第四章 一阶偏微分方程
这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
4.1一阶常微分方程组的首次积分
4.1.1首次积分的定义
从第三章我们知道，n 阶常微分方程
y (n )=f x , y ' , y ' ' , , y (n -1)， （4.1.1）
在变换
y 1=y , y 2=y ' , , y n =y (n -1), （4.1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组
⎧dy 1
⎪dx =f 1(x , y 1, y 2, , y n ), ⎪
⎪dy 2=f (x , y , y , , y ), ⎪212n
（4.1.3） ⎨dx
⎪ ⎪
⎪dy n =f x , y , y , , y .
n (12n )⎪⎩dx
()
在第三章中，已经介绍过方程组（4.1.3）通解的概念和求法。但是除了常
系数线性方程组外，求一般的（4.1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（4.1.3）的问题。先看几个例子。
例1 求解微分方程组
d x d y 22
=y -x (2x +y 1-, =-x (-y 2x +y )1 -. （4.1.4） )d t d t
解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 x
dx dy
+y =-x 2+y 2x 2+y 2-1， dt dt
()()
122d (x +y 2)=-x +)(y 2(2
22
x +y 1)-。d t
这个微分方程关于变量t 和(x 2+y 2)是可以分离，因此不难求得其解为
x 2+y 2-12t
e =C 1， （4.1.5）
x 2+y 2
C 1为积分常数。（4.1.5）叫做（4.1.4）的首次积分。
注意首次积分（4.1.5）的左端V (x , y , t )作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当x =x (t ), y =y (t ) 时微分方程组（4.1.4）的解时，V (x , y , t )才等于常数C 1，这里的常数C 1应随解而异。因为式（4.1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（4.1.5）不足以确定它的解。为了确定（4.1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到
y
dx dy -x =x 2+y 2， dt dt dy dx -y =-x 2+y 2， dt dt
即
x
()
亦即
y ⎫⎛
d ⎪
x ⎭⎝=-1。 dt
积分得
y
a r c t +t =C 2， （4.1.6）
x
其中C 2为积分常数。
利用首次积分（4.1.5）和（4.1.6）可以确定（4.1.4）的通解。为此，采用极坐标x =r cos θ, y =r sin θ，这样由（4.1.5）和（4.1.6）推得
1⎫2t ⎛1-e =C 1, θ+t =C 2. 2⎪⎝r ⎭
或 r =
1-C 1e
-2t
, θ=C 2-t .
因此我们得到方程组（4.1.4）的通解为 x =
cos (C 2-t )-C 1e
-2t
，y =
sin (C 2-t )-C 1e
-2t
. （4.1.7）
⎧du
⎪αdt =(β-γ)vw , ⎪⎪dv
=(γ-α)wu , （4.1.8） 例2 求解微分方程组 ⎨β⎪dt ⎪dw
⎪γdt =(α-β)uv . ⎩
其中α>β>γ>0是给定的常数。
解 利用方程组的对称性，可得
d u d v d w +β+γ=0, αu d t d t d t
从而得到首次积分
αu 2+βv 2+γw 2=1C , （4.1.9） 其中积分常数C 1≥0。同样我们有 α2u 由此又得另一个首次积分
22 α2u 2+β2, （4.1.10） v 2+γw =C 2
d u d v d w
+β2+γ2=0, d t d t d t
其中积分常数C 2≥0。有了首次积分（4.1.9）和（4.1.10），我们就可以将u 和v 用w 表示，代入原方程组（4.1.8）的第三式，得到
dw =dt , （4.1.11）
其中常数a ，b 依赖于常数C 1和C 2，而常数 A =
γ(β-γ)γ(α-γ)
>0, B =>0.
αα-ββα-β注意（4.1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分
α-β
-t =C 3, （4.1.12）
γ其中C 3是积分常数。因为方程组（4.1.8）是三阶的，所以三个首次积分（4.1.9）、（4.1.10）和（4.1.12）在理论上足以确定它的通解 u =ϕ(t , C )1, C 2, C 3,
=v ψ(, t 1C , 2C , 3C , =χw )( , 3C . , t , 2)C 1C
但是由于在式（4.1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达
式。
现在我们考虑一般的n 阶常微分方程
dy i
=f i (x , y 1, y 2, , y n )，(i =1, 2, n ), （4.1.13） dx
其中右端函数f i (x , y 1, y 2, , y n )在D ⊂R n +1内对(x , y 1, y 2, , y n )连续，而且对
y 1, y 2, , y n 是连续可微的。
定义1设函数V =V (x , y 1, y 2, , y n )在D 的某个子域G 内连续，而且对
x , y 1, y 2, , y n 是连续可微的。又设V (x , y 1, y 2, , y n )不为常数，但沿着微分方程（4.1.3）在区域G 内的任意积分曲线
Γ:y 1=y 1(x ), y 2=y (2x ) , y , n =y n (x )函数V 取常值；亦即
(x ∈J )
(x ∈J )，
V (x , y 1(x ), y 2(x ), y n (x ))=C (常数)
或当(x , y 1, y 2, , y n ) ∈Γ时，有
V (x , y 1, y 2, , y n )=常数， 这里的常数随积分曲线Γ而定，则称
V (x , y 1, y 2, , y n )=C （4.1.14）
为微分方程（4.1.13）在区域G 内的首次积分。其中C 是一个任意常数，有时也称这里的函数V (x , y 1, y 2, , y n )为（4.1.13）的首次积分。
例如（4.1.5）和（4.1.6）都是微分方程（4.1.4）在某个区域内的首次积分。这里对区域G 有限制，是要求首次积分（4.1.5）和（4.1.6）必须是单值的连续可微函数。因此区域G 内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。同理，式（4.1.9）、（4.1.10）和（4.1.12）都是方程（4.1.8）的首次积分。
对于高阶微分方程（4.1.1），只要做变换（4.1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程（4.1.1）。而其首次积分的一般形式可以写为
-1)
, y , ' y , , (n y = V x
()
C （4.1.15） 。
例如，设二阶微分方程组
d 2x
x =0(a >为常数0 2+a 2s i n ， )dt
用
dx
乘方程的两端，可得 dt
2
d x d x 2d x
+a s i n x =，0
dt dt 2dt
然后积分，得到一个首次积分
1⎛dx ⎫
⎪-a 2cos x =C 。
2⎝dt ⎭
一般的，n 阶常微分方程有n 个独立的首次积分，如果求得n 阶常微分方程组的n 个独立的首次积分，则可求n 阶常微分方程组的通解。
2
4.1.2首次积分的性质和存在性
关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。
