§12．1 轴对称
§12．1．1 轴对称（一）
教学目标
知识与技能：
通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形、轴对称及其对称轴，并能作出轴对称图形和成轴对称的图形的对称轴；
说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系；
过程与方法：
在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念。
情感态度价值观：
欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。
教学重点
轴对称图形的概念．
教学难点
能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性„„对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴． Ⅱ．导入新课
出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．
这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合． 小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
我们的黑板、课桌、椅子等．
我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．
如课本的图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？
窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．
结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．
了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．
取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流． 结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．
由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
下列各图，你能找出它们的对称轴吗？
结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
(1) (2) (3) (4) (5)
展示挂图，大家想一想，你发现了什么？
像这样，•把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，•这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P30练习 （二）P31练习
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
Ⅴ．作业
（一）课本习题12．1─1、2、6、7、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
Ⅵ．活动与探究
课本P31思考．
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，•再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．
结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
板书设计
§12．1．2 轴对称（二）
教学目标
知识与技能：
探索轴对称的性质表述出对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。 过程与方法：
在自己的动手操作中体验轴对称的性质，在操作中注意观察、想像和提炼，要学会科学地表达思想。
情感态度价值观：
欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。
教学重点
1．轴对称的性质．
2．线段垂直平分线的性质．
教学难点
体验轴对称的特征．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质．
Ⅱ．导入新课
观看投影并思考．
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、•B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线
MN有什么关系？
图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与
MN垂直．
AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？
△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分
别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．
我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，•对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
归纳图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，
P3，„是L上的点，•分别量一量点P1，P2，P3，„到A与B
的距离，你有什么发现？
1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过
AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3„，连结
AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2„
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、
CP2„讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，„
证明．
证法一：利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC和△BPC中，
⎧PC=PC⎪= ⎨∠PCA=∠PCB
⎪AC=BC⎩Rt ∠
⇒ △APC≌△BPC ⇒ PA=PB.
证法二：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，•因此它们也是相等的．
带着探究1的结论我们来看下面的问题．
[探究2]
如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的
“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向
与木棒垂直呢？为什么？
活动：
1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段
AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，
连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．
2．讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、
BP1、BP2应满足什么条件？
探究过程：
1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B
不可能重合，
也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．
2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．
探究结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[•探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．
[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．•所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
Ⅲ．随堂练习
课本P34练习 1、2．
Ⅳ．课时小结
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
Ⅴ．课后作业：课本习题12．1─3、4、9题．
Ⅵ．活动与探究
如图甲，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，延长对应线段AB和A′B′，两条延长线相交吗？交点与对称轴L有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC与A•′C′又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？
过程：在图甲中，AB与A′B′不平行，所以它们肯定会相交．下面来研究交点与对称轴L的关系．
问题1：点和直线有几种位置关系？
有两种．一种是点不在直线上，另一种是点在直线上．
问题2：先来假设一下交点不在对称轴L上，看是否成立．
如果交点（P）不在对称轴L上，那么在L的另一侧一定有另外一点（P′）与交点（P）关于直线L对称，且该点（P′）也是两延长线的交点．•但是由于两条直线相交只可能有一个交点，所以这两点是重合的．即交点（P）只能在对称轴L上．所以交点一定在对称轴上．延长其他的对应线段，结果也一样． 再看图乙，我们来讨论下一个问题．
AC与A′C′是平行的，它们的两条延长线也不会相交．
结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，•那么它们也与对称轴平行．
§12．2．1 作轴对称图形
教学目标
知识与技能：
通过具体实例认识轴对称变换，探索它的基本性质和定义；
能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
过程与方法：
经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义； 结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。
情感态度价值观：
用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推理活动。
教学重点
1．轴对称变换的定义．
2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点
1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
2．利用轴对称进行一些图案设计．
教学过程
Ⅰ．设置情境，引入新课
在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．
Ⅱ．导入新课
•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．
对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．
下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？
（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些． Ⅲ．随堂练习
（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？
