第一章
思考：
已知 A rg(z 1z 2) =A rg z 1+A rg z 2
是否可推出，当z 1=z 2=z 时，A rg z 2=2A rg z 成立；
左：A rg z 2=a rg z 2+2k 1π ， 整数k 1=0, ±1, ±2, 其中，随着点z 在z 平面上的位置不同，a rg z 2有如下 三种不同的情况：
1．-
2．π2
2
3．-π
下面仅以 -π2时，a rg z =2a rg z +2π； 2π
2
2情况为例，进行讨论
（仿此，可对其它两种情况进行讨论）：
左：A rg z 2=2a rg z +2k 1π ， 整数k 1=0, ±1, ±2, 右：2A rg z =2(a rg z +2k 2π) 整数k 2=0, ±1, ±2, 如果满足左=右，则应存在：k 1=2k 2
显然，当k 1给定为奇数时，k 1=2k 2不成立，
找不到与k 1对应的k 2；所以，不能推出A rg z =2A rg z ； 当然，更不能推出A rg z =nA rg z ；
n 2
2例如：z =i ，z =-1，A rg z 2=A rg(-1) =π+2k 1π,
2A rg z =2A rg i =2(+2k 2π) =π+4k 2π， 2
显然，当k 1为奇数时，k 1=2k 2不成立，
于是A rg z 2≠2A rg z ；
练习：当z =-1时，验证A rg z 2≠2A rg z
π
z =-1，z 2=1，
A rg(-1) 2=a rg(-1) 2+2k 1π=
=[2a rg(-1) -2π]+2k 1π=(2π-2π) +2k 1π=2k 1π
2A rg(-1) =2[a rg(-1) +2k 2π]=2(π+2k 2π) =2π(1+2k 2) 显然，当k 1为偶数时，k 1=1+2k 2不成立，
于是A rg z ≠2A rg z ；
2
练习：
证明当n 为负整数时，
(cosθ+i sin θ) n =cos n θ+i sin n θ仍然成立；
证：当n 为负整数时，取m 为正整数，且n =-m ； (cosθ+i sin θ) n =(cosθ+i sin θ) -m =
=1 m (cosθ+i sin θ) cos 0+i sin 0=cos(0-m θ) +i sin(0-m θ) cos m θ+i sin m θ
这时，分子、分母两个复数的模都为1，
利用两复数之商的辐角关系，
=cos(-m θ) +i sin(-m θ) =cos n θ+i sin n θ ；
证法二：用复数的指数式证
当n 为负整数时，取m 为正整数，且n =-m ；
z =re θi ；z m =r m e m θi ；z -n =r -n e -n θi ；
左端转到右端，右端转到左端，得到
r n e n θi =z n ，即：当n 为负整数时，
z n =r n e n θi 仍然成立；
内点的集合称为开集，开集不包含边界点；
连通的开集称为区域，区域不包含边界点，闭域包含边界点；
圆心在原点的单位圆可以用两个参数方程表示为： x =cos t ，y =sin t ，-π
或者用一个复数形式的方程表示为：
z =cos t +i ⋅sin t ，-π
无洞的区域称为单连通域，有洞的区域称为多连通域；
复变函数的定义
复变数w 是复变数z 的函数，简称w 是复变函数， 记作 w =f (z ) ；
如果对定义域内的每一个复变数z ，
有唯一确定的复变数w 与之对应，
称w =f (z ) 是单值函数，如：w =z ；
如果一个复变数z ，对应着两个或两个以上的w 值， 称w =
f (z ) 是多值函数，如：w =；
练习：
判断以下函数是单值函数还是多值函数；
1．w =z ；
2．w =arg z , (z ≠0) ；
3．w =A rg z ，(z ≠0) ；
映射的概念：映射也称为复变函数的几何解释； 在研究一元、二元函数性质时，
y =f (x ) 与z =f (x , y ) 的几何图形给了我们很多直观的帮助， 对于复变函数，
因为 z =x +i ⋅y ，给定z 值，x , y 便唯一确定； 因为 w =f (z ) ，给定z 值，w 便有确定的值； 如果把w =f (z ) 写成实、虚部的形式，则
