论文题目： 基于MATLAB 的高阶低通滤波器的设计与仿真
目 录
前言 . ..................................................................... 3
1 滤波器 . ................................................................. 3
1.1 滤波器的原理 ...................................................... 3
1.2 滤波器的发展过程 .................................................. 4
1.3滤波器的分类 . ...................................................... 5
2 仿真软件MATLAB ......................................................... 8
2.1 MATLAB发展历史 . .................................................. 8
2.2 MATLAB功能 . ...................................................... 9
2.3 MATLAB优势和特点 . ............................................... 11
3 方案设计 . .............................................................. 14
3.1 低通滤波器的介绍 ................................................. 14
3.2巴特沃斯滤波器的基本理论 . ......................................... 14
3.3 低通巴特沃斯滤波器的设计 ......................................... 16
4 滤波器的仿真 . .......................................................... 17
4.1 仿真程序 ......................................................... 17
4.2 仿真实现 ......................................................... 18
5 总结 . .................................................................. 20
参考文献.. . .............................................................. 21
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基于MATLAB 的高阶低通滤波器的设计与仿真
摘 要：滤波器在现代通信领域内有很广泛的应用，本文利用MATLAB 的butter 涵数设
计了8阶的巴特沃斯低通滤波器，并进行了仿真。仿真输入信号采用的是三个不同频率正弦信号的合成。将合成后的信号通过低通滤波器，实现了对高频信号部分的过滤。采用MATLAB 设计滤波器，使原来非常复杂的程序设计变成
了简单的函数调用MATLAB 信号处理工具箱为滤波器设计及分析提供了非常
优秀的辅助设计工具。
关键词：低通；滤波器；MATLAB
Design and Simulation of the High-level Low-pass Filter
Based on MATLAB
Student: LU Ye (Faculty Adriser: ZHANG DaLei)
(Department of Electrical and Information Engineering, Huainan Normal University) Abstract ：Filter is widely used in the field of modern communication, this paper designed 8
order Butterworth low pass filter using butter culvert MATLAB, simulation is
carried out. Simulation of the input signal is used in the synthesis of three different
frequency sine signals. The combined signal through a low pass filter, the
high-frequency signal portion of the filter. Using the MATLAB filter design, make
the program design of the original complex into simple function calls the
MATLAB Signal Processing Toolbox provides aided design tool is very good for
the design and analysis of filter.
Key words：Low pass; filter; MATLAB
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前言
随着现代通信技术的不断的进步与发展，滤波器是现代通讯系统中不可缺少的器件之一，在过去的几年中迅速发展的过滤器是一种复杂的选频网络，其对在一定的频率范围内的信号予以很小的衰减, 使这部分信号可以通过, 而其它电信号予以很大程度上的衰减使其不能通过，从而尽可能地阻止这部分信号通。本次研究的课题就是对一组合成信号通过滤波器后分离出需要频率的信号并利用软件仿真，进行此次仿真的软件我选择利用Matlab 。Matlab 软件具有很强大的功能，具有一种方便的数据信息可视化技巧，使用向量和矩阵, 可以标记为图形。而且可以将矩阵和向量用图形的形式表达出来，而且同时对图形进行打印和标注。较高水平技巧的作图有表达式作图、二维可视化作图和三维的可视化作图、数字图象处理和动画作图[1]。现在被广泛应用于科学领域和工程方面绘图。它在数学类科技应用和计算方面是首屈一指的数值程序。用Matlab 对矩阵操作, 绘图函数和数据、实现算法、创建用户界面, 连接其他的编程语言、程序等, 主要应用于工程方面的计算、控制与设计、信号处理以及通讯、数字图像处理、金融模型的建立与设计等[2]。
1 滤波器
1.1 滤波器的原理 凡是可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减或抑制其他频率成分的装置或系统都称之为滤波器，相当于频率“筛子”。 滤波器的作用有两方面，一方面就是让某一频率范围内的信号能够顺利的通过，而另一方面是对某频率范围内的信号进行抑制而使其不能通过，从而达到滤波的作用，因此滤波器实际上是一个可以选频的电路。
在滤波器中，把某频率范围内能够通过的信号的频率，称为通带或通频带；相反，能最大程度的衰减信号或使信号全部抑制而不能通过的频率范围称为阻带；对于在通频带和阻带之间的分界频率我们称之为截止频率；我们认为在理想的情况下通带内的电压增益为常数，在阻带内的电压增益为零，此类滤波器是理想滤波器。
理想状态的滤波器与实际滤波器的比较：
a ．理想滤波器的频率特性
理想滤波器:使通带内信号的幅值和相位都不失真, 阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线。
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如理想低通滤波器的频率响应函数为
H (jw ) =A 0l -jw Ωt (≤W C )
理想滤波器实际上并不存在。
b ．实际滤波器 或 H (j w ) =(>) C W (1-1)
实际滤波器的特性需要以下参数描述：
（1）恒部平均值A0：描述通带内的幅频特性；波纹幅度：d 。
（2）上、下截止频率：以幅频特性值为A0/2时的相应频率值WC1，WC2作为带通滤波器的上、下截止频率。带宽B =W C 2-W C 1。
=-3dB 0 所以 B =W C 2-W C 1也称“-3dB ”带宽 因为
（3）选择性：实际滤波器过渡带幅频曲线的倾斜程度表达了滤波器对通带外频率成分的衰减能力，用信频程选择性和滤波器因素描述。
信频程选择性：与上、下截止频率处相比，频率变化一倍频程时幅频特性的衰减量，即倍频程选择性：=20lg [A (2W C 2) A (W C 2) ] 或 =20lg [A (2W C 1) A (W C 1) ]信频程选择性总是小于等于零，显然，计算信量的衰减量越大，选择性越好[3]。 滤波器因素：－60dB 处的带宽与－3dB 处的带宽之比值，即越小, 选择性越好。分辨力：即分离信号中相邻频率成分的能力，用品质因素Q 描述。
C 1-W C 2W 0= (1-2) B -3dB W C 2-W C 1Q =
Q 越大，分辨率越高。
c ．实际的带通滤波器形式
1）恒定的带宽带通滤波器:B=常量，与中心频率f0无关。
2）恒定的百分比带通滤波器：在高频区恒定百分比带通滤波器的分辨率比恒定带宽带通滤波器的分辨率差
1.2 滤波器的发展过程
有能对信号进行处理的装置我们都可以称之为滤波器。即可以对波进行过滤的器件 4
就是滤波器。滤波器的应用非常的广泛在现代电子信息设备和各种类别的控制系统中，对于滤波器有极为广泛的用应；在现代几乎所有的电子设备中，应用的最多，技术最为繁杂的要数滤波器。滤波器的质量好坏直接影响了产品的功能，因此，世界各个国家对滤波器技术的研究和滤波器的生产都很重视。1917年德国和美国科学家都发明了LC 滤波器，这使美国出现了世界上第一个多路复用系统[4]。20世纪50年代各种无源滤波器的技术越来越先进和成熟。从60年代开始由于科学技术的不断进步使计算机、集成开发工艺和材料的工业生产技术得到了长足的发展，从而使滤波器的技术发展迎来了新的局面，而且滤波器朝着小体积、低功率损耗、高精度、多样化功能、稳定可靠和超低价格的方向努力，其中小体积、多样化功能、高精度测量、质量可靠成为70年代以后的主要研究方向。随着科技的进步，有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种相关滤波器都得到了快速的发展，到70年代后期，前面几种滤波器已被科研人员研制出来并得到了广泛的应用。80年代，人们开始着手对各种新类型的滤波器进行研究和开发，致力于提高滤波器的性能并扩大其应用范围。90年代到现在人们的研究方向是对于滤波器的应用和开发研制等。但是，对于滤波器自身的研究仍在不间断的进行，努力提高其性能。50年代后期滤波器才开始在我国得到广泛使用，当时仅仅用于话路滤波与报路滤波方面。经过半个多世纪的进步发展，我国滤波器在开发、生产和使用等方面已接近国际发展水平，但是由于没有专门研制机构，集成工艺和材料生产工业就得不到很好的发展，因此，我们国家多种新型滤波器的研制与应用与国际技术水平相比还是有一段不小的差距。
1.3滤波器的分类