（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
答案：（1）轴对称图形．
（2）这个图形至少有3条对称轴．
（3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，•得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，•打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．
（二）回顾本节课内容，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，
要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案． Ⅴ．动手并思考
（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．
（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．
（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，•展开后结果又会怎样？为什么？
（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？ 答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．
（2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2条对称轴；因此（1）•中的图案一定有2条对称轴．
（3）按题中的方式将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，•因此得到的图案一定有4条对称轴．
（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，•剪出的图案至少有4条对称轴．
（二）自己设计并制作一个花边．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
Ⅵ．活动与探究
如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．
过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．
结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图． “十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．
板书设计
12．2 .2 用坐标表示轴对称
教学目标
知识与技能：
探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标；
能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形。 过程与方法：
经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义； 结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。
情感态度价值观：
用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推理活动。
教学重点
用坐标表示轴对称
教学难点
利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点
教学过程：
一、复习轴对称图形的有关性质
二、新授：
1．学生探索：
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,－y)；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(－x,y)；点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y)
2．例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．
（1）归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．
3、探究问题
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ， 则x1+x2=m，y1= y2． 2
若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ， 则x1= x2，y1 y2=n． 2
三、小结本节内容
四、训练：课本45页的第1～3题
五、作业：课本46页的第5～7题
§12．3．1 等腰三角形
教学目标
知识与技能
说出等腰三角形，总结出等腰三角形性质并会进行有关的计算；
过程与方法
经历折叠后剪纸、展开后得到等腰三角形的过程，体验等腰三角形的对称性； 情感态度与价值观
学生对图形的观察、发现，激发起好奇心和求知欲。
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
AA
BIC
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
C⎧AB=A,⎪, ⎨BD=CD
⎪AD=A,D⎩AB 所以△BAD≌△CAD（SSS）． DC
所以∠B=∠C．
]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
C⎧AB=A,⎪, D ⎨∠BAD=∠CA
⎪AD=A,D⎩A 所以△BAD≌△CAD． DC1 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°． 2
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． B再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD， BADC
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P51练习 1、2、3．
（二）阅读课本P49～P51，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．作业
（一）课本P56─1、3、4、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A．某一条边上的高; B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线; D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50° 答案：1．C 2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm． 求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得 2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．
§12．3．1 等腰三角形（二）
教学目标
知识与技能
总结出等腰三角形的判定定理，并会进行有关的计算；
能运用等腰三角形性质和判定证明两条线段相等、两角相等的问题； 过程与方法
通过用等腰三角形的性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；
情感态度与价值观
学生在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验、建立学习的自信心； 教学重点
等腰三角形的判定定理及推论的运用
教学难点
正确区分等腰三角形的判定与性质.
能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
教学过程：
一、复习等腰三角形的性质
二、新授：
I提出问题，创设情境
出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．
学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．
II引入新课
1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？
作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？
2．引导学生根据图形，写出已知、求证．
2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．
强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．
4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．
III例题与练习
1．如图2
其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
3．以问题形式引出推论l______．
4．以问题形式引出推论2______．
例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．
分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．
练习：5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？
(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？ IV课堂小结
1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？
2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？
3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？
4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？
V布置作业
1．阅读教材
2．书面作业：教材第58页第12题
3、《课堂感悟与探究》
12．3．2 等边三角形(一)
教学目标
知识与技能
说出等边三角形的概念及判定，并会进行有关的计算；
能运用等边三角形的性质和判定证明两条线段相等、两角相等的问题； 过程与方法
通过用等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；
情感态度与价值观
通过合作交流，培养团结协作的精神。
教学重点、
等腰三角形的性质及其应用。
教学难点
简洁的逻辑推理。
教学过程
一、复习巩固
1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?
等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。
2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?
二、新课
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
3．上面的条件和结论如何叙述?
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?
等边三角形也称为正三角形。
例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠
1
和∠ADC的度数。
分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。
问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?
问题2：求∠1是否还有其它方法?
