基于计划生育政策的调整的数学模型

基于计划生育政策调整的数学模型

一、问题重述

自1978年将计划生育成为中国的一项基本国策以来，在这20多年的时间里，计划生育政策对建设中国特设社会主义、实现国家富强和民族振兴产生了巨大影响，为促进世界人口与发展发挥了重大作用。

但是，在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国人口的主要矛盾已经不再是增长过快，而是人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题。怎样解决这些问题，如何调整生育政策成为目前讨论的焦点。

2012年，有专家指出，我国应实施“生育自主、倡导节制、素质优先、全面开发”的新人口政策，并在2015年全面放开二胎政策。

请解决以下问题：

（1）选择合适的角度，建立数学模型，评估我国目前有没有必要放开二胎政策

（2）建立数学模型，回答何时放开二胎政策比较合适？

（3）建立数学模型， 分析如何合理放开二胎政策才可以避免同时全部放 二胎带来的人口大起大落式的剧烈变动，也可避免放开“单独”（即夫妻 方一方是独生子的可生二胎）带来的花费时间较长、贻误时机等问题。

二、问题分析

问题1、对于我国目前有没有必要放开二胎政策这个问题，我们通过逆向思维、由果索因的方式来解决。假设目前有必要放开二胎政策，那么放开二胎政策的条件是什么，是什么原因导致了我国目前有必要放开二胎政策。

自1978年计划生育成为中国的一项基本国策以后，我国在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变，并伴随出现了人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题。这些问题就是导致了我国目前是否有必要放开二胎政策的条件。若通过对这些条件分析最终得出结论为有必要放开二胎政策，那么假设成立；否则假设不成立，没有必要放开二胎政策。

通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图，最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化得出目前有没有必要实行二胎政策。

问题2、从问题1中得出我国目前有必要实行二胎政策，所以放开二胎政策的实行应该就在目前，只是不确定是什么时间。我们根据实行二胎政策会影响人口结构的变化这一方面来分析，人口结构包括出生性别比、生育率、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等。

先假设二胎政策开放的时间，预测生育率、出生性别比、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等数值并分析变化趋势，根据这几种变化趋势分析对我国人口结构的影响程度，然后确定二胎政策放开的时间。

由于出生性别比受经济、社会、政策多种因素的影响，用有规律的定量分析并不能预测完全，所以我们用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行分

析。

对于生育率，根据2008-2010年各年龄阶段生育率数据绘制图

图1：2008-2010年各年龄阶段生育率

从图中可以看出生育模式符合偏正态分布，在概率分布中属于偏正态分布的有对数正态分布、韦伯分布、泊松分布等。这里我们选择对数正态分布和韦伯分布进行数据拟合，比较二者的拟合精度，选择最优的模型预测生育率。

对于人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年、老年系数我们用第一问建立的差分方程模型进行预测。

问题3、根据问题二三的结果，我们计划2015年实行二胎政策的开放。但全国各省份实际情况各不相同，所以我们对各省份二胎政策的实施选择不同的开放程度。

我们选择各省人口基数和人口增长率作为评判各地区实施二胎政策的标准。利用灰色关联度计算出各省份人口基数对全国人口基数的关联度，即权重。然后根据关联度进行排名并分类，分为三类：人口基数小且人口增长率低、人口基数大且人口增长率高、介于两者之间。根据所分的类别实施不同的放开二胎政策。

三、问题假设

1、在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题

2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况

3、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化

4、假设查得的数据真实有效

四．名词解释及符号说明 人口红利：是指一个国家的劳动年龄人口占总人口比重较大，抚养率比较低，为经济发展创造了有利的人口条件，整个国家的经济成高储蓄、高投资和高增长的局面【1】。

生育率：指不同时期，不同地区妇女或育龄妇女的实际生育水平或生育子女

【2】的数量。

人口抚养比：人口抚养比是指总人口中非劳动年龄人数与劳动年龄人数之

比，以百分数表示【3】。

bi--生育率

di--死亡率

si--生存率

B--总和生育率

五、模型建立及求解

5.1影响因素的分析

1949年建国初期，由于社会稳定，卫生条件改善，生活水平提高，以及长期缺乏对人口增长的适当控制，我国成为世界上人口最多的国家。于是1978年我国把将计划生育作为一项基本国策。20多年来在很好的控制了人口增长的同时，也同样产生了令人堪忧的问题：临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调、人口红利消失。

基于预测模型的基础上，对这几方面进行分析：

5.1.1生育率水平

20世纪70年代初，中国政府开始大力推行计划生育，导致了我国迅速从高生育率到低生育率的转变。下图则为几年内的生育率变化：

[***********]0020052010

图2：1983-2010年生育率变化折线图

根据上图可以发现我国在实施计划生育政策以来，生育率处于下降趋势，生育率几乎一直处于低生育率2.14以下的水平，特别是近几年生育率更是低于超低生育率水平1.5。

然而超低生育率水平加快了我国老龄化的进程，对社会将会有极大的损害，不利于社会的发展。

5.1.2出生性别比例

在计划生育中的严格控制人口数量的前提下，性别选择成为人们退而求其次的选择，最终导致出生人口性别比例被“人为性”破坏失调。下图为自1949年至2012年的性别比例趋势折线图，通过折线图来具体说明我国性别比例问题。