定理1设函数Φ(x , y 1, y 2, , y n ) 在区域G 内是连续可微的，而且它不是
常数，则
Φ(x , y 1, y 2, , y n )=C （4.1.16） 是微分方程（4.1.13）在区域G 内的首次积分的充分必要条件是
∂Φ∂Φ∂Φ
+f 1+ +f n =0 （4.1.17） ∂x ∂y 1∂y n
是关于变量(x , y 1, y 2, , y n )∈G 的一个恒等式。
这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（4.1.13）首次积分的有效方法。因为根据首次积分的定义，为了判别函数V (x , y 1, y 2, , y n )是否是微分方程（4.1.13）在G 内的首次积分，我们需要知道（4.1.13）在G 内
的所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理1避免了这一缺点。
定理2 若已知微分方程（4.1.13）的一个首次积分（4.1.14），则可以把微分方程（4.1.13）降低一阶。
设微分方程组（4.1.13）有n 个首次积分
Φi (x , y 1, y 2, , y n )=C i
如果在某个区域G 内它们的Jacobi 行列式
（4.1.18） (i =1,2, , n )，
D (Φ1, Φ2, , Φn )
≠0， （4.1.19）
D y 1, y 2, , y n 则称它们在区域G 内是相互独立的。
定理3设已知微分方程（4.1.13）的n 个相互独立的首次积分（4.1.18），则可由它们得到（4.1.13）在区域G 内的通解
y i =ϕi (x , C 1, C 2, , C n ) (i =1,2, , n )， （4.1.20）
其中C 1, C 2, , C n 为n 个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（4.1.13）在G 内的所有解。
关于首次积分的存在性，我们有
定理4 设p 0=(x 0, y 10, , y n )∈G ，则存在p 0的一个邻域G 0⊂G ，使得微分
方程（4.1.13）在区域G 0内有n 个相互独立的首次积分。
定理5 微分方程（4.1.13）最多只有n 个相互独立的首次积分。
定理6 设（4.1.18）是微分方程（4.1.13）在区域G 内的n 个相互独立的首次积分，则在区域G 内微分方程（4.1.13）的任何首次积分
V (x , y 1, y 2, , y n )=C ，
可以用（4.1.18）来表达，亦即
V (x , y 1, y 2, , y n )=h ⎡⎣Φ1(x , y 1, y 2, , y n ), , Φn (x , y 1, y 2, , y n )⎤⎦， 其中h [*, ,*]是某个连续可微的函数。
为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（4.1.3）改写成对称的形式
dy dy 1dy 2dx
， == n =
f 1f 2f n 1
这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上述对称式写
成
dy n dy 1dy 2
== , （4.1.21）
Y 1y 1, y 2, , y n Y 2y 1, y 2, , y n Y n y 1, y 2, , y n 并设Y 1, Y 2, , Y n 在区域G ⊂R n 内部不同时为零，例如如果设Y n ≠0, 则（4.1.21）等价于
dy i Y i (y 1, y 2, , y n ) =
dy n Y n y 1, y 2, , y n (i =1,2, , n -1)。 （4.1.22）
请注意，式（4.1.22）中的y n 相当于自变量，x i (i =1,2, , n -1)相当于未知函数，所以在方程组（4.1.21）中只有n--1个未知函数，连同自变量一起，共有n 个变元。
不难验证，对于系统（4.1.21），定理1相应地改写为：设函数ϕ(y 1, y 2, , y n )连续可微，并且不恒等于常数，则ϕ(y 1, y 2, , y n )=C 是（4.1.21）的首次积分的充分必要条件是关系式
Y 1(y 1, y 2, , n y )
∂
ϕ(∂y 1
y y 1, 2,
, )+y +n
(n
Y
, , 1y 2y
∂
)ϕ(∂y n
1
y , 2y , )n =, y
（4.1.23）
在G 内成为恒等式。如果能得到（4.1.21）的n -1个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（4.1.21）的通积分。
方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。
例3 求
dx dy dz
==的通积分。 y x z
解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分
x 2-y 2=C 1 （4.1.24）
其中C 1是任意常数，再用比例的性质，得
d (x +y )=dz ， x +y z
两边积分，又得到一个首次积分
x +y
=C 2， （4.1.25） z 其中C 2是任意常数。（4.1.24）和（4.1.25）是相互独立的，将它们联立，便得到原方程组得通积分
x 2-y 2=C 1，x +y =C 2z .
例4 求
dx dy dz
==的通积分。 cy -bz az -cx bx -ay
解 利用比例的性质，可以得到 于是有
xdx +ydy +zdz =0,
adx +bdy +cdz =0.
dx dy dz xdx +ydy +zdz adx +bdy +cdz
====.
cy -bz az -cx bx -ay 00
分别积分，就得到两个首次积分
x 2+y 2+z 2=C 1, ax +by +cz =C 2. 将它们联立，就得到原系统的通积分，其中C 1和C 2为任意常数。 例5 求解二体问题，即求解方程组
d 2x αx
+=0, 322222dt (x +y +z )
d 2y αy
=0, 2+32222dt (x +y +z )
d 2z αz
+=0. 2222dt (x +y +z )
其中常数α=GM , G 是引力常数，M 是相对静止的这个天体的质量。现在求二体问题的运动轨线。
以x 乘第二式两边，以y 乘第三式两边，然后相减，得
d 2y d 2z
z 2-y 2=0,
dt dt
即
积分便得到
y
dz dy -z =C 1, （4.1.26） dt dt
d ⎛d z d ⎫y y -z ⎪=0， dt ⎝dt dt ⎭
这里C 1是任意常数，用类似的方法，可以得到
dx dz
-x =C 2,
(4. 1. 2)7dt dt
dy dx (4. 1. 2)8x -y =C 3. dt dt
z
其中C 2, C 3都是任意常数。分别用x 、y 、z 乘（4.1.26），（4.1.27）和（4.1.28）的两边，然后三式相加，得到
C 1x +C 2y +C 3z =0. （4.1.29） 这时一个平面方程。说明二体问题的运动轨迹x =x (t ), y =y (t ), z =z (t )位于（4.1.29）所表示的平面内。因此二体问题的轨迹是一条平面曲线。重新选取坐
标平面，不妨将轨迹线所在的平面选为（x ，y ）平面，于是二体问题的运动方程是
⎧d 2x αx
+=0, ⎪dt 2(4.1.30)222
x +y ()⎪
⎨2
αy ⎪d y +=0. (4.1.31)⎪dt 222(x +y )⎩由这两式可以看到
⎛dx d 2x dy d 2y ⎫dy ⎫2⎛dx 2- ++αx +y x +y =0， ) ⎪(22⎪dt dt ⎭dt ⎭⎝dt ⎝dt dt 上式可以写成
22
d ⎡⎛dx ⎫⎛dy ⎫⎤d 22-2
⎢ ⎪+ ⎪⎥-2α(x +y )=0,
dt ⎢dt ⎣⎝dt ⎭⎝dt ⎭⎥⎦
两边积分，得到一个首次积分
⎛dx ⎫⎛dy ⎫22-2
⎪+ ⎪-2α(x +y )=A .