三、练习巩固
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。
四、小结
由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
五、作业
1．课本P57─7，9
2、补充：如图(3)，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，
∠EOD的度数。
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
§12．3．2 等边三角形（二）
教学目标
知识与技能
探索并灵活运用一个锐角为30°角的直角三角形的边之间的关系。
过程与方法
通过用等腰三角形、等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；
情感态度与价值观
通过合作交流，培养团结协作的精神。
教学重点
等边三角形的性质和判定方法．
教学难点
等边三角形性质的应用
教学过程
I创设情境，提出问题
回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
2．等边三角形每一个角相等，都等于60°
3．三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．
II例题与练习
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．
III课堂小结
1、等腰三角形和性质
2、等腰三角形的条件
V布置作业
1．教科书第54页练习1、2 2．选做题：
(1)教科书第58页习题12．3第ll题．
(2)已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个? （3）《课堂感悟与探究》
§12．3．2 等边三角形（三）
教学过程
一、 复习等腰三角形的判定与性质 二、 新授：
1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等
2．等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系. 3．由学生解答课本148页的例子；
4．补充：已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC
分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E
B
∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中
⎧∠E=∠CBD(已证) ⎪
⎨∠ADE=∠BDC(对顶角相等)
⎪AD=CD(已知) ⎩∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知) ∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o
1
∴AE=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,
2
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
1
∴BC=AB 即AB=2BC
2
点评 本题还可过C作CE∥AB
5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，
根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
o
∠BCA=∠DCE=60（等边三角形的每个角都是60） ∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等） BE=AD（全等三角形的对应边相等）
11
又∵BN=BE，AM=AD（中点定义）
22
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）
∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等） ∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形） 解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本58页第13，14题
小结与复习 教学设计
教学设计思想
结合回顾与思考中提出的问题，引导学生独立思考，自己回顾本章的主要内容。在对问题的回答过程中，关注学生运用自己的语言解释答案的过程，关注学生运用例子来说明对所学知识的理解，而不是简单的重复教科书上的结论。回答后，让学生进行反思和交流，并在反思和交流的过程中建立知识体系。最后通过一些练习巩固本章的知识点。
教学目标 知识与技能
总结出轴对称、轴对称变换、用坐标表示轴对称、等腰三角形、等边三角形的相关知识点；
通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。 过程与方法
以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。 情感态度价值观
体会出知识点之间的紧密联系，数学与实际生活的紧密联系。 教学重点和难点
重点是①轴对称和等腰三角形的性质及判定。②通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。
难点是通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。 教学方法
小组讨论法：以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。 教学过程设计
（一）本章知识结构图
（二）回顾与反思
1.在现实世界中，存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？
2.在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
3.一个图形经过轴对称变换后，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？
4.在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对应点的坐标有什么关系？请结合例子说明。
5.利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
（三）例题
专题一 有关轴对称的学科内专题
通过轴对称的特征来解释几何图形中的轴对称问题，这也是本章的重点． 解决这类问题需要正确掌握常见几何图形的轴对称特征．
1.在我们学过的基本几何图形中，举出几个轴对称图形来，井说明其对称轴． 解析 几何图形中的轴对称图形可设想将其沿某一直线对折，看能否使之重合，从而作出判别．
答案 线段、角、等腰三角形、等边三角形、圆都是轴对称图形． 线段的对称轴有两条分别是：线段的垂直平分线和线段所在的直线． 角的对称轴是角的平分线所在的直线．
等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线或顶角的平分线所在直线或底边的中线所在直线．
等边三角形共有三条对称轴分别是三边的垂直平分线． 圆有无数条对称轴，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 专题二 有关轴对称的学科间专题．
轴对称现象在其他学科中也广泛存在．如英文字母中的轴对称图形，物理中的轴对称特征等，即便是文学中也出现有轴对称的含义．
解决这类问题就需要我们善于观察，学会欣赏轴对称现象．
2.唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写一幅上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你知道下联是什么吗?你觉得是否合适?
