工程电磁场

一．请写出描述静电场，静磁场，恒定电流场和涡流场的主要物理定律及其描述方程的积分和微分形式，解释这些定律的物理含义，并针对其中任意一个定律举一个电工中的简单应用例子说明之。 1.静电场

（1）斯托克斯公式

lEdL0 积分形式

E0 微分形式

电场的无旋性：场强的线积分与路径无关，即场强沿着任意闭合路径的线积分为零。 （2）电通量与高斯定理

sDdSq 积分形式

D 微分形式

上式说明通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面包围的自由电荷的代数和。静电场的有源性。 2.恒定电流场：

（1）传导电流连续性方程

JdS0 积分形式

s

J0 微分形式

积分形式表明在恒定电场中，由任一闭合面流出的传导电流应为零。微分形式表明恒定

电场是无源场，同时说明J线是无头无尾的闭合曲线。 （2）电场强度环路线积分

EdL0 积分形式

L

E0 微分形式

此式说明恒定电场是无源场，同时说明J线是无头无尾的闭合曲线。电场强度旋度为零，

恒定电场是无旋场。 3.静磁场

（1）磁通连续性定理



S

BdS0 积分形式

B0 微分形式

此式表明磁场是无源场，可知磁通连续性反映自然界中没有与电荷相对应的“磁荷”即单

独的磁极或磁单极子存在。 （2）毕奥—萨法尔定律

电流源在场点p的磁感强度为：

dB

0IdLR

4r204

IdLRr2

电流回路在场点p的磁感强度为：

B

此式表明在电流的磁场中通过该封闭曲面的磁通量应是各个电流元的磁通通过该封闭

曲面的磁通量的代数和。 （3）安培环路定律

HdlI

l

i

i内

0 积分形式

HJ 微分形式

此式表明磁场强度H验任一闭合环路的线积分等于穿过该环路的所有电流的代数和说

明磁场为非保守场（涡流场）。 4 涡流场

（1）全电流定律

D

HdlJdS 积分形式 lts

HJ

D

微分形式 t

此式说明不急传导电流能够产生磁场，而且变化的电场也能传导磁场。 （2）推广的电流感应定律

Edl

l

B

dS 积分形式 st

E

B

微分形式 t

此式说明变化的磁场也会产生电场。 （3）磁通连续性定理



s

BdS0 积分形式

B0 微分形式

此式说明磁力线是无头无尾的闭合曲线。 （4）高斯定律



s

DdS0 积分形式

 微分形式 D

此式反映电荷以发散的方式产生电场这组方程表明变化的电场和变化的磁场相互激发，

相互联系，形成统一的电磁场。 （5）涡流方程为： HR

2

HEJ22

Er Jr ttt

由上式可以知道，在变化的磁场中其内部会感应出电流，这些电流在导体内部自成闭合

回路，呈涡旋状，涡流与其他电流一样也要感应出磁场。 应用举例：涡流探伤

涡流探伤系统工作原理： 由振荡器即交变电压发生器供给检测线圈激励电流，经信号耦合装置在试件及其周围形成一激励磁场，该磁场在试件中感应出涡流，涡流又产生自己涡流磁场，其作用是抵消激励磁场，消弱和抵削的程度枧试件材质对涡流影响的各种因素而定。涡流磁场中包含了试件性质的信息，反过来使检测线圈的阻抗发生变化，而检测线圈可检测出试件中涡流磁场的变化，即检测出有试件性质的信息。将这些信息经放大，相敬检波器提

取调制信号，滤波器对调制信号滤波，幅度鉴别器对信号幅度判别等处理，就可获得一定信嗓比的有用信号，最后由显示记录器、报警器指示检测结果。

涡流探伤系统设备包括检测线圈、信号耦合装置、涡流检测仪、机械传动机构、控制台及显示记录仪等。其中，涡流检测仪和控制台属于电气部分{机械传动机构属于机械、控制部分 检测线圈与信号耦合装置是电气和机械的衔接部分，为涡流探伤的核心。检测线圈按用途采用的方式分为t反射式和透射式、单线圈和双线圈、绝对式和差动式、自比较式和比较式、叉形与点式，不同的仪器配有不同形式的检测线圈。