从大的方面分，滤波器可以分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器由电阻，电容，电感，及由原器件构成；在实际生活中数字滤波器的使用的比较广泛。从实现方法上分，数字滤波器分为IIR 和FIR ，即无限冲激响应滤波器和有限冲激响应滤波器；其中IIR 网络中有反馈回路，FIR 网络中没有反馈回路[5]。
从小的方面分：
a. 按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。
b. 按所通过信号的频滤的范围可以分为高通滤波器、低通滤波器、带阻滤波器和带通滤波器四种。
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高通滤波器：允许信号中的高频率信号分量通过，抑制低频率信号或直流分量。 低通滤波器：允许信号中的低频率信号或直流分量通过，抑制高频率信号分量。 带阻滤波器：抑制一定频率范围内的信号，允许该频率范围以外的信号通过。 带通滤波器：允许一定频率范围的信号通过，抑制低于或高于该频率范围的信号。 c. 按照使用的元器件可以分为无源滤波器和有源滤波器两种:
无源滤波器：由无源元件电阻、电感以及电容组成的滤波器是无源滤波器，其构成原理主要是利用电容和电感的电抗随着频率的变动而发生变化[6]。无源滤波器的特点主要是：有比较简单的电路，不需要直流电源，高性能；其主要缺点是：通带频率范围内的信号有能量损失，有很明显的负载效应，在使用过程中容易引起电磁感应现象，当电感比较大的情况下滤波器的体积和重量相应比较大，在低频率范围内不可以应用。
有源滤波器：使用无源器件(一般用R 和C) 和有源器件(如集成运算放大器）构成。有源滤波器主要特点是：通带频率范围内的信号没有能量损失，而且还可以进行放大，没有明显的负载效应，对于多级相联时之间的影响比较小，可以用级联方法组成高阶滤波器，而且滤波器的重量轻、体积小、不需要磁场进行屏蔽；其主要缺点是：有源器件的带宽在通带频率范围内受限制，要用直流电源进行供电，其在可靠性能方面比不上无源滤波器，在高电压、高频率、大功率的场合不建议使用。 滤波器种类繁多，下面介绍最近年来发展比较迅速的几种滤波器。
a. 有源滤波器
有源滤波器由运算放大器、正阻抗倒置器（PII ）、频率变阻器（FDNR ）、负电容、负电阻、负电感、负阻抗变换器（NIC ）、正阻抗变换器（PIC ）、负阻抗倒置器（NII ）、广义阻抗变换器（GIC ）、四种受控源组成。 b. 开关电容滤波器（SCF ）
SCF 具有以下优点：大规模集成；精确度高；功能多样化，SC 技术可以用来实现所有电子部件和功能；相比数字滤波器比较简单，不需要模数转换和数模转换[7]。
SCF 的应用现状：主体是声频范围的应用，工作应用的频率范围在100KHz 内；在数字信号处理方面包括：程控SCF 、对模拟信号进行处理、对振动频率的分析、音乐综合、解调器、离散傅氏变换、共振频谱、语言信号综合器、音调选择、语声编码、声音
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频率的分析、均衡器、锁相电路等相关应用。总之，SCF 在许多领域都有广泛的应用前景包括仪器仪表的测量、医疗器械、数据或信号处理等。
c. 几种新型数字滤波器（DF ）
(1) 自适应DF
自学习、自跟踪是自适应DF 所具有比较强的功能。其在对缓慢变化的噪声干扰的抑制、通信信道的自适应均衡、噪声信号的处理、远距离电话的回声抵消等各种领域内有比较广泛的使用。 自适应DF 的简单算法：C-LMS 算法、M-LMS 算法、 TDO 算法、差值LMS 算法和W-LMS 算法
(2) 复数DF
大多数使用复数DF 情况下是在输入的信号为窄带信号的处理系统中。可利用正交双路检波法来降低采样率从而保证信号所包含信息的完整性，获得窄带信号的复包络，接着通过A/D转换器进行变换，我们将复包络变换为复数序列进行处理，这样的系统称之为复数DF 。
(3) 多维DF
在数字图象的处理、煤炭的开采、石油探测的数据信息处理中等都有对于维DF 的应用，设计多维DF ，通常是一维DF 被优化设计发展到多维DF 中。多维DF 也被用于模糊图像的处理和随机噪声干扰的二维图象的处理[8]。
d. 其它新型滤波器
(1) 声表面波滤波器
声表面波滤波器的幅频特性和相位特性可分别控制，以达到，工艺简单，稳定和体积小的要求。其是比较不错的超高频元器件。一般应用在：广播电视发射机中当作残留边带的滤波器；在彩色电视接的收机中用作调谐系统的表面梳形滤波器，而且，在国防卫星的通信系统中也被广泛应用。电子学和声学相结合而产生了声表面波滤波器，而且可以集成。所以，它在所有无源滤波器中最有发展前途。
(2) 晶体滤波器
利用单边带技术不断发展壮大的滤波器是晶体滤波器。在过去，使晶体滤波器的发展产生了一个质的飞跃的条件是集成晶体滤波器的产生，在最近十年以来，人们对晶体滤波器进行了以下方面的研究：努力实现良好的设计，除了具有很好的选择外，同时还 7
具有良好的时域响应；寻求探索新型的材料；积极的改进工艺技术，使其向集成化的方向发展。晶体滤波器被广泛应用在多路复用系统中作为载波滤波器，在接收和发送信号过程中，单边带通信机作为频率选择滤波器。
(3) 电控编程CCD 横向滤波器（FPCCDTF ）
以电荷耦合器加权的横向滤波器（TF ）在数字信号处理中，其质量和价格可与种信号处理部件和数字滤波器各相比较。电控编程CCD 横向滤波器主要应用于语音信号和相位均衡；自适应滤波；通用化的频域滤波器以及作相关、褶积运算[9]；P-N 序列和Chirp 波形的匹配滤波；相阵系统的波束合成和电视信号的重影消除等方面。 2 仿真软件MATLAB
2.1 MATLAB 发展历史
MATLAB 软件用作数字图形处理和数值计算的科学计算系统环境，其由美国Math works 公司推出的。MATLAB 是英文Matrix Laboratory的简写。Matlab 的第1版是1984年发行的，期间经过了10多年的不断完善，如今已推出最新版本(6.1版) 。在新的版本中集合了日常数学计算处理中和图形处理的各种功能，其功能主要包括：图像生成、矩阵的运算、数字信号处理以及高效率的数字计算等。用户可以在Matlab 环境下进行多种操作如：数学计算、程序设计、图像生成、输入与输出、文件资料的管理等。Matlab 提供了一个系统为基本数据结构是矩阵的人机交互系统环境，不需要在矩阵对象生成时特别的对维数做出相应说明。同时Matlab 在数字图像的处理方面也应用非常广泛，我们可以利用Matlab 显示图像并且对图像进行处理和变换在数字图象处理及Matlab 实现一书中详细描写了对于图像的各种处理及变换。应用Matlab 比应用c 语言或Fortran 语言程序进行数值计算可以大大节省量编程时间，提高运算速率。在如今美国部分的大学里，Matlab 逐渐成为辅助教学的有益工具在数值线性代数和其它一些高等数学课程等方面。Matlab 也被用在工程科学技术界解决一些实际课题与数学模型等问题[10]。其经典应用有：数值计算、算法的预设计处理与实验验证，和一些特别的短矩阵计算应用，例如自动化控制、统计、信号处理等。Matlab 系统一开始是用FORTRAN 语盲设计的，现在的Matlab 程序是用 C 语言开发的，其开发的公司是Math Works公司，Matlab 的第一版是在Steve Bangert的主持下开发编译程序，Steve Kleiman进行图形功能的修改与设计，而对于各类数学分析的模块与子模块是由John Little和Cleve Moler主持开发的。在第1版Matlab 发行以后，有很多的科学工作人员加入到了Matlab 的开发团队中，
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而且许多科技工作者对于目前MATLAB 系统的进步与完善做出了巨大的努力。自从Matlab 被以商品形式推出后，在仅仅很短的几年时间，通过其良好的优点如开放性和运行的可靠性等，打败了以前控制领域里的封闭式软件包，使它们的使用者逐渐减少最终被淘汰，最终使人们改为以Matlab 为平台。Matlab 被国际控制界公认为标准的计算软件是在20世纪九十年代的时候。Matlab 在与国际上30多个数学类科技应用软件相比下，Matlab 在数值计算方面仍首屈可指，用的最多。
2.2 MATLAB 功能
Matlab 主要是应用在科学计算、可视化和交互式程序设计的高科技计算的环境，其是由美国Math Works公司开发和发布的。Matlab 在一个易于使用的可视化窗口环境中集成了数值分析与计算、矩阵的计算、图形的编辑以及非线性动态系统仿真等很多功能。Matlab 为科学研究领域、工程设计和要进行有效数值运算的许多科学领域提供了一种很好的解决途径，而且在很大程度上摆脱了传统程序设计语言（例如C 、Fortran ）的编辑模式。Matlab 体表了现今国际科学计算软件的先进水平。
Matlab 具有很强大的功能，它不仅可以对矩阵进行运算、绘制函数图形和数据等、而且号可以创建用户界面、对其他编程语言的程序连接。Matlab 的应用非常广泛，其主要应用在工程计算、数字信号处理与通讯、对数字图像进行处理、信号的检测、金融的模型建立与分析等很多领域。Matlab 是一个很高级的矩阵语言，它包括控制语句（如if 语句、for 语句等）、多种函数、数据结构、输入与输出，Matlab 的编程特点面向对象的。在编写程序时用户可以在命令窗口中将输入语句此时会自动执行此语句，用户也可以事先编写好一个应用程序（M 文件）后再对此文件进行运行。Matlab 有很多的函数集，包括一些最基本的函数到例如矩阵计算，数字滤波器频率响应、双线性变换等复杂函数。Matlab 中的函数能解决很多的问题其一般有矩阵的运算和方程的求解、微分方程组及偏微分方程组的求解、符号的运算、快速傅立叶变换统计与分析、在工程过程中对问题进行优化、对稀疏矩阵的运算、复数的各种运算、正余弦函数和其它初等函数的运算、多维数组的操作以及对建模进行动态仿真等。
Matlab 中有很丰富的数字信号处理工具箱，其工具箱使用非常简便。在数字信号处理中有多种算法，如FFT ，傅立叶变换，卷积，滤波器设计，滤波器设计等，都是只用一条语句就能调用[11]。Matlab 在数字信号处理中常用的函数有波形的产生、滤波器的分析和设计、傅里叶变换、Z 变换等，如：
波形产生：
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sawtooth （锯齿波或三角波）
Diric （Dirichlet 或周期sinc 函数） rand （白噪声信号波形）
square （方波）
sinc （sinc 或 函数）
chirp （chirp 信号波形）
滤波器的分析：
abs （求幅值）
angle （求相角）
conv （求卷积）
freqz （数字滤波器频率响应） impz （数字滤波器的冲击响应） zplane （数字系统零极点图）
IIR 滤波器设计：
butter （巴特沃思数字滤波器） cheby1（切比雪夫I 型）
cheby2（切比雪夫II 型）
maxflat （最平滤波器）
ellip （椭圆滤波器）
yulewalk （递归数字滤波器）
bilinear （双线性变换）
impinvar （冲激响应不变法）
FIR 滤波器设计：
triang （三角窗）
blackman （布莱克曼窗）
boxcar （矩形窗）
hamming （海明窗）
hanning （汉宁窗）
kaiser （凯塞窗）
fir1（基于窗函数法）