解析 生活中的轴对称无处不在，只要有心，定可发现其间所蕴含的丰富文化价值和无穷美的享受．
答案 有给下联为“一舟二橹四人摇过八仙桥”。在这副楹联中，所蕴含的对称美令人叫绝．
专题三 轴对称的应用专题
利用轴对称可以得到相等的线段和全等的图形，利用轴对称性质可以作已知图形的轴对称图形，用此知识可以解决一类实际问题．此外，应用轴对称知识设计图案，如镶边、剪纸等．
3.如图14—1所示，EFGH是一矩形的弹子球台面，有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上，试问：怎样撞击白球B，使白球先撞击台边EF反弹后再击黑球
A?
解析 设白球撞击后与EF交于P点，为使反弹后击中A球，必有∠BPF＝∠APE，为此，只要作B关于EF的对称点B′连结AB′与EF交点即P点． 答案：作B点关于EF的对称点B′，连结B′A交于EF于P，则按BP的方向撞击白球，反弹后必沿PA方向击中黑球。
4.如图14—2，花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成，依照例图，请你为班级黑板报设计一条花边．
要求：只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需要文字，以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出；图案应有美感；与例图不同．
解析 本题主要考查大家根据轴对称性质设计花边图案的能力，而且要符合题中的四点要求，这是一道融数学与美术为一体的综合创新素质题．
答案 此题答案不唯一，略举几例如图14—3所示．
专题四 等腰三角形中角的度数或线段的长度的计算
利用等腰三角形的性质求角的度数或线段的长度时常利用列代数方程的方法求解．
5.等腰三角形的底边长为5厘米，一腰上的中线把其周长分成两部分，且差为3厘米，则腰长是多少?
解析 条件中没有指明两部分中谁大谁小，所以就有两种情况：当有底的那部分较大时，则另一部分较小；当有底的那部分较小时，则另一部分就大．
答案 设等腰三角形腰长为x厘米． （1）当有底的那部分较大时，可得方程：
11
x+5=x+x+3. 22
所以x=2．
因为2+2
11
x+5+3=x+x 22
所以x=8．
综上所知，这个等腰三角形的腰长是8厘米．
经验技巧：解本题时关键是考虑有两种情况，不然就会出现漏解，但是还要考虑所求出的边长是不是符合三角形的三边关系，这也是易忽略的一点．解题技巧是设未知数、列方程．
专题五 感触中考
轴对称和等腰三角形的性质及判定在中考命题中随着新教材的使用，比重在原有的基础上将逐步的加大．常见题型有：①通过选择题、填空题等形式给出图形，让你判断哪些是轴对称图形及轴对称图形的对称轴；②与“两点间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”相结合，解决实际生活中的极值问题；③利用垂直平分线性质、等腰三角形及等边三角形的有关性质及判定，证角、线段的相等或倍分问题．
6.（2004年·吉林）图14—4所示的图形中，对称轴条数最多的一个图形是 （ ）
解析 A有两条对称轴；B有四条对称轴；C不是轴对称图；D中有一条对称轴．
答案 B
7.（2004年·鹿泉）图“14—5是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落人的球袋是
A．l号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 解析 通过轴对称的性质可得出答案． 答案 B
8.（2004年·呼和浩特）如图14—6，△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB
1
的垂直平分线交AC于D，求证：AD=DC．
2
解析 由条件的“线段垂直平分线”可想到连结BD得BD＝AD，只需证BD
1
＝DC．在△ABC中，易证∠C＝30°，这样只要证△DBC为直角三角即可．由∠2
ABC＝120°，易证∠DBC＝90°．
答案 连结BD，如图14—6所示。
因为BA=BC，∠ABC=120°，所以∠A=∠C=30°。
因为FD为AB的垂直平分线，所以AD=DB，所以∠DBA=∠A=30°所以∠DBC=∠ABC－∠DBA=120°－30°=90°。
在Rt△DBC中，因为∠C=30°，所以DB=（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
11
DC。所以AD=DC。 22
§12．1 轴对称
§12．1．1 轴对称（一）
教学目标
知识与技能：
通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形、轴对称及其对称轴，并能作出轴对称图形和成轴对称的图形的对称轴；
说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系；
过程与方法：
在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念。
情感态度价值观：
欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。
教学重点
轴对称图形的概念．
教学难点
能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性„„对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴． Ⅱ．导入新课
出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．
这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合． 小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
我们的黑板、课桌、椅子等．
我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．
如课本的图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？
窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．
结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．
了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．
取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流． 结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．
由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
下列各图，你能找出它们的对称轴吗？
结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
(1) (2) (3) (4) (5)
展示挂图，大家想一想，你发现了什么？
像这样，•把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，•这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P30练习 （二）P31练习
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
Ⅴ．作业
（一）课本习题12．1─1、2、6、7、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
Ⅵ．活动与探究
课本P31思考．
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，•再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．
结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
板书设计
§12．1．2 轴对称（二）
教学目标
知识与技能：
探索轴对称的性质表述出对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。 过程与方法：
在自己的动手操作中体验轴对称的性质，在操作中注意观察、想像和提炼，要学会科学地表达思想。
情感态度价值观：
欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。
教学重点
1．轴对称的性质．
2．线段垂直平分线的性质．
教学难点
体验轴对称的特征．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质．
Ⅱ．导入新课
观看投影并思考．
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、•B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线
MN有什么关系？
图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与
MN垂直．
AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？
△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分
