XXX 学校2017年秋学期第一次阶段考试
初三数学试卷 （直）
（考试时间：120分钟 卷面总分：150分 ）
一、 选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，）
1、已知m 、n 、p 、q 满足等式mn=pq，将它改写成比例式的形式，错误的是 ( ) ．．
A 、
m q p n q n m p
= B、= C 、= D 、= p n m q m p n q
2、在比例尺为1：40000的工程示意图上，南京地铁一号线的长度约为54.3cm, 它的实际 长度约为 （ ） A 、0.2172km B、2.172km C、21.72km D、217.2km
3、如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P (0，－3) ，那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为 ( ) A ．4 B ．5
第3题图 第5题图 第6题图
4、到三角形的外心是三角形的 交点 （ ）
A 、三个内角平分线 B、三边垂直平分线 C、三条中线 D、三条高
5、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 交⊙O 于点D ，连接AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是 ( ) 11
A ．AD ＝BC B ．AD ＝ C ．AC ＞AB D ．AD ＞DC
226、如图，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，
则BC 的长为 ( ) A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7、若
C ．8 D ．10
y 3x +y ==，则的值为_________. x 4x
8、已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c 长 . 9 、直径为10 cm 的⊙O 中，弦AB ＝5 cm ，则弦AB 所对的圆周角是
.
10、已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为 时，△ADP 和△ABC 相似．
第14题
第10题图 第12题图 第15题
11、已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C ＝1∶2，则∠BOD ＝_________.
12、如图，O 为矩形ABCD 的中心，M 为BC 边上任一点，ON ⊥OM 且与CD 边交于点N ．若
AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y 与x 的函数关系式为
2
13、已知二次函数y=ax+bx+c的图像过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点
2
M （－2，y 1），N （－1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=ax+bx+c的图像上，则y 1、y 2、y 3的从小到大顺序是 . 14、如图，已知Rt △ABC ，∠C=90，AC=2，BC=1，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB
于P ，则AP=__________.
15、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、N 两点，若点M 的坐标是(－8，－4) ，则点N 的坐标为__________. 16、已知二次函数的图象经过原点及点 -
⎛11⎫
, -⎪，且图象与x 轴的另一交点到原点的距⎝24⎭
离为1，则该二次函数的解析式为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17、（本题满分6分）解下列一元二次方程：
222
（1）2x -5x-1=0（用配方法解）； (2)(2x-5)=9(x+4)
18、（本题满分6分）根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2) ，且过点(2，3) ；
(2)已知二次函数的图象经过(1，-1) ，(0，1) ，(-1，13) 三点；
19、（本题满分8分）小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB 的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD 处，另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB 的高度．
20、（本题满分8分）将背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3的三张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2的两个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差。
(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
(2)小明与小华做游戏, 规则是:若这两数的差为正数, 则小明赢；否则, 小华赢. 你认为该游戏公平吗? 请说明理由。 21、（本题满分8分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD 切⊙O 于点C ，
且∠DAC ＝∠BAC ，(1)试说明：AD ⊥CD ；(2)若AD ＝4，AB ＝6，求AC .
D
B O
5⎫⎛
22、(本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y =a x -⎪+h 分
2⎭⎝
别与x 轴、y 轴交于点A （1，0）和点B （0，-2），将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°至AP ． （1）求点P 的坐标及抛物线C 1的解析式；
（2）将抛物线C 1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C 2，请你判断点P 是否在抛物线C 2上，并说明理由．
23、(本题满分10分）如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E .