⎝dt ⎭⎝dt ⎭
22
其中A 为积分常数。引入极坐标x =r cos θ, 可以写成
y =r sin θ，经过简单的运算，上式
⎛dr ⎫⎛d θ⎫2α ⎪+r 2 =A . （4.1.32） ⎪-
r ⎝dt ⎭⎝dt ⎭ 另一方面，以y 乘（4.1.30），以x 乘（4.1.31），然后两式相减，得
d 2x d 2y
y 2-x 2=0，
dt dt
22
即
d ⎛dy dx ⎫x -y ⎪=0， dt ⎝dt dt ⎭
dy dx
-y =B ， dt dt
积分后得到另一个首次积分 x 化成极坐标，便得
r 2
d θ
=B 。 （4.1.33） dt
设B ≠0，则由（4.1.32）和（4.1.33）解得
dr = d θ
不妨把“±”与B 合并，仍记为B ，则上式可以写成
⎛B ⎫d ⎪ （4.1.34） =d θ，
⎛α⎫
记∆=A + ⎪, 若∆≤0，则上式没有意义，故总设∆>0。将（4.1.34）积分，
⎝B ⎭得到
2
⎛B α⎫ -⎪
arccos =θ-θ0.
⎝⎭
这里θ0又是一个积分常数。从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程
B 2
r =
1+
(θ-θ0)
。 （4.1.35）
由平面几何知道，这是一条二次曲线。它的离心率是
ε=
>0。
当ε1时，轨迹为一双曲线。由（4.1.35）可知，r 依赖于常数α, A 和B ，其中α=GM 是系统常数；A 和B 由初始条件r t =0,
dr d θ
, 和dt t =0dt
确定。
t =0
如果B =0(即
d θ
dt
=0) ，则由（4.1.33）知
t =0
d θ
=0, θ(t )等于常数，这表dt
示运动的轨迹是一条射线，这是显然的事。
这个例子说明，虽然二体问题的解x=x（t ）和y=y（t ）没有求出来，但是利用首次积分，却完整地求出了运动的轨迹方程。
4.2 一阶齐次线性偏微分方程
下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。 4.2.1一阶线性偏微分方程
一阶线性偏微分方程的一般形式为
A 1(x 1, x 2, x n )
∂u ∂u ∂u +A 2(x 1, x 2, , x n )+ +A n (x 1, x 2, , x n )=0， ∂x 1∂x 2∂x n
或简记为
∂u
∑A (x , x , , x )∂x
i
1
2
n
i =1
i
n
=0， （4.2.1）
其中u 为x 1, x 2, , x n 的未知函数(n ≥2)。假定系数函数A 1, A 2, , A n
对(x 1, , x n )∈D 是连续可微的，而且它们不同时为零，即在区域D 上有
∑A (x , x , , x )>0。
i
1
2
n
i =1
n
注意微分方程组（4.2.1）是线性齐次的。
对于偏微分方程组（4.2.1）, 我们考虑一个对称形式的常微分方程组
dx n dx 1dx 2
== =， （4.2.3）
A 1x 1, x 2, , x n A 2x 1, x 2, , x n A n x 1, x 2, , x n 它叫做（4.2.1）的特征方程，注意特征方程（4.2.3）是一个（n -1）阶常微分方
程组，所以它有n -1个首次积分
ϕi (x 1, x 2, , x n )=C i
(i =1,2, , n -1)。 （4.2.4）
我们的目的是通过求（4.2.3）的首次积分来求（4.2.1）的解。(4.2.1)的解与(4.2.3)的首次积分之间的关系有如下的定理
定理1 假设已经得到特征方程组(4.2.3)的n -1个首次积分(4.2.4) ϕi (x 1, x 2, , x n )=C i ， (i =1, 2, , n -1) 则一阶偏微分方程(4.2.1)的通解为
u (x 1, x 2, , x n )=Φ(ϕ1(x 1, x 2, x n ), ϕ2(x 1, x 2, , x n ), , ϕn -1(x 1, x 2, , x n ))(4.2.5) 其中Φ为一任意n -1元连续可微函数。 证明 设
ϕ(x 1, x 2, , x n )=C （4.2.6） 是方程（4.2.3）的一个首次积分。因为函数A 1, A 2, , A n 不同时为零，所以在局部邻域内不妨设A n (x 1, x 2, , x n )≠0，这样特征方程（4.2.3）等价于下面标准形式的微分方程组
⎧dx 1A 1(x 1, , x n )
=, ⎪dx A x , , x n 1n ⎪n ⎪
⎨ （4.2.7）
⎪A x , , x n )⎪dx n -1=n -1(1. ⎪A n x 1, , x n ⎩dx n 因此（4.2.6）也是（4.2.7）的一个首次积分，从而有恒等式
∂ϕn -1A i ∂ϕ
+∑=0，
∂x n i =1A n ∂x i 亦即恒有
n
∑A i (x 1, , x n )
i =1
∂ϕ
（4.2.8） =0。
∂x i
这就证明了（非常数）函数ϕ(x 1, x 2, , x n )为方程（4.2.3）的一个首次积分的充要条件为恒等式（4.2.8）成立。换言之，ϕ(x 1, x 2, , x n )为方程（4.2.3）的一个首次积分的充要条件是u =ϕ(x 1, x 2, , x n )为偏微分方程（4.2.1）的一个（非常数）解。
因为（4.2.4）是微分方程（4.2.3）的n -1个独立的首次积分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数）n -1元函数Φ，
, x 2, , n x ) , ϕ, n Φ⎡-⎣ϕ1(x 1
(1
x 1, x 2,
, =⎤)n x ⎦
C
就是（4.2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数（4.2.5）是偏微分方程（4.2.1）
的一个解。
反之，设u =u (x 1, x 2, , x n )是偏微分方程（4.2.1）的一个（非常数）解，则
u (x 1, x 2, , x n )=C 是特征方程（4.2.3）的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，存在连续可微函数Φ(ϕ1, , ϕn -1)，使恒等式
u (x 1, x 2, , x n )≡Φ⎡⎣ϕ1(x 1, x 2, , x n ), , ϕn -1(x 1, x 2, , x n )⎤⎦
成立，即偏微分方程（4.2.1）的任何非常数解可以表示成（4.2.5）的形式。
另外，如果允许Φ是常数，则（4.2.5）显然包括了方程（4.2.1）的常数解。 因此，公式(4.2.5)表达了偏微分方程组（4.2.1）的所有解，也就是它的通解。 例1 求解偏微分方程
∂z ∂z
(x +y )-(x -y )=0 （x 2+y 2>0）. （4.2.9）
∂x ∂x
解 原偏微分方程(4.2.9)的特征方程为
dx dy
=- x +y x -y
它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为
x 2+y 2e
由定理1知，原偏微分方程的通解为
y
x
=C ,
y a r c a ⎫n ⎛2
2x ⎪x +y e z (x , y )=Φ ⎪,
⎝⎭
其中Φ为任意可微的函数。
例2 求解边值为题
∂f z =0, ∂z
⎪z =1, f =xy . ⎩
dx x
dy y
(x >0, y >0, z >0)
（4.2.10）
解 原偏微分方程（4.2.10）的特征方程为
==
dz
, z
C 1;
由
=再由
故方程的通解为
d z
=, 得-l n z =C 2. z
f (x , y , z )=Φx -y , 2y -ln z （4.2.11）
其中Φ为任意二元可微的函数，可由边值条件确定, 因为
)
f (x , y , 1)=Φx -y , 2y -ln 1=Φx -y , 2y =xy ，
令ξ=x -y , η=2y ，则x =ξ+
))
η
2
，
2
2
η⎫η⎛
， x = ξ+⎪, y =
2⎭4⎝
η⎫η2⎛
。 Φ(ξ, η)= ξ+⎪
2⎭4⎝
代入（4.2.11）式，得到 f (x , y , z )=Φ
2
x -y , 2y -ln z
y -ln z
4y -ln z
)
(2=
=
)⎡⎢2
⎢⎣
x -
(2
y )+)
2
y -ln z 2
)⎤⎥
⎥⎦
2
(2)(2
2
x -ln z
16
.
