利用数学归纳法解题举例
山东 韩锋
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0) 时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n ≥n 0且n ∈N ）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、 运用数学归纳法证明整除性问题
例1. 当n ∈N, 求证:11n+1+122n-1能被133整除。
证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。
(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，
根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。又
11(k+1)+122(k+1)-1能被 能被133整除。所以，
133整除，即n=k+1时，命题成立。 由(1),(2)命题时n ∈N 都成立。
点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时。要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧。
二、 运用数学归纳法证明不等式问题
例2. 设a n ＝×2＋2×3＋„＋n (n +1) (n∈N), 证明：
(n＋1) 。 211n(n＋1)
【分析】与自然数n 有关，考虑用数学归纳法证明。n ＝1时容易证得，n ＝k ＋1时，因为a k +1＝a k ＋(k +1)(k +2) , 所以在假设n ＝k 成立得到的不等式中同时加上k +1)(k +2) ，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
1112【解】 当n ＝1时，a n ＝，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ， 222
∴ n＝1时不等式成立。
112k(k＋1)
112当n ＝k ＋1时，k(k＋1) ＋k +1)(k +2)
1111k(k＋1) ＋k +1)(k +2) >k(k＋1) ＋(k＋1) ＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2) ， 2222
11113222(k＋1) ＋k +1)(k +2) ＝(k＋1) ＋k 2+3k +2
112(k＋1)(k＋2)
112综上所述，对所有的n ∈N ，不等式n(n＋1)
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将(k +1)(k +2) 缩小成(k＋1) 、将k +1)(k +2) 放大成(k＋3) 的两步放缩是证n 2
＝k ＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2) 。这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
三、 运用数学归纳法证明几何问题
例3．平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点. 求证：这n 条直线把
n 2+n +2平面分成f(n)=个部分. 2
12+1+2=2, 解:（1) 当n ＝1时，一条直线将平面分成两个部分，而f(1) =2
∴命题成立．
k 2+k +2(2)假设当n=k时，命题成立，即k 条直线把平面分成f (k) =个部分, 则当n=k2
＋1时，即增加一条直线l , 因为任何两条直线不平行，所以l 与k 条直线都相交有k 个交点；又因为任何三条不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同．如此这k 个交点把直线l 分成k 十1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为k ＋
1.
∴n=k十1时命题成立．
由（1），(2）可知，当n ∈N *时，命题成立．
四、 运用数学归纳法证明等式
例4．是否存在常数a,b,c ，使等式
证明:分别用n=1,n=2,n=3代入等式得: 成立。
再用数学归纳法证明，，
即13+23+33+„„+n3=n 2(n2+2n+1)。
(1)当n=1时，左边=右边=1，等式成立。
(2)假设n=k时(k≥1,k ∈N) 等式成立，则n=k+1时，
13+23+„„+k3+(k+1)3=
(k+1)2[(k+1)2+2(k+1)+1] k 2(k2+2k+1)+(k+1)3(k+1)2(k2+4k+4)=
∴当n=k+1时，等式也成立。由(1),(2)可知，n ∈N ，原等式成立。
点评:这类开放型问题一般可采用n 的特殊值，探求待定系数，然后再证明命题成立。但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。如本题可先直接求的13+23+33+„„+n3和。
五、利用数学归纳法证明数列问题
例5. 已知数列8·n 8·1，得，„，，„。S n 为其前n 项和，求S 1、12·32(2n -1) 2·(2n +1) 2
S 2、S 3、S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。
【解】 计算得S 1＝8024488，S 2＝，S 3＝，S 4＝ ， 2549819
(2n +1) 2-1猜测S n ＝ (n∈N) 。 (2n +1) 2
当n ＝1时，等式显然成立；
(2k +1) 2-1假设当n ＝k 时等式成立，即：S k ＝， 2(2k +1)
当n ＝k ＋1时，S k +1＝S k ＋8·(k +1) (2k +1) 2·(2k +3) 2
8·(k +1) (2k +1) 2-1＝＋22 2(2k +1) ·(2k +3) (2k +1)
(2k +1) 2⋅(2k +3) 2-(2k +3) 2+8·(k +1) ＝ (2k +1) 2·(2k +3) 2
(2k +1) 2⋅(2k +3) 2-(2k -1) 2(2k +3) 2-1＝＝, 222(2k +3) (2k +1) ·(2k +3)
由此可知，当n ＝k ＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n ∈N 都成立。
(2k +3) 2-12【注】 把要证的等式S k +1＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3) ，再2(2k +3)
考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k ＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
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利用数学归纳法解题举例
