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集合的基础知识
一、概述
集合——近代数学最基本内容之一．主要内容有集合、子集、全集、补集、交集和并集．集合是我们掌握和使用数学语言的基础，也是我们学习后续内容的基础和工具.第一部分主要是学习集合的概念，表示方法等；后一部分在介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系的基础上，引出子集的概念以及集合的基本运算． 二、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念
一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性
①确定性：任给一元素可确定其归属．的元素也就确定了.
例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4素；
”、“” ② 互异性：也就是说，集合中的元素必须是.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.
③ .例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.
（2）集合的元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.
（3）集合的分类：有限集与无限集.
（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.
列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.
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描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.
使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号； ②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；
④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内； ⑥用于描述的语句力求简明、确切.
.
如：A={1，2，3，例1、设集合A={a，2} ,且A=B，求实数c值． 分析：
欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况． 解析：
（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．
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（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得： 2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或素也相同，舍去c=1，∴点评：
两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真． （5）常用数集及专用记号
（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……} （2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……} （3）整数集Z={0，±1，±2，……} （4）有理数集Q={整数与分数}
（5）实数集R={}.
{R{}
≠{
．
，但 c=1时，B中的三个元
强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋． 2．基本运算 1. 交集
（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作
，即
{
，且
}
（2）交集的图示
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上图阴影部分表示集合A与B的交集．
（3）交集的运算律
2. 并集
（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作{
，或
}
，即
，
，
，
（2）并集的图示
以上阴影部分表示集合A
（3）并集的运算律
3 （1）定义：设SASS中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A
（2）补集的图示
，即 CSA=
，
，
，
4、常用性质 A A
A=A，AA=A，A
Φ=Φ，AΦ=A，A
B=BB=B
A，AA，A，，
BB
A， AA，A
BB
B． B．
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例2、集合{1，2，3}，
{，且}，AU，BU，且{4，5}，
{6，7，8}，求集合A和B．
分析：利用集合图示较为直观． 解：由由由由
与
{4，5}，则将4，5写在
中，
{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，
{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，
中均无9，10，则9，10在B中，
故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．
5、容斥原理：有限集A，B，有 card(A∪ 三、难点知识剖析
1 （1）与
的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；
R，
等．
表示
集合与集合之间的关系，例如N
（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．
（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．
例3、已知集合M={x|x≤3一个是（）
}，集合P={x|x
A、P∈M B、a∈M
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C、
P解析：
M D、{a－3}P
集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数
的大小，易判断C正确.
小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键． 2．理解集合所表示的意义
（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y
R|y=R|y=
围，故{x
R|y=
}表示的为函数
y=}={yR|y
};而{x
R|y=}=R．
中y的取值范围，故{y
y=
的x的取值范
（2忽视，如在关系式BA中，易漏掉
（1）若A （2）若A分析： 明确A
B=B和
A
和
B=B的含义，根据问题的需要，将A
，是解决本题的关键．
B=B和A
B=B转化
B=B B=B
为等价的关系式：
解析：首先化简集合A，得A={-4，0} （1）由于
A ①若B=Φ，由②若
，代入得：
，
B=B，则有
可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．
得
当时，B=，合题意．
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当③若 当
时，B=，代入得：
时，②中已讨论，合题意
，也符合题意． ，
当时，B=
．
不合题意．
由①、②、③得，（2）因为A由（1）知，【点评】： 一般对于A
和
B=B和AB=B，所以
，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．
B=B
，且在包含关系
并且当A
、B
的情况时，只有A=B这一种
子集
（1与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B，或集合B包含集合
A。 记作：
A包含于
B或B包含A
B或B
A．
当集合A不包含于集合
B，或集合B不包含集合
A时，则记作：A 性质：① ②
（任何一个集合是它本身的子集）
（空集是任何集合的子集）
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合． 因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
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例：
合B的真子集，记作：
，可见，集合
，是指A、B的所有元素完全相同．
，并且
，我们就说集合A是集
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果
（或
），读作A真包含于B或B真包含A。
【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．
【提问】
（1） 写出数集N，Z，Q，R （2）
判断下列写法是否正确
①
（
1
（
2）如果
例
1 写出集合 解：集合 是
，
．
A A≠
，则
A；
A ②
A ③
A
A
，
，
，
，其中
，
，
的真子集．
【注意】（1）子集与真子集符号的方向。
（2）易混符号
①“
”与“
”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如
R，{1}
②{0}与 如：
{0}。不能写成
{1，2，3}
是不含任何元素的集合。 ∈{0}
={0}，
：{0}是含有一个元素0的集合，
例3 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．
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（1）
表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集； （3）
（4）
（5）如果
（6）
与
不是
的所有子集是
且
；
；
，那么B必是A的真子集； 不能同时成立．
解：（1）
不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确； （2）不正确．空集是任何非空集合的真子集； （3）不正确．
（4）不正确．
（5）正确 （6）不正确．当
例4 用适当的符号（
（1）
（2） （3）
C
．
解：（
1）
（2
） （3）
＝
， ，
∴
；
；
；
与
表示同一集合；
；
与
）填空：
；
，
；
能同时成立．
的所有子集是
时，
，
；
；
（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．
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12
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集合的基础知识
一、概述
集合——近代数学最基本内容之一．主要内容有集合、子集、全集、补集、交集和并集．集合是我们掌握和使用数学语言的基础，也是我们学习后续内容的基础和工具.第一部分主要是学习集合的概念，表示方法等；后一部分在介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系的基础上，引出子集的概念以及集合的基本运算． 二、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念
一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性
①确定性：任给一元素可确定其归属．的元素也就确定了.