4.2.2一阶拟线性非齐次偏微分方程
下面讨论一阶拟线性非齐次偏微分方程
A 1(x 1, x 2, x n , u )
∂u ∂u ∂u +A 2(x 1, x 2, , x n , u )+ +A n (x 1, x 2, , x n , u )∂x 1∂x 2∂x n
=B (x 1, x 2, x n , u )
（4.2.12）
的求解方法。
式（4.2.12）中函数A 1, , A n 和B 关于变元(x 1, , x n , u )∈G 是连续可微的。这里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的，各个系数
A i (x 1, x 2, x n , u )，(i =1, 2, , n )中可能含有未知函数u ，而“非齐次”是指存在不含未知函数偏导数的自由项B (x 1, x 2, , x n , u )。和一阶线性偏微分方程
, n x )∑A i (x 1, x 2,
i =1
n
∂u =∂x i
B (0
1
x , x , 2
, )x n +(
1
B
1
, x 2x ,
（4.2.13） )n , x u
相比较，显然式拟线性方程（4.2.12）比线性方程（4.2.12）更广泛。
我们将求解（4.2.12）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设
V (x 1, x 2, , x n , u )=C
是（4.2.12）的隐函数形式的解，且
∂V
≠0，则根据隐函数微分法得 ∂u
∂V ∂x i ∂u =- ， (i =1, 2, , n ) （4.2.14）
∂V ∂x i
∂u
将（4.2.14）代入（4.2.12）中，经过整理得
A 1(x 1, x 2, x n , u )
∂V ∂V +A 2(x 1, x 2, , x n , u )+ ∂x 1∂x 2
∂V ∂V
+B (x 1, x 2, x n , u )=0. ∂x n ∂u
（4.2.15）
+A n (x 1, x 2, , x n , u )
由此，可以将V 视为关于x 1, x 2, , x n , u 的函数，（4.2.15）变成了关于未知函数
V (x 1, x 2, , x n , u )的一阶线性齐次偏微分方程。于是函数V (x 1, x 2, , x n , u )应是方程（4.2.15）的解。
反过来，假设函数V (x 1, x 2, , x n , u )是（4.2.15）的解，且和（4.2.14）可以推出由方程
V (x 1, x 2, , x n , u )=0
所确定的隐函数u =u (x 1, x 2, , x n )是方程（4.2.12）的解。这样求解方程（4.2.12）的问题就化成了求解（4.2.15）的问题。为了求解（4.2.15），先写出其特征方程
组为
dx n dx 1dx 2du （. 4.2.16） == ==
A 1x 1, x 2, , x n , u A 2x 1, x 2, , x n , u A n x 1, x 2, , x n , u B x 1, x 2, , x n , u ∂V
≠0，则由（4.2.15）∂u
式（4.2.16）可化为n 个常微分方程，求得它的n 个首次积分为
ϕi (x 1, x 2, , x n , u )=C i ， (i =1, 2 , n ),
就得到（4.2.15）的通解为
V (x 1, x 2, , x n , u )=Φ(ϕ1(x 1, x 2, x n , u ), ϕ2(x 1, x 2, , x n , u ), , ϕ(x 1, x 2, , x n , u )) （4.2.17）
其中Φ是所有变元的连续可微函数。我们将（4.2.16）称为方程（4.2.12）的特征 方程组。上述过程写成定理就是
定理 设函数A i (x 1, x 2, x n ; u )(i =1,2 , n )和B (x 1, x 2, x n ; u )在区域G ⊂R n +1 内连续可微，A 1, A 2, , A n 在G 内不同时为零，设V =V 0(x 1, x 2, , x n ; u )是（4.1.25）的一个解，且
∂V 0
≠0, 则V 0(x 1, x 2, , x n ; u )=0必是方程（4.2.12）的一个隐式解。∂u
反之ϕ(x 1, x 2, , x n ; u )是（4.2.12）的一个隐式解，并且
∂ϕ
≠0, 则从它确定的函数 ∂u
u =u (x 1, x 2, , x n )，必是（4.2.15）的某个解V =V 0(x 1, x 2, , x n ; u )，使 V 0(x 1, x 2, , x n ; u (x 1, x 2, , x n ))≡0.
一阶线性非齐次偏微分方程（4.2.13）为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程（4.2.12）的解法相同。
例4 求解 1+z -x -y
(
∂z ∂z )∂ +=2. （4.2.18）x ∂y
解 原一阶拟线性非齐次偏微分方程(5. 1. 18)的特征方程为
dx 1+z -x -y
故由
=
dy dz
, =
12
dy dz
=，积分后得2y -z =C 1，求得一个首次积分ϕ1=2y -z , 再利用合比12定理，有
dz -dx -dy -z -x -y
=
dy , 1
积分后得y +2z -x -y =C 2，故求得另一个首次积分为 ϕ2=y +2z -x -y , 所以（4.2.18）的通解为
Φz -2y , y +2z -x -y =0.
例5 求解 x 1
∂u ∂u ∂u +x 2+ +x n =mu , ∂x 1∂x 2∂x n
()
(m ≠0).
（4.2.19）
解（4.2.19）式为线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特
例，其特征方程为
dx dx 1dx 2du
== =n =, x 1x 2x n mu
分别积分，得n 个首次积分
ϕ1=
x x x 2u , ϕ2=3, , ϕn -1=n , ϕn =m . x 1x 1x 1x 1
故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为
⎛x 2x 3x n u ⎫
Φ , , , , m ⎪=0, x x ⎪x 1x 1⎭⎝11其中Φ是各个自变量的连续可微函数，解出u 得显式通解
⎛x 2x 3x n ⎫
⎪ u (x 1, x 2, , x n )=x 1m F , , , x x ⎪. x 1⎭⎝11
习题四
1 求解下列偏微分方程 （1）x 1
∂y ∂y ∂y
+x 2+ +x k =0, ∂x 1∂x 2∂x k
(k ≥0).