山东 韩锋
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0) 时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n ≥n 0且n ∈N ）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、 运用数学归纳法证明整除性问题
例1. 当n ∈N, 求证:11n+1+122n-1能被133整除。
证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。
(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，
根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。又
11(k+1)+122(k+1)-1能被 能被133整除。所以，
133整除，即n=k+1时，命题成立。 由(1),(2)命题时n ∈N 都成立。
点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时。要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧。
二、 运用数学归纳法证明不等式问题
例2. 设a n ＝×2＋2×3＋„＋n (n +1) (n∈N), 证明：
(n＋1) 。 211n(n＋1)
【分析】与自然数n 有关，考虑用数学归纳法证明。n ＝1时容易证得，n ＝k ＋1时，因为a k +1＝a k ＋(k +1)(k +2) , 所以在假设n ＝k 成立得到的不等式中同时加上k +1)(k +2) ，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
1112【解】 当n ＝1时，a n ＝，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ， 222
∴ n＝1时不等式成立。
112k(k＋1)
112当n ＝k ＋1时，k(k＋1) ＋k +1)(k +2)
1111k(k＋1) ＋k +1)(k +2) >k(k＋1) ＋(k＋1) ＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2) ， 2222
11113222(k＋1) ＋k +1)(k +2) ＝(k＋1) ＋k 2+3k +2
112(k＋1)(k＋2)
112综上所述，对所有的n ∈N ，不等式n(n＋1)
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将(k +1)(k +2) 缩小成(k＋1) 、将k +1)(k +2) 放大成(k＋3) 的两步放缩是证n 2
＝k ＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2) 。这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
三、 运用数学归纳法证明几何问题
例3．平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点. 求证：这n 条直线把
n 2+n +2平面分成f(n)=个部分. 2
12+1+2=2, 解:（1) 当n ＝1时，一条直线将平面分成两个部分，而f(1) =2
∴命题成立．
k 2+k +2(2)假设当n=k时，命题成立，即k 条直线把平面分成f (k) =个部分, 则当n=k2
＋1时，即增加一条直线l , 因为任何两条直线不平行，所以l 与k 条直线都相交有k 个交点；又因为任何三条不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同．如此这k 个交点把直线l 分成k 十1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为k ＋
1.
∴n=k十1时命题成立．
由（1），(2）可知，当n ∈N *时，命题成立．
四、 运用数学归纳法证明等式
例4．是否存在常数a,b,c ，使等式
证明:分别用n=1,n=2,n=3代入等式得: 成立。
再用数学归纳法证明，，
即13+23+33+„„+n3=n 2(n2+2n+1)。
(1)当n=1时，左边=右边=1，等式成立。
(2)假设n=k时(k≥1,k ∈N) 等式成立，则n=k+1时，
13+23+„„+k3+(k+1)3=
(k+1)2[(k+1)2+2(k+1)+1] k 2(k2+2k+1)+(k+1)3(k+1)2(k2+4k+4)=
∴当n=k+1时，等式也成立。由(1),(2)可知，n ∈N ，原等式成立。
点评:这类开放型问题一般可采用n 的特殊值，探求待定系数，然后再证明命题成立。但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。如本题可先直接求的13+23+33+„„+n3和。
五、利用数学归纳法证明数列问题
例5. 已知数列8·n 8·1，得，„，，„。S n 为其前n 项和，求S 1、12·32(2n -1) 2·(2n +1) 2
S 2、S 3、S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。
【解】 计算得S 1＝8024488，S 2＝，S 3＝，S 4＝ ， 2549819
(2n +1) 2-1猜测S n ＝ (n∈N) 。 (2n +1) 2
当n ＝1时，等式显然成立；
(2k +1) 2-1假设当n ＝k 时等式成立，即：S k ＝， 2(2k +1)
当n ＝k ＋1时，S k +1＝S k ＋8·(k +1) (2k +1) 2·(2k +3) 2
8·(k +1) (2k +1) 2-1＝＋22 2(2k +1) ·(2k +3) (2k +1)
(2k +1) 2⋅(2k +3) 2-(2k +3) 2+8·(k +1) ＝ (2k +1) 2·(2k +3) 2
(2k +1) 2⋅(2k +3) 2-(2k -1) 2(2k +3) 2-1＝＝, 222(2k +3) (2k +1) ·(2k +3)
由此可知，当n ＝k ＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n ∈N 都成立。
(2k +3) 2-12【注】 把要证的等式S k +1＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3) ，再2(2k +3)
考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k ＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
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