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fir2（基于频率抽样法）
firrcos （上升余弦FIR 滤波器设计法）
intfilt （内插FIR 滤波器设计法）
kaiserord （用Kaiser 窗设计FIR 滤波器的参数估计）
各种变换：
czt （线性调频Z 变换）
dct （离散余弦变换）
fft （一维快速傅里叶变换）
fft2（二维快速傅里叶变换）
idct （逆离散余弦变换）
ifft （一维逆快速傅里叶变换）
ifft2（二维逆快速傅里叶变换）
hilbert （Hilbert 变换）
2.3 MATLAB 优势和特点
（1）丰富的工作平台和编程环境
Matlab 是由很多的工具构成的，这些工具使用户能很方便的使用Matlab 函数与文件等。Matlab 工具中有很多工具都是采用的用户界面操作方式。随着Matlab 逐渐往商业化方向发展以其及软件自身的不断完善升级，Matlab 对其用户界面也在不断的完善，人和机的交互性变得更强，操作更容易更方便。而且在新版本的Matlab 中提供了比较全面的的联机查询功能和帮助系统，这对于用户的使用提供了极大的方便。Matlab 的编程环境有比较完善的调试系统，没编译过的程序就可以直接进行运行，并且能够及时地把错误报告出来及对出错原因的分析。
（2）出色的图形处理功能
方便的数据可视化的功能是Matlab 生来具有的，将向量与距阵用图形的形式表达出来，而且同时可以对图形标注与打印。较高水平层次的作图包括二维图形和三维图形的可视化、数字图象的处理、动画作图和表达式的作图等。最新版Matlab 对于整个图形的处理功能作了多处的改进和完善，使他在平常的数据可视化软件同时具有的功能（如二维曲线绘制、处理等）方面进一步完善，同时具对于其它软件没有的一些功能（例如对图形进行光照处理、色度的处理等），Matlab 也同样表现了非同凡响处理能力。而且Matlab 对一些特殊的可视化要求，例如图形形成和编辑等，也都有相应的功能函数， 11
保证了用户对图像方面的要求[12]。另外最新版本的Matlab 在图形用户界面的制作上进行了很大的改进，满足了对这方面有要求的客户。
（3）强大的科学计算机数据处理能力
Matlab 包含了许多的算法。其拥有的700多个工程项目中需要用到各种数学函数，满足了用户所需要的很多种计算的功能。在函数里所用到的算法基本上都是科学研究以及在各种工程计算中最新研究出来的成果。在很多情况下，我们用它来替换底层的编程语言，例如C 语言和C++等 。在计算和要求相同的情况下，使用Matlab 的编程语言工作量会大大减少，节省了程序计算的时间。Matlab 有很多的函数集，包括一些最基本的函数到例如矩阵计算，数字滤波器频率响应、双线性变换等复杂函数。Matlab 中的函数能解决很多的问题一般有矩阵的运算和方程的求解、微分方程组及偏微分方程组的求解、符号的运算、快速傅立叶变换统计与分析、在工程过程中对问题进行优化、对稀疏矩阵的运算、复数运算、正余弦函数和其它初等函数的运算、多维数组的操作以及对建模进行动态仿真功能的实现。
（4）简单的程序语言
Matlab 一个强大的距阵/阵列语言，它包含了各种控制语句、丰富的函数功能、对数据的输入、输出以及面向对象的编程特点。使用者在命令窗口中把输入语句和执行命令进行同步，或者先编好一个较大的应用程序后再对其直接运行。新版本的Matlab 语言是以最为流行的C ＋＋作为基础的，所以语法特征方面与C ＋＋语言很相似，并且比C ＋＋更简单，更符合使用者对表达式的书写格式的要求。使之更有利于不是计算机专业的人使用。而且Matlab 语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB 能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。
（5）常用的模块集合工具箱
Matlab 针对不同的领域都分别开发了相应功能的模块集合和工具箱。通常来说，这些均是由各自不同领域的专家所开发的，用户能够直接对工具箱进行使用而不需要用户亲自去编写代码。现在，Matlab 已经把工具箱的应用范围扩大到了科学技术的研究以及工程方面的应用等领域，例如数据信息的采集、数据库接口应用、数据概率统计、偏微分方程的求解、神经网络、小波形分析、数字信号处理、图像的编辑及处理、系统辨识、控制系统设计、LMI 控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP 与通讯、电力系统仿真等，都在工具箱（Toolbox ）家族中有了一定的基础。
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（6）实用的程序接口和发布平台
目前最新版本的Matlab 可以用Matlab 编译器和C/C++数学库和图形库，将Matlab 程序自动转换为C 或C++代码。允许用户编写的语言程序在Matlab 中或C 和C ＋＋语言程序中都可以相互转换运行程序。
Matlab 中的一个极其重要特点就是它拥有一套程序扩展系统和一组被称为工具箱应用子程序。工具箱是Matlab 函数的子程序库，所有工具箱都是为某个科学专业领域和一些特殊的应用而定制的，其主要应用包含数字信号处理、自动控制系统、模糊逻辑、小波形信号的分析和系统的仿真等各个方面的应用[13]。
（7）应用软件开发
在Matlab 的开发环境中，用户可以更加方便的对多个文件和图形视窗进行控制；在编程方面提供了函数嵌套的应用；在图形编辑方面，提供了功能强大的图形标注和图形处理等功能；在输入与输出方面，可以直接面向Excel 和HDF5。
(8) Matlab常用工具箱介绍
Matlab 主工具箱——Matlab Main Toolbox
控制系统工具箱——Control System Toolbox
通讯工具箱——Communication Toolbox
财政金融工具箱——Financial Toolbox
系统辨识工具箱——System Identification Toolbox
模糊逻辑工具箱——Fuzzy Logic Toolbox
图象处理工具箱——Image Processing Toolbox
线性矩阵不等式工具箱——LMI Control Toolbox
μ分析工具箱——μ-Analysis and Synthesis Toolbox
神经网络工具箱——Neural Network Toolbox
优化工具箱——Optimization Toolbox
偏微分方程工具箱——Partial Differential Toolbox
鲁棒控制工具箱——Robust Control Toolbox
信号处理工具箱——Signal Processing Toolbox
样条工具箱——Spline Toolbox
统计工具箱——Statistics Toolbox
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符号数学工具箱——Symbolic Math Toolbox
动态仿真工具箱——Simulink Toolbox
系统辨识工具箱——System Identification Toolbox
小波工具箱——Wavele Toolbox
例如：控制系统工具箱包含如下功能：
连续系统设计和离散系统设计
状态空间和传递函数以及模型转换
时域响应（脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应）
频域响应（Bode 图、Nyquist 图）
根轨迹、极点配置
图像处理工具箱的功能：
对图像进行增强和去掉模糊
对图像进行分割，提取其形态和特征
用来处理和显示、浏览图像的工作过程
对图像进行变换
3 方案设计
3.1 低通滤波器的介绍
低通滤波器是容许低于截止频率的信号通过， 但高于截止频率的信号不能通过的电子滤波装置。对于不同滤波器而言，每个频率的信号的强弱程度各不相同。当被应用在音频方面时，它通常被称为高频率剪切滤波器, 或者被称为高音消除滤波器。
低通滤波器有很多种不同形式的概念，其包含了平滑数据的数字算法、音障、图像的模糊处理等，这两个工具都通过剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式。
低通滤波器有很多种，其中，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。
3.2巴特沃斯滤波器的基本理论
Butterworth 滤波器是经常使用的滤波器的一种。巴特沃斯滤波器具有在通频带内的频率响应曲线尽可能平坦的特点，没有明显起伏现象，而阻频带内则不断下降直到为零。 在巴特沃斯滤波器振幅的对角频率波特图上, 从边界角频率开始, 振幅随着角频率的增加而逐渐减少, 并逐渐接近负的无限大。
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尤其是随着滤波器的阶数增加, 其衰减斜率也会不断增加, 直到达到最大程度平坦 其中最平坦型低通滤波器原型的衰减函数为:
2πL A (ω) =10lg(1+εω) (3-1)
butter 函数可以设计低通、高通、带通和带阻滤波器。利用[ba]=butter(n,Wn,‘ftype ’) 方式可以设计一个阶数为n 、截止频率为Wn 的低通滤波器。其中参数ftype 的形式确定了滤波器的形式， 当它为higll ’时得到高通滤波器[14]。若Wn 是一个含有两个元素向量[wl w2]，则返回的[a，b]所构成的滤波器是阶数为2n 的带通滤波器，滤波器的通带范围一般是wl
巴特沃思低通滤波器的幅度平方平方函数为：
H (j ω)=21
⎛ω1+ ω⎝c ⎫⎪⎪⎭2n (3-2)
其中，n 为正整数代表滤波器的阶数，ωc 为低通滤波器的截止频率。
该滤波器具有一些特殊的性质：
（1）对所有的n ，都有当ω=0时，H (j 0) =1
22 1
2即在ω=ωc 处有3dB 的衰减； （2）对所有的n ，都有当ω=ωc 时，H (j ω) =
（3）当ω→∞时，巴特沃思滤波器趋向于理想的低通滤波器。
（4）在ω
有最大平坦的幅度特性，因而巴特沃思滤波器又称
H (j ω) 2
最平幅度特性滤波器。随着ω由0到ωc ，
是通内特性越平坦。 单调减小，n 越大减小的越慢，也就
H (j ω) （5）当ω>ωc ，也随ω增加而单调减小，但是ω/ωc >1,2
故比通带内衰减的速度要快得多,n 越大, 衰减速度越快。
（6）在ω=0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0，因此在该点上取得最大值，且具有最大平坦特性。
巴特沃斯(Butterworth) 滤波器是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器, 它被广泛的应用在通信的各种领域中, 在电测量等方面也具有非常广泛的用途, 可以被用作为信号检测的滤波器。巴特沃斯滤波器具有在通频带内的频率响应曲线最大限度平坦的这一 15
特点，没有明显的起伏现象而在阻频带内不断下降直到为零。
阶数n 越高，其幅频特性越好，低频检测信号保真度越高。巴特沃思滤波器在线性相位、衰减斜率和加载特性三个方面具有特性均衡的优点，因此在实际使用中，巴特沃思滤波器已被列为首选。而且在我们的生活中也都可以看到对滤波器的使用。
3.3 低通巴特沃斯滤波器的设计
（1）根据技术指标通带截止频率Ωp , 通带最大衰减系数αp , 阻带截止频率Ωs ，
lg k sp k sp =
