第29卷第11期 物 理 教 师 2008年PHYSICS T EACHER
29No. 11
Vol.
(2008)
卫星椭圆轨道问题探析
顾家国
(江苏省大港中学, 江苏镇江 212028)
通过对万有引力知识的学习, 我们知道, 发射卫星的最小速度是(又称第一宇宙速度) , 此时卫星绕地球表面做圆周运动; 当发射速度达
2gR 时(又称第二宇宙速度) ,
卫星以地球球心为焦点作抛物线运动, 当然再也不可能返回地球, 因为抛物线为非闭合曲线; 当发射速度介于和2gR 之间时, 卫星作椭圆运动, 并随发射速度的增大椭圆越扁, 地球为椭圆的一个焦点, 发射点为近地点; 当卫星速度大于而小于第三宇宙速度时, 它将在地球引力范围内做双曲线运动, 当卫星脱离地球引力后, 将绕太阳运动成为太阳的一个行星, 如果控制发射速度和轨道, 它也可成为其他行星的卫星; 当发射速度大于第三宇宙速度时, 卫星将脱离太阳系的束缚, 向其他星系运动.
对于圆轨道, 由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力, 因此可方便地求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量. 但对于椭圆轨道, 相对来说求解某些问题有一定的困难, 下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明.
1 椭圆上任一点的曲率半径
根据数学知识, 曲率半径由公式r =(x c 2+y c 2) 3/2
给出, 为了便于求导, 借助椭圆的参数方
y d x c -x d y c
程x =a cos U , y =b sin U (a 、b 分别为椭圆的半长轴、半短轴) , 把x 、y 的一、二阶导数代入r 表达式, 有r =22223/2(a sin U +b cos U )
. 在远地点和近地点, 参数U 分别取
ab 0、P 代入, 得到在椭圆上(? a, 0) 这两个点所在处的曲率半2
, 不等于a +c 或a -c, 式中c 为椭圆焦距a
(可参考图5). 该知识点中的数学能力要求已超出高中要径相同, 等于
求, 但是其结论有必要作适当的介绍.
例1. 某卫星沿椭圆轨道绕地球运行, 近地点离地球中心的距离是c , 远地点离地球中心的距离为d, 若卫星在近地点的速率为v c , 则卫星在远地点时的速率v d 是多少?
解析:做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同, 设都等于r . 所以, 在近地点时有G =
c v d 2v c v c 2, 在远地点时有G 2=m , 上述两式相比得m
r v d r d
d c =, 故v d =v . 学生易错的解是:卫星运行所受的万有c d c
v c 2M m
引力提供向心力, 在近地点时, 有G =m , 在远地点
c c
v d 2v c 时有G 2=m , 上述两式相比得=, 得v d =
d v c d d
v , 以上错误在于认为做椭圆运动的卫星, 在近地点和d c
远地点的轨道曲率半径不同, 且分别为c 和d , 这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了.
2 卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度
根据牛顿第二定律, 卫星在椭圆轨道上运动到任何一M m
=ma 求解, 式中R 为地球球心R 到卫星的距离, 即椭圆的一个焦点到卫星的距离. 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时, 万有引力全部用来提供向心力, 点的加速度由公式G
这时卫星的加速度就是向心加速度, 而在椭圆轨道上运动的卫星, 万有引力没有全部用来提供向心力, 向心加速度将不再等于卫星在轨道上运动的加速度.
v 2
卫星在轨道上某点运动的向心力为F n =m , 式中r
是该点所在椭圆轨道的曲率半径, 向心(法向) 加速度a n =F n M m , 在远地点, 卫星受到地球的万有引力F G =G , 式m R 中R 是卫星和地球地心之间的距离. 卫星此时运动所需要v 2
的向心力F n =m , r X R , 且F G =F n , 卫星此时的加速
r
度等于向心(法向) 加速度, 即a =a n , 卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动, 万有引力产生两个作用效果, 一方面提供沿轨道切向的切向力, 对卫星做正功, 使卫星速率越来越大, 另一方面提供向心(法向) 力, 不断改变卫星的运动方向, 万有引力产生的切向加速度a S 和法向加速度(即向心加速度) a n 之间的关系, 如图1所示. 到达近地点时, F G =F n , a =a n , 卫星之后远离地球做离心运动, 万有引力同样产生两个作用效果, 一方面提供沿轨道切向的切向力, 对卫星做负功, 使卫星速率越来越小, 另一方面提供向心(法向) 力, 不断改变卫星的运动方向, 直到远地点, 周而复始. 在整个运动过程中, 只有近地点和远地点两个位置, F G =F n , a =a n , 其他位置a X
a n .