别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．
我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，•对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
归纳图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，
P3，„是L上的点，•分别量一量点P1，P2，P3，„到A与B
的距离，你有什么发现？
1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过
AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3„，连结
AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2„
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、
CP2„讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，„
证明．
证法一：利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC和△BPC中，
⎧PC=PC⎪= ⎨∠PCA=∠PCB
⎪AC=BC⎩Rt ∠
⇒ △APC≌△BPC ⇒ PA=PB.
证法二：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，•因此它们也是相等的．
带着探究1的结论我们来看下面的问题．
[探究2]
如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的
“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向
与木棒垂直呢？为什么？
活动：
1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段
AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，
连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．
2．讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、
BP1、BP2应满足什么条件？
探究过程：
1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B
不可能重合，
也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．
2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．
探究结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[•探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．
[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．•所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
Ⅲ．随堂练习
课本P34练习 1、2．
Ⅳ．课时小结
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
Ⅴ．课后作业：课本习题12．1─3、4、9题．
Ⅵ．活动与探究
如图甲，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，延长对应线段AB和A′B′，两条延长线相交吗？交点与对称轴L有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC与A•′C′又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？
过程：在图甲中，AB与A′B′不平行，所以它们肯定会相交．下面来研究交点与对称轴L的关系．
问题1：点和直线有几种位置关系？
有两种．一种是点不在直线上，另一种是点在直线上．
问题2：先来假设一下交点不在对称轴L上，看是否成立．
如果交点（P）不在对称轴L上，那么在L的另一侧一定有另外一点（P′）与交点（P）关于直线L对称，且该点（P′）也是两延长线的交点．•但是由于两条直线相交只可能有一个交点，所以这两点是重合的．即交点（P）只能在对称轴L上．所以交点一定在对称轴上．延长其他的对应线段，结果也一样． 再看图乙，我们来讨论下一个问题．
AC与A′C′是平行的，它们的两条延长线也不会相交．
结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，•那么它们也与对称轴平行．
§12．2．1 作轴对称图形
教学目标
知识与技能：
通过具体实例认识轴对称变换，探索它的基本性质和定义；
能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
过程与方法：
经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义； 结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。
情感态度价值观：
用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推理活动。
教学重点
1．轴对称变换的定义．
2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点
1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
2．利用轴对称进行一些图案设计．
教学过程
Ⅰ．设置情境，引入新课
在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．
Ⅱ．导入新课
•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．
对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．
下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？
（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些． Ⅲ．随堂练习
（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？
（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
答案：（1）轴对称图形．
（2）这个图形至少有3条对称轴．
（3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，•得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，•打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．
（二）回顾本节课内容，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，
要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案． Ⅴ．动手并思考
（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．
（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．
（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，•展开后结果又会怎样？为什么？
（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？ 答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．
（2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2条对称轴；因此（1）•中的图案一定有2条对称轴．
（3）按题中的方式将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，•因此得到的图案一定有4条对称轴．
（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，•剪出的图案至少有4条对称轴．
（二）自己设计并制作一个花边．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
Ⅵ．活动与探究
如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．
过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．