二．请从自己的理解，从物理概念上解释为什么在高频情况下，导体中的涡流效应的强度与激励频率、导体的电导率和磁导率有关系？

在许多电工设备中都存在大块导体，当这些大块导体处于标号的磁场中时，其内部都会感应出电流。这些电流的特点是：在大块导体内部自我闭合回路，是旋涡电流，因此，称之为涡流场。涡流有热效应，又有去磁效应。



2

H

H

t



2

E

H

t



2

J

J t

由此可知涡流效应的强弱与导体的电导率和磁导率有关，导体的电导率和磁导率越高，涡流效应强度越高。而在激励频率高的时候，涡流的集肤效应和邻近效应更加显著，各个因素发生较大变化。所以说在高频情况下，导体中的涡流效应强度和激励电流、导体的电导率和磁导率有关。

三．为了检测铜质金属管道的壁厚（设管道内径c=10mm, 壁厚为 2.5mm），尝试采用图1所示的电磁测量原理，希望有机会通过检测线圈的阻抗参数变化来判断管道的壁厚，请从理论上分析这一测量原理的可行性。如果认为有机会，请通过对电磁场仿真得到的结果分析确定出最敏感的测试频率和线圈检测参数，并从电磁场角度解释仿真结果曲线的各种特征。设检测线圈采用足够细的导线，因此可以忽略导线的涡流效应，其尺寸设为a=5mm，b=4mm，e=1mm。

（1）原理分析：

查阅相关资料，得知目前采用涡流测厚技术的原理方法主要有两种，一种是反射方式，另一种为穿透方式。

反射方式是探头的发射与接收线圈在被测物体的同一侧。这种方式对测量较易实现，所接受的信号是阻抗幅值变化信号，故材料厚度的变化对接收线圈阻抗变化呈现非线性关系。目前。非磁性热交换器管道、大型尿素设备中不锈钢管及钛管壁厚测量都是采用这种方式。

穿透方式探头的发射与接收线圈在被测物体的两侧，不同厚度涡流流动情况不同，随着透入深度的增加，涡流相位滞后也增大，通过相位的变化就能直接测量厚度。目前该技术已

成功用在上海铜厂测量各种牌号的黄铜管壁厚，此法精度要比反射式要高。

本题采用反射方式进行测量，在铜管外侧绕上线圈，检测线圈的阻抗参数变化来测量厚

度变化。由于内中关系为非线性，线圈阻抗参数变化与多个变量有关系，不只被测材料的厚度有关。在有限时间内无法进行深入研究，故本题只进行可行行分析，并根据频率变化和厚度变化来寻找最敏感频率和线圈检测参数。 （2）仿真分析：

利用Ansoft Maxwell 2D软件对不同壁厚的模型进行频率扫描。模型选取6个，厚度分别为0.5mm、1.0mm、1.5mm、2.0mm、2.5和3.0mm，频率由100Hz—1000Hz进行扫描，模型结构如图1所示。由于测量线圈阻抗变化主要是铜管内的涡流引起，故本题中测量了线圈自感和互感的变化情况，做图2和图3。

图1 模型结构

图2 线圈自感变化

由图2和图3我们可以清楚地发现，不同厚度在同一频率下，其由于涡流现象而产生的自感和互感的变化情况是不同的。对于同一厚度，不同频率线圈的自感和互感变化也是不同的。对于某一厚度而言，线圈的自感和互感变化在某一频率范围内变化比较明显，超出此范

围，变化就会变得比较平缓。对于本题，本文选择变化趋势转折出作为最敏感的测试频率。

图3 线圈互感变化

对于管壁厚度为2.5mm的铜管，本题选用400Hz，而在此频率下的阻抗参数为

Z(6836.67+2.06397i)10-7。做出在此频率下的J分布图4。

（3）现象解释：

现象1：仿真过程中线圈的电阻是随着频率的增加而增加的。

图4 J线分布

解释：由于线圈频率增加，导体的集肤效应和邻近效应会变得比较明显，导致电流只在导体

表面流动，其有效面积减小，导致了电阻的增加。

现象2：仿真过程中线圈的电感是随着频率的增加而减小的。

解释：由于线圈频率增加，铜管的涡流效应变得比较明显，而涡流产生的磁场对线圈产生的磁场的阻碍现象变得明显，互感的抵消自感的显现也明显，导致线圈等效的电感会下降。

一．请写出描述静电场，静磁场，恒定电流场和涡流场的主要物理定律及其描述方程的积分和微分形式，解释这些定律的物理含义，并针对其中任意一个定律举一个电工中的简单应用例子说明之。 1.静电场