图1 图2 图3
例2. 如图2所示, 发射地球同步卫星时, 先将卫星发射至近地圆轨道1, 然后经点火, 使其沿椭圆轨道2运行, 最后再次点火, 将卫星送入同步圆轨道3, 轨道1、2相切于
Q 点, 轨道2、3相切于P 点, 则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时, 以下说法正确的是
(A ) 卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度.
(B ) 卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度.
(C ) 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率. (D ) 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度.
F GM =, 即卫星的m r 加速度a 只与卫星到地心的距离有关, 所以(A) 选项错误,
M m
(B ) 选项正确. 因为轨道1和轨道3是圆轨道, 所以G r
解析:根据牛顿第二定律可得a =2
, 所以v =r
正确, (C) 选项错误. =mr X 2=m
, w =r
, 即(D) 选项r 3
中卫星是逆时针方向运动的, 阅读如下材料回答问题:2007年10月25日17时55分, 北京航天飞行控制中心对嫦娥1号卫星实施首次变轨并获得成功, 首次变轨是在远地点发动机点火使卫星加速的. 卫星的近地点高度由约200km 抬高到了约600km , 如图4所示, 卫星正式进入绕地16小时轨道. 接下来卫星在近地点处还要借助自身发动机的推动, 经过3次变轨即进入绕地24小时轨道、绕地48小时轨道, 最后进入地月转移轨道, 经过漫长的运行后接近月球, 在月球近月点的位置仍要借助自身的发动机的作用, 使卫星的速度发生变化, 被月球引力俘获后进入绕月12小时轨道、绕月3
. 5小时轨道, 最终进入绕月127分钟的圆形轨道, 进行约一年的月球探索之旅.
3 卫星在椭圆轨道上运动的周期
根据开普勒第三定律, 所有地球的卫星, 无论轨道是圆, 还是椭圆, 它们运动周期的平方和半长轴的三次方之比是定值. 圆形轨道的半长轴就是圆的半径.
例3. 如图3, 飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动, 其周期为T , 如果飞船要返回地面, 可在轨道上某一点A 处将速率降低到适当值, 从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动, 椭圆与地球表面在B 点相切, 地球半径为R 0, 求飞船由A 点到B 点所需的时间.
解析:设飞船的椭圆轨道的半长轴为a, 由图可知a =R 0+R
. 设飞船沿椭圆轨道运行的周期为T c , 由开普勒第2R 3a 3T c
三定律得:=. 由以上. 飞船从A 到B 的时间t =2T T c (R 0+R ) T R 0+R ) T 3式求解得t ==.
8R 2R 4 圆轨道和椭圆轨道之间的变换
根据例2可知(参考图2) , 在发射卫星的过程中, 受运载火箭发射能力的局限, 卫星往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道, 而是要在一个椭圆轨道上先行过渡. 在地面跟踪测控网的跟踪测控下, 选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令, 通过一定的推力改变卫星的运行速度, 通常要在椭圆轨道与圆轨道相切点开动发动机进行加速来实现变轨, 实现发射目标. 从圆轨道1变换到椭圆轨道2, 火箭要在轨道1和轨道2的相切点附近进行助推, 让此时卫星受到的万有引力不足以提供卫星运动的向心力, 卫星开始沿椭圆轨道2做离心运动, 速率越来越小, 在远地点附近卫星的速度较小, 卫星所受的万有引力大于所需的向心力, 卫星将做向心运动, 在此时对卫星进行加速, 使万有引力刚好提供卫星在轨道3上做圆周运动的向心力, 使卫星从椭圆轨道2变换到圆轨道3上运行. 卫星返回时, 通过相反的过程回到地面.