阻带最小衰减系数αs ，利用公式 N=-lg λsp (其中λsp =Ωs /Ω
p ，
求出滤波器的阶数N 。
12k +1j (+) 22N （2）在求出归一化极点p k ，代入公式p k =e ，（k=0,1,.....,N-1）得到归
一化传输函数H a (p ) 。
（3）将H a (p ) 去归一化。将p =s /Ωc 带入H a (p ) ，将得到实际的滤波器传输函数H a (p ) 。
Butter 函数可设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟IIR 滤波器，其特性为使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但同时损失截止频率处的下降斜度。在期望通带平滑的情况下，可使用butter 函数。butter 函数的用法为：[b,a]=butter(n,Wn,/ftype/)其中n 代表滤波器阶数，Wn 代表滤波器的截止频率，这两个参数可使用buttord 函数来确定。buttord 函数可在给定滤波器性能的情况下，求出巴特沃斯滤波器的最小阶数n ，同时给出对应的截止频率Wn 。buttord 函数的用法为：[n,Wn]= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp 和Ws 分别是通带和阻带的拐角频率（截止频率），其取值范围为0至1之间[15]。当其值为1时代表采样频率的一半。Rp 和Rs 分别是通带和阻带区的波纹系数。
不同类型（高通、低通、带通和带阻）滤波器对应的Wp 和Ws 值遵循以下规则： a ．高通滤波器：Wp 和Ws 为一元矢量且Wp>Ws；
b ．低通滤波器：Wp 和Ws 为一元矢量且Wp
c ．带通滤波器：Wp 和Ws 为二元矢量且WpWs，Wp=[0.1,0.8],Ws=[0.2,0.7]。 16
4 滤波器的仿真
4.1 仿真程序
clear all
dt=0.005;
t=0:dt:3; %设定步长 %设置3个频率的正弦信号 300HZ ,500HZ,1000HZ s1=sin(2*pi*300*t);
s2= sin(2*pi*500*t);
s3= sin(2*pi*1000*t);
s=s1+s2+s3;
figure(1);
subplot(2,2,1); plot(t,s1);
xlabel('t');title('300HZ正弦信号');
subplot(2,2,2); plot(t,s2);
xlabel('t');title('500HZ正弦信号');
subplot(2,2,3); plot(t,s3);
xlabel('t');title('1000HZ正弦信号');
subplot(2,2,4); plot(t,s);
xlabel('t');title('合成信号');
ss=fft(s,4096);
SS=(abs(ss(1:1:2049))); %求合成信号频谱
k1=0:2048;
w1=(1/4096)*k1*10000; %取0......Fs/2的部分
figure(2);
plot(w1,SS); grid
title('求原信号频谱');
%****通过低通滤波器*****%
ws1=1000; %设计一个通带为600HZ ，阻带为100HZ 的低通滤波器 % 3个正弦信号叠加 %画频谱图 wp1=600; wc=5000;
wp=wp1/wc; ws=ws1/wc;
17
[n,wn]=buttord(wp,ws,1,30)
[b,a]=butter(n,wn);
sb=3*filter(b,a,s) ;
ssb=fft(sb,4096); %巴特沃斯低通滤波器 %合成信号通过低通滤波器 %求频谱
SSb=abs(ssb(1:1:2049));
k1=0:2048; w1=(1/4096)*k1*10000; %画频谱图
figure(3);
plot(w1,SSb); grid
title ('经过低通滤波器后的信号频谱');
4.2 仿真实现
图1 表示滤波器的阶数是
8
图2 仿真用到的信号
18
图3 原信号频谱
图4 通过滤波器后的信号频谱
19
5 总结
本次毕业论文是对低通滤波器的设计进行研究，并后用MATLAB 语言对低通滤波器进行仿真的实现。
刚开始确定论文题目后就试着开始着手去做，等到自己真正做的时候才发现有好多东西不知道，而且不知道从哪开始！因此我停止去做而去查找资料并把原来上过的通信原理，Matlab ，数字图像处理等相关的书又仔细地阅读一遍，期间在图书馆也参考了许多相关书籍。
前言对课题背景和发展前景作了简要介绍。
第一章对滤波器进行了概述，从滤波器的起源、发展的方面对滤波器做了简单的介绍并对各种滤波器做了描述。
第二章对Matlab 语言的特点及应用进行了分析，并确定了此次论文的仿真软件。
第三章数字滤波器的各种实现方法进行了说明，提出了本文采用的实现方法。系统介绍了低通巴特沃斯滤波器，讲解了巴特沃斯滤波器的原理及特点及应用，并提供了巴特沃斯滤波器的设计方法。
第四章讨论了利用Matlab 对低通巴特沃斯滤波器进行设计，先选择一种函数，编写程序，了解编程中的一些指导原则。设计的结果采用Matlab 来验证，通过和Matlab 仿真进行对比来证明设计结果的正确性。
通过对基于MATLAB 的高阶低通滤波器的设计与仿真课题的设计与研究，自己从中获取了相应的成绩，对于理论也有了一定水平的提高，动手能力也有了明显的增强，与此同时也体现出了我自身的一些问题。先第一个方面是要对于一个我不熟悉的课题，需要去阅读一定的书籍及杂志来获得相应的知识认识这个课题，然后才能够有我自己的想法与主张；第二个方面是理论方面的基础知识对我固然是很重要的，论文中牵涉到不少的算法，同时也会用到许多以前学的基础知识，如果仅仅此时做课题需要用的时间再去学这些基础知识，会花费很多的时间在这方面；第三个方面也是最重要的，是要对自己有很大的信心，当在做论文中遇到不懂的时候要多向同学或者导师去寻求帮助，以上三个方面是可以快速提高我的课题研究进程，同时这也是我做论文的一些体会，这些对将会我以后的工作也会有很大的帮助。
20
论文题目： 基于MATLAB 的高阶低通滤波器的设计与仿真
目 录
前言 . ..................................................................... 3
1 滤波器 . ................................................................. 3
1.1 滤波器的原理 ...................................................... 3
1.2 滤波器的发展过程 .................................................. 4
1.3滤波器的分类 . ...................................................... 5
2 仿真软件MATLAB ......................................................... 8
2.1 MATLAB发展历史 . .................................................. 8
2.2 MATLAB功能 . ...................................................... 9
2.3 MATLAB优势和特点 . ............................................... 11
3 方案设计 . .............................................................. 14
3.1 低通滤波器的介绍 ................................................. 14
3.2巴特沃斯滤波器的基本理论 . ......................................... 14
3.3 低通巴特沃斯滤波器的设计 ......................................... 16
4 滤波器的仿真 . .......................................................... 17
4.1 仿真程序 ......................................................... 17
4.2 仿真实现 ......................................................... 18
5 总结 . .................................................................. 20
参考文献.. . .............................................................. 21
1
基于MATLAB 的高阶低通滤波器的设计与仿真
摘 要：滤波器在现代通信领域内有很广泛的应用，本文利用MATLAB 的butter 涵数设
计了8阶的巴特沃斯低通滤波器，并进行了仿真。仿真输入信号采用的是三个不同频率正弦信号的合成。将合成后的信号通过低通滤波器，实现了对高频信号部分的过滤。采用MATLAB 设计滤波器，使原来非常复杂的程序设计变成
了简单的函数调用MATLAB 信号处理工具箱为滤波器设计及分析提供了非常
优秀的辅助设计工具。
关键词：低通；滤波器；MATLAB
Design and Simulation of the High-level Low-pass Filter
Based on MATLAB
Student: LU Ye (Faculty Adriser: ZHANG DaLei)
(Department of Electrical and Information Engineering, Huainan Normal University) Abstract ：Filter is widely used in the field of modern communication, this paper designed 8
order Butterworth low pass filter using butter culvert MATLAB, simulation is
carried out. Simulation of the input signal is used in the synthesis of three different
frequency sine signals. The combined signal through a low pass filter, the
high-frequency signal portion of the filter. Using the MATLAB filter design, make
the program design of the original complex into simple function calls the
MATLAB Signal Processing Toolbox provides aided design tool is very good for
the design and analysis of filter.