结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图． “十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．
板书设计
12．2 .2 用坐标表示轴对称
教学目标
知识与技能：
探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标；
能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形。 过程与方法：
经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义； 结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。
情感态度价值观：
用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推理活动。
教学重点
用坐标表示轴对称
教学难点
利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点
教学过程：
一、复习轴对称图形的有关性质
二、新授：
1．学生探索：
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,－y)；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(－x,y)；点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y)
2．例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．
（1）归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．
3、探究问题
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ， 则x1+x2=m，y1= y2． 2
若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P2 (x2,y2) ， 则x1= x2，y1 y2=n． 2
三、小结本节内容
四、训练：课本45页的第1～3题
五、作业：课本46页的第5～7题
§12．3．1 等腰三角形
教学目标
知识与技能
说出等腰三角形，总结出等腰三角形性质并会进行有关的计算；
过程与方法
经历折叠后剪纸、展开后得到等腰三角形的过程，体验等腰三角形的对称性； 情感态度与价值观
学生对图形的观察、发现，激发起好奇心和求知欲。
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
AA
BIC
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
C⎧AB=A,⎪, ⎨BD=CD
⎪AD=A,D⎩AB 所以△BAD≌△CAD（SSS）． DC
所以∠B=∠C．
]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
C⎧AB=A,⎪, D ⎨∠BAD=∠CA
⎪AD=A,D⎩A 所以△BAD≌△CAD． DC1 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°． 2
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． B再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD， BADC
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P51练习 1、2、3．
（二）阅读课本P49～P51，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．作业
（一）课本P56─1、3、4、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A．某一条边上的高; B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线; D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50° 答案：1．C 2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm． 求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得 2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．
§12．3．1 等腰三角形（二）
教学目标
知识与技能
总结出等腰三角形的判定定理，并会进行有关的计算；
能运用等腰三角形性质和判定证明两条线段相等、两角相等的问题； 过程与方法
通过用等腰三角形的性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；
情感态度与价值观
学生在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验、建立学习的自信心； 教学重点
等腰三角形的判定定理及推论的运用
教学难点
正确区分等腰三角形的判定与性质.
能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
教学过程：
一、复习等腰三角形的性质
二、新授：
I提出问题，创设情境
出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．
学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．
II引入新课
1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？
作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？
2．引导学生根据图形，写出已知、求证．
2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．
强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．
4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．
III例题与练习
1．如图2
其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
3．以问题形式引出推论l______．
4．以问题形式引出推论2______．
例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．
分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．
练习：5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？
(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？ IV课堂小结
1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？
2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？
3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？
4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？
V布置作业
1．阅读教材
2．书面作业：教材第58页第12题
3、《课堂感悟与探究》
12．3．2 等边三角形(一)
教学目标
知识与技能
说出等边三角形的概念及判定，并会进行有关的计算；
能运用等边三角形的性质和判定证明两条线段相等、两角相等的问题； 过程与方法
通过用等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；
情感态度与价值观
通过合作交流，培养团结协作的精神。
教学重点、
等腰三角形的性质及其应用。
教学难点
简洁的逻辑推理。
教学过程
一、复习巩固
1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?
等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。
2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?
二、新课
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
3．上面的条件和结论如何叙述?
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?
等边三角形也称为正三角形。
例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠
1
和∠ADC的度数。
分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。
问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?
问题2：求∠1是否还有其它方法?
