一、知识要点：
1. 虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即
i =-1;
2
(2)实数
可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
4. 复数的定义：形如a +bi (a , b ∈
R ) 的数叫复数，a 叫复数
的实部，b 用字母C 表示
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即
z =a +bi (a , b ∈R ) ，把复数表示成
a +bi 的形式，叫做复数的代
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数
a +bi (a , b ∈R ) ，当且仅当
b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R) 是实数
a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.
5. 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部
分别相等，如果a ，b ，c ，
d ∈R ，那么a +bi =c +di a =c ，b =
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 只有当两个
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R) 可用点Z (a ，b ) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做上的点都表示
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数. 故除了原点外，虚轴上的点都表示8．复数
z 1
与
z 2
的和的定义：
z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d ) i .
9.
复数
z 1
与
z 2
的差的定义：
z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d ) i .
10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3
12．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R) 是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad ) i .
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并. 两个复数的积仍然是一个复数. 13. 乘法运算律： (1)z1(z2z 3)=(z1z 2)z 3 (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 14. 除法运算规则：
①设复数a +bi (a ，b ∈R) ，除以c +di (c ，d ∈R) ，其商为x +yi (x ，y ∈R) ，
即(a +bi ) ÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy ) i . ∴(cx －dy )+(dx +cy ) i =a +bi . 由复数相等定义可知⎨
ac +bd ⎧
x =2, 2⎪⎪c +d
⎨
⎪y =bc -ad .
22⎪c +d ⎩
;
(2)z1(z2+z3)=z1z 2+z1z 3;
⎧cx -dy =a , ⎩dx +cy =b .
, 解这个方程组，得
于是有:(a +bi ) ÷(c +di )=
ac +bd c +d
2
2
+
bc -ad c +d
2
2
i .
的分母有理化
②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2. 于是将得：
原式=a +bi
c +di
=
a +bi c +di
=
(a +bi )(c -di ) (c +di )(c -di )
=
=
[ac +bi ⋅(-di )]+(bc -ad ) i
c +d
+bc -ad c +d
2
2
22
(ac +bd ) +(bc -ad ) i
c +d
2
2
ac +bd c +d
2
2
i
.
∴(a +bi ) ÷(c +di )=
ac +bd c +d
2
2
+
bc -ad c +d
2
2
i .
15*. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为0的两个
共轭复数也叫做16. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1、OP 2，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量
17. 复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
18．
复数的模：|z |=|a +bi |=|OZ |=
19. 复数z =a +bi 的辐角θ及辐角主
值：以x 轴的非负半轴为始边、以O Z [0,2π) 内的辐角就叫做辐角主值，记为20. 复数的三角形式：z =a +bi =r (cosθ+i sin θ) 其中r
=
a +b
2
2
，cos θ
=
a r
， sin θ
=
b r
；
复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③cos θ与i sin θ21. 复数的三角形式的乘法： 若z 1=r 1(cosθ1+i sin θ1), z 2则z 1z 2
=r 2(cosθ2+i sin θ2)
，
=r 1r 2(cos(θ1+θ2) +i sin(θ1+θ222. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理) ： 若z =a +bi =r (cosθ+i sin θ) ，则z n 23. 复数的三角形式的除法： 若z 1=r 1(cosθ1+i sin θ1), z 2则z 1÷z 2
=r 1r 2
=r 2(cosθ2+i sin θ2)
=r (cosn θ+i sin n θ)
n
，
(cos(θ1-θ2) +i sin(θ1-θ2))
24. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算： ①复数z =a +bi 开平方，只要令其平方根为x +yi ，
⎧x 2-y 2=a
由(x +yi ) =a +bi ⇒⎨，解出x , y
2xy =b ⎩
2
②复数z =r (cosθ+i sin θ) 的n 方根为：
2k π+θ
n
+i sin
2k π+θ
n
), (k =0,1, , n -1)
共有n 二、讲解范例：
例1对于下列四个命题，正确的是 ( )
①z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2) 2+(z 2－z 3) 2=0，则z 1=z 3 ②设z ∈C ，则z +∈R 的充要条件是｜z ｜=1
z 1
③复数不能比较大小
④z 是虚数的充要条件是z +z ∈R A.0个
D.3个 答案：A
例2. 当n ∈N *，计算i n ，下列四个结论正确的是( ) A. i =(i ) 4=14=1 C. i =(i ) 3=3
是±1
答案：D
例3 非零复数a 、b 满足a 2+ab +b 2=0，则(的值是( )
n
3
n
B.1个 C.2个
n 4
n n
B. i =(i ) 2=
n 2
n
(-1)
n
其值不定
(-i )
n
其值不定
D. i n 值可能是±i ，也可能
a a +b
)
1999
+(
b a +b
)
1999
A. －1 D.2 答案：B
B.1 C. －2
例4已知复数z =1－2i ，求适合不等式log 0.5|az -i |≤1的
a +1
2
实数a 的取值范围.