例4. 如图4是我国/嫦娥1号0发射及绕月简图, 设图
图4
关于卫星在绕地由16小时轨道到48小时轨道、绕月由12小时轨道到127分钟轨道的过程中, 下列说法正确的是
(A ) 卫星绕地、绕月运行均需要向后喷气加速, 才能到相应的轨道.
(B) 卫星绕地运行需要向后喷气加速, 才能到相应的轨道.
(C) 卫星绕地、绕月运行均需要向前喷气减速, 才能到相应的轨道.
(D ) 卫星绕月运行需要向前喷气减速, 才能到相应的轨道.
解析:卫星在绕地16小时轨道上运行时, 到达近地点处, 应该是向后喷气, 据反冲现象得速度增大, 所需要的向心力增大, 而此时地球与卫星之间的引力不变化, 即向心力不足, 做离心运动, /嫦娥1号0到绕地24小时的轨道上运行. 同理到达预定时间在近地点加速到绕地48小时轨道上运行, 第4次变轨指的是最后一次在近地点加速到地月转移轨道上, 这才是真正意义上的奔月. 通过分析知(B ) 选项正确.
卫星在绕月12小时轨道上运行时, 到达近月点处, 应该是向前喷气, 据反冲现象使速度减小, 所需要的向心力减小, 而此时卫星所受的引力不变化, 即引力大于运动物体所需要的向心力, 达到此条件, 物体就要离开原来的轨迹向内部做向心运动, /嫦娥1号0到绕月3. 5小时的轨道上运行. 同理到达预定时间在近月点减速到绕月127分钟轨道上圆周运动, 通过分析知(D ) 选项正确. 5 卫星在椭圆轨道上运动的机械能
(下转第16页)
体所在的半径向外运动的趋势. 故圆盘对小物体施加指向圆心的静摩擦力. 而小物体所受重力和圆盘的支持力满足二力平衡. 故该向心力等于圆盘对小物体的静摩擦力. A :我们要注意区别小物体相对地面的运动和相对圆盘的运动. 小物体在摩擦力消失后相对地面将做匀速直线运动直至从圆盘边缘滑落. 如果要相对于圆盘沿某一半径方向远离圆心, 小物体相对于圆心转动的角速度与圆盘转动的角速度有没有关系?
B :当然二者的角速度应该相等
.
B :照你所说, 这里就不能用假设法来判断静摩擦力方向了?
A :仍然能.
B :你判断一下.
A :假设小物体与圆盘间的摩擦力突然消失后, 虽然小物体相对圆盘滑动时会沿螺旋线自内向外运动, 但是在小物体刚要相对于圆盘滑动的一瞬间, 小物体相对于圆盘滑动方向应沿半径向外. 故认为物体在相对于圆盘静止时有沿圆盘半径向外运动的趋势.
B :你又怎么证明在小物体刚要相对于圆盘滑动的一瞬间, 小物体相对于圆盘运动轨迹的切线方向(即小物体在那一瞬间相对于圆盘运动的速度方向) 沿该处的半径方向?
A :以圆盘上小物体相对圆盘静止时小物体所在的位置建立转动坐标系, 小物体在静摩擦力消失前, 静摩擦力与惯性离心力m X 2r 平衡, 而当静摩擦力消失瞬间, 惯性离心力还没有来得及变化, 仍然沿半径向外, 小物体相对于圆盘运动的最初加速度由这一惯性离心力产生, 相对于圆盘运动的最初速度当然与这一惯性离心力的方向一致(即沿半径向外) .
当然对学生回答这一问题时完全可以从另一角度回答, 而避开惯性离心力. 比如说, 小物体在竖直方向受的重力和支持力二力平衡, 小物体在水平面内受的力只有圆盘对它的静摩擦力, 合力要指向圆心, 所以只能是静摩擦力指向圆心.
B :我明白了, 我确实考虑得不够.
通过这次比较激烈的争论, 我发现在圆周运动问题中, 一定要注意不能盲目地把瞬时性规律不加考虑地扩展为阶段性规律去处理问题.