w =u (x , y ) +i ⋅v (x , y ) ，
w 一旦确定，从而 u , v 也有确定的值；
在几何上，取两张复平面：w 平面和z 平面，
从而避免涉及到 x -y -u 、x -y -v 两个三维空间，
w 平面：w =u +i ⋅v ；z 平面：z =x +i ⋅y ；
（在个别情况下，也可将两张复平面重叠成一张平面）， 这样，就把复变函数w =f (z ) 理解为：
从定义域中的点z 到值域中的点w 的映射，
w 称为z 的像，z 称为w 的原像；
练习： 按照映射w =z ，将z 平面的以下曲线， 分别映射到w 平面上；
1. x 2-y 2=2 ；
2. x 2-y 2=-2 ；
3. x ⋅y =±1 ；
4. x =1 ； 2
u =x 2-y 2 （1）
v =2xy （2）
由（1）得：y 2=x 2-u （3）
由（2）得：v 2=4x 2⋅y 2 （4）
当把x 作为参数时，设法由（3）、（4）消去y ， 将（3）代入（4），得到：
v 2=4x 2(x 2-u ) （5）
把（5）中的x 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，
2例如 x =1时，v =4(1-u ) ；
5. y =1 ；
u =x 2-y 2 （1）
v =2xy （2）
由（1）得：x =y +u （3）
由（2）得：v =4x ⋅y （4）
当把y 作为参数时，设法由（3）、（4）消去x ， 将（3）代入（4），得到： 22222
v 2=4y 2(y 2+u ) （5）
把（5）中的y 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，
2例如 y =1时，v =4(1+u ) ；
练习：
在映射w =z 下，求z 平面上以下图形的像：
1. 由 r =2, 20≤θ≤π
4 所围成的区域；
2. 圆弧：r =2,
3. 倾角θ=
0≤θ≤π2； π3的直线，且z ≠0；
第一章
思考：
已知 A rg(z 1z 2) =A rg z 1+A rg z 2
是否可推出，当z 1=z 2=z 时，A rg z 2=2A rg z 成立；
左：A rg z 2=a rg z 2+2k 1π ， 整数k 1=0, ±1, ±2, 其中，随着点z 在z 平面上的位置不同，a rg z 2有如下 三种不同的情况：
1．-
2．π2
2
3．-π
下面仅以 -π2时，a rg z =2a rg z +2π； 2π
2
2情况为例，进行讨论
（仿此，可对其它两种情况进行讨论）：
左：A rg z 2=2a rg z +2k 1π ， 整数k 1=0, ±1, ±2, 右：2A rg z =2(a rg z +2k 2π) 整数k 2=0, ±1, ±2, 如果满足左=右，则应存在：k 1=2k 2
显然，当k 1给定为奇数时，k 1=2k 2不成立，
找不到与k 1对应的k 2；所以，不能推出A rg z =2A rg z ； 当然，更不能推出A rg z =nA rg z ；
n 2
2例如：z =i ，z =-1，A rg z 2=A rg(-1) =π+2k 1π,
2A rg z =2A rg i =2(+2k 2π) =π+4k 2π， 2
显然，当k 1为奇数时，k 1=2k 2不成立，
于是A rg z 2≠2A rg z ；
练习：当z =-1时，验证A rg z 2≠2A rg z
π
z =-1，z 2=1，
A rg(-1) 2=a rg(-1) 2+2k 1π=
=[2a rg(-1) -2π]+2k 1π=(2π-2π) +2k 1π=2k 1π
2A rg(-1) =2[a rg(-1) +2k 2π]=2(π+2k 2π) =2π(1+2k 2) 显然，当k 1为偶数时，k 1=1+2k 2不成立，
于是A rg z ≠2A rg z ；
2
练习：
证明当n 为负整数时，
(cosθ+i sin θ) n =cos n θ+i sin n θ仍然成立；
