N阶行列式的计算

N阶行列式的计算

N阶行列式的计算方法主要有以下几种： 1、 直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）

例1：计算D=a31

a12a32a42a52

a13a23a33a43a53

0a24a3400

0a25

a35解：由定义知D=(-1)N(j1...jn)a1j1a2j2...anjn，因

j1...jn

00

a21a2200

为a11=a14=a15=0，所以D的非零项中j1只能取2或3，同理，有a41=a44=a45=a51=a54=a55=0，可推出j4,j5只能取2或3，又因为j1...j5要求各不相同，故a1j1a2j2...a5j5项中至少有一个必须取零，所以D=0.

练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1，(1)n1n!， 0， 0】

001)[**************]12)1010001

011

13)1

00

n

01000

0200

00n10

a11

4)a31

a12a32a52

a13a23000

a14a24000

a15a250 00

a21a22a41a42a51

2、 利用行列式的性质进行计算： （1）直接利用行列式的性质计算

1

例2：计算：-4

3302132152

2

3297c3+c2(-100)-43-3c2+c3-40-3=5。 2203223253

(2)化行列式为三角形行列式而后计算（多采用首先使a11=1，而后使a21,a31等为0…）

1-1

例3：计算

20

330

n-1nn-1nn-1n0

n=

12000000

3300

n-1n

02232(n-1)2n2(n-1)2nn-10

2nn

=n!（分析：本题中

-1-2

-1-2-3-1-2-3

1-n0

的行列式的第一行各项分别加到后面各行对应元素上，可将行列式化为上三角形行列式）

(3)各行（列）都加至同一行（列）上（适用于行列式的行（列）的诸元素之和相等时）

(4)行列式的某一行各项乘k分别加到其余各行对应元素上

x-a

a

例4：a

a1

1

x+(n-2)a1

1

ax-aaaax-aaa

aax-aaaax-aa

ax+(n-2)aax-aaa

aax-aaa00x-2a

=…

aaa=x

-a

ax+(n-2)aa各列加至第一列x+(n-2)ax

-aa

1

a0

a=(x+(n-2)a)0x-

a

0x

x+(n-2)aax-2a0

a0

x-2a0

12

练习：(1)

3423413412

0xx

4

x0

x

1

【160】(2)

xx023

xxx

x

x 【(-1)n-1(n-1)xn】 0

(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）

222

a2（a+1）（a+2）（a+3）a2

c4+c3(-1)2

2222b（b+1）（b+2）（b+3)b

c+c(-1)例5：222223

c（c+1）（c+2）（c+3）c2

c+c1(-1)2

22222d（d+1）（d+2）（d+3）d

2a+12a+32a+5

2b+12b+32b+52c+10a2002

00a303

2c+32c+5000ann

=…=0

2d+12d+32d+5

000

an1

a10

例6：

a1a20

01

0a2a301

000

an1

a1

001

0c2+c100

c3+新c20c

4+

新c3an...1

1

=(1)n(n1)a1a2

an。

n

n1n2

n3【(-1)n+1xn-2】 21

234

123x12

练习：Dxx1

xx

xxxx

(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）

1a21b2+2

b例7：

1c2+2

c1d2+2

d

a2+1a21

b12

b+(-1)3

1

c12

c1

d1

d2

a1

abcd

1a1b1c1d

1a21b2

=

abcd

1

c2

1d2

1a1b1c1d1a212

b+1c21d2abcd

1a1b1c1d1a21

1b12

b=abcd

1

1c12

c1

1d1

d21

a11a1b 1c1d

1a1axbyaybzazbxxb=0 练习:证明aybzazbxaxby=(a3b3)y1

azbxaxbyaybzz

c1d

yzx

zx y

3、 降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）

非零元素较少。

231023421121

例8：D=

212121432122

a000a0

例9：

11200

231

按第4列展开034

211=8 1(1)

1

220

0000

0a000a

0100

00a

00a

a00a

00a000100

=

a

0000

n+1

+(-1)

1+

n

a00a

000100

a0

（按第一行展开）=aan-1+(-1)1(-1)n-1+1an-2（按第n-1行展开）=an-an-2

4、 利用范德蒙行列式：当行列式类似范德蒙行列式时，可以直接使用公式。

1111+a1+b1+c

例10：

a+a2b+b2c+c2a2+a3b2+b3c2+c31 1

l+l(-1)21

1+da

l3+新l2(-1)

d+d2a2

l+新l(-1)43

d2+d3a31

bb2b31cc2c31d

=… 2dd3

5、递推法：把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低行列式的线性关系式

Dn=aDn-1+bDn-2或Dn=aDn-1+b，再递推得结果。

2aa2

例11：已知Dn

12aa2

12a

1a2

2aa2

12a

，证明：Dn(n1)an

证明：按第一列展开Dn2aDn1a2Dn2，即DnaDn1aDn1aDn2. 所以数列DnaDn1是首项为D2aD1a2,公比为a的等比数列.

