造转化为熟悉的数学问题。
针对染色问题的特点和学生解答染色问题时存在的问题，下面本文将从两方面入手谈谈染色问题的常用解题策略。
1、选好分类标准，优化分类顺序的策略
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答。因此，采用分类策略解答染色问题时，我们可以从三个方面入手考虑：
1.1从确定染色顺序入手 根据染色问题的要求，先确定好区域的染色顺序，对各个区域分步染色，再由乘法原理计算出染色的种数，是处理这类问题最基本的方法。
例1 如图(1)所示，用五种不同的颜色分别为A 、B 、C 、D 、E 五部分染色，相邻区域不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，求符合这种要求的不同染色方法的种数。
分析：按照分步计数原理，先为A 染色共有5种，
再为B 染色有4种（不能与A 同色），接着为C 染色有3种（不与A 、B
同色），同理依次为D 、E 染色各有3种，所以不同染色方法的种数为5×4
×3=540（种）
1.2从使用颜色的种类入手 按照染色问题中的题设要求，从使用了多少
种颜色分类讨论入手，分别计算出各种情形的种类，再用分类计数原理求出
不同的染色方法的种数。
例2（2007年天津市理科高考题）
如图(2)所示，用6种不同的颜色给图中的四个格子染色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的染色方法的种数共有多少种？
解析：要给图中的四个区域染色，可用2种或3种颜色完成染色任务，故需分成两类：
（1）用2种颜色染色，必有A 与C ，B 与D 同色，故不同 的染色方法有C 6A 2=30种；
（2）用3种颜色对四个区域染色，必有一对不相邻区域要涂成同种颜色，
此时必有A 与C 或A 与D 或B 与D 中之一同色，所以不同的染色方法总数
为C 6C 3A 3=360种；综上可知，不同的染色方法共有390种。 313223
1.3从相对区域是否同色入手
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种类。
例3 如图(3)所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图染色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的染色方法共有多少种？
分析：要涂5个行政区域，可用3种颜色，也可用4种颜色，故需分成两类，由于颜色数少于区域数，那么不相邻的区域可能要涂成同色，因此要先对不相邻区域3、5或2、4染色，再染余下的，故需分步完成。
解析：先分类讨论，再分步染色。
（1）若区域3与5同色有C 4种染色方法，区域2、1、4不同色共有A 3
3种方法，共有C 4A 3=24（种）；
3同理，区域2和4同色，区域3、1、5不同色，共有C 4A 3=24（种） 1113
（2）若区域3与5同色有C 4种染色方法，区域2和4也同色有C 3种染色方法，则区域1可在
1余下的两种颜色中任选一种有C 2种选法，此时染色方法有C 4C 3C 2=24（种） 11111
综上可知，不同染色方法共有72种。
2、构造转化的策略
构造思想的实质是根据已知条件的特征，创造一个新的数学对象，从而实现问题的转化，显然它对培养学生创新意识和创新能力有重要的作用。对某些染色问题，倘若充分地挖掘题设与结论的内在联系，把染色问题与某个熟知的公式、图形联系起来，并恰当地构造数列模型，就可得到富有新意的独特解法。
如图6，用k 种颜色对n 个扇形区域染色，要求相邻扇形区域的颜色不同的染色问题，可令a n 表示对n 块区域染色方法的种数，按区域的顺序研究区域i （i =1，2，3，…，n ）的染色方法，区域1有k 种染色方法，其它区域各有k -1种染色方法，故共有k ∙(k -1) n -1种方法，但这样的涂法只能保证区域i 与区域i －1（i =2，3，…，n ）不同色，但不能保证区域1与区域n 不同颜色。于是k ∙(k -1) n -1种染色方法中包含了两类，一类是区域1与区域n 不同色的a n 种符合要求的染色方法，另一类是区域n 与区域1同色的不符合要求的染色方法，这时可以把区域n 与区域1看成一部分，这样的染色方法相当于n －1部分符合要求的染色方法即a n -1种染色方法，根据分类计数原理，则有：
a n +a n -1=k ∙(k -1) n -1
然后，依据上述数列的递推关系式求出数列的通项公式即可
例4 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环部分分为n (n ≥3, n ∈N ) 等份，种植红、黄、蓝三种不同的花，要求相邻部分种植不同颜色的花。
（1）如图（4），圆环分成三等份有多少种不同的种植方法？如图5圆环分成四等份又有多少种种植方法？
（2）如图（6），若圆环分成n 等份，又有多少种不同的种植方法？
（2）如图6，圆环分成几等份，有多少种不同的种植方法？
解：（1）a 3=
A 33=6（种）
解：（1）由a 3+a 4=3·2 知：a 4=18
（2）设不同的种植方法总数为a n 种，依据上述分析，则有： 3
a n +a n -1=3∙2n -1 (n ≥3)
n n -1设 a n +x 2=－（a n -1+x 2）
则有 a n =－a n -1－3x ∙2
比较系数，得：x =-1
故a n －2=－（a n -1-2
n n n -1 n -1）， 从而｛a n －2｝是首项为a 3-23=-2，公比q =-1的等比数列
∴a n －2=－2·(-1)
n n n -3 ∴a n =2－2·(-1) n -3 （n ≥3）
因此，符合要求的种植方法有2－2·(-1) n -3 （n ≥3）种
例：（2007年天津市文科高考题）
如图(2)所示，用6种不同的颜色给图中的四个格子染色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的染色方法的种数共有多少种？
分析：由于题设中要求两端的格子的颜色也不同，因而本题的实质是用6种颜色给下图（7）中4个区域染色且相邻区域不同色的染色问题。
解：设a n 表示用6种颜色对n 块区域染色方法种数，则有：
a n +a n -1=6∙5n -1
3由题意知：a 3=A 6=120 n
a 4+a 3=6·53=750
故 a 4=630
因此，不同的染色方法的种数共有630种。
3、结束语
概括地说，解答染色问题这种类型的创新试题，入口较宽，解题自由度大，求解时联想、迁移的空间较大，可反映学生理解能力的高低，独立分析，解决问题能力的强弱。既考查了能力，又为中学数学注入了活力；同时，也可看出中学数学教学中，教师是以培养能力为核心还是以知识为主的问题。随着课改的不断深入，学生的能力必将有较大的提高。