三、练习巩固
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。
四、小结
由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
五、作业
1．课本P57─7，9
2、补充：如图(3)，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，
∠EOD的度数。
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
§12．3．2 等边三角形（二）
教学目标
知识与技能
探索并灵活运用一个锐角为30°角的直角三角形的边之间的关系。
过程与方法
通过用等腰三角形、等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；
情感态度与价值观
通过合作交流，培养团结协作的精神。
教学重点
等边三角形的性质和判定方法．
教学难点
等边三角形性质的应用
教学过程
I创设情境，提出问题
回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
2．等边三角形每一个角相等，都等于60°
3．三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．
II例题与练习
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．
III课堂小结
1、等腰三角形和性质
2、等腰三角形的条件
V布置作业
1．教科书第54页练习1、2 2．选做题：
(1)教科书第58页习题12．3第ll题．
(2)已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个? （3）《课堂感悟与探究》
§12．3．2 等边三角形（三）
教学过程
一、 复习等腰三角形的判定与性质 二、 新授：
1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等
2．等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系. 3．由学生解答课本148页的例子；
4．补充：已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC
分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E
B
∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中
⎧∠E=∠CBD(已证) ⎪
⎨∠ADE=∠BDC(对顶角相等)
⎪AD=CD(已知) ⎩∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知) ∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o
1
∴AE=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,
2
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
1
∴BC=AB 即AB=2BC
2
点评 本题还可过C作CE∥AB
5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，
根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
o
∠BCA=∠DCE=60（等边三角形的每个角都是60） ∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等） BE=AD（全等三角形的对应边相等）
11
又∵BN=BE，AM=AD（中点定义）
22
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）
∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等） ∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形） 解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本58页第13，14题
小结与复习 教学设计
教学设计思想
结合回顾与思考中提出的问题，引导学生独立思考，自己回顾本章的主要内容。在对问题的回答过程中，关注学生运用自己的语言解释答案的过程，关注学生运用例子来说明对所学知识的理解，而不是简单的重复教科书上的结论。回答后，让学生进行反思和交流，并在反思和交流的过程中建立知识体系。最后通过一些练习巩固本章的知识点。
教学目标 知识与技能
总结出轴对称、轴对称变换、用坐标表示轴对称、等腰三角形、等边三角形的相关知识点；
通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。 过程与方法
以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。 情感态度价值观
体会出知识点之间的紧密联系，数学与实际生活的紧密联系。 教学重点和难点
重点是①轴对称和等腰三角形的性质及判定。②通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。
难点是通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。 教学方法
小组讨论法：以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。 教学过程设计
（一）本章知识结构图
（二）回顾与反思
1.在现实世界中，存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？
2.在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
3.一个图形经过轴对称变换后，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？
4.在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对应点的坐标有什么关系？请结合例子说明。
5.利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
（三）例题
专题一 有关轴对称的学科内专题
通过轴对称的特征来解释几何图形中的轴对称问题，这也是本章的重点． 解决这类问题需要正确掌握常见几何图形的轴对称特征．
1.在我们学过的基本几何图形中，举出几个轴对称图形来，井说明其对称轴． 解析 几何图形中的轴对称图形可设想将其沿某一直线对折，看能否使之重合，从而作出判别．
答案 线段、角、等腰三角形、等边三角形、圆都是轴对称图形． 线段的对称轴有两条分别是：线段的垂直平分线和线段所在的直线． 角的对称轴是角的平分线所在的直线．
等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线或顶角的平分线所在直线或底边的中线所在直线．
等边三角形共有三条对称轴分别是三边的垂直平分线． 圆有无数条对称轴，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 专题二 有关轴对称的学科间专题．
轴对称现象在其他学科中也广泛存在．如英文字母中的轴对称图形，物理中的轴对称特征等，即便是文学中也出现有轴对称的含义．
解决这类问题就需要我们善于观察，学会欣赏轴对称现象．
2.唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写一幅上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你知道下联是什么吗?你觉得是否合适?