[***********]0020052010

图3：1980-2010年性别比例折线图

由图可知：查阅资料得知正常性别比例在103：100左右。自1978年以来，随着以控制出生人口数量为主要内容的生育政策在全国范围内实施后，我国出生人口性别比例明显升高。1985年以来除了个别年份以外，出生人口性别比均超过了112，明显的偏离了正常的性别比值，且从总的趋势上看男女性别比值仍呈增长趋势。

出生人口性别比失衡带来的婚姻挤压、性别透支和人口结构失衡等严重社会问题，给人口安全、社会稳定带来巨大隐患，影响中国人口与经济、社会、资源、环境协调和可持续发展，甚至影响民族的繁荣和社会的长治久安。

5.1.3人口红利

中国经济“增长奇迹”源于多种因素，“人口红利”是其中最重要的因素【5】。中国处于人口红利期时，经济取得了巨大的进步。所谓的人口红利期是指生育率迅速下降，少儿抚养比例下降，总人口中适龄劳动人口比重上升，而老年人口比例达到较高水平之前形成的一个劳动力资源相对丰富的时期。但是中国人口红利到底能持续多久或者是否已经消失，根据人口红利的定义，我们就通过用劳动人口占总人口比例的变化表示人口红利的变化，确定人口红利的变化趋势。

根据上述数据可得到以下劳动人口占总人口比例年度变化的折线图：

图4：2000-2011年劳动人口占总人口比例年度变化折线图

根据上图可知我国的人口红利大致一直处于增长趋势，但是在2010年出现

了一个拐点，所以为了解释这个问题，我们建立差分方程模型来预测接下来几十年劳动人口占总人口比例的变化趋势，进而较精确的说明人口红利在现在及未来的发展趋势。

（1） 差分方程模型

首先先建立差分方程模型，然后得出各年龄阶段人口的增长状况，最后求出

每年年龄段在15-59岁的人口数与总的人口数，算出二者的比值，通过比值画出人口红利的变化曲线图，根据图像进行分析。

将人群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组，比如每10岁或每5岁为1个

年龄组。与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以10年或5年为1个阶段。

人口是通过女性个体的生育而增长的，所以用女性数量的变化为研究对象比

较方便，下面提到的人口数量均指其中的女性。

记时段k第i年龄组的人群数量xi(k),k0,1,2,...,i1,2,...n，第i年龄组的生

育率为bi，第i年龄组的死亡率为di，生存率为si，si1di，我们假设bi和di不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。xi(k)的变化规律由以下的基本事实得到：时段k1第一年龄组人口数量是时段k各年龄组生育数量之和，即

xi(k1)bixi(k) （4）

i1n

时段k1第i1年龄组的人口数量是时段k第i年龄组生存下来的数量，即

xk1(k1)sixi(k),i1,2,...,n1 （5） 计时段k种群按年龄组的分布变量为：

x(k)[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T （6）

由生育率bi和生存率si构成的矩阵

b1b2s01 L...s20...b3b400 （7） 0...s30

则（4）、（5）可表为

x(k1)Lx(k),k0,1,2,... （8） 当矩阵L和按年龄组的初始分布向量x(0)已知时，可以预测任意时段k人群按年龄组的分布为

x(k)Lkx(0),k1,2,... （9）

（2）模型验证

由上式（9）可知只要知道t=1时的人口数据就能依次得到以后每年各个年龄段的人口数据，这样进而可以预测年龄在15-59岁的劳动人口数量，我们将年龄分为4组，将全国人口分为0-14、15-49、50-59、60-90四个年龄阶段，此时有

b1sL1

00b20s2

0b3b400 00s30

根据中国统计年鉴查得2000-2008的数据出生率bi及死亡率di，通过死亡率求得生存率si。

表1：2000-2008年出生率和生存率数据

这样我们就可以通过2000年的数据得到15-59岁预测数据以及通过数据的拟合得到的图（单位：万）

表2：2000-2008年的劳动人口真实值与预测值及平均相对误差

果，符合人口发展规律，所以我们用该模型预测各年龄段的人口数量，从而得出15-59岁劳动人口数，以及总人口人数，算出比值即得到每年的人口红利数据，画图分析人口红利趋势。

相关运算过程借助MATLAB实现，如下图即为预测的未来人口红利变化趋势图。

[***********]3020352040

图5：预测的人口红利变化趋势图

根据预测出的人口红利趋势图可知：人口红利在2010-2015年呈增长趋势，在2015年左右达到顶峰，在2015年之后，如果不采取任何措施我国人口红利将呈现急剧下降的趋势，将不利于经济的发展，对我国经济带来巨大的损失。

5.1.4老龄化问题

老龄社会是指老年人口占总数人口达到或超过一定的比例的人口结构模型。按照联合国的传统标准是一个地区60岁以上老人达到总人口的10%，新标准是65岁以上老人达到总人口的7%【3】。