例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4素；
”、“” ② 互异性：也就是说，集合中的元素必须是.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.
③ .例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.
（2）集合的元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.
（3）集合的分类：有限集与无限集.
（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.
列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.
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描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.
使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号； ②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；
④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内； ⑥用于描述的语句力求简明、确切.
.
如：A={1，2，3，例1、设集合A={a，2} ,且A=B，求实数c值． 分析：
欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况． 解析：
（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．
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（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得： 2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或素也相同，舍去c=1，∴点评：
两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真． （5）常用数集及专用记号
（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……} （2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……} （3）整数集Z={0，±1，±2，……} （4）有理数集Q={整数与分数}
（5）实数集R={}.
{R{}
≠{
．
，但 c=1时，B中的三个元
强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋． 2．基本运算 1. 交集
（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作
，即
{
，且
}
（2）交集的图示
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上图阴影部分表示集合A与B的交集．
（3）交集的运算律
2. 并集
（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作{
，或
}
，即
，
，
，
（2）并集的图示
以上阴影部分表示集合A
（3）并集的运算律
3 （1）定义：设SASS中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A
（2）补集的图示
，即 CSA=
，
，
，
4、常用性质 A A
A=A，AA=A，A
Φ=Φ，AΦ=A，A
B=BB=B
A，AA，A，，
BB
A， AA，A
BB
B． B．
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例2、集合{1，2，3}，
{，且}，AU，BU，且{4，5}，
{6，7，8}，求集合A和B．
分析：利用集合图示较为直观． 解：由由由由
与
{4，5}，则将4，5写在
中，
{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，
{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，
中均无9，10，则9，10在B中，
故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．
5、容斥原理：有限集A，B，有 card(A∪ 三、难点知识剖析
1 （1）与
的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；
R，
等．
表示
集合与集合之间的关系，例如N
（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．
（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．
例3、已知集合M={x|x≤3一个是（）
}，集合P={x|x
A、P∈M B、a∈M
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C、
P解析：
M D、{a－3}P
集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数
的大小，易判断C正确.
小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键． 2．理解集合所表示的意义
（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y
R|y=R|y=
围，故{x
R|y=
}表示的为函数
y=}={yR|y
};而{x
R|y=}=R．
中y的取值范围，故{y
y=
的x的取值范
（2忽视，如在关系式BA中，易漏掉
（1）若A （2）若A分析： 明确A
B=B和
A
和
B=B的含义，根据问题的需要，将A
，是解决本题的关键．
B=B和A
B=B转化
B=B B=B
为等价的关系式：
解析：首先化简集合A，得A={-4，0} （1）由于
A ①若B=Φ，由②若
，代入得：
，
B=B，则有
可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．
得
当时，B=，合题意．
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当③若 当
时，B=，代入得：
时，②中已讨论，合题意
，也符合题意． ，
当时，B=
．
不合题意．
由①、②、③得，（2）因为A由（1）知，【点评】： 一般对于A
和
B=B和AB=B，所以
，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．
B=B
，且在包含关系
并且当A
、B
的情况时，只有A=B这一种
子集
（1与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B，或集合B包含集合
A。 记作：
A包含于
B或B包含A
B或B
A．
当集合A不包含于集合
B，或集合B不包含集合
A时，则记作：A 性质：① ②
（任何一个集合是它本身的子集）
（空集是任何集合的子集）
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合． 因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
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例：
合B的真子集，记作：
，可见，集合
，是指A、B的所有元素完全相同．
，并且
，我们就说集合A是集
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果
（或
），读作A真包含于B或B真包含A。
【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．
【提问】
（1） 写出数集N，Z，Q，R （2）
判断下列写法是否正确
①
（
1
（
2）如果
例
1 写出集合 解：集合 是
，
．
A A≠
，则
A；
A ②
A ③
A
A
，
，
，
，其中
，
，
的真子集．
【注意】（1）子集与真子集符号的方向。
（2）易混符号
①“
”与“
”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如
R，{1}
②{0}与 如：
{0}。不能写成
{1，2，3}
是不含任何元素的集合。 ∈{0}
={0}，
：{0}是含有一个元素0的集合，
例3 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．
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（1）
表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集； （3）
（4）
（5）如果
（6）
与
不是
的所有子集是
且
；
；
，那么B必是A的真子集； 不能同时成立．
解：（1）
不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确； （2）不正确．空集是任何非空集合的真子集； （3）不正确．
（4）不正确．
（5）正确 （6）不正确．当
例4 用适当的符号（
（1）
（2） （3）
C
．
解：（
1）
（2
） （3）
＝
， ，
∴
；
；
；
与
表示同一集合；
；
与
）填空：
；
，
；
能同时成立．
的所有子集是
时，
，
；
；
（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．
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