（1）斯托克斯公式

lEdL0 积分形式

E0 微分形式

电场的无旋性：场强的线积分与路径无关，即场强沿着任意闭合路径的线积分为零。 （2）电通量与高斯定理

sDdSq 积分形式

D 微分形式

上式说明通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面包围的自由电荷的代数和。静电场的有源性。 2.恒定电流场：

（1）传导电流连续性方程

JdS0 积分形式

s

J0 微分形式

积分形式表明在恒定电场中，由任一闭合面流出的传导电流应为零。微分形式表明恒定

电场是无源场，同时说明J线是无头无尾的闭合曲线。 （2）电场强度环路线积分

EdL0 积分形式

L

E0 微分形式

此式说明恒定电场是无源场，同时说明J线是无头无尾的闭合曲线。电场强度旋度为零，

恒定电场是无旋场。 3.静磁场

（1）磁通连续性定理



S

BdS0 积分形式

B0 微分形式

此式表明磁场是无源场，可知磁通连续性反映自然界中没有与电荷相对应的“磁荷”即单

独的磁极或磁单极子存在。 （2）毕奥—萨法尔定律

电流源在场点p的磁感强度为：

dB

0IdLR

4r204

IdLRr2

电流回路在场点p的磁感强度为：

B

此式表明在电流的磁场中通过该封闭曲面的磁通量应是各个电流元的磁通通过该封闭

曲面的磁通量的代数和。 （3）安培环路定律

HdlI

l

i

i内

0 积分形式

HJ 微分形式

此式表明磁场强度H验任一闭合环路的线积分等于穿过该环路的所有电流的代数和说

明磁场为非保守场（涡流场）。 4 涡流场

（1）全电流定律

D

HdlJdS 积分形式 lts

HJ

D

微分形式 t

此式说明不急传导电流能够产生磁场，而且变化的电场也能传导磁场。 （2）推广的电流感应定律

Edl

l

B

dS 积分形式 st

E

B

微分形式 t

此式说明变化的磁场也会产生电场。 （3）磁通连续性定理



s

BdS0 积分形式

B0 微分形式

此式说明磁力线是无头无尾的闭合曲线。 （4）高斯定律



s

DdS0 积分形式

 微分形式 D

此式反映电荷以发散的方式产生电场这组方程表明变化的电场和变化的磁场相互激发，

相互联系，形成统一的电磁场。 （5）涡流方程为： HR

2

HEJ22

Er Jr ttt

由上式可以知道，在变化的磁场中其内部会感应出电流，这些电流在导体内部自成闭合

回路，呈涡旋状，涡流与其他电流一样也要感应出磁场。 应用举例：涡流探伤

涡流探伤系统工作原理： 由振荡器即交变电压发生器供给检测线圈激励电流，经信号耦合装置在试件及其周围形成一激励磁场，该磁场在试件中感应出涡流，涡流又产生自己涡流磁场，其作用是抵消激励磁场，消弱和抵削的程度枧试件材质对涡流影响的各种因素而定。涡流磁场中包含了试件性质的信息，反过来使检测线圈的阻抗发生变化，而检测线圈可检测出试件中涡流磁场的变化，即检测出有试件性质的信息。将这些信息经放大，相敬检波器提

取调制信号，滤波器对调制信号滤波，幅度鉴别器对信号幅度判别等处理，就可获得一定信嗓比的有用信号，最后由显示记录器、报警器指示检测结果。

涡流探伤系统设备包括检测线圈、信号耦合装置、涡流检测仪、机械传动机构、控制台及显示记录仪等。其中，涡流检测仪和控制台属于电气部分{机械传动机构属于机械、控制部分 检测线圈与信号耦合装置是电气和机械的衔接部分，为涡流探伤的核心。检测线圈按用途采用的方式分为t反射式和透射式、单线圈和双线圈、绝对式和差动式、自比较式和比较式、叉形与点式，不同的仪器配有不同形式的检测线圈。