Key words：Low pass; filter; MATLAB
2
前言
随着现代通信技术的不断的进步与发展，滤波器是现代通讯系统中不可缺少的器件之一，在过去的几年中迅速发展的过滤器是一种复杂的选频网络，其对在一定的频率范围内的信号予以很小的衰减, 使这部分信号可以通过, 而其它电信号予以很大程度上的衰减使其不能通过，从而尽可能地阻止这部分信号通。本次研究的课题就是对一组合成信号通过滤波器后分离出需要频率的信号并利用软件仿真，进行此次仿真的软件我选择利用Matlab 。Matlab 软件具有很强大的功能，具有一种方便的数据信息可视化技巧，使用向量和矩阵, 可以标记为图形。而且可以将矩阵和向量用图形的形式表达出来，而且同时对图形进行打印和标注。较高水平技巧的作图有表达式作图、二维可视化作图和三维的可视化作图、数字图象处理和动画作图[1]。现在被广泛应用于科学领域和工程方面绘图。它在数学类科技应用和计算方面是首屈一指的数值程序。用Matlab 对矩阵操作, 绘图函数和数据、实现算法、创建用户界面, 连接其他的编程语言、程序等, 主要应用于工程方面的计算、控制与设计、信号处理以及通讯、数字图像处理、金融模型的建立与设计等[2]。
1 滤波器
1.1 滤波器的原理 凡是可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减或抑制其他频率成分的装置或系统都称之为滤波器，相当于频率“筛子”。 滤波器的作用有两方面，一方面就是让某一频率范围内的信号能够顺利的通过，而另一方面是对某频率范围内的信号进行抑制而使其不能通过，从而达到滤波的作用，因此滤波器实际上是一个可以选频的电路。
在滤波器中，把某频率范围内能够通过的信号的频率，称为通带或通频带；相反，能最大程度的衰减信号或使信号全部抑制而不能通过的频率范围称为阻带；对于在通频带和阻带之间的分界频率我们称之为截止频率；我们认为在理想的情况下通带内的电压增益为常数，在阻带内的电压增益为零，此类滤波器是理想滤波器。
理想状态的滤波器与实际滤波器的比较：
a ．理想滤波器的频率特性
理想滤波器:使通带内信号的幅值和相位都不失真, 阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线。
3
如理想低通滤波器的频率响应函数为
H (jw ) =A 0l -jw Ωt (≤W C )
理想滤波器实际上并不存在。
b ．实际滤波器 或 H (j w ) =(>) C W (1-1)
实际滤波器的特性需要以下参数描述：
（1）恒部平均值A0：描述通带内的幅频特性；波纹幅度：d 。
（2）上、下截止频率：以幅频特性值为A0/2时的相应频率值WC1，WC2作为带通滤波器的上、下截止频率。带宽B =W C 2-W C 1。
=-3dB 0 所以 B =W C 2-W C 1也称“-3dB ”带宽 因为
（3）选择性：实际滤波器过渡带幅频曲线的倾斜程度表达了滤波器对通带外频率成分的衰减能力，用信频程选择性和滤波器因素描述。
信频程选择性：与上、下截止频率处相比，频率变化一倍频程时幅频特性的衰减量，即倍频程选择性：=20lg [A (2W C 2) A (W C 2) ] 或 =20lg [A (2W C 1) A (W C 1) ]信频程选择性总是小于等于零，显然，计算信量的衰减量越大，选择性越好[3]。 滤波器因素：－60dB 处的带宽与－3dB 处的带宽之比值，即越小, 选择性越好。分辨力：即分离信号中相邻频率成分的能力，用品质因素Q 描述。
C 1-W C 2W 0= (1-2) B -3dB W C 2-W C 1Q =
Q 越大，分辨率越高。
c ．实际的带通滤波器形式
1）恒定的带宽带通滤波器:B=常量，与中心频率f0无关。
2）恒定的百分比带通滤波器：在高频区恒定百分比带通滤波器的分辨率比恒定带宽带通滤波器的分辨率差
1.2 滤波器的发展过程
有能对信号进行处理的装置我们都可以称之为滤波器。即可以对波进行过滤的器件 4
就是滤波器。滤波器的应用非常的广泛在现代电子信息设备和各种类别的控制系统中，对于滤波器有极为广泛的用应；在现代几乎所有的电子设备中，应用的最多，技术最为繁杂的要数滤波器。滤波器的质量好坏直接影响了产品的功能，因此，世界各个国家对滤波器技术的研究和滤波器的生产都很重视。1917年德国和美国科学家都发明了LC 滤波器，这使美国出现了世界上第一个多路复用系统[4]。20世纪50年代各种无源滤波器的技术越来越先进和成熟。从60年代开始由于科学技术的不断进步使计算机、集成开发工艺和材料的工业生产技术得到了长足的发展，从而使滤波器的技术发展迎来了新的局面，而且滤波器朝着小体积、低功率损耗、高精度、多样化功能、稳定可靠和超低价格的方向努力，其中小体积、多样化功能、高精度测量、质量可靠成为70年代以后的主要研究方向。随着科技的进步，有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种相关滤波器都得到了快速的发展，到70年代后期，前面几种滤波器已被科研人员研制出来并得到了广泛的应用。80年代，人们开始着手对各种新类型的滤波器进行研究和开发，致力于提高滤波器的性能并扩大其应用范围。90年代到现在人们的研究方向是对于滤波器的应用和开发研制等。但是，对于滤波器自身的研究仍在不间断的进行，努力提高其性能。50年代后期滤波器才开始在我国得到广泛使用，当时仅仅用于话路滤波与报路滤波方面。经过半个多世纪的进步发展，我国滤波器在开发、生产和使用等方面已接近国际发展水平，但是由于没有专门研制机构，集成工艺和材料生产工业就得不到很好的发展，因此，我们国家多种新型滤波器的研制与应用与国际技术水平相比还是有一段不小的差距。
1.3滤波器的分类
从大的方面分，滤波器可以分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器由电阻，电容，电感，及由原器件构成；在实际生活中数字滤波器的使用的比较广泛。从实现方法上分，数字滤波器分为IIR 和FIR ，即无限冲激响应滤波器和有限冲激响应滤波器；其中IIR 网络中有反馈回路，FIR 网络中没有反馈回路[5]。
从小的方面分：
a. 按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。
b. 按所通过信号的频滤的范围可以分为高通滤波器、低通滤波器、带阻滤波器和带通滤波器四种。
5
高通滤波器：允许信号中的高频率信号分量通过，抑制低频率信号或直流分量。 低通滤波器：允许信号中的低频率信号或直流分量通过，抑制高频率信号分量。 带阻滤波器：抑制一定频率范围内的信号，允许该频率范围以外的信号通过。 带通滤波器：允许一定频率范围的信号通过，抑制低于或高于该频率范围的信号。 c. 按照使用的元器件可以分为无源滤波器和有源滤波器两种:
无源滤波器：由无源元件电阻、电感以及电容组成的滤波器是无源滤波器，其构成原理主要是利用电容和电感的电抗随着频率的变动而发生变化[6]。无源滤波器的特点主要是：有比较简单的电路，不需要直流电源，高性能；其主要缺点是：通带频率范围内的信号有能量损失，有很明显的负载效应，在使用过程中容易引起电磁感应现象，当电感比较大的情况下滤波器的体积和重量相应比较大，在低频率范围内不可以应用。
有源滤波器：使用无源器件(一般用R 和C) 和有源器件(如集成运算放大器）构成。有源滤波器主要特点是：通带频率范围内的信号没有能量损失，而且还可以进行放大，没有明显的负载效应，对于多级相联时之间的影响比较小，可以用级联方法组成高阶滤波器，而且滤波器的重量轻、体积小、不需要磁场进行屏蔽；其主要缺点是：有源器件的带宽在通带频率范围内受限制，要用直流电源进行供电，其在可靠性能方面比不上无源滤波器，在高电压、高频率、大功率的场合不建议使用。 滤波器种类繁多，下面介绍最近年来发展比较迅速的几种滤波器。
a. 有源滤波器
有源滤波器由运算放大器、正阻抗倒置器（PII ）、频率变阻器（FDNR ）、负电容、负电阻、负电感、负阻抗变换器（NIC ）、正阻抗变换器（PIC ）、负阻抗倒置器（NII ）、广义阻抗变换器（GIC ）、四种受控源组成。 b. 开关电容滤波器（SCF ）
SCF 具有以下优点：大规模集成；精确度高；功能多样化，SC 技术可以用来实现所有电子部件和功能；相比数字滤波器比较简单，不需要模数转换和数模转换[7]。
SCF 的应用现状：主体是声频范围的应用，工作应用的频率范围在100KHz 内；在数字信号处理方面包括：程控SCF 、对模拟信号进行处理、对振动频率的分析、音乐综合、解调器、离散傅氏变换、共振频谱、语言信号综合器、音调选择、语声编码、声音
6
频率的分析、均衡器、锁相电路等相关应用。总之，SCF 在许多领域都有广泛的应用前景包括仪器仪表的测量、医疗器械、数据或信号处理等。