那我国现今的状况如何，老龄化程度怎样，我们用近几年65岁以上老年人

占总人数的比例来说明。

表3：2000-2011年我国65岁以上老年人占总人口的比例

并一直呈现增长趋势。并且到2011年比例已经高达9.1，超出标准2.1个百分

点，说明我国已经在2000年达到了老龄社会，并且老龄化程度还会继续加大。

为了更加明确的说明问题，我们预测接下来的20年65岁以上老年人占总人口的比例，用以说明我国老龄化程度的变化趋势。

根据建立的动态差分方程模型，可预测数老年人的人口数，然后根据预测出的老年人口数，画出老龄化趋势图，进行分析。

比率[***********]3020352040

年份

图6：2010-2040年老龄化趋势图

根据图像或者函数表达式可知：我国人口老龄化呈递增趋势。并预测出到2030年我国老龄化已经超过20%，并将一直增长下去，所以我国到20年后将成为高度老龄化国家。

造成上述原因可分为两方面：1、人口生育率急剧和大幅度下降2、死亡率的下降和寿命的延长。第一方面与我国计划生育政策有关，第二个方面得益于经济社会的发展、疾病的控制、卫生条件和生活质量的快速提升。

人口高度老龄化使我国的养老负担迅速增加，我国对离退休职工支出额增加即抚养老人费用增多，将会导致社会总储蓄减少，进而使社会总投资下降，最终影响经济的持续增长。

5.2结论

通过对人口红利、人口老龄化、生育率和出生性别比例的分析，我们得出人口红利在2015年将会下降，人口老龄化程度继续加重，生育率持续降低，出生性别比例不平衡程度继续加深，这种变化趋势最终会影响我国经济的发展。所以我国的生育政策急需调整，也就是说目前很有必要开放二胎政策。

5.3基于灰色GM(1,1)模型的出生性别比

从图3中可以看出,出生性别比的变化趋势没有什么具体的规律可循,呈现一定的小范围波动,它受经济、社会、政策等多方面因素的复杂交互影响,所以有规律的定量分析并不是很好。我们采用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行预测。

5.3.1灰色GM(1,1)简介

灰色系统是指信息数据不明确的系统,灰色系统预测模型的构建原理是将 已知的部分数据序列输入到系统中,通过某种线性或非线性的转换来预测未来 指标的变化情况,在这个阶段中遵循某种规则,反复修正结果,最终得到比较明 朗的变化规律,GM(1,1)模型是在灰色系统预测中应用最为广泛的一种模型。

5.3.2灰色模型求解

设X(0)为原始数据，为了使其成为有规律的时间序列数据，对原始数据作一次累加生成运算，从而得到新的生成数列X1一般近似地服从指数规律。 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为

dxaxu (10) dt

即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的。求解上述微分方程，解为

x(t)cea(t1)u (11) a

1)当t=1时，x(t)x(1)，即cx(u，则可根据上述公式得到离散形式微分方程a

的具体形式为

xtx1

uat1u (12) eaa

dxx(tt)x(t)lim dtt0t

dxlim(x(tt)x(t)) dtt1

dxx(1)(t1)x(1)(t) dt

当t足够小时，变量x从x(t)到x(tt)是不会出现突变的，所以取x(t)与x(tt)的平均值作为当t足够小时的背景值，即x(1)1(1)x(t)x(1)(t1)将其2

值带入式子，整理得 1(1)(1)x(t)x(t1)u (13) x(0)(t1)a2

由其离散形式可得到如下矩阵：

1(1)(1)x(1)x(2)2x(0)(2)1(0)x(1)(2)x(1)(3)x(3)au 2x(0)(n)1(1)(1)x(n1)x(n)2

(0)(0)(0)x(2),x(3),,x(n)令 Y T

1(1)(1)1x(1)x(2)21x(1)(2)x(1)(3)1 B2

1(1)(1)x(n1)x(n)12

au

称Y为数据向量，B为数据矩阵，为参数向量. 则上式可简化为线性模型：

YB (14) 由最小二乘估计方法得：

1TaTBBBY (15) u

1T上式即为GM(1,1)参数a,u的矩阵辨识算式，式中BTBBTY事实上是数据矩阵

B的广义逆矩阵。

将求得的a，u值代入微分方程的解式，则

1ua(t1)u (16) x(t)(x(1))eaa

其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得 ˆ(t)x x(1)

(0)uu(1)ea(t1) (17) aa

ˆ1t再作累减生成可进行预测. 即 对序列x

b(x) (18) B

通过利用MATLAB编程求得a,u，将a,u的值代入微分方程的时间响应函数，

5.3.3灰色模型的检验

ˆ(1)(1),x(1)(0)模型求出各时刻值，然后常用的方法是回带检验，即分别用x

求相对误差。结果如表所示：

从残差检验结果看，平均相对误差为0.003，误差较小，累计生成数列曲线

拟合较好，可以用来预测。

表5：2006-2038年的出生性别比预测值

从预测数据可以看出我国出生性别比呈下降趋势，到2038年下降到

99.2044。考虑到在这几十年内人们的生育观念难以发生彻底的改变，而GM(1,1)