（2）(y +z )
∂u ∂u ∂u
+(z +x )+(x +y )=0, ∂x ∂y ∂z
∂h ∂h ∂h
+b (c 2+a 2)+c (b 2-a 2)=0. ∂a ∂b ∂c
2 求解下列初值问题
（3）a (b 2+c 2)
∂z ⎧2∂z x -y +y =0, =0, ()⎪∂x ∂y （1
） （2）⎨
⎪当x =1时, z =f 。⎪当x =1时, u =y -z 。(y ). ⎩⎩
3 求解下列偏微分方程的通解。 （1）
∂u ∂u ∂u ∂z ∂z
+2+3=xyz . （2）(xy 3-2x 4)+(2y 4-x 3y )=9z (x 3-y 3). ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y
4、求解：
+=0,
⎪当y =1时, f =xz . ⎩
第四章 一阶偏微分方程
这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
4.1一阶常微分方程组的首次积分
4.1.1首次积分的定义
从第三章我们知道，n 阶常微分方程
y (n )=f x , y ' , y ' ' , , y (n -1)， （4.1.1）
在变换
y 1=y , y 2=y ' , , y n =y (n -1), （4.1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组
⎧dy 1
⎪dx =f 1(x , y 1, y 2, , y n ), ⎪
⎪dy 2=f (x , y , y , , y ), ⎪212n
（4.1.3） ⎨dx
⎪ ⎪
⎪dy n =f x , y , y , , y .
n (12n )⎪⎩dx
()
在第三章中，已经介绍过方程组（4.1.3）通解的概念和求法。但是除了常
系数线性方程组外，求一般的（4.1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（4.1.3）的问题。先看几个例子。
例1 求解微分方程组
d x d y 22
=y -x (2x +y 1-, =-x (-y 2x +y )1 -. （4.1.4） )d t d t
解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 x
dx dy
+y =-x 2+y 2x 2+y 2-1， dt dt
()()
122d (x +y 2)=-x +)(y 2(2
22
x +y 1)-。d t
这个微分方程关于变量t 和(x 2+y 2)是可以分离，因此不难求得其解为
x 2+y 2-12t
e =C 1， （4.1.5）
x 2+y 2
C 1为积分常数。（4.1.5）叫做（4.1.4）的首次积分。
注意首次积分（4.1.5）的左端V (x , y , t )作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当x =x (t ), y =y (t ) 时微分方程组（4.1.4）的解时，V (x , y , t )才等于常数C 1，这里的常数C 1应随解而异。因为式（4.1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（4.1.5）不足以确定它的解。为了确定（4.1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到
y
dx dy -x =x 2+y 2， dt dt dy dx -y =-x 2+y 2， dt dt
即
x
()
亦即
y ⎫⎛
d ⎪
x ⎭⎝=-1。 dt
积分得
y
a r c t +t =C 2， （4.1.6）
x
其中C 2为积分常数。
利用首次积分（4.1.5）和（4.1.6）可以确定（4.1.4）的通解。为此，采用极坐标x =r cos θ, y =r sin θ，这样由（4.1.5）和（4.1.6）推得
1⎫2t ⎛1-e =C 1, θ+t =C 2. 2⎪⎝r ⎭
或 r =
1-C 1e
-2t
, θ=C 2-t .
因此我们得到方程组（4.1.4）的通解为 x =
cos (C 2-t )-C 1e
-2t
，y =
sin (C 2-t )-C 1e
-2t
. （4.1.7）
⎧du
⎪αdt =(β-γ)vw , ⎪⎪dv
=(γ-α)wu , （4.1.8） 例2 求解微分方程组 ⎨β⎪dt ⎪dw
⎪γdt =(α-β)uv . ⎩
其中α>β>γ>0是给定的常数。
解 利用方程组的对称性，可得
d u d v d w +β+γ=0, αu d t d t d t
从而得到首次积分
αu 2+βv 2+γw 2=1C , （4.1.9） 其中积分常数C 1≥0。同样我们有 α2u 由此又得另一个首次积分
22 α2u 2+β2, （4.1.10） v 2+γw =C 2
d u d v d w
+β2+γ2=0, d t d t d t
其中积分常数C 2≥0。有了首次积分（4.1.9）和（4.1.10），我们就可以将u 和v 用w 表示，代入原方程组（4.1.8）的第三式，得到
dw =dt , （4.1.11）
其中常数a ，b 依赖于常数C 1和C 2，而常数 A =
γ(β-γ)γ(α-γ)
>0, B =>0.
αα-ββα-β注意（4.1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分
α-β
-t =C 3, （4.1.12）
γ其中C 3是积分常数。因为方程组（4.1.8）是三阶的，所以三个首次积分（4.1.9）、（4.1.10）和（4.1.12）在理论上足以确定它的通解 u =ϕ(t , C )1, C 2, C 3,
=v ψ(, t 1C , 2C , 3C , =χw )( , 3C . , t , 2)C 1C
但是由于在式（4.1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达
式。
现在我们考虑一般的n 阶常微分方程
dy i
=f i (x , y 1, y 2, , y n )，(i =1, 2, n ), （4.1.13） dx
其中右端函数f i (x , y 1, y 2, , y n )在D ⊂R n +1内对(x , y 1, y 2, , y n )连续，而且对
y 1, y 2, , y n 是连续可微的。
定义1设函数V =V (x , y 1, y 2, , y n )在D 的某个子域G 内连续，而且对
x , y 1, y 2, , y n 是连续可微的。又设V (x , y 1, y 2, , y n )不为常数，但沿着微分方程（4.1.3）在区域G 内的任意积分曲线
Γ:y 1=y 1(x ), y 2=y (2x ) , y , n =y n (x )函数V 取常值；亦即
(x ∈J )
(x ∈J )，
V (x , y 1(x ), y 2(x ), y n (x ))=C (常数)
或当(x , y 1, y 2, , y n ) ∈Γ时，有
V (x , y 1, y 2, , y n )=常数， 这里的常数随积分曲线Γ而定，则称
V (x , y 1, y 2, , y n )=C （4.1.14）
为微分方程（4.1.13）在区域G 内的首次积分。其中C 是一个任意常数，有时也称这里的函数V (x , y 1, y 2, , y n )为（4.1.13）的首次积分。
例如（4.1.5）和（4.1.6）都是微分方程（4.1.4）在某个区域内的首次积分。这里对区域G 有限制，是要求首次积分（4.1.5）和（4.1.6）必须是单值的连续可微函数。因此区域G 内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。同理，式（4.1.9）、（4.1.10）和（4.1.12）都是方程（4.1.8）的首次积分。
对于高阶微分方程（4.1.1），只要做变换（4.1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程（4.1.1）。而其首次积分的一般形式可以写为
-1)
, y , ' y , , (n y = V x
()
C （4.1.15） 。
例如，设二阶微分方程组
d 2x
x =0(a >为常数0 2+a 2s i n ， )dt
用
dx
乘方程的两端，可得 dt
2
d x d x 2d x
+a s i n x =，0