图3 图4
A :如图4, 当小物体沿图中实线所示的方向做匀速直线运动至第2个圆周(设为任意圆周) 时, 其速度沿该圆周的切向分量为v #sin H , 而其绕O 点旋转的角速度X c =v #sin H
. 在小物体做匀速直线运动的过程中H 不断减
小而r
r 不断增大, 说明小物体绕O 点旋转的角速度不断减小, 而圆盘转动的角速度保持不变. 两者怎么会相等呢? B :照你所说, 在摩擦力消失后, 小物体相对于圆盘还会沿与圆盘转动方向相反的方向自内向外做螺旋线运动? 就像图5中所示的一样.
A :是啊. (上接第14页)
卫星在轨道上运动的总机械能E 等于其动能和势能之和. 根据万有引力定律, 地球和卫星之间的引力势能为E p =-, 式中R 是地球地心和卫星之间的距离. 动R 1
能E k =mv 2, 卫星在运动过程中, 不考虑其他星体对它
2
的作用, 其机械能守恒
. 如图5所示, A 、B 两点为卫星运动的近地点和远地点, v A 、v B 分别表示卫星在这两点的速度. 根据例1的结论, 可得=
v A v B
图5
图5
(收稿日期:2008-05-16)
1GM m mv B 2-.
根据机械能守恒得
E A =E B . E B =
(3) (4)
a +c
. (1) 卫星在A 、B 两点的机械能分别为:
1GM m E A =mv A 2-.
2a -c
由(1) ~(4) 式可解得
(a +c) GM v A 2=,
(a -c) a
v B 2=.
(a +c) a
把结果代入(2) 和(3) 式, 得到卫星运动的总机械能E =GM m -. 从此式可看出, 在以地球为焦点的若干个椭圆轨2a
道中, 椭圆的半长轴越长, 卫星的总机械能越大, 发射时需要的能量就越大, 因此发射高轨道卫星难度较大.
以上是针对地球和地球的卫星进行分析讨论的, 对于其他行星椭圆轨道的一些规律和上述情况类似.
(收稿日期:2008-07-15)
(2)
第29卷第11期 物 理 教 师 2008年PHYSICS T EACHER
29No. 11
Vol.
(2008)
卫星椭圆轨道问题探析
顾家国
(江苏省大港中学, 江苏镇江 212028)
通过对万有引力知识的学习, 我们知道, 发射卫星的最小速度是(又称第一宇宙速度) , 此时卫星绕地球表面做圆周运动; 当发射速度达
2gR 时(又称第二宇宙速度) ,
卫星以地球球心为焦点作抛物线运动, 当然再也不可能返回地球, 因为抛物线为非闭合曲线; 当发射速度介于和2gR 之间时, 卫星作椭圆运动, 并随发射速度的增大椭圆越扁, 地球为椭圆的一个焦点, 发射点为近地点; 当卫星速度大于而小于第三宇宙速度时, 它将在地球引力范围内做双曲线运动, 当卫星脱离地球引力后, 将绕太阳运动成为太阳的一个行星, 如果控制发射速度和轨道, 它也可成为其他行星的卫星; 当发射速度大于第三宇宙速度时, 卫星将脱离太阳系的束缚, 向其他星系运动.
对于圆轨道, 由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力, 因此可方便地求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量. 但对于椭圆轨道, 相对来说求解某些问题有一定的困难, 下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明.
1 椭圆上任一点的曲率半径
根据数学知识, 曲率半径由公式r =(x c 2+y c 2) 3/2
给出, 为了便于求导, 借助椭圆的参数方
y d x c -x d y c
程x =a cos U , y =b sin U (a 、b 分别为椭圆的半长轴、半短轴) , 把x 、y 的一、二阶导数代入r 表达式, 有r =22223/2(a sin U +b cos U )
. 在远地点和近地点, 参数U 分别取
ab 0、P 代入, 得到在椭圆上(? a, 0) 这两个点所在处的曲率半2
, 不等于a +c 或a -c, 式中c 为椭圆焦距a
(可参考图5). 该知识点中的数学能力要求已超出高中要径相同, 等于
求, 但是其结论有必要作适当的介绍.