模型没有考虑到实际情况，所以在现行人口政策没有改变的情况下，可以利用

GM(1,1)进行未来十年的预测。

5.4基于韦伯分布的生育率数学模型

根据总和生存率与年龄生育率的关系,妇女的年龄生育率的数学表达式可设

为 x0。其中B为总和生育率, g(x)为特定的生育模式b(x)为妇女年龄别生育率,

X为生育年龄,这里假设X取值范围为15到49。

因为任何随机分布函数的积分值为1,所以需要对年龄别生育率的统计数据

进行标准化处理,用累计(分胎次)年龄别生育率除以累计(分胎次)的总和生育率,

使其和为1,这样得到的标准化的年龄别生育率不会改变其本身的分布特点。反

映到图示上中,就等同于以同一比例缩小或放大年龄别生育率曲线。将妇女年龄

b(x)b(x)g(x)。别生育率的数学形式b(x)Bg(x)变形为式中就是指标准化的BB

年龄别生育率,这个统计数据是已知的。

用韦伯分布的数学形式表示生育模式为：

g(x)ab(xx0)b1e[a(xx0)b] （19）

其中x0为初始生育年龄，也定为x0=14，参数a和b决定了生育模式的形状。画

出韦伯分布的拟合图：

图7：韦伯分布的拟合图

根据韦伯分布的数学表达式可预测出未来的生育率。

5.5差分方程模型

根据问题一中建立的差分方程我们可预测出各个年龄阶段的人数占总人口

数的比值。所以可预测人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数

的变化趋势。

所以在没有实行二胎政策时，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、

老年人系数的变化趋势为：

图8：计划生育政策下中国未来人口结构预测图

由上图可知：少年儿童人口系数有个平稳的下降,这可能由于人口政策并没

有完全放开的原因;青壮年人口系数持续下滑至2038年的60%左右,之后直到

2060年都维持在该水平;老年人口系数在2041年达到峰值，之后一直维持在一

个水平;人口抚养比也是在未来50年内持续走高,2060年达到72. 23%;人口性别

比变化幅度较大，从2040-2045年出生人口性别比达到最低，在1的附近，在

2050年之后逐渐回升，2060年达到1.02。

当2013年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、

老年人系数的变化趋势为：

图9：2013年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图

将图8与图7做对比可知：在2013年实行二胎政策后青壮年人口系数下降

较平缓；少年儿童人口系数有个较小幅度的升高，2030-2040年是一个平稳期，

变化较平缓，2040年之后则逐渐升高；老年人口系数不再是一直上升，而是在

2036年达到高峰，之后则下降；老年人口抚养比跟老年人口系数变化趋势相似，

在2037年达到顶峰，之后呈下降趋势；人口性别比变化较平缓，这与实行二胎

政策有直接的关系。

当2014年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、

老年人系数的变化趋势为：

图10：2014年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图

将图9与图8对比可知在2013年与2014年实行二胎政策对我国未来人口结

构影响几乎相同，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变

化趋势相似，差异极小。只是老年人系数与老年人抚养比的高峰分别前移，人口

抚养比上移说明实行二胎后我国人口结构变化平稳。接下来预测在2015年实行

二胎政策时我国人口结构的变化。

图11：2015年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图

将图10与图8和9对比知2015年实行二胎政策各人口变化更平缓，更利于

中国人口结构的稳定。所以根据问题一我们知道目前有必要实行二胎政策，我们

将2010-2015年作为一个时间段，所以在2015年实行二胎政策对我国人口结构

稳定较有利。

5.6灰色关联度分析模型

灰色关联分析方法是一种新的多因素分析方法，其基本原理是通过对统计序

列几何关系的比较来分清系统中多因素的关系的紧密程度，序列曲线的几何形状 越接近，则它们之间的灰关联度就越大，反之越小。灰色关联度分析方法弥补了

采用数据统计做系统分析所导致的缺憾。它对样本量的多少和样本有无规律都同

样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的

情况。

首先我们根据各地区的人口数量和人口增长率作为灰色关联度的指标，指标

间的相关关系确定权数。然后根据权数大小将各地区进行排名，然后将这些地区

排名进行分类，每一类对应不同的放开二胎的政策。

5.6.1影响因素的选取

二胎政策的放开程度最终会影响各地区人口的变动，所以我们选取各地区人

口的增长率以及人口的数量作为二胎政策放开程度的指标。

5.6.2指标的原始数据

本文使用指标的原始数据为中国统计年鉴2007-2011年的人口普查数据如

下表所示：

六、模型评价

差分方程模型：

人口的变化可以用阻滞增长模型来描述，人口主要由总量的固有增长率决定。但是不同年龄人群的生育率和死亡率有着明显的不同，所以为了更精确地预测人群的增长趋势，我们用按年龄分组的人群增长预测模型。该模型可预测出各年龄阶段的人口数量，即可以预测出人口抚养比、老年人口抚养比、老龄化程度、青壮年、少年、老年系数的趋势，最终预测出人口结构的变化。

灰色GM(1,1)模型:

我们用灰色GM(1,1)模型预测出生性别比。由于出生性别比的变化趋势没有什么具体的规律可循,呈现一定的小范围波动,它受经济、社会、政策等多方面因素的复杂交互影响,所以有规律的定量分析并不是很好。我们采用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行预测。但是灰色GM(1,1)模型在预测十年之后误差较大，所以灰色GM(1,1)可以用于短期预测。

韦伯分布拟合：

根据2008-2010年各年龄阶段生育率数据绘制的图可以看出：生育模式符合偏正态分布。在概率分布中属于偏正态分布的有对数正态分布、韦伯分布、泊松分布等。由于韦伯分布拟合更好，所以我们选择韦伯分布模型预测各年龄阶段的生育率。

七、参考文献

[1] 中国统计年鉴：人口相关数据

[2] 汪小勤，汪红梅.“人口红利”效应与中国经济增长[J].华中科技大学出版社，2007：104-105.