解析 生活中的轴对称无处不在，只要有心，定可发现其间所蕴含的丰富文化价值和无穷美的享受．
答案 有给下联为“一舟二橹四人摇过八仙桥”。在这副楹联中，所蕴含的对称美令人叫绝．
专题三 轴对称的应用专题
利用轴对称可以得到相等的线段和全等的图形，利用轴对称性质可以作已知图形的轴对称图形，用此知识可以解决一类实际问题．此外，应用轴对称知识设计图案，如镶边、剪纸等．
3.如图14—1所示，EFGH是一矩形的弹子球台面，有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上，试问：怎样撞击白球B，使白球先撞击台边EF反弹后再击黑球
A?
解析 设白球撞击后与EF交于P点，为使反弹后击中A球，必有∠BPF＝∠APE，为此，只要作B关于EF的对称点B′连结AB′与EF交点即P点． 答案：作B点关于EF的对称点B′，连结B′A交于EF于P，则按BP的方向撞击白球，反弹后必沿PA方向击中黑球。
4.如图14—2，花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成，依照例图，请你为班级黑板报设计一条花边．
要求：只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需要文字，以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出；图案应有美感；与例图不同．
解析 本题主要考查大家根据轴对称性质设计花边图案的能力，而且要符合题中的四点要求，这是一道融数学与美术为一体的综合创新素质题．
答案 此题答案不唯一，略举几例如图14—3所示．
专题四 等腰三角形中角的度数或线段的长度的计算
利用等腰三角形的性质求角的度数或线段的长度时常利用列代数方程的方法求解．
5.等腰三角形的底边长为5厘米，一腰上的中线把其周长分成两部分，且差为3厘米，则腰长是多少?
解析 条件中没有指明两部分中谁大谁小，所以就有两种情况：当有底的那部分较大时，则另一部分较小；当有底的那部分较小时，则另一部分就大．
答案 设等腰三角形腰长为x厘米． （1）当有底的那部分较大时，可得方程：
11
x+5=x+x+3. 22
所以x=2．
因为2+2
11
x+5+3=x+x 22
所以x=8．
综上所知，这个等腰三角形的腰长是8厘米．
经验技巧：解本题时关键是考虑有两种情况，不然就会出现漏解，但是还要考虑所求出的边长是不是符合三角形的三边关系，这也是易忽略的一点．解题技巧是设未知数、列方程．
专题五 感触中考
轴对称和等腰三角形的性质及判定在中考命题中随着新教材的使用，比重在原有的基础上将逐步的加大．常见题型有：①通过选择题、填空题等形式给出图形，让你判断哪些是轴对称图形及轴对称图形的对称轴；②与“两点间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”相结合，解决实际生活中的极值问题；③利用垂直平分线性质、等腰三角形及等边三角形的有关性质及判定，证角、线段的相等或倍分问题．
6.（2004年·吉林）图14—4所示的图形中，对称轴条数最多的一个图形是 （ ）
解析 A有两条对称轴；B有四条对称轴；C不是轴对称图；D中有一条对称轴．
答案 B
7.（2004年·鹿泉）图“14—5是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落人的球袋是
A．l号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 解析 通过轴对称的性质可得出答案． 答案 B
8.（2004年·呼和浩特）如图14—6，△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB
1
的垂直平分线交AC于D，求证：AD=DC．
2
解析 由条件的“线段垂直平分线”可想到连结BD得BD＝AD，只需证BD
1
＝DC．在△ABC中，易证∠C＝30°，这样只要证△DBC为直角三角即可．由∠2
ABC＝120°，易证∠DBC＝90°．
答案 连结BD，如图14—6所示。
因为BA=BC，∠ABC=120°，所以∠A=∠C=30°。
因为FD为AB的垂直平分线，所以AD=DB，所以∠DBA=∠A=30°所以∠DBC=∠ABC－∠DBA=120°－30°=90°。
在Rt△DBC中，因为∠C=30°，所以DB=（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
11
DC。所以AD=DC。 22