c. 几种新型数字滤波器（DF ）
(1) 自适应DF
自学习、自跟踪是自适应DF 所具有比较强的功能。其在对缓慢变化的噪声干扰的抑制、通信信道的自适应均衡、噪声信号的处理、远距离电话的回声抵消等各种领域内有比较广泛的使用。 自适应DF 的简单算法：C-LMS 算法、M-LMS 算法、 TDO 算法、差值LMS 算法和W-LMS 算法
(2) 复数DF
大多数使用复数DF 情况下是在输入的信号为窄带信号的处理系统中。可利用正交双路检波法来降低采样率从而保证信号所包含信息的完整性，获得窄带信号的复包络，接着通过A/D转换器进行变换，我们将复包络变换为复数序列进行处理，这样的系统称之为复数DF 。
(3) 多维DF
在数字图象的处理、煤炭的开采、石油探测的数据信息处理中等都有对于维DF 的应用，设计多维DF ，通常是一维DF 被优化设计发展到多维DF 中。多维DF 也被用于模糊图像的处理和随机噪声干扰的二维图象的处理[8]。
d. 其它新型滤波器
(1) 声表面波滤波器
声表面波滤波器的幅频特性和相位特性可分别控制，以达到，工艺简单，稳定和体积小的要求。其是比较不错的超高频元器件。一般应用在：广播电视发射机中当作残留边带的滤波器；在彩色电视接的收机中用作调谐系统的表面梳形滤波器，而且，在国防卫星的通信系统中也被广泛应用。电子学和声学相结合而产生了声表面波滤波器，而且可以集成。所以，它在所有无源滤波器中最有发展前途。
(2) 晶体滤波器
利用单边带技术不断发展壮大的滤波器是晶体滤波器。在过去，使晶体滤波器的发展产生了一个质的飞跃的条件是集成晶体滤波器的产生，在最近十年以来，人们对晶体滤波器进行了以下方面的研究：努力实现良好的设计，除了具有很好的选择外，同时还 7
具有良好的时域响应；寻求探索新型的材料；积极的改进工艺技术，使其向集成化的方向发展。晶体滤波器被广泛应用在多路复用系统中作为载波滤波器，在接收和发送信号过程中，单边带通信机作为频率选择滤波器。
(3) 电控编程CCD 横向滤波器（FPCCDTF ）
以电荷耦合器加权的横向滤波器（TF ）在数字信号处理中，其质量和价格可与种信号处理部件和数字滤波器各相比较。电控编程CCD 横向滤波器主要应用于语音信号和相位均衡；自适应滤波；通用化的频域滤波器以及作相关、褶积运算[9]；P-N 序列和Chirp 波形的匹配滤波；相阵系统的波束合成和电视信号的重影消除等方面。 2 仿真软件MATLAB
2.1 MATLAB 发展历史
MATLAB 软件用作数字图形处理和数值计算的科学计算系统环境，其由美国Math works 公司推出的。MATLAB 是英文Matrix Laboratory的简写。Matlab 的第1版是1984年发行的，期间经过了10多年的不断完善，如今已推出最新版本(6.1版) 。在新的版本中集合了日常数学计算处理中和图形处理的各种功能，其功能主要包括：图像生成、矩阵的运算、数字信号处理以及高效率的数字计算等。用户可以在Matlab 环境下进行多种操作如：数学计算、程序设计、图像生成、输入与输出、文件资料的管理等。Matlab 提供了一个系统为基本数据结构是矩阵的人机交互系统环境，不需要在矩阵对象生成时特别的对维数做出相应说明。同时Matlab 在数字图像的处理方面也应用非常广泛，我们可以利用Matlab 显示图像并且对图像进行处理和变换在数字图象处理及Matlab 实现一书中详细描写了对于图像的各种处理及变换。应用Matlab 比应用c 语言或Fortran 语言程序进行数值计算可以大大节省量编程时间，提高运算速率。在如今美国部分的大学里，Matlab 逐渐成为辅助教学的有益工具在数值线性代数和其它一些高等数学课程等方面。Matlab 也被用在工程科学技术界解决一些实际课题与数学模型等问题[10]。其经典应用有：数值计算、算法的预设计处理与实验验证，和一些特别的短矩阵计算应用，例如自动化控制、统计、信号处理等。Matlab 系统一开始是用FORTRAN 语盲设计的，现在的Matlab 程序是用 C 语言开发的，其开发的公司是Math Works公司，Matlab 的第一版是在Steve Bangert的主持下开发编译程序，Steve Kleiman进行图形功能的修改与设计，而对于各类数学分析的模块与子模块是由John Little和Cleve Moler主持开发的。在第1版Matlab 发行以后，有很多的科学工作人员加入到了Matlab 的开发团队中，
8
而且许多科技工作者对于目前MATLAB 系统的进步与完善做出了巨大的努力。自从Matlab 被以商品形式推出后，在仅仅很短的几年时间，通过其良好的优点如开放性和运行的可靠性等，打败了以前控制领域里的封闭式软件包，使它们的使用者逐渐减少最终被淘汰，最终使人们改为以Matlab 为平台。Matlab 被国际控制界公认为标准的计算软件是在20世纪九十年代的时候。Matlab 在与国际上30多个数学类科技应用软件相比下，Matlab 在数值计算方面仍首屈可指，用的最多。
2.2 MATLAB 功能
Matlab 主要是应用在科学计算、可视化和交互式程序设计的高科技计算的环境，其是由美国Math Works公司开发和发布的。Matlab 在一个易于使用的可视化窗口环境中集成了数值分析与计算、矩阵的计算、图形的编辑以及非线性动态系统仿真等很多功能。Matlab 为科学研究领域、工程设计和要进行有效数值运算的许多科学领域提供了一种很好的解决途径，而且在很大程度上摆脱了传统程序设计语言（例如C 、Fortran ）的编辑模式。Matlab 体表了现今国际科学计算软件的先进水平。
Matlab 具有很强大的功能，它不仅可以对矩阵进行运算、绘制函数图形和数据等、而且号可以创建用户界面、对其他编程语言的程序连接。Matlab 的应用非常广泛，其主要应用在工程计算、数字信号处理与通讯、对数字图像进行处理、信号的检测、金融的模型建立与分析等很多领域。Matlab 是一个很高级的矩阵语言，它包括控制语句（如if 语句、for 语句等）、多种函数、数据结构、输入与输出，Matlab 的编程特点面向对象的。在编写程序时用户可以在命令窗口中将输入语句此时会自动执行此语句，用户也可以事先编写好一个应用程序（M 文件）后再对此文件进行运行。Matlab 有很多的函数集，包括一些最基本的函数到例如矩阵计算，数字滤波器频率响应、双线性变换等复杂函数。Matlab 中的函数能解决很多的问题其一般有矩阵的运算和方程的求解、微分方程组及偏微分方程组的求解、符号的运算、快速傅立叶变换统计与分析、在工程过程中对问题进行优化、对稀疏矩阵的运算、复数的各种运算、正余弦函数和其它初等函数的运算、多维数组的操作以及对建模进行动态仿真等。
Matlab 中有很丰富的数字信号处理工具箱，其工具箱使用非常简便。在数字信号处理中有多种算法，如FFT ，傅立叶变换，卷积，滤波器设计，滤波器设计等，都是只用一条语句就能调用[11]。Matlab 在数字信号处理中常用的函数有波形的产生、滤波器的分析和设计、傅里叶变换、Z 变换等，如：
波形产生：
9
sawtooth （锯齿波或三角波）
Diric （Dirichlet 或周期sinc 函数） rand （白噪声信号波形）
square （方波）
sinc （sinc 或 函数）
chirp （chirp 信号波形）
滤波器的分析：
abs （求幅值）
angle （求相角）
conv （求卷积）
freqz （数字滤波器频率响应） impz （数字滤波器的冲击响应） zplane （数字系统零极点图）
IIR 滤波器设计：
butter （巴特沃思数字滤波器） cheby1（切比雪夫I 型）
cheby2（切比雪夫II 型）
maxflat （最平滤波器）
ellip （椭圆滤波器）
yulewalk （递归数字滤波器）
bilinear （双线性变换）
impinvar （冲激响应不变法）
FIR 滤波器设计：
triang （三角窗）
blackman （布莱克曼窗）
boxcar （矩形窗）
hamming （海明窗）
hanning （汉宁窗）
kaiser （凯塞窗）
fir1（基于窗函数法）
10
fir2（基于频率抽样法）
firrcos （上升余弦FIR 滤波器设计法）
intfilt （内插FIR 滤波器设计法）
kaiserord （用Kaiser 窗设计FIR 滤波器的参数估计）
各种变换：
czt （线性调频Z 变换）
dct （离散余弦变换）
fft （一维快速傅里叶变换）
fft2（二维快速傅里叶变换）
idct （逆离散余弦变换）
ifft （一维逆快速傅里叶变换）
ifft2（二维逆快速傅里叶变换）
hilbert （Hilbert 变换）
2.3 MATLAB 优势和特点
（1）丰富的工作平台和编程环境