二．请从自己的理解，从物理概念上解释为什么在高频情况下，导体中的涡流效应的强度与激励频率、导体的电导率和磁导率有关系？

在许多电工设备中都存在大块导体，当这些大块导体处于标号的磁场中时，其内部都会感应出电流。这些电流的特点是：在大块导体内部自我闭合回路，是旋涡电流，因此，称之为涡流场。涡流有热效应，又有去磁效应。



2

H

H

t



2

E

H

t



2

J

J t

由此可知涡流效应的强弱与导体的电导率和磁导率有关，导体的电导率和磁导率越高，涡流效应强度越高。而在激励频率高的时候，涡流的集肤效应和邻近效应更加显著，各个因素发生较大变化。所以说在高频情况下，导体中的涡流效应强度和激励电流、导体的电导率和磁导率有关。

三．为了检测铜质金属管道的壁厚（设管道内径c=10mm, 壁厚为 2.5mm），尝试采用图1所示的电磁测量原理，希望有机会通过检测线圈的阻抗参数变化来判断管道的壁厚，请从理论上分析这一测量原理的可行性。如果认为有机会，请通过对电磁场仿真得到的结果分析确定出最敏感的测试频率和线圈检测参数，并从电磁场角度解释仿真结果曲线的各种特征。设检测线圈采用足够细的导线，因此可以忽略导线的涡流效应，其尺寸设为a=5mm，b=4mm，e=1mm。

（1）原理分析：

查阅相关资料，得知目前采用涡流测厚技术的原理方法主要有两种，一种是反射方式，另一种为穿透方式。

反射方式是探头的发射与接收线圈在被测物体的同一侧。这种方式对测量较易实现，所接受的信号是阻抗幅值变化信号，故材料厚度的变化对接收线圈阻抗变化呈现非线性关系。目前。非磁性热交换器管道、大型尿素设备中不锈钢管及钛管壁厚测量都是采用这种方式。

穿透方式探头的发射与接收线圈在被测物体的两侧，不同厚度涡流流动情况不同，随着透入深度的增加，涡流相位滞后也增大，通过相位的变化就能直接测量厚度。目前该技术已

成功用在上海铜厂测量各种牌号的黄铜管壁厚，此法精度要比反射式要高。

本题采用反射方式进行测量，在铜管外侧绕上线圈，检测线圈的阻抗参数变化来测量厚

度变化。由于内中关系为非线性，线圈阻抗参数变化与多个变量有关系，不只被测材料的厚度有关。在有限时间内无法进行深入研究，故本题只进行可行行分析，并根据频率变化和厚度变化来寻找最敏感频率和线圈检测参数。 （2）仿真分析：

利用Ansoft Maxwell 2D软件对不同壁厚的模型进行频率扫描。模型选取6个，厚度分别为0.5mm、1.0mm、1.5mm、2.0mm、2.5和3.0mm，频率由100Hz—1000Hz进行扫描，模型结构如图1所示。由于测量线圈阻抗变化主要是铜管内的涡流引起，故本题中测量了线圈自感和互感的变化情况，做图2和图3。

图1 模型结构

图2 线圈自感变化

由图2和图3我们可以清楚地发现，不同厚度在同一频率下，其由于涡流现象而产生的自感和互感的变化情况是不同的。对于同一厚度，不同频率线圈的自感和互感变化也是不同的。对于某一厚度而言，线圈的自感和互感变化在某一频率范围内变化比较明显，超出此范

围，变化就会变得比较平缓。对于本题，本文选择变化趋势转折出作为最敏感的测试频率。

图3 线圈互感变化

对于管壁厚度为2.5mm的铜管，本题选用400Hz，而在此频率下的阻抗参数为

Z(6836.67+2.06397i)10-7。做出在此频率下的J分布图4。

（3）现象解释：

现象1：仿真过程中线圈的电阻是随着频率的增加而增加的。

图4 J线分布

解释：由于线圈频率增加，导体的集肤效应和邻近效应会变得比较明显，导致电流只在导体

表面流动，其有效面积减小，导致了电阻的增加。

现象2：仿真过程中线圈的电感是随着频率的增加而减小的。

解释：由于线圈频率增加，铜管的涡流效应变得比较明显，而涡流产生的磁场对线圈产生的磁场的阻碍现象变得明显，互感的抵消自感的显现也明显，导致线圈等效的电感会下降。