dt dt 2dt
然后积分，得到一个首次积分
1⎛dx ⎫
⎪-a 2cos x =C 。
2⎝dt ⎭
一般的，n 阶常微分方程有n 个独立的首次积分，如果求得n 阶常微分方程组的n 个独立的首次积分，则可求n 阶常微分方程组的通解。
2
4.1.2首次积分的性质和存在性
关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。
定理1设函数Φ(x , y 1, y 2, , y n ) 在区域G 内是连续可微的，而且它不是
常数，则
Φ(x , y 1, y 2, , y n )=C （4.1.16） 是微分方程（4.1.13）在区域G 内的首次积分的充分必要条件是
∂Φ∂Φ∂Φ
+f 1+ +f n =0 （4.1.17） ∂x ∂y 1∂y n
是关于变量(x , y 1, y 2, , y n )∈G 的一个恒等式。
这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（4.1.13）首次积分的有效方法。因为根据首次积分的定义，为了判别函数V (x , y 1, y 2, , y n )是否是微分方程（4.1.13）在G 内的首次积分，我们需要知道（4.1.13）在G 内
的所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理1避免了这一缺点。
定理2 若已知微分方程（4.1.13）的一个首次积分（4.1.14），则可以把微分方程（4.1.13）降低一阶。
设微分方程组（4.1.13）有n 个首次积分
Φi (x , y 1, y 2, , y n )=C i
如果在某个区域G 内它们的Jacobi 行列式
（4.1.18） (i =1,2, , n )，
D (Φ1, Φ2, , Φn )
≠0， （4.1.19）
D y 1, y 2, , y n 则称它们在区域G 内是相互独立的。
定理3设已知微分方程（4.1.13）的n 个相互独立的首次积分（4.1.18），则可由它们得到（4.1.13）在区域G 内的通解
y i =ϕi (x , C 1, C 2, , C n ) (i =1,2, , n )， （4.1.20）
其中C 1, C 2, , C n 为n 个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（4.1.13）在G 内的所有解。
关于首次积分的存在性，我们有
定理4 设p 0=(x 0, y 10, , y n )∈G ，则存在p 0的一个邻域G 0⊂G ，使得微分
方程（4.1.13）在区域G 0内有n 个相互独立的首次积分。
定理5 微分方程（4.1.13）最多只有n 个相互独立的首次积分。
定理6 设（4.1.18）是微分方程（4.1.13）在区域G 内的n 个相互独立的首次积分，则在区域G 内微分方程（4.1.13）的任何首次积分
V (x , y 1, y 2, , y n )=C ，
可以用（4.1.18）来表达，亦即
V (x , y 1, y 2, , y n )=h ⎡⎣Φ1(x , y 1, y 2, , y n ), , Φn (x , y 1, y 2, , y n )⎤⎦， 其中h [*, ,*]是某个连续可微的函数。
为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（4.1.3）改写成对称的形式
dy dy 1dy 2dx
， == n =
f 1f 2f n 1
这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上述对称式写
成
dy n dy 1dy 2
== , （4.1.21）
Y 1y 1, y 2, , y n Y 2y 1, y 2, , y n Y n y 1, y 2, , y n 并设Y 1, Y 2, , Y n 在区域G ⊂R n 内部不同时为零，例如如果设Y n ≠0, 则（4.1.21）等价于
dy i Y i (y 1, y 2, , y n ) =
dy n Y n y 1, y 2, , y n (i =1,2, , n -1)。 （4.1.22）
请注意，式（4.1.22）中的y n 相当于自变量，x i (i =1,2, , n -1)相当于未知函数，所以在方程组（4.1.21）中只有n--1个未知函数，连同自变量一起，共有n 个变元。
不难验证，对于系统（4.1.21），定理1相应地改写为：设函数ϕ(y 1, y 2, , y n )连续可微，并且不恒等于常数，则ϕ(y 1, y 2, , y n )=C 是（4.1.21）的首次积分的充分必要条件是关系式
Y 1(y 1, y 2, , n y )
∂
ϕ(∂y 1
y y 1, 2,
, )+y +n
(n
Y
, , 1y 2y
∂
)ϕ(∂y n
1
y , 2y , )n =, y
（4.1.23）
在G 内成为恒等式。如果能得到（4.1.21）的n -1个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（4.1.21）的通积分。
方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。
例3 求
dx dy dz
==的通积分。 y x z
解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分
x 2-y 2=C 1 （4.1.24）
其中C 1是任意常数，再用比例的性质，得
d (x +y )=dz ， x +y z
两边积分，又得到一个首次积分
x +y
=C 2， （4.1.25） z 其中C 2是任意常数。（4.1.24）和（4.1.25）是相互独立的，将它们联立，便得到原方程组得通积分
x 2-y 2=C 1，x +y =C 2z .
例4 求
dx dy dz
==的通积分。 cy -bz az -cx bx -ay
解 利用比例的性质，可以得到 于是有
xdx +ydy +zdz =0,
adx +bdy +cdz =0.
dx dy dz xdx +ydy +zdz adx +bdy +cdz
====.
cy -bz az -cx bx -ay 00
分别积分，就得到两个首次积分
x 2+y 2+z 2=C 1, ax +by +cz =C 2. 将它们联立，就得到原系统的通积分，其中C 1和C 2为任意常数。 例5 求解二体问题，即求解方程组
d 2x αx
+=0, 322222dt (x +y +z )
d 2y αy
=0, 2+32222dt (x +y +z )
d 2z αz
+=0. 2222dt (x +y +z )
其中常数α=GM , G 是引力常数，M 是相对静止的这个天体的质量。现在求二体问题的运动轨线。
以x 乘第二式两边，以y 乘第三式两边，然后相减，得
d 2y d 2z
z 2-y 2=0,
dt dt
即
积分便得到
y
dz dy -z =C 1, （4.1.26） dt dt
d ⎛d z d ⎫y y -z ⎪=0， dt ⎝dt dt ⎭
这里C 1是任意常数，用类似的方法，可以得到
dx dz
-x =C 2,
(4. 1. 2)7dt dt
dy dx (4. 1. 2)8x -y =C 3. dt dt
z
其中C 2, C 3都是任意常数。分别用x 、y 、z 乘（4.1.26），（4.1.27）和（4.1.28）的两边，然后三式相加，得到
C 1x +C 2y +C 3z =0. （4.1.29） 这时一个平面方程。说明二体问题的运动轨迹x =x (t ), y =y (t ), z =z (t )位于（4.1.29）所表示的平面内。因此二体问题的轨迹是一条平面曲线。重新选取坐
标平面，不妨将轨迹线所在的平面选为（x ，y ）平面，于是二体问题的运动方程是
⎧d 2x αx
+=0, ⎪dt 2(4.1.30)222
x +y ()⎪
⎨2
αy ⎪d y +=0. (4.1.31)⎪dt 222(x +y )⎩由这两式可以看到
⎛dx d 2x dy d 2y ⎫dy ⎫2⎛dx 2- ++αx +y x +y =0， ) ⎪(22⎪dt dt ⎭dt ⎭⎝dt ⎝dt dt 上式可以写成
22
d ⎡⎛dx ⎫⎛dy ⎫⎤d 22-2
⎢ ⎪+ ⎪⎥-2α(x +y )=0,
dt ⎢dt ⎣⎝dt ⎭⎝dt ⎭⎥⎦
两边积分，得到一个首次积分
⎛dx ⎫⎛dy ⎫22-2
⎪+ ⎪-2α(x +y )=A .