Matlab 是由很多的工具构成的，这些工具使用户能很方便的使用Matlab 函数与文件等。Matlab 工具中有很多工具都是采用的用户界面操作方式。随着Matlab 逐渐往商业化方向发展以其及软件自身的不断完善升级，Matlab 对其用户界面也在不断的完善，人和机的交互性变得更强，操作更容易更方便。而且在新版本的Matlab 中提供了比较全面的的联机查询功能和帮助系统，这对于用户的使用提供了极大的方便。Matlab 的编程环境有比较完善的调试系统，没编译过的程序就可以直接进行运行，并且能够及时地把错误报告出来及对出错原因的分析。
（2）出色的图形处理功能
方便的数据可视化的功能是Matlab 生来具有的，将向量与距阵用图形的形式表达出来，而且同时可以对图形标注与打印。较高水平层次的作图包括二维图形和三维图形的可视化、数字图象的处理、动画作图和表达式的作图等。最新版Matlab 对于整个图形的处理功能作了多处的改进和完善，使他在平常的数据可视化软件同时具有的功能（如二维曲线绘制、处理等）方面进一步完善，同时具对于其它软件没有的一些功能（例如对图形进行光照处理、色度的处理等），Matlab 也同样表现了非同凡响处理能力。而且Matlab 对一些特殊的可视化要求，例如图形形成和编辑等，也都有相应的功能函数， 11
保证了用户对图像方面的要求[12]。另外最新版本的Matlab 在图形用户界面的制作上进行了很大的改进，满足了对这方面有要求的客户。
（3）强大的科学计算机数据处理能力
Matlab 包含了许多的算法。其拥有的700多个工程项目中需要用到各种数学函数，满足了用户所需要的很多种计算的功能。在函数里所用到的算法基本上都是科学研究以及在各种工程计算中最新研究出来的成果。在很多情况下，我们用它来替换底层的编程语言，例如C 语言和C++等 。在计算和要求相同的情况下，使用Matlab 的编程语言工作量会大大减少，节省了程序计算的时间。Matlab 有很多的函数集，包括一些最基本的函数到例如矩阵计算，数字滤波器频率响应、双线性变换等复杂函数。Matlab 中的函数能解决很多的问题一般有矩阵的运算和方程的求解、微分方程组及偏微分方程组的求解、符号的运算、快速傅立叶变换统计与分析、在工程过程中对问题进行优化、对稀疏矩阵的运算、复数运算、正余弦函数和其它初等函数的运算、多维数组的操作以及对建模进行动态仿真功能的实现。
（4）简单的程序语言
Matlab 一个强大的距阵/阵列语言，它包含了各种控制语句、丰富的函数功能、对数据的输入、输出以及面向对象的编程特点。使用者在命令窗口中把输入语句和执行命令进行同步，或者先编好一个较大的应用程序后再对其直接运行。新版本的Matlab 语言是以最为流行的C ＋＋作为基础的，所以语法特征方面与C ＋＋语言很相似，并且比C ＋＋更简单，更符合使用者对表达式的书写格式的要求。使之更有利于不是计算机专业的人使用。而且Matlab 语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB 能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。
（5）常用的模块集合工具箱
Matlab 针对不同的领域都分别开发了相应功能的模块集合和工具箱。通常来说，这些均是由各自不同领域的专家所开发的，用户能够直接对工具箱进行使用而不需要用户亲自去编写代码。现在，Matlab 已经把工具箱的应用范围扩大到了科学技术的研究以及工程方面的应用等领域，例如数据信息的采集、数据库接口应用、数据概率统计、偏微分方程的求解、神经网络、小波形分析、数字信号处理、图像的编辑及处理、系统辨识、控制系统设计、LMI 控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP 与通讯、电力系统仿真等，都在工具箱（Toolbox ）家族中有了一定的基础。
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（6）实用的程序接口和发布平台
目前最新版本的Matlab 可以用Matlab 编译器和C/C++数学库和图形库，将Matlab 程序自动转换为C 或C++代码。允许用户编写的语言程序在Matlab 中或C 和C ＋＋语言程序中都可以相互转换运行程序。
Matlab 中的一个极其重要特点就是它拥有一套程序扩展系统和一组被称为工具箱应用子程序。工具箱是Matlab 函数的子程序库，所有工具箱都是为某个科学专业领域和一些特殊的应用而定制的，其主要应用包含数字信号处理、自动控制系统、模糊逻辑、小波形信号的分析和系统的仿真等各个方面的应用[13]。
（7）应用软件开发
在Matlab 的开发环境中，用户可以更加方便的对多个文件和图形视窗进行控制；在编程方面提供了函数嵌套的应用；在图形编辑方面，提供了功能强大的图形标注和图形处理等功能；在输入与输出方面，可以直接面向Excel 和HDF5。
(8) Matlab常用工具箱介绍
Matlab 主工具箱——Matlab Main Toolbox
控制系统工具箱——Control System Toolbox
通讯工具箱——Communication Toolbox
财政金融工具箱——Financial Toolbox
系统辨识工具箱——System Identification Toolbox
模糊逻辑工具箱——Fuzzy Logic Toolbox
图象处理工具箱——Image Processing Toolbox
线性矩阵不等式工具箱——LMI Control Toolbox
μ分析工具箱——μ-Analysis and Synthesis Toolbox
神经网络工具箱——Neural Network Toolbox
优化工具箱——Optimization Toolbox
偏微分方程工具箱——Partial Differential Toolbox
鲁棒控制工具箱——Robust Control Toolbox
信号处理工具箱——Signal Processing Toolbox
样条工具箱——Spline Toolbox
统计工具箱——Statistics Toolbox
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符号数学工具箱——Symbolic Math Toolbox
动态仿真工具箱——Simulink Toolbox
系统辨识工具箱——System Identification Toolbox
小波工具箱——Wavele Toolbox
例如：控制系统工具箱包含如下功能：
连续系统设计和离散系统设计
状态空间和传递函数以及模型转换
时域响应（脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应）
频域响应（Bode 图、Nyquist 图）
根轨迹、极点配置
图像处理工具箱的功能：
对图像进行增强和去掉模糊
对图像进行分割，提取其形态和特征
用来处理和显示、浏览图像的工作过程
对图像进行变换
3 方案设计
3.1 低通滤波器的介绍
低通滤波器是容许低于截止频率的信号通过， 但高于截止频率的信号不能通过的电子滤波装置。对于不同滤波器而言，每个频率的信号的强弱程度各不相同。当被应用在音频方面时，它通常被称为高频率剪切滤波器, 或者被称为高音消除滤波器。
低通滤波器有很多种不同形式的概念，其包含了平滑数据的数字算法、音障、图像的模糊处理等，这两个工具都通过剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式。
低通滤波器有很多种，其中，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。
3.2巴特沃斯滤波器的基本理论
Butterworth 滤波器是经常使用的滤波器的一种。巴特沃斯滤波器具有在通频带内的频率响应曲线尽可能平坦的特点，没有明显起伏现象，而阻频带内则不断下降直到为零。 在巴特沃斯滤波器振幅的对角频率波特图上, 从边界角频率开始, 振幅随着角频率的增加而逐渐减少, 并逐渐接近负的无限大。
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尤其是随着滤波器的阶数增加, 其衰减斜率也会不断增加, 直到达到最大程度平坦 其中最平坦型低通滤波器原型的衰减函数为:
2πL A (ω) =10lg(1+εω) (3-1)
butter 函数可以设计低通、高通、带通和带阻滤波器。利用[ba]=butter(n,Wn,‘ftype ’) 方式可以设计一个阶数为n 、截止频率为Wn 的低通滤波器。其中参数ftype 的形式确定了滤波器的形式， 当它为higll ’时得到高通滤波器[14]。若Wn 是一个含有两个元素向量[wl w2]，则返回的[a，b]所构成的滤波器是阶数为2n 的带通滤波器，滤波器的通带范围一般是wl