解：原不等式化为
|az -i |
≥() 2， 2a +1
22⋅a +1,
1
1
即
⎧
⎪|a (1-2i ) -i |≥⎨
⎪a +1>0, ⎩
即
⎧222
⋅⎪a +(2a +1) ≥
⎨2⎪a >-1, ⎩
a +1,
11⎧a ≥-或a ≤-, ⎪即⎨52 ⎪a >-1⎩
∴a ≥－或－1＜a ≤－.
5
11
2
三、课堂练习：
1．设集合I =C={复数}， R={实数}，M={纯虚数}，那么
A.R ∪M=C ∩R =M
B.R ∩M={0} C.R ∪R =C D.C
2. a =0是复数a +bi (a , b ∈R) 为纯虚数的 A. 充分不必要条件 条件
C. 充分必要条件 不必要条件
3. 若(m 2－m )+(m 2－3m +2)i 是纯虚数，则实数m 的值为 A.1 2
4. 若实数x , y 满足(1+i ) x +(1－i ) y =2,则xy 的值是 A.1
B.2 C. －2
D. －3
B.1或2 C.0
D. －1，1，
D. 既不充分又
B. 必要不充分
5. 已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i , z 2=a －1+(a 2+2a －1) i (a ∈R) 分别对应向量OZ 1、OZ （O 为原点），若向量Z
2
1
Z 2
对应的复
数为纯虚数，求a 答案：1.C 2.B 3.C 4.A
5. 解：Z
1
Z 2
对应的复数为z 2－z 1，则
z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1) i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6) i
2
⎧⎪a -a +2=0
∵z 2－z 1是纯虚数，∴⎨2
⎪⎩a +a -6≠0
解得a =－
复数的加法法则
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意复数z1,z2,z3, 有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 编辑本段复数的减法法则
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。 编辑本段复数的乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b 、c 、d ∈R) 是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 编辑本段复数的除法法则
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R) 叫复数a+bi除以复数c+di的商
运算方法：可以把除法换算成乘法做, 在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换, 互为共轭的两个复数相乘是个实常数. 除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b ∈R) ，除以c+di(c，d ∈R) ，其商为x+yi(x，y ∈R) ， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c －di ，相当于我们初中学习的 的对偶式 ，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数. 所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
第 11页（共12页）
数。a 又叫做复数的实数部分，bi 叫做虚数部分。 在现行的教材中，在复数a+bi中，a 叫做实部，b 叫做虚部。
这样看来，“虚数部分”bi包括虚数单位在内；“虚部”不包括虚数单位，仅仅是虚数部分中的实数b ，这两个概念是有区别的。
第 12页（共12页）
一、知识要点：
1. 虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即
i =-1;
2
(2)实数
可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
4. 复数的定义：形如a +bi (a , b ∈
R ) 的数叫复数，a 叫复数
的实部，b 用字母C 表示
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即
z =a +bi (a , b ∈R ) ，把复数表示成
a +bi 的形式，叫做复数的代
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数
a +bi (a , b ∈R ) ，当且仅当
b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R) 是实数
a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.
5. 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部
分别相等，如果a ，b ，c ，
d ∈R ，那么a +bi =c +di a =c ，b =
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 只有当两个
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R) 可用点Z (a ，b ) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做上的点都表示
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数. 故除了原点外，虚轴上的点都表示8．复数
z 1
与
z 2
的和的定义：
z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d ) i .
9.
复数
z 1
与
z 2
的差的定义：
z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d ) i .
10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3
12．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R) 是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad ) i .
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并. 两个复数的积仍然是一个复数. 13. 乘法运算律： (1)z1(z2z 3)=(z1z 2)z 3 (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 14. 除法运算规则：
①设复数a +bi (a ，b ∈R) ，除以c +di (c ，d ∈R) ，其商为x +yi (x ，y ∈R) ，
即(a +bi ) ÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy ) i . ∴(cx －dy )+(dx +cy ) i =a +bi . 由复数相等定义可知⎨
ac +bd ⎧
x =2, 2⎪⎪c +d
⎨
⎪y =bc -ad .
22⎪c +d ⎩
;
(2)z1(z2+z3)=z1z 2+z1z 3;
⎧cx -dy =a , ⎩dx +cy =b .
, 解这个方程组，得
于是有:(a +bi ) ÷(c +di )=
ac +bd c +d
2
2
+
bc -ad c +d
2
2
i .
的分母有理化
②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2. 于是将得：
原式=a +bi
c +di
=
a +bi c +di
=
(a +bi )(c -di ) (c +di )(c -di )
=
=
[ac +bi ⋅(-di )]+(bc -ad ) i
c +d
+bc -ad c +d
2
2
22
(ac +bd ) +(bc -ad ) i
c +d
2
2
ac +bd c +d
2
2
i
.
∴(a +bi ) ÷(c +di )=
ac +bd c +d
2
2
+
bc -ad c +d
2
2
i .