[3] 刘静.基于人口学理论的中国放开生育二胎政策研究[J].四川省社会科学院出版社，2010：2-3.

[4] 韩晓庆.基于LesLie模型中国未来人口策略模拟研究[M].东北财经大学，2012年

[5] 邓聚龙.灰色系统理论教程[M] .武汉：华中理工大学出版社,1990

基于计划生育政策调整的数学模型

一、问题重述

自1978年将计划生育成为中国的一项基本国策以来，在这20多年的时间里，计划生育政策对建设中国特设社会主义、实现国家富强和民族振兴产生了巨大影响，为促进世界人口与发展发挥了重大作用。

但是，在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国人口的主要矛盾已经不再是增长过快，而是人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题。怎样解决这些问题，如何调整生育政策成为目前讨论的焦点。

2012年，有专家指出，我国应实施“生育自主、倡导节制、素质优先、全面开发”的新人口政策，并在2015年全面放开二胎政策。

请解决以下问题：

（1）选择合适的角度，建立数学模型，评估我国目前有没有必要放开二胎政策

（2）建立数学模型，回答何时放开二胎政策比较合适？

（3）建立数学模型， 分析如何合理放开二胎政策才可以避免同时全部放 二胎带来的人口大起大落式的剧烈变动，也可避免放开“单独”（即夫妻 方一方是独生子的可生二胎）带来的花费时间较长、贻误时机等问题。

二、问题分析

问题1、对于我国目前有没有必要放开二胎政策这个问题，我们通过逆向思维、由果索因的方式来解决。假设目前有必要放开二胎政策，那么放开二胎政策的条件是什么，是什么原因导致了我国目前有必要放开二胎政策。

自1978年计划生育成为中国的一项基本国策以后，我国在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变，并伴随出现了人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题。这些问题就是导致了我国目前是否有必要放开二胎政策的条件。若通过对这些条件分析最终得出结论为有必要放开二胎政策，那么假设成立；否则假设不成立，没有必要放开二胎政策。

通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图，最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化得出目前有没有必要实行二胎政策。

问题2、从问题1中得出我国目前有必要实行二胎政策，所以放开二胎政策的实行应该就在目前，只是不确定是什么时间。我们根据实行二胎政策会影响人口结构的变化这一方面来分析，人口结构包括出生性别比、生育率、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等。

先假设二胎政策开放的时间，预测生育率、出生性别比、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等数值并分析变化趋势，根据这几种变化趋势分析对我国人口结构的影响程度，然后确定二胎政策放开的时间。

由于出生性别比受经济、社会、政策多种因素的影响，用有规律的定量分析并不能预测完全，所以我们用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行分

析。

对于生育率，根据2008-2010年各年龄阶段生育率数据绘制图

图1：2008-2010年各年龄阶段生育率

从图中可以看出生育模式符合偏正态分布，在概率分布中属于偏正态分布的有对数正态分布、韦伯分布、泊松分布等。这里我们选择对数正态分布和韦伯分布进行数据拟合，比较二者的拟合精度，选择最优的模型预测生育率。

对于人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年、老年系数我们用第一问建立的差分方程模型进行预测。

问题3、根据问题二三的结果，我们计划2015年实行二胎政策的开放。但全国各省份实际情况各不相同，所以我们对各省份二胎政策的实施选择不同的开放程度。

我们选择各省人口基数和人口增长率作为评判各地区实施二胎政策的标准。利用灰色关联度计算出各省份人口基数对全国人口基数的关联度，即权重。然后根据关联度进行排名并分类，分为三类：人口基数小且人口增长率低、人口基数大且人口增长率高、介于两者之间。根据所分的类别实施不同的放开二胎政策。

三、问题假设

1、在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题

2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况

3、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化

4、假设查得的数据真实有效

四．名词解释及符号说明 人口红利：是指一个国家的劳动年龄人口占总人口比重较大，抚养率比较低，为经济发展创造了有利的人口条件，整个国家的经济成高储蓄、高投资和高增长的局面【1】。

生育率：指不同时期，不同地区妇女或育龄妇女的实际生育水平或生育子女

【2】的数量。

人口抚养比：人口抚养比是指总人口中非劳动年龄人数与劳动年龄人数之

比，以百分数表示【3】。

bi--生育率

di--死亡率

si--生存率

B--总和生育率

五、模型建立及求解

5.1影响因素的分析

1949年建国初期，由于社会稳定，卫生条件改善，生活水平提高，以及长期缺乏对人口增长的适当控制，我国成为世界上人口最多的国家。于是1978年我国把将计划生育作为一项基本国策。20多年来在很好的控制了人口增长的同时，也同样产生了令人堪忧的问题：临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调、人口红利消失。

基于预测模型的基础上，对这几方面进行分析：

5.1.1生育率水平

20世纪70年代初，中国政府开始大力推行计划生育，导致了我国迅速从高生育率到低生育率的转变。下图则为几年内的生育率变化：

[***********]0020052010

图2：1983-2010年生育率变化折线图

根据上图可以发现我国在实施计划生育政策以来，生育率处于下降趋势，生育率几乎一直处于低生育率2.14以下的水平，特别是近几年生育率更是低于超低生育率水平1.5。

然而超低生育率水平加快了我国老龄化的进程，对社会将会有极大的损害，不利于社会的发展。

5.1.2出生性别比例

在计划生育中的严格控制人口数量的前提下，性别选择成为人们退而求其次的选择，最终导致出生人口性别比例被“人为性”破坏失调。下图为自1949年至2012年的性别比例趋势折线图，通过折线图来具体说明我国性别比例问题。

