关于五枚硬币的两两相交问题的一个数学解释 （两两相交即五枚硬币的任两枚硬币均相交）
董岩
解：拼接成的图形为一个空间立体图形，我们是先保证1号硬币、2号硬币和3号硬币两两相交且4号硬币和5号硬币都各与1号硬币、2号硬币和3号硬币相交的情况下，这是很容易实现的，我们要做的就是判断4号硬币和5号硬币是否相交。若能相交，即断定为成功（这里的“成功”是指五枚硬币可以组成硬币两两相交的空间图形）。 主视图：
以上对硬币进行编号，可以使能联想到的立体图形更加形象化。对于
左视图，未画出4号硬币和5号硬币，是为了说明图形更加方便。 设硬币的直径为D ，厚度为d ；
根据左视图：
图中A 、B 两点分别为3号硬币和2号硬币的圆心，C 点为1号硬币和3号硬币在左视图上的交点。CD 垂直于AB ，CH 垂直于AG 。 易知AE=AC=D d ，DE=， 22
D d D -d 所以AD=AE—DE=—=， 222
221D ⎫⎛D -d ⎫2Dd -d 2 根据勾股定理，有CD=AC 2-AD 2=⎛ ⎪- ⎪=2⎝2⎭⎝2⎭
∴CF=DF-CD=AG-CD=
∴GH=CF=D 1-2Dd -d 2 22D 1-2Dd -d 2.
M N
如果我们在最劣情况下建立一个模型，即让4号硬币和5号硬币对称放置，这是在成功概率最小情况下建立的模型。这是我们对模型的第一次劣化。如果我们假定关于1号硬币对称的2号硬币和3号硬币
图1 图2
的下端处为平的，显然，在我们向成功逼近时，即保证4号硬币和5号硬币可以相交时，在图2情况可以成功时，在图1情况下也能保证成功。这是对模型的第二次劣化。（这里的劣化是指向模型成功概率减小的方向而建立一系列的模型，如果最劣化的模型成立，则原模型必然成立。）
对于三角形OPN ，必有，OP+PN>ON
即
P D 3D d +D >-GH + 222tan β γ α 代入GH 得tan β>
又由正弦定理得
d D -2Dd -d OP PN = sin βsin γ2
γ=2s i n β ∴ s i n
易知α>900 ∴1800-β-γ>900 ∴γ
当任一角在区间00和900之间时，随着角的增加，其正弦值也随之增
加，故有sin γ
∴2sin β
∴d
D -2Dd -d 2
d 1∴
α>900 ∴cos α
OP 2+PN 2-ON 2
∴cos α=
∴OP 2+PN 2-ON 2
当M 点和N 点重合时，在三角形OPM 中，也有α' >900
也有OP 2+PM 2
ON >OM ∴当OP 2+PM 2
化简。
对于OP 2+PM 2
⎛3D ⎛D 1D ⎫22⎫⎫+D
化简得(D -d )21-D 5-1≈0. 0284 2
∴0. 0284
即在厚径比（硬币的厚度和直径之比）在（0.0284,0.2）内时，可近似认为成功，也就是五枚硬币可两两相交。
【(*^__^*) 嘻嘻„„，一元硬币我验证过了，虽然没有用尺子精确测量，但是我发现13枚硬币的厚度和与硬币的直径近似相等，故一元硬币的厚径比
d 1=≈0. 0769，在区间内。】 D 13
关于五枚硬币的两两相交问题的一个数学解释 （两两相交即五枚硬币的任两枚硬币均相交）
董岩
解：拼接成的图形为一个空间立体图形，我们是先保证1号硬币、2号硬币和3号硬币两两相交且4号硬币和5号硬币都各与1号硬币、2号硬币和3号硬币相交的情况下，这是很容易实现的，我们要做的就是判断4号硬币和5号硬币是否相交。若能相交，即断定为成功（这里的“成功”是指五枚硬币可以组成硬币两两相交的空间图形）。 主视图：
以上对硬币进行编号，可以使能联想到的立体图形更加形象化。对于
左视图，未画出4号硬币和5号硬币，是为了说明图形更加方便。 设硬币的直径为D ，厚度为d ；
根据左视图：
图中A 、B 两点分别为3号硬币和2号硬币的圆心，C 点为1号硬币和3号硬币在左视图上的交点。CD 垂直于AB ，CH 垂直于AG 。 易知AE=AC=D d ，DE=， 22
D d D -d 所以AD=AE—DE=—=， 222
221D ⎫⎛D -d ⎫2Dd -d 2 根据勾股定理，有CD=AC 2-AD 2=⎛ ⎪- ⎪=2⎝2⎭⎝2⎭
∴CF=DF-CD=AG-CD=
∴GH=CF=D 1-2Dd -d 2 22D 1-2Dd -d 2.
M N
如果我们在最劣情况下建立一个模型，即让4号硬币和5号硬币对称放置，这是在成功概率最小情况下建立的模型。这是我们对模型的第一次劣化。如果我们假定关于1号硬币对称的2号硬币和3号硬币
图1 图2
的下端处为平的，显然，在我们向成功逼近时，即保证4号硬币和5号硬币可以相交时，在图2情况可以成功时，在图1情况下也能保证成功。这是对模型的第二次劣化。（这里的劣化是指向模型成功概率减小的方向而建立一系列的模型，如果最劣化的模型成立，则原模型必然成立。）
对于三角形OPN ，必有，OP+PN>ON
即
P D 3D d +D >-GH + 222tan β γ α 代入GH 得tan β>
又由正弦定理得
d D -2Dd -d OP PN = sin βsin γ2
γ=2s i n β ∴ s i n
易知α>900 ∴1800-β-γ>900 ∴γ
当任一角在区间00和900之间时，随着角的增加，其正弦值也随之增
加，故有sin γ
∴2sin β
∴d
D -2Dd -d 2
d 1∴
α>900 ∴cos α
OP 2+PN 2-ON 2
∴cos α=
∴OP 2+PN 2-ON 2
当M 点和N 点重合时，在三角形OPM 中，也有α' >900
也有OP 2+PM 2
ON >OM ∴当OP 2+PM 2
化简。
对于OP 2+PM 2
⎛3D ⎛D 1D ⎫22⎫⎫+D
化简得(D -d )21-D 5-1≈0. 0284 2
∴0. 0284
即在厚径比（硬币的厚度和直径之比）在（0.0284,0.2）内时，可近似认为成功，也就是五枚硬币可两两相交。
【(*^__^*) 嘻嘻„„，一元硬币我验证过了，虽然没有用尺子精确测量，但是我发现13枚硬币的厚度和与硬币的直径近似相等，故一元硬币的厚径比
d 1=≈0. 0769，在区间内。】 D 13