例1. 某卫星沿椭圆轨道绕地球运行, 近地点离地球中心的距离是c , 远地点离地球中心的距离为d, 若卫星在近地点的速率为v c , 则卫星在远地点时的速率v d 是多少?
解析:做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同, 设都等于r . 所以, 在近地点时有G =
c v d 2v c v c 2, 在远地点时有G 2=m , 上述两式相比得m
r v d r d
d c =, 故v d =v . 学生易错的解是:卫星运行所受的万有c d c
v c 2M m
引力提供向心力, 在近地点时, 有G =m , 在远地点
c c
v d 2v c 时有G 2=m , 上述两式相比得=, 得v d =
d v c d d
v , 以上错误在于认为做椭圆运动的卫星, 在近地点和d c
远地点的轨道曲率半径不同, 且分别为c 和d , 这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了.
2 卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度
根据牛顿第二定律, 卫星在椭圆轨道上运动到任何一M m
=ma 求解, 式中R 为地球球心R 到卫星的距离, 即椭圆的一个焦点到卫星的距离. 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时, 万有引力全部用来提供向心力, 点的加速度由公式G
这时卫星的加速度就是向心加速度, 而在椭圆轨道上运动的卫星, 万有引力没有全部用来提供向心力, 向心加速度将不再等于卫星在轨道上运动的加速度.
v 2
卫星在轨道上某点运动的向心力为F n =m , 式中r
是该点所在椭圆轨道的曲率半径, 向心(法向) 加速度a n =F n M m , 在远地点, 卫星受到地球的万有引力F G =G , 式m R 中R 是卫星和地球地心之间的距离. 卫星此时运动所需要v 2
的向心力F n =m , r X R , 且F G =F n , 卫星此时的加速
r
度等于向心(法向) 加速度, 即a =a n , 卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动, 万有引力产生两个作用效果, 一方面提供沿轨道切向的切向力, 对卫星做正功, 使卫星速率越来越大, 另一方面提供向心(法向) 力, 不断改变卫星的运动方向, 万有引力产生的切向加速度a S 和法向加速度(即向心加速度) a n 之间的关系, 如图1所示. 到达近地点时, F G =F n , a =a n , 卫星之后远离地球做离心运动, 万有引力同样产生两个作用效果, 一方面提供沿轨道切向的切向力, 对卫星做负功, 使卫星速率越来越小, 另一方面提供向心(法向) 力, 不断改变卫星的运动方向, 直到远地点, 周而复始. 在整个运动过程中, 只有近地点和远地点两个位置, F G =F n , a =a n , 其他位置a X
a n .
图1 图2 图3
例2. 如图2所示, 发射地球同步卫星时, 先将卫星发射至近地圆轨道1, 然后经点火, 使其沿椭圆轨道2运行, 最后再次点火, 将卫星送入同步圆轨道3, 轨道1、2相切于
Q 点, 轨道2、3相切于P 点, 则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时, 以下说法正确的是
(A ) 卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度.
(B ) 卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度.
(C ) 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率. (D ) 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度.
F GM =, 即卫星的m r 加速度a 只与卫星到地心的距离有关, 所以(A) 选项错误,
M m
(B ) 选项正确. 因为轨道1和轨道3是圆轨道, 所以G r
解析:根据牛顿第二定律可得a =2
, 所以v =r
正确, (C) 选项错误. =mr X 2=m
, w =r
, 即(D) 选项r 3
中卫星是逆时针方向运动的, 阅读如下材料回答问题:2007年10月25日17时55分, 北京航天飞行控制中心对嫦娥1号卫星实施首次变轨并获得成功, 首次变轨是在远地点发动机点火使卫星加速的. 卫星的近地点高度由约200km 抬高到了约600km , 如图4所示, 卫星正式进入绕地16小时轨道. 接下来卫星在近地点处还要借助自身发动机的推动, 经过3次变轨即进入绕地24小时轨道、绕地48小时轨道, 最后进入地月转移轨道, 经过漫长的运行后接近月球, 在月球近月点的位置仍要借助自身的发动机的作用, 使卫星的速度发生变化, 被月球引力俘获后进入绕月12小时轨道、绕月3
. 5小时轨道, 最终进入绕月127分钟的圆形轨道, 进行约一年的月球探索之旅.