[***********]0020052010

图3：1980-2010年性别比例折线图

由图可知：查阅资料得知正常性别比例在103：100左右。自1978年以来，随着以控制出生人口数量为主要内容的生育政策在全国范围内实施后，我国出生人口性别比例明显升高。1985年以来除了个别年份以外，出生人口性别比均超过了112，明显的偏离了正常的性别比值，且从总的趋势上看男女性别比值仍呈增长趋势。

出生人口性别比失衡带来的婚姻挤压、性别透支和人口结构失衡等严重社会问题，给人口安全、社会稳定带来巨大隐患，影响中国人口与经济、社会、资源、环境协调和可持续发展，甚至影响民族的繁荣和社会的长治久安。

5.1.3人口红利

中国经济“增长奇迹”源于多种因素，“人口红利”是其中最重要的因素【5】。中国处于人口红利期时，经济取得了巨大的进步。所谓的人口红利期是指生育率迅速下降，少儿抚养比例下降，总人口中适龄劳动人口比重上升，而老年人口比例达到较高水平之前形成的一个劳动力资源相对丰富的时期。但是中国人口红利到底能持续多久或者是否已经消失，根据人口红利的定义，我们就通过用劳动人口占总人口比例的变化表示人口红利的变化，确定人口红利的变化趋势。

根据上述数据可得到以下劳动人口占总人口比例年度变化的折线图：

图4：2000-2011年劳动人口占总人口比例年度变化折线图

根据上图可知我国的人口红利大致一直处于增长趋势，但是在2010年出现

了一个拐点，所以为了解释这个问题，我们建立差分方程模型来预测接下来几十年劳动人口占总人口比例的变化趋势，进而较精确的说明人口红利在现在及未来的发展趋势。

（1） 差分方程模型

首先先建立差分方程模型，然后得出各年龄阶段人口的增长状况，最后求出

每年年龄段在15-59岁的人口数与总的人口数，算出二者的比值，通过比值画出人口红利的变化曲线图，根据图像进行分析。

将人群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组，比如每10岁或每5岁为1个

年龄组。与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以10年或5年为1个阶段。

人口是通过女性个体的生育而增长的，所以用女性数量的变化为研究对象比

较方便，下面提到的人口数量均指其中的女性。

记时段k第i年龄组的人群数量xi(k),k0,1,2,...,i1,2,...n，第i年龄组的生

育率为bi，第i年龄组的死亡率为di，生存率为si，si1di，我们假设bi和di不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。xi(k)的变化规律由以下的基本事实得到：时段k1第一年龄组人口数量是时段k各年龄组生育数量之和，即

xi(k1)bixi(k) （4）

i1n

时段k1第i1年龄组的人口数量是时段k第i年龄组生存下来的数量，即

xk1(k1)sixi(k),i1,2,...,n1 （5） 计时段k种群按年龄组的分布变量为：

x(k)[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T （6）

由生育率bi和生存率si构成的矩阵

b1b2s01 L...s20...b3b400 （7） 0...s30

则（4）、（5）可表为

x(k1)Lx(k),k0,1,2,... （8） 当矩阵L和按年龄组的初始分布向量x(0)已知时，可以预测任意时段k人群按年龄组的分布为

x(k)Lkx(0),k1,2,... （9）

（2）模型验证

由上式（9）可知只要知道t=1时的人口数据就能依次得到以后每年各个年龄段的人口数据，这样进而可以预测年龄在15-59岁的劳动人口数量，我们将年龄分为4组，将全国人口分为0-14、15-49、50-59、60-90四个年龄阶段，此时有

b1sL1

00b20s2

0b3b400 00s30

根据中国统计年鉴查得2000-2008的数据出生率bi及死亡率di，通过死亡率求得生存率si。

表1：2000-2008年出生率和生存率数据

这样我们就可以通过2000年的数据得到15-59岁预测数据以及通过数据的拟合得到的图（单位：万）

表2：2000-2008年的劳动人口真实值与预测值及平均相对误差

果，符合人口发展规律，所以我们用该模型预测各年龄段的人口数量，从而得出15-59岁劳动人口数，以及总人口人数，算出比值即得到每年的人口红利数据，画图分析人口红利趋势。

相关运算过程借助MATLAB实现，如下图即为预测的未来人口红利变化趋势图。

[***********]3020352040

图5：预测的人口红利变化趋势图

根据预测出的人口红利趋势图可知：人口红利在2010-2015年呈增长趋势，在2015年左右达到顶峰，在2015年之后，如果不采取任何措施我国人口红利将呈现急剧下降的趋势，将不利于经济的发展，对我国经济带来巨大的损失。

5.1.4老龄化问题

老龄社会是指老年人口占总数人口达到或超过一定的比例的人口结构模型。按照联合国的传统标准是一个地区60岁以上老人达到总人口的10%，新标准是65岁以上老人达到总人口的7%【3】。