巴特沃思低通滤波器的幅度平方平方函数为：
H (j ω)=21
⎛ω1+ ω⎝c ⎫⎪⎪⎭2n (3-2)
其中，n 为正整数代表滤波器的阶数，ωc 为低通滤波器的截止频率。
该滤波器具有一些特殊的性质：
（1）对所有的n ，都有当ω=0时，H (j 0) =1
22 1
2即在ω=ωc 处有3dB 的衰减； （2）对所有的n ，都有当ω=ωc 时，H (j ω) =
（3）当ω→∞时，巴特沃思滤波器趋向于理想的低通滤波器。
（4）在ω
有最大平坦的幅度特性，因而巴特沃思滤波器又称
H (j ω) 2
最平幅度特性滤波器。随着ω由0到ωc ，
是通内特性越平坦。 单调减小，n 越大减小的越慢，也就
H (j ω) （5）当ω>ωc ，也随ω增加而单调减小，但是ω/ωc >1,2
故比通带内衰减的速度要快得多,n 越大, 衰减速度越快。
（6）在ω=0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0，因此在该点上取得最大值，且具有最大平坦特性。
巴特沃斯(Butterworth) 滤波器是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器, 它被广泛的应用在通信的各种领域中, 在电测量等方面也具有非常广泛的用途, 可以被用作为信号检测的滤波器。巴特沃斯滤波器具有在通频带内的频率响应曲线最大限度平坦的这一 15
特点，没有明显的起伏现象而在阻频带内不断下降直到为零。
阶数n 越高，其幅频特性越好，低频检测信号保真度越高。巴特沃思滤波器在线性相位、衰减斜率和加载特性三个方面具有特性均衡的优点，因此在实际使用中，巴特沃思滤波器已被列为首选。而且在我们的生活中也都可以看到对滤波器的使用。
3.3 低通巴特沃斯滤波器的设计
（1）根据技术指标通带截止频率Ωp , 通带最大衰减系数αp , 阻带截止频率Ωs ，
lg k sp k sp =
阻带最小衰减系数αs ，利用公式 N=-lg λsp (其中λsp =Ωs /Ω
p ，
求出滤波器的阶数N 。
12k +1j (+) 22N （2）在求出归一化极点p k ，代入公式p k =e ，（k=0,1,.....,N-1）得到归
一化传输函数H a (p ) 。
（3）将H a (p ) 去归一化。将p =s /Ωc 带入H a (p ) ，将得到实际的滤波器传输函数H a (p ) 。
Butter 函数可设计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟IIR 滤波器，其特性为使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但同时损失截止频率处的下降斜度。在期望通带平滑的情况下，可使用butter 函数。butter 函数的用法为：[b,a]=butter(n,Wn,/ftype/)其中n 代表滤波器阶数，Wn 代表滤波器的截止频率，这两个参数可使用buttord 函数来确定。buttord 函数可在给定滤波器性能的情况下，求出巴特沃斯滤波器的最小阶数n ，同时给出对应的截止频率Wn 。buttord 函数的用法为：[n,Wn]= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp 和Ws 分别是通带和阻带的拐角频率（截止频率），其取值范围为0至1之间[15]。当其值为1时代表采样频率的一半。Rp 和Rs 分别是通带和阻带区的波纹系数。
不同类型（高通、低通、带通和带阻）滤波器对应的Wp 和Ws 值遵循以下规则： a ．高通滤波器：Wp 和Ws 为一元矢量且Wp>Ws；
b ．低通滤波器：Wp 和Ws 为一元矢量且Wp
c ．带通滤波器：Wp 和Ws 为二元矢量且WpWs，Wp=[0.1,0.8],Ws=[0.2,0.7]。 16
4 滤波器的仿真
4.1 仿真程序
clear all
dt=0.005;
t=0:dt:3; %设定步长 %设置3个频率的正弦信号 300HZ ,500HZ,1000HZ s1=sin(2*pi*300*t);
s2= sin(2*pi*500*t);
s3= sin(2*pi*1000*t);
s=s1+s2+s3;
figure(1);
subplot(2,2,1); plot(t,s1);
xlabel('t');title('300HZ正弦信号');
subplot(2,2,2); plot(t,s2);
xlabel('t');title('500HZ正弦信号');
subplot(2,2,3); plot(t,s3);
xlabel('t');title('1000HZ正弦信号');
subplot(2,2,4); plot(t,s);
xlabel('t');title('合成信号');
ss=fft(s,4096);
SS=(abs(ss(1:1:2049))); %求合成信号频谱
k1=0:2048;
w1=(1/4096)*k1*10000; %取0......Fs/2的部分
figure(2);
plot(w1,SS); grid
title('求原信号频谱');
%****通过低通滤波器*****%
ws1=1000; %设计一个通带为600HZ ，阻带为100HZ 的低通滤波器 % 3个正弦信号叠加 %画频谱图 wp1=600; wc=5000;
wp=wp1/wc; ws=ws1/wc;
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[n,wn]=buttord(wp,ws,1,30)
[b,a]=butter(n,wn);
sb=3*filter(b,a,s) ;
ssb=fft(sb,4096); %巴特沃斯低通滤波器 %合成信号通过低通滤波器 %求频谱
SSb=abs(ssb(1:1:2049));
k1=0:2048; w1=(1/4096)*k1*10000; %画频谱图
figure(3);
plot(w1,SSb); grid
title ('经过低通滤波器后的信号频谱');
4.2 仿真实现
图1 表示滤波器的阶数是
8
图2 仿真用到的信号
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图3 原信号频谱
图4 通过滤波器后的信号频谱
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5 总结
本次毕业论文是对低通滤波器的设计进行研究，并后用MATLAB 语言对低通滤波器进行仿真的实现。
刚开始确定论文题目后就试着开始着手去做，等到自己真正做的时候才发现有好多东西不知道，而且不知道从哪开始！因此我停止去做而去查找资料并把原来上过的通信原理，Matlab ，数字图像处理等相关的书又仔细地阅读一遍，期间在图书馆也参考了许多相关书籍。
前言对课题背景和发展前景作了简要介绍。
第一章对滤波器进行了概述，从滤波器的起源、发展的方面对滤波器做了简单的介绍并对各种滤波器做了描述。
第二章对Matlab 语言的特点及应用进行了分析，并确定了此次论文的仿真软件。
第三章数字滤波器的各种实现方法进行了说明，提出了本文采用的实现方法。系统介绍了低通巴特沃斯滤波器，讲解了巴特沃斯滤波器的原理及特点及应用，并提供了巴特沃斯滤波器的设计方法。
第四章讨论了利用Matlab 对低通巴特沃斯滤波器进行设计，先选择一种函数，编写程序，了解编程中的一些指导原则。设计的结果采用Matlab 来验证，通过和Matlab 仿真进行对比来证明设计结果的正确性。
通过对基于MATLAB 的高阶低通滤波器的设计与仿真课题的设计与研究，自己从中获取了相应的成绩，对于理论也有了一定水平的提高，动手能力也有了明显的增强，与此同时也体现出了我自身的一些问题。先第一个方面是要对于一个我不熟悉的课题，需要去阅读一定的书籍及杂志来获得相应的知识认识这个课题，然后才能够有我自己的想法与主张；第二个方面是理论方面的基础知识对我固然是很重要的，论文中牵涉到不少的算法，同时也会用到许多以前学的基础知识，如果仅仅此时做课题需要用的时间再去学这些基础知识，会花费很多的时间在这方面；第三个方面也是最重要的，是要对自己有很大的信心，当在做论文中遇到不懂的时候要多向同学或者导师去寻求帮助，以上三个方面是可以快速提高我的课题研究进程，同时这也是我做论文的一些体会，这些对将会我以后的工作也会有很大的帮助。
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