3 卫星在椭圆轨道上运动的周期
根据开普勒第三定律, 所有地球的卫星, 无论轨道是圆, 还是椭圆, 它们运动周期的平方和半长轴的三次方之比是定值. 圆形轨道的半长轴就是圆的半径.
例3. 如图3, 飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动, 其周期为T , 如果飞船要返回地面, 可在轨道上某一点A 处将速率降低到适当值, 从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动, 椭圆与地球表面在B 点相切, 地球半径为R 0, 求飞船由A 点到B 点所需的时间.
解析:设飞船的椭圆轨道的半长轴为a, 由图可知a =R 0+R
. 设飞船沿椭圆轨道运行的周期为T c , 由开普勒第2R 3a 3T c
三定律得:=. 由以上. 飞船从A 到B 的时间t =2T T c (R 0+R ) T R 0+R ) T 3式求解得t ==.
8R 2R 4 圆轨道和椭圆轨道之间的变换
根据例2可知(参考图2) , 在发射卫星的过程中, 受运载火箭发射能力的局限, 卫星往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道, 而是要在一个椭圆轨道上先行过渡. 在地面跟踪测控网的跟踪测控下, 选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令, 通过一定的推力改变卫星的运行速度, 通常要在椭圆轨道与圆轨道相切点开动发动机进行加速来实现变轨, 实现发射目标. 从圆轨道1变换到椭圆轨道2, 火箭要在轨道1和轨道2的相切点附近进行助推, 让此时卫星受到的万有引力不足以提供卫星运动的向心力, 卫星开始沿椭圆轨道2做离心运动, 速率越来越小, 在远地点附近卫星的速度较小, 卫星所受的万有引力大于所需的向心力, 卫星将做向心运动, 在此时对卫星进行加速, 使万有引力刚好提供卫星在轨道3上做圆周运动的向心力, 使卫星从椭圆轨道2变换到圆轨道3上运行. 卫星返回时, 通过相反的过程回到地面.
例4. 如图4是我国/嫦娥1号0发射及绕月简图, 设图
图4
关于卫星在绕地由16小时轨道到48小时轨道、绕月由12小时轨道到127分钟轨道的过程中, 下列说法正确的是
(A ) 卫星绕地、绕月运行均需要向后喷气加速, 才能到相应的轨道.
(B) 卫星绕地运行需要向后喷气加速, 才能到相应的轨道.
(C) 卫星绕地、绕月运行均需要向前喷气减速, 才能到相应的轨道.
(D ) 卫星绕月运行需要向前喷气减速, 才能到相应的轨道.
解析:卫星在绕地16小时轨道上运行时, 到达近地点处, 应该是向后喷气, 据反冲现象得速度增大, 所需要的向心力增大, 而此时地球与卫星之间的引力不变化, 即向心力不足, 做离心运动, /嫦娥1号0到绕地24小时的轨道上运行. 同理到达预定时间在近地点加速到绕地48小时轨道上运行, 第4次变轨指的是最后一次在近地点加速到地月转移轨道上, 这才是真正意义上的奔月. 通过分析知(B ) 选项正确.
卫星在绕月12小时轨道上运行时, 到达近月点处, 应该是向前喷气, 据反冲现象使速度减小, 所需要的向心力减小, 而此时卫星所受的引力不变化, 即引力大于运动物体所需要的向心力, 达到此条件, 物体就要离开原来的轨迹向内部做向心运动, /嫦娥1号0到绕月3. 5小时的轨道上运行. 同理到达预定时间在近月点减速到绕月127分钟轨道上圆周运动, 通过分析知(D ) 选项正确. 5 卫星在椭圆轨道上运动的机械能
(下转第16页)
体所在的半径向外运动的趋势. 故圆盘对小物体施加指向圆心的静摩擦力. 而小物体所受重力和圆盘的支持力满足二力平衡. 故该向心力等于圆盘对小物体的静摩擦力. A :我们要注意区别小物体相对地面的运动和相对圆盘的运动. 小物体在摩擦力消失后相对地面将做匀速直线运动直至从圆盘边缘滑落. 如果要相对于圆盘沿某一半径方向远离圆心, 小物体相对于圆心转动的角速度与圆盘转动的角速度有没有关系?