那我国现今的状况如何，老龄化程度怎样，我们用近几年65岁以上老年人

占总人数的比例来说明。

表3：2000-2011年我国65岁以上老年人占总人口的比例

并一直呈现增长趋势。并且到2011年比例已经高达9.1，超出标准2.1个百分

点，说明我国已经在2000年达到了老龄社会，并且老龄化程度还会继续加大。

为了更加明确的说明问题，我们预测接下来的20年65岁以上老年人占总人口的比例，用以说明我国老龄化程度的变化趋势。

根据建立的动态差分方程模型，可预测数老年人的人口数，然后根据预测出的老年人口数，画出老龄化趋势图，进行分析。

比率[***********]3020352040

年份

图6：2010-2040年老龄化趋势图

根据图像或者函数表达式可知：我国人口老龄化呈递增趋势。并预测出到2030年我国老龄化已经超过20%，并将一直增长下去，所以我国到20年后将成为高度老龄化国家。

造成上述原因可分为两方面：1、人口生育率急剧和大幅度下降2、死亡率的下降和寿命的延长。第一方面与我国计划生育政策有关，第二个方面得益于经济社会的发展、疾病的控制、卫生条件和生活质量的快速提升。

人口高度老龄化使我国的养老负担迅速增加，我国对离退休职工支出额增加即抚养老人费用增多，将会导致社会总储蓄减少，进而使社会总投资下降，最终影响经济的持续增长。

5.2结论

通过对人口红利、人口老龄化、生育率和出生性别比例的分析，我们得出人口红利在2015年将会下降，人口老龄化程度继续加重，生育率持续降低，出生性别比例不平衡程度继续加深，这种变化趋势最终会影响我国经济的发展。所以我国的生育政策急需调整，也就是说目前很有必要开放二胎政策。

5.3基于灰色GM(1,1)模型的出生性别比

从图3中可以看出,出生性别比的变化趋势没有什么具体的规律可循,呈现一定的小范围波动,它受经济、社会、政策等多方面因素的复杂交互影响,所以有规律的定量分析并不是很好。我们采用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行预测。

5.3.1灰色GM(1,1)简介

灰色系统是指信息数据不明确的系统,灰色系统预测模型的构建原理是将 已知的部分数据序列输入到系统中,通过某种线性或非线性的转换来预测未来 指标的变化情况,在这个阶段中遵循某种规则,反复修正结果,最终得到比较明 朗的变化规律,GM(1,1)模型是在灰色系统预测中应用最为广泛的一种模型。

5.3.2灰色模型求解

设X(0)为原始数据，为了使其成为有规律的时间序列数据，对原始数据作一次累加生成运算，从而得到新的生成数列X1一般近似地服从指数规律。 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为

dxaxu (10) dt

即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的。求解上述微分方程，解为

x(t)cea(t1)u (11) a

1)当t=1时，x(t)x(1)，即cx(u，则可根据上述公式得到离散形式微分方程a

的具体形式为

xtx1

uat1u (12) eaa

dxx(tt)x(t)lim dtt0t

dxlim(x(tt)x(t)) dtt1

dxx(1)(t1)x(1)(t) dt

当t足够小时，变量x从x(t)到x(tt)是不会出现突变的，所以取x(t)与x(tt)的平均值作为当t足够小时的背景值，即x(1)1(1)x(t)x(1)(t1)将其2

值带入式子，整理得 1(1)(1)x(t)x(t1)u (13) x(0)(t1)a2

由其离散形式可得到如下矩阵：

1(1)(1)x(1)x(2)2x(0)(2)1(0)x(1)(2)x(1)(3)x(3)au 2x(0)(n)1(1)(1)x(n1)x(n)2

(0)(0)(0)x(2),x(3),,x(n)令 Y T

1(1)(1)1x(1)x(2)21x(1)(2)x(1)(3)1 B2

1(1)(1)x(n1)x(n)12

au

称Y为数据向量，B为数据矩阵，为参数向量. 则上式可简化为线性模型：

YB (14) 由最小二乘估计方法得：

1TaTBBBY (15) u

1T上式即为GM(1,1)参数a,u的矩阵辨识算式，式中BTBBTY事实上是数据矩阵

B的广义逆矩阵。

将求得的a，u值代入微分方程的解式，则

1ua(t1)u (16) x(t)(x(1))eaa

其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得 ˆ(t)x x(1)

(0)uu(1)ea(t1) (17) aa

ˆ1t再作累减生成可进行预测. 即 对序列x

b(x) (18) B

通过利用MATLAB编程求得a,u，将a,u的值代入微分方程的时间响应函数，

5.3.3灰色模型的检验

ˆ(1)(1),x(1)(0)模型求出各时刻值，然后常用的方法是回带检验，即分别用x

求相对误差。结果如表所示：

从残差检验结果看，平均相对误差为0.003，误差较小，累计生成数列曲线

拟合较好，可以用来预测。

表5：2006-2038年的出生性别比预测值

从预测数据可以看出我国出生性别比呈下降趋势，到2038年下降到

99.2044。考虑到在这几十年内人们的生育观念难以发生彻底的改变，而GM(1,1)