(1)证明：DE 为⊙O 的切线；
(2)连接OE ，若BC ＝4，求△OEC 的面积．
2
24、(本题满分10分）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA ＝5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点
A
l
25、(本题满分10分）如图，关于x 的二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标）； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从 点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
26、(本题满分12分) 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A 、B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A =∠B =∠DEC =45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 与BC 的数量关系．
00
27、(本题满分14分) 如图，已知Rt △ABC 中，∠B =90，∠A =60，AB =2cm . 点O 从C 点出发，沿CB 以每秒1cm 的速度向B 点方向运动，运动到B 点时运动停止. 当点O 运动了t 秒(t >0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与BC 边所在直线相交于E 、F 两点. 过E 作EG ⊥D E 交直线AB 于G ，连结DG . （1）求BC 的长；
（2）若E 与B 不重合，问t 为何值时，△BEG 与△DEG 相似？
（3）试问：当t 在什么范围内时，点G 在线段BA 的延长线上？当t 在什么范围内时，点G 在线段AB 的延长线上？
XXX 学校2017年秋学期第一次阶段考试
初三数学试卷 （直）
（考试时间：120分钟 卷面总分：150分 ）
一、 选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，）
1、已知m 、n 、p 、q 满足等式mn=pq，将它改写成比例式的形式，错误的是 ( ) ．．
A 、
m q p n q n m p
= B、= C 、= D 、= p n m q m p n q
2、在比例尺为1：40000的工程示意图上，南京地铁一号线的长度约为54.3cm, 它的实际 长度约为 （ ） A 、0.2172km B、2.172km C、21.72km D、217.2km
3、如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P (0，－3) ，那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为 ( ) A ．4 B ．5
第3题图 第5题图 第6题图
4、到三角形的外心是三角形的 交点 （ ）
A 、三个内角平分线 B、三边垂直平分线 C、三条中线 D、三条高
5、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 交⊙O 于点D ，连接AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是 ( ) 11
A ．AD ＝BC B ．AD ＝ C ．AC ＞AB D ．AD ＞DC
226、如图，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，
则BC 的长为 ( ) A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7、若
C ．8 D ．10
y 3x +y ==，则的值为_________. x 4x
8、已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c 长 . 9 、直径为10 cm 的⊙O 中，弦AB ＝5 cm ，则弦AB 所对的圆周角是
.
10、已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为 时，△ADP 和△ABC 相似．
第14题
第10题图 第12题图 第15题
11、已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C ＝1∶2，则∠BOD ＝_________.
12、如图，O 为矩形ABCD 的中心，M 为BC 边上任一点，ON ⊥OM 且与CD 边交于点N ．若
AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y 与x 的函数关系式为
2
13、已知二次函数y=ax+bx+c的图像过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点
2
M （－2，y 1），N （－1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=ax+bx+c的图像上，则y 1、y 2、y 3的从小到大顺序是 . 14、如图，已知Rt △ABC ，∠C=90，AC=2，BC=1，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB
于P ，则AP=__________.
15、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、N 两点，若点M 的坐标是(－8，－4) ，则点N 的坐标为__________. 16、已知二次函数的图象经过原点及点 -
⎛11⎫
, -⎪，且图象与x 轴的另一交点到原点的距⎝24⎭
离为1，则该二次函数的解析式为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17、（本题满分6分）解下列一元二次方程：
222
（1）2x -5x-1=0（用配方法解）； (2)(2x-5)=9(x+4)
18、（本题满分6分）根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2) ，且过点(2，3) ；
(2)已知二次函数的图象经过(1，-1) ，(0，1) ，(-1，13) 三点；
19、（本题满分8分）小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB 的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD 处，另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB 的高度．
20、（本题满分8分）将背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3的三张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2的两个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差。
(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
(2)小明与小华做游戏, 规则是:若这两数的差为正数, 则小明赢；否则, 小华赢. 你认为该游戏公平吗? 请说明理由。 21、（本题满分8分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD 切⊙O 于点C ，
且∠DAC ＝∠BAC ，(1)试说明：AD ⊥CD ；(2)若AD ＝4，AB ＝6，求AC .
D
B O
5⎫⎛
22、(本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y =a x -⎪+h 分
2⎭⎝
别与x 轴、y 轴交于点A （1，0）和点B （0，-2），将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°至AP ． （1）求点P 的坐标及抛物线C 1的解析式；
（2）将抛物线C 1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C 2，请你判断点P 是否在抛物线C 2上，并说明理由．
23、(本题满分10分）如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E .
(1)证明：DE 为⊙O 的切线；
(2)连接OE ，若BC ＝4，求△OEC 的面积．
2
24、(本题满分10分）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA ＝5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点
A
l
25、(本题满分10分）如图，关于x 的二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标）； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从 点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
26、(本题满分12分) 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A 、B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A =∠B =∠DEC =45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 与BC 的数量关系．
00
27、(本题满分14分) 如图，已知Rt △ABC 中，∠B =90，∠A =60，AB =2cm . 点O 从C 点出发，沿CB 以每秒1cm 的速度向B 点方向运动，运动到B 点时运动停止. 当点O 运动了t 秒(t >0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与BC 边所在直线相交于E 、F 两点. 过E 作EG ⊥D E 交直线AB 于G ，连结DG . （1）求BC 的长；
（2）若E 与B 不重合，问t 为何值时，△BEG 与△DEG 相似？
（3）试问：当t 在什么范围内时，点G 在线段BA 的延长线上？当t 在什么范围内时，点G 在线段AB 的延长线上？