证：当n 为负整数时，取m 为正整数，且n =-m ； (cosθ+i sin θ) n =(cosθ+i sin θ) -m =
=1 m (cosθ+i sin θ) cos 0+i sin 0=cos(0-m θ) +i sin(0-m θ) cos m θ+i sin m θ
这时，分子、分母两个复数的模都为1，
利用两复数之商的辐角关系，
=cos(-m θ) +i sin(-m θ) =cos n θ+i sin n θ ；
证法二：用复数的指数式证
当n 为负整数时，取m 为正整数，且n =-m ；
z =re θi ；z m =r m e m θi ；z -n =r -n e -n θi ；
左端转到右端，右端转到左端，得到
r n e n θi =z n ，即：当n 为负整数时，
z n =r n e n θi 仍然成立；
内点的集合称为开集，开集不包含边界点；
连通的开集称为区域，区域不包含边界点，闭域包含边界点；
圆心在原点的单位圆可以用两个参数方程表示为： x =cos t ，y =sin t ，-π
或者用一个复数形式的方程表示为：
z =cos t +i ⋅sin t ，-π
无洞的区域称为单连通域，有洞的区域称为多连通域；
复变函数的定义
复变数w 是复变数z 的函数，简称w 是复变函数， 记作 w =f (z ) ；
如果对定义域内的每一个复变数z ，
有唯一确定的复变数w 与之对应，
称w =f (z ) 是单值函数，如：w =z ；
如果一个复变数z ，对应着两个或两个以上的w 值， 称w =
f (z ) 是多值函数，如：w =；
练习：
判断以下函数是单值函数还是多值函数；
1．w =z ；
2．w =arg z , (z ≠0) ；
3．w =A rg z ，(z ≠0) ；
映射的概念：映射也称为复变函数的几何解释； 在研究一元、二元函数性质时，
y =f (x ) 与z =f (x , y ) 的几何图形给了我们很多直观的帮助， 对于复变函数，
因为 z =x +i ⋅y ，给定z 值，x , y 便唯一确定； 因为 w =f (z ) ，给定z 值，w 便有确定的值； 如果把w =f (z ) 写成实、虚部的形式，则
w =u (x , y ) +i ⋅v (x , y ) ，
w 一旦确定，从而 u , v 也有确定的值；
在几何上，取两张复平面：w 平面和z 平面，
从而避免涉及到 x -y -u 、x -y -v 两个三维空间，
w 平面：w =u +i ⋅v ；z 平面：z =x +i ⋅y ；
（在个别情况下，也可将两张复平面重叠成一张平面）， 这样，就把复变函数w =f (z ) 理解为：
从定义域中的点z 到值域中的点w 的映射，
w 称为z 的像，z 称为w 的原像；
练习： 按照映射w =z ，将z 平面的以下曲线， 分别映射到w 平面上；
1. x 2-y 2=2 ；
2. x 2-y 2=-2 ；
3. x ⋅y =±1 ；
4. x =1 ； 2
u =x 2-y 2 （1）
v =2xy （2）
由（1）得：y 2=x 2-u （3）
由（2）得：v 2=4x 2⋅y 2 （4）
当把x 作为参数时，设法由（3）、（4）消去y ， 将（3）代入（4），得到：
v 2=4x 2(x 2-u ) （5）
把（5）中的x 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，
2例如 x =1时，v =4(1-u ) ；
5. y =1 ；
u =x 2-y 2 （1）
v =2xy （2）
由（1）得：x =y +u （3）
由（2）得：v =4x ⋅y （4）
当把y 作为参数时，设法由（3）、（4）消去x ， 将（3）代入（4），得到： 22222
v 2=4y 2(y 2+u ) （5）
把（5）中的y 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，
2例如 y =1时，v =4(1+u ) ；
练习：
在映射w =z 下，求z 平面上以下图形的像：
1. 由 r =2, 20≤θ≤π
4 所围成的区域；
2. 圆弧：r =2,
3. 倾角θ=
0≤θ≤π2； π3的直线，且z ≠0；