模型没有考虑到实际情况，所以在现行人口政策没有改变的情况下，可以利用

GM(1,1)进行未来十年的预测。

5.4基于韦伯分布的生育率数学模型

根据总和生存率与年龄生育率的关系,妇女的年龄生育率的数学表达式可设

为 x0。其中B为总和生育率, g(x)为特定的生育模式b(x)为妇女年龄别生育率,

X为生育年龄,这里假设X取值范围为15到49。

因为任何随机分布函数的积分值为1,所以需要对年龄别生育率的统计数据

进行标准化处理,用累计(分胎次)年龄别生育率除以累计(分胎次)的总和生育率,

使其和为1,这样得到的标准化的年龄别生育率不会改变其本身的分布特点。反

映到图示上中,就等同于以同一比例缩小或放大年龄别生育率曲线。将妇女年龄

b(x)b(x)g(x)。别生育率的数学形式b(x)Bg(x)变形为式中就是指标准化的BB

年龄别生育率,这个统计数据是已知的。

用韦伯分布的数学形式表示生育模式为：

g(x)ab(xx0)b1e[a(xx0)b] （19）

其中x0为初始生育年龄，也定为x0=14，参数a和b决定了生育模式的形状。画

出韦伯分布的拟合图：

图7：韦伯分布的拟合图

根据韦伯分布的数学表达式可预测出未来的生育率。

5.5差分方程模型

根据问题一中建立的差分方程我们可预测出各个年龄阶段的人数占总人口

数的比值。所以可预测人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数

的变化趋势。

所以在没有实行二胎政策时，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、

老年人系数的变化趋势为：

图8：计划生育政策下中国未来人口结构预测图

由上图可知：少年儿童人口系数有个平稳的下降,这可能由于人口政策并没

有完全放开的原因;青壮年人口系数持续下滑至2038年的60%左右,之后直到

2060年都维持在该水平;老年人口系数在2041年达到峰值，之后一直维持在一

个水平;人口抚养比也是在未来50年内持续走高,2060年达到72. 23%;人口性别

比变化幅度较大，从2040-2045年出生人口性别比达到最低，在1的附近，在

2050年之后逐渐回升，2060年达到1.02。

当2013年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、

老年人系数的变化趋势为：

图9：2013年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图

将图8与图7做对比可知：在2013年实行二胎政策后青壮年人口系数下降

较平缓；少年儿童人口系数有个较小幅度的升高，2030-2040年是一个平稳期，

变化较平缓，2040年之后则逐渐升高；老年人口系数不再是一直上升，而是在

2036年达到高峰，之后则下降；老年人口抚养比跟老年人口系数变化趋势相似，

在2037年达到顶峰，之后呈下降趋势；人口性别比变化较平缓，这与实行二胎

政策有直接的关系。

当2014年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、

老年人系数的变化趋势为：

图10：2014年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图

将图9与图8对比可知在2013年与2014年实行二胎政策对我国未来人口结

构影响几乎相同，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变

化趋势相似，差异极小。只是老年人系数与老年人抚养比的高峰分别前移，人口

抚养比上移说明实行二胎后我国人口结构变化平稳。接下来预测在2015年实行

二胎政策时我国人口结构的变化。

图11：2015年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图

将图10与图8和9对比知2015年实行二胎政策各人口变化更平缓，更利于

中国人口结构的稳定。所以根据问题一我们知道目前有必要实行二胎政策，我们

将2010-2015年作为一个时间段，所以在2015年实行二胎政策对我国人口结构

稳定较有利。

5.6灰色关联度分析模型

灰色关联分析方法是一种新的多因素分析方法，其基本原理是通过对统计序

列几何关系的比较来分清系统中多因素的关系的紧密程度，序列曲线的几何形状 越接近，则它们之间的灰关联度就越大，反之越小。灰色关联度分析方法弥补了

采用数据统计做系统分析所导致的缺憾。它对样本量的多少和样本有无规律都同

样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的

情况。

首先我们根据各地区的人口数量和人口增长率作为灰色关联度的指标，指标

间的相关关系确定权数。然后根据权数大小将各地区进行排名，然后将这些地区

排名进行分类，每一类对应不同的放开二胎的政策。

5.6.1影响因素的选取

二胎政策的放开程度最终会影响各地区人口的变动，所以我们选取各地区人

口的增长率以及人口的数量作为二胎政策放开程度的指标。

5.6.2指标的原始数据

本文使用指标的原始数据为中国统计年鉴2007-2011年的人口普查数据如

下表所示：

六、模型评价

差分方程模型：

人口的变化可以用阻滞增长模型来描述，人口主要由总量的固有增长率决定。但是不同年龄人群的生育率和死亡率有着明显的不同，所以为了更精确地预测人群的增长趋势，我们用按年龄分组的人群增长预测模型。该模型可预测出各年龄阶段的人口数量，即可以预测出人口抚养比、老年人口抚养比、老龄化程度、青壮年、少年、老年系数的趋势，最终预测出人口结构的变化。

灰色GM(1,1)模型:

我们用灰色GM(1,1)模型预测出生性别比。由于出生性别比的变化趋势没有什么具体的规律可循,呈现一定的小范围波动,它受经济、社会、政策等多方面因素的复杂交互影响,所以有规律的定量分析并不是很好。我们采用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行预测。但是灰色GM(1,1)模型在预测十年之后误差较大，所以灰色GM(1,1)可以用于短期预测。

韦伯分布拟合：

根据2008-2010年各年龄阶段生育率数据绘制的图可以看出：生育模式符合偏正态分布。在概率分布中属于偏正态分布的有对数正态分布、韦伯分布、泊松分布等。由于韦伯分布拟合更好，所以我们选择韦伯分布模型预测各年龄阶段的生育率。

七、参考文献

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