⎝dt ⎭⎝dt ⎭
22
其中A 为积分常数。引入极坐标x =r cos θ, 可以写成
y =r sin θ，经过简单的运算，上式
⎛dr ⎫⎛d θ⎫2α ⎪+r 2 =A . （4.1.32） ⎪-
r ⎝dt ⎭⎝dt ⎭ 另一方面，以y 乘（4.1.30），以x 乘（4.1.31），然后两式相减，得
d 2x d 2y
y 2-x 2=0，
dt dt
22
即
d ⎛dy dx ⎫x -y ⎪=0， dt ⎝dt dt ⎭
dy dx
-y =B ， dt dt
积分后得到另一个首次积分 x 化成极坐标，便得
r 2
d θ
=B 。 （4.1.33） dt
设B ≠0，则由（4.1.32）和（4.1.33）解得
dr = d θ
不妨把“±”与B 合并，仍记为B ，则上式可以写成
⎛B ⎫d ⎪ （4.1.34） =d θ，
⎛α⎫
记∆=A + ⎪, 若∆≤0，则上式没有意义，故总设∆>0。将（4.1.34）积分，
⎝B ⎭得到
2
⎛B α⎫ -⎪
arccos =θ-θ0.
⎝⎭
这里θ0又是一个积分常数。从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程
B 2
r =
1+
(θ-θ0)
。 （4.1.35）
由平面几何知道，这是一条二次曲线。它的离心率是
ε=
>0。
当ε1时，轨迹为一双曲线。由（4.1.35）可知，r 依赖于常数α, A 和B ，其中α=GM 是系统常数；A 和B 由初始条件r t =0,
dr d θ
, 和dt t =0dt
确定。
t =0
如果B =0(即
d θ
dt
=0) ，则由（4.1.33）知
t =0
d θ
=0, θ(t )等于常数，这表dt
示运动的轨迹是一条射线，这是显然的事。
这个例子说明，虽然二体问题的解x=x（t ）和y=y（t ）没有求出来，但是利用首次积分，却完整地求出了运动的轨迹方程。
4.2 一阶齐次线性偏微分方程
下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。 4.2.1一阶线性偏微分方程
一阶线性偏微分方程的一般形式为
A 1(x 1, x 2, x n )
∂u ∂u ∂u +A 2(x 1, x 2, , x n )+ +A n (x 1, x 2, , x n )=0， ∂x 1∂x 2∂x n
或简记为
∂u
∑A (x , x , , x )∂x
i
1
2
n
i =1
i
n
=0， （4.2.1）
其中u 为x 1, x 2, , x n 的未知函数(n ≥2)。假定系数函数A 1, A 2, , A n
对(x 1, , x n )∈D 是连续可微的，而且它们不同时为零，即在区域D 上有
∑A (x , x , , x )>0。
i
1
2
n
i =1
n
注意微分方程组（4.2.1）是线性齐次的。
对于偏微分方程组（4.2.1）, 我们考虑一个对称形式的常微分方程组
dx n dx 1dx 2
== =， （4.2.3）
A 1x 1, x 2, , x n A 2x 1, x 2, , x n A n x 1, x 2, , x n 它叫做（4.2.1）的特征方程，注意特征方程（4.2.3）是一个（n -1）阶常微分方
程组，所以它有n -1个首次积分
ϕi (x 1, x 2, , x n )=C i
(i =1,2, , n -1)。 （4.2.4）
我们的目的是通过求（4.2.3）的首次积分来求（4.2.1）的解。(4.2.1)的解与(4.2.3)的首次积分之间的关系有如下的定理
定理1 假设已经得到特征方程组(4.2.3)的n -1个首次积分(4.2.4) ϕi (x 1, x 2, , x n )=C i ， (i =1, 2, , n -1) 则一阶偏微分方程(4.2.1)的通解为
u (x 1, x 2, , x n )=Φ(ϕ1(x 1, x 2, x n ), ϕ2(x 1, x 2, , x n ), , ϕn -1(x 1, x 2, , x n ))(4.2.5) 其中Φ为一任意n -1元连续可微函数。 证明 设
ϕ(x 1, x 2, , x n )=C （4.2.6） 是方程（4.2.3）的一个首次积分。因为函数A 1, A 2, , A n 不同时为零，所以在局部邻域内不妨设A n (x 1, x 2, , x n )≠0，这样特征方程（4.2.3）等价于下面标准形式的微分方程组
⎧dx 1A 1(x 1, , x n )
=, ⎪dx A x , , x n 1n ⎪n ⎪
⎨ （4.2.7）
⎪A x , , x n )⎪dx n -1=n -1(1. ⎪A n x 1, , x n ⎩dx n 因此（4.2.6）也是（4.2.7）的一个首次积分，从而有恒等式
∂ϕn -1A i ∂ϕ
+∑=0，
∂x n i =1A n ∂x i 亦即恒有
n
∑A i (x 1, , x n )
i =1
∂ϕ
（4.2.8） =0。
∂x i
这就证明了（非常数）函数ϕ(x 1, x 2, , x n )为方程（4.2.3）的一个首次积分的充要条件为恒等式（4.2.8）成立。换言之，ϕ(x 1, x 2, , x n )为方程（4.2.3）的一个首次积分的充要条件是u =ϕ(x 1, x 2, , x n )为偏微分方程（4.2.1）的一个（非常数）解。
因为（4.2.4）是微分方程（4.2.3）的n -1个独立的首次积分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数）n -1元函数Φ，
, x 2, , n x ) , ϕ, n Φ⎡-⎣ϕ1(x 1
(1
x 1, x 2,
, =⎤)n x ⎦
C
就是（4.2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数（4.2.5）是偏微分方程（4.2.1）
的一个解。
反之，设u =u (x 1, x 2, , x n )是偏微分方程（4.2.1）的一个（非常数）解，则
u (x 1, x 2, , x n )=C 是特征方程（4.2.3）的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，存在连续可微函数Φ(ϕ1, , ϕn -1)，使恒等式
u (x 1, x 2, , x n )≡Φ⎡⎣ϕ1(x 1, x 2, , x n ), , ϕn -1(x 1, x 2, , x n )⎤⎦
成立，即偏微分方程（4.2.1）的任何非常数解可以表示成（4.2.5）的形式。
另外，如果允许Φ是常数，则（4.2.5）显然包括了方程（4.2.1）的常数解。 因此，公式(4.2.5)表达了偏微分方程组（4.2.1）的所有解，也就是它的通解。 例1 求解偏微分方程
∂z ∂z
(x +y )-(x -y )=0 （x 2+y 2>0）. （4.2.9）
∂x ∂x
解 原偏微分方程(4.2.9)的特征方程为
dx dy
=- x +y x -y
它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为
x 2+y 2e
由定理1知，原偏微分方程的通解为
y
x
=C ,
y a r c a ⎫n ⎛2
2x ⎪x +y e z (x , y )=Φ ⎪,
⎝⎭
其中Φ为任意可微的函数。
例2 求解边值为题
∂f z =0, ∂z
⎪z =1, f =xy . ⎩
dx x
dy y
(x >0, y >0, z >0)
（4.2.10）
解 原偏微分方程（4.2.10）的特征方程为
==
dz
, z
C 1;
由
=再由
故方程的通解为
d z
=, 得-l n z =C 2. z
f (x , y , z )=Φx -y , 2y -ln z （4.2.11）
其中Φ为任意二元可微的函数，可由边值条件确定, 因为
)
f (x , y , 1)=Φx -y , 2y -ln 1=Φx -y , 2y =xy ，
令ξ=x -y , η=2y ，则x =ξ+
))
η
2
，
2
2
η⎫η⎛
， x = ξ+⎪, y =
2⎭4⎝
η⎫η2⎛
。 Φ(ξ, η)= ξ+⎪
2⎭4⎝
代入（4.2.11）式，得到 f (x , y , z )=Φ
2
x -y , 2y -ln z
y -ln z
4y -ln z
)
(2=
=
)⎡⎢2
⎢⎣
x -
(2
y )+)
2
y -ln z 2
)⎤⎥
⎥⎦
2
(2)(2
2
x -ln z
16
.