15*. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为0的两个
共轭复数也叫做16. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1、OP 2，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量
17. 复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
18．
复数的模：|z |=|a +bi |=|OZ |=
19. 复数z =a +bi 的辐角θ及辐角主
值：以x 轴的非负半轴为始边、以O Z [0,2π) 内的辐角就叫做辐角主值，记为20. 复数的三角形式：z =a +bi =r (cosθ+i sin θ) 其中r
=
a +b
2
2
，cos θ
=
a r
， sin θ
=
b r
；
复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③cos θ与i sin θ21. 复数的三角形式的乘法： 若z 1=r 1(cosθ1+i sin θ1), z 2则z 1z 2
=r 2(cosθ2+i sin θ2)
，
=r 1r 2(cos(θ1+θ2) +i sin(θ1+θ222. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理) ： 若z =a +bi =r (cosθ+i sin θ) ，则z n 23. 复数的三角形式的除法： 若z 1=r 1(cosθ1+i sin θ1), z 2则z 1÷z 2
=r 1r 2
=r 2(cosθ2+i sin θ2)
=r (cosn θ+i sin n θ)
n
，
(cos(θ1-θ2) +i sin(θ1-θ2))
24. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算： ①复数z =a +bi 开平方，只要令其平方根为x +yi ，
⎧x 2-y 2=a
由(x +yi ) =a +bi ⇒⎨，解出x , y
2xy =b ⎩
2
②复数z =r (cosθ+i sin θ) 的n 方根为：
2k π+θ
n
+i sin
2k π+θ
n
), (k =0,1, , n -1)
共有n 二、讲解范例：
例1对于下列四个命题，正确的是 ( )
①z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2) 2+(z 2－z 3) 2=0，则z 1=z 3 ②设z ∈C ，则z +∈R 的充要条件是｜z ｜=1
z 1
③复数不能比较大小
④z 是虚数的充要条件是z +z ∈R A.0个
D.3个 答案：A
例2. 当n ∈N *，计算i n ，下列四个结论正确的是( ) A. i =(i ) 4=14=1 C. i =(i ) 3=3
是±1
答案：D
例3 非零复数a 、b 满足a 2+ab +b 2=0，则(的值是( )
n
3
n
B.1个 C.2个
n 4
n n
B. i =(i ) 2=
n 2
n
(-1)
n
其值不定
(-i )
n
其值不定
D. i n 值可能是±i ，也可能
a a +b
)
1999
+(
b a +b
)
1999
A. －1 D.2 答案：B
B.1 C. －2
例4已知复数z =1－2i ，求适合不等式log 0.5|az -i |≤1的
a +1
2
实数a 的取值范围.
解：原不等式化为
|az -i |
≥() 2， 2a +1
22⋅a +1,
1
1
即
⎧
⎪|a (1-2i ) -i |≥⎨
⎪a +1>0, ⎩
即
⎧222
⋅⎪a +(2a +1) ≥
⎨2⎪a >-1, ⎩
a +1,
11⎧a ≥-或a ≤-, ⎪即⎨52 ⎪a >-1⎩
∴a ≥－或－1＜a ≤－.
5
11
2
三、课堂练习：
1．设集合I =C={复数}， R={实数}，M={纯虚数}，那么
A.R ∪M=C ∩R =M
B.R ∩M={0} C.R ∪R =C D.C
2. a =0是复数a +bi (a , b ∈R) 为纯虚数的 A. 充分不必要条件 条件
C. 充分必要条件 不必要条件
3. 若(m 2－m )+(m 2－3m +2)i 是纯虚数，则实数m 的值为 A.1 2
4. 若实数x , y 满足(1+i ) x +(1－i ) y =2,则xy 的值是 A.1
B.2 C. －2
D. －3
B.1或2 C.0
D. －1，1，
D. 既不充分又
B. 必要不充分
5. 已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i , z 2=a －1+(a 2+2a －1) i (a ∈R) 分别对应向量OZ 1、OZ （O 为原点），若向量Z
2
1
Z 2
对应的复
数为纯虚数，求a 答案：1.C 2.B 3.C 4.A
5. 解：Z
1
Z 2
对应的复数为z 2－z 1，则
z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1) i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6) i
2
⎧⎪a -a +2=0
∵z 2－z 1是纯虚数，∴⎨2
⎪⎩a +a -6≠0
解得a =－
复数的加法法则
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意复数z1,z2,z3, 有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 编辑本段复数的减法法则
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。 编辑本段复数的乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b 、c 、d ∈R) 是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 编辑本段复数的除法法则
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R) 叫复数a+bi除以复数c+di的商
运算方法：可以把除法换算成乘法做, 在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换, 互为共轭的两个复数相乘是个实常数. 除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b ∈R) ，除以c+di(c，d ∈R) ，其商为x+yi(x，y ∈R) ， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c －di ，相当于我们初中学习的 的对偶式 ，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数. 所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
第 11页（共12页）
数。a 又叫做复数的实数部分，bi 叫做虚数部分。 在现行的教材中，在复数a+bi中，a 叫做实部，b 叫做虚部。
这样看来，“虚数部分”bi包括虚数单位在内；“虚部”不包括虚数单位，仅仅是虚数部分中的实数b ，这两个概念是有区别的。
第 12页（共12页）