B :当然二者的角速度应该相等
.
B :照你所说, 这里就不能用假设法来判断静摩擦力方向了?
A :仍然能.
B :你判断一下.
A :假设小物体与圆盘间的摩擦力突然消失后, 虽然小物体相对圆盘滑动时会沿螺旋线自内向外运动, 但是在小物体刚要相对于圆盘滑动的一瞬间, 小物体相对于圆盘滑动方向应沿半径向外. 故认为物体在相对于圆盘静止时有沿圆盘半径向外运动的趋势.
B :你又怎么证明在小物体刚要相对于圆盘滑动的一瞬间, 小物体相对于圆盘运动轨迹的切线方向(即小物体在那一瞬间相对于圆盘运动的速度方向) 沿该处的半径方向?
A :以圆盘上小物体相对圆盘静止时小物体所在的位置建立转动坐标系, 小物体在静摩擦力消失前, 静摩擦力与惯性离心力m X 2r 平衡, 而当静摩擦力消失瞬间, 惯性离心力还没有来得及变化, 仍然沿半径向外, 小物体相对于圆盘运动的最初加速度由这一惯性离心力产生, 相对于圆盘运动的最初速度当然与这一惯性离心力的方向一致(即沿半径向外) .
当然对学生回答这一问题时完全可以从另一角度回答, 而避开惯性离心力. 比如说, 小物体在竖直方向受的重力和支持力二力平衡, 小物体在水平面内受的力只有圆盘对它的静摩擦力, 合力要指向圆心, 所以只能是静摩擦力指向圆心.
B :我明白了, 我确实考虑得不够.
通过这次比较激烈的争论, 我发现在圆周运动问题中, 一定要注意不能盲目地把瞬时性规律不加考虑地扩展为阶段性规律去处理问题.
图3 图4
A :如图4, 当小物体沿图中实线所示的方向做匀速直线运动至第2个圆周(设为任意圆周) 时, 其速度沿该圆周的切向分量为v #sin H , 而其绕O 点旋转的角速度X c =v #sin H
. 在小物体做匀速直线运动的过程中H 不断减
小而r
r 不断增大, 说明小物体绕O 点旋转的角速度不断减小, 而圆盘转动的角速度保持不变. 两者怎么会相等呢? B :照你所说, 在摩擦力消失后, 小物体相对于圆盘还会沿与圆盘转动方向相反的方向自内向外做螺旋线运动? 就像图5中所示的一样.
A :是啊. (上接第14页)
卫星在轨道上运动的总机械能E 等于其动能和势能之和. 根据万有引力定律, 地球和卫星之间的引力势能为E p =-, 式中R 是地球地心和卫星之间的距离. 动R 1
能E k =mv 2, 卫星在运动过程中, 不考虑其他星体对它
2
的作用, 其机械能守恒
. 如图5所示, A 、B 两点为卫星运动的近地点和远地点, v A 、v B 分别表示卫星在这两点的速度. 根据例1的结论, 可得=
v A v B
图5
图5
(收稿日期:2008-05-16)
1GM m mv B 2-.
根据机械能守恒得
E A =E B . E B =
(3) (4)
a +c
. (1) 卫星在A 、B 两点的机械能分别为:
1GM m E A =mv A 2-.
2a -c
由(1) ~(4) 式可解得
(a +c) GM v A 2=,
(a -c) a
v B 2=.
(a +c) a
把结果代入(2) 和(3) 式, 得到卫星运动的总机械能E =GM m -. 从此式可看出, 在以地球为焦点的若干个椭圆轨2a
道中, 椭圆的半长轴越长, 卫星的总机械能越大, 发射时需要的能量就越大, 因此发射高轨道卫星难度较大.
以上是针对地球和地球的卫星进行分析讨论的, 对于其他行星椭圆轨道的一些规律和上述情况类似.
(收稿日期:2008-07-15)
(2)