4.2.2一阶拟线性非齐次偏微分方程
下面讨论一阶拟线性非齐次偏微分方程
A 1(x 1, x 2, x n , u )
∂u ∂u ∂u +A 2(x 1, x 2, , x n , u )+ +A n (x 1, x 2, , x n , u )∂x 1∂x 2∂x n
=B (x 1, x 2, x n , u )
（4.2.12）
的求解方法。
式（4.2.12）中函数A 1, , A n 和B 关于变元(x 1, , x n , u )∈G 是连续可微的。这里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的，各个系数
A i (x 1, x 2, x n , u )，(i =1, 2, , n )中可能含有未知函数u ，而“非齐次”是指存在不含未知函数偏导数的自由项B (x 1, x 2, , x n , u )。和一阶线性偏微分方程
, n x )∑A i (x 1, x 2,
i =1
n
∂u =∂x i
B (0
1
x , x , 2
, )x n +(
1
B
1
, x 2x ,
（4.2.13） )n , x u
相比较，显然式拟线性方程（4.2.12）比线性方程（4.2.12）更广泛。
我们将求解（4.2.12）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设
V (x 1, x 2, , x n , u )=C
是（4.2.12）的隐函数形式的解，且
∂V
≠0，则根据隐函数微分法得 ∂u
∂V ∂x i ∂u =- ， (i =1, 2, , n ) （4.2.14）
∂V ∂x i
∂u
将（4.2.14）代入（4.2.12）中，经过整理得
A 1(x 1, x 2, x n , u )
∂V ∂V +A 2(x 1, x 2, , x n , u )+ ∂x 1∂x 2
∂V ∂V
+B (x 1, x 2, x n , u )=0. ∂x n ∂u
（4.2.15）
+A n (x 1, x 2, , x n , u )
由此，可以将V 视为关于x 1, x 2, , x n , u 的函数，（4.2.15）变成了关于未知函数
V (x 1, x 2, , x n , u )的一阶线性齐次偏微分方程。于是函数V (x 1, x 2, , x n , u )应是方程（4.2.15）的解。
反过来，假设函数V (x 1, x 2, , x n , u )是（4.2.15）的解，且和（4.2.14）可以推出由方程
V (x 1, x 2, , x n , u )=0
所确定的隐函数u =u (x 1, x 2, , x n )是方程（4.2.12）的解。这样求解方程（4.2.12）的问题就化成了求解（4.2.15）的问题。为了求解（4.2.15），先写出其特征方程
组为
dx n dx 1dx 2du （. 4.2.16） == ==
A 1x 1, x 2, , x n , u A 2x 1, x 2, , x n , u A n x 1, x 2, , x n , u B x 1, x 2, , x n , u ∂V
≠0，则由（4.2.15）∂u
式（4.2.16）可化为n 个常微分方程，求得它的n 个首次积分为
ϕi (x 1, x 2, , x n , u )=C i ， (i =1, 2 , n ),
就得到（4.2.15）的通解为
V (x 1, x 2, , x n , u )=Φ(ϕ1(x 1, x 2, x n , u ), ϕ2(x 1, x 2, , x n , u ), , ϕ(x 1, x 2, , x n , u )) （4.2.17）
其中Φ是所有变元的连续可微函数。我们将（4.2.16）称为方程（4.2.12）的特征 方程组。上述过程写成定理就是
定理 设函数A i (x 1, x 2, x n ; u )(i =1,2 , n )和B (x 1, x 2, x n ; u )在区域G ⊂R n +1 内连续可微，A 1, A 2, , A n 在G 内不同时为零，设V =V 0(x 1, x 2, , x n ; u )是（4.1.25）的一个解，且
∂V 0
≠0, 则V 0(x 1, x 2, , x n ; u )=0必是方程（4.2.12）的一个隐式解。∂u
反之ϕ(x 1, x 2, , x n ; u )是（4.2.12）的一个隐式解，并且
∂ϕ
≠0, 则从它确定的函数 ∂u
u =u (x 1, x 2, , x n )，必是（4.2.15）的某个解V =V 0(x 1, x 2, , x n ; u )，使 V 0(x 1, x 2, , x n ; u (x 1, x 2, , x n ))≡0.
一阶线性非齐次偏微分方程（4.2.13）为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程（4.2.12）的解法相同。
例4 求解 1+z -x -y
(
∂z ∂z )∂ +=2. （4.2.18）x ∂y
解 原一阶拟线性非齐次偏微分方程(5. 1. 18)的特征方程为
dx 1+z -x -y
故由
=
dy dz
, =
12
dy dz
=，积分后得2y -z =C 1，求得一个首次积分ϕ1=2y -z , 再利用合比12定理，有
dz -dx -dy -z -x -y
=
dy , 1
积分后得y +2z -x -y =C 2，故求得另一个首次积分为 ϕ2=y +2z -x -y , 所以（4.2.18）的通解为
Φz -2y , y +2z -x -y =0.
例5 求解 x 1
∂u ∂u ∂u +x 2+ +x n =mu , ∂x 1∂x 2∂x n
()
(m ≠0).
（4.2.19）
解（4.2.19）式为线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特
例，其特征方程为
dx dx 1dx 2du
== =n =, x 1x 2x n mu
分别积分，得n 个首次积分
ϕ1=
x x x 2u , ϕ2=3, , ϕn -1=n , ϕn =m . x 1x 1x 1x 1
故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为
⎛x 2x 3x n u ⎫
Φ , , , , m ⎪=0, x x ⎪x 1x 1⎭⎝11其中Φ是各个自变量的连续可微函数，解出u 得显式通解
⎛x 2x 3x n ⎫
⎪ u (x 1, x 2, , x n )=x 1m F , , , x x ⎪. x 1⎭⎝11
习题四
1 求解下列偏微分方程 （1）x 1
∂y ∂y ∂y
+x 2+ +x k =0, ∂x 1∂x 2∂x k
(k ≥0).
（2）(y +z )
∂u ∂u ∂u
+(z +x )+(x +y )=0, ∂x ∂y ∂z
∂h ∂h ∂h
+b (c 2+a 2)+c (b 2-a 2)=0. ∂a ∂b ∂c
2 求解下列初值问题
（3）a (b 2+c 2)
∂z ⎧2∂z x -y +y =0, =0, ()⎪∂x ∂y （1
） （2）⎨
⎪当x =1时, z =f 。⎪当x =1时, u =y -z 。(y ). ⎩⎩
3 求解下列偏微分方程的通解。 （1）
∂u ∂u ∂u ∂z ∂z
+2+3=xyz . （2）(xy 3-2x 4)+(2y 4-x 3y )=9z (x 3-y 3). ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y
4、求解：
+=0,
⎪当y =1时, f =xz . ⎩