故DnaDn1an,即从而有

DnDn1

1. anan1

DnD1

n1n1,即Dnn1an. naa

6、 加边法：通过加一行（列）可使行列式变为特殊行列式

1

例12：计算x1

2

1

2

x23x2

1

2x3。解：该行列式与范德蒙行列式很接近，仅缺少一次项，可通过3x3

x13

加一行构造辅助行列式来证明。

1

令D=

1x2

2x2

1x3

2x3

1yy2y

3

x1x12x

31

,则D=y-x1y-x2y-x3

3i>j1

(x-x);（1）

i

j

x

32

x

33

23

另一方面，按第四列展开，得：D=1A14+yA24+yA34+yA44

题设行列式正是A24，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为x1x2+x2x3+x3x1

3i>j1

(x-x)

i

j

1

所以：x1

2

1

2

x23x2

1

2x3=x1x2+x2x3+x3x1(xi-xj)。

3i>j13

x3

x13

7、 观察一次因式法

1112x2

例13：计算D4=

232323

23

1519x2

解：当x1时，第一、第二行对应元素相等，所以D4=0，可见D4中含有因式，

(x1)(x1)，当x2时，第三、第四行对应元素相等，所以D4=0，可见D4中含有

因式(x2)(x2)。

由于D4中关于x的最高次数是4，所以D4A(x1)(x1)(x2)(x2)

D4中含x4的项是1(2x2)1(9x2)2(2x2)2(9x2)，

比较上面两式中x4的系数，得A3，故D43(x1)(x1)(x2)(x2)。

1

1

例14：解方程Dn1

1

解：当x=0,1,2，

11111(n1)x

=0

1x112x1

1

(n2)时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行

列式可写成Ax(x1)(x2)(xn2)，

(xn2)0，

于是原方程变为Ax(x1)(x2)所以原方程的解为x10,x21,

xn1n2。

8、利用数学归纳法进行证明或计算。

例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性

N阶行列式的计算

N阶行列式的计算方法主要有以下几种： 1、 直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）

例1：计算D=a31

a12a32a42a52

a13a23a33a43a53

0a24a3400

0a25

a35解：由定义知D=(-1)N(j1...jn)a1j1a2j2...anjn，因

j1...jn

00

a21a2200

为a11=a14=a15=0，所以D的非零项中j1只能取2或3，同理，有a41=a44=a45=a51=a54=a55=0，可推出j4,j5只能取2或3，又因为j1...j5要求各不相同，故a1j1a2j2...a5j5项中至少有一个必须取零，所以D=0.

练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1，(1)n1n!， 0， 0】

001)[**************]12)1010001

011

13)1

00

n

01000

0200

00n10

a11

4)a31

a12a32a52

a13a23000

a14a24000

a15a250 00

a21a22a41a42a51

2、 利用行列式的性质进行计算： （1）直接利用行列式的性质计算

1

例2：计算：-4

3302132152

2

3297c3+c2(-100)-43-3c2+c3-40-3=5。 2203223253

(2)化行列式为三角形行列式而后计算（多采用首先使a11=1，而后使a21,a31等为0…）

1-1

例3：计算

20

330

n-1nn-1nn-1n0

n=

12000000

3300

n-1n

02232(n-1)2n2(n-1)2nn-10

2nn

=n!（分析：本题中

-1-2

-1-2-3-1-2-3

1-n0

的行列式的第一行各项分别加到后面各行对应元素上，可将行列式化为上三角形行列式）

(3)各行（列）都加至同一行（列）上（适用于行列式的行（列）的诸元素之和相等时）

(4)行列式的某一行各项乘k分别加到其余各行对应元素上

x-a

a

例4：a

a1

1

x+(n-2)a1

1

ax-aaaax-aaa

aax-aaaax-aa

ax+(n-2)aax-aaa

aax-aaa00x-2a

=…

aaa=x

-a

ax+(n-2)aa各列加至第一列x+(n-2)ax

-aa

1

a0

a=(x+(n-2)a)0x-

a

0x

x+(n-2)aax-2a0

a0

x-2a0

12

练习：(1)

3423413412

0xx

4

x0

x

1

【160】(2)

xx023

xxx

x

x 【(-1)n-1(n-1)xn】 0

(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）

222

a2（a+1）（a+2）（a+3）a2

c4+c3(-1)2

2222b（b+1）（b+2）（b+3)b

c+c(-1)例5：222223

c（c+1）（c+2）（c+3）c2

c+c1(-1)2

22222d（d+1）（d+2）（d+3）d

2a+12a+32a+5

2b+12b+32b+52c+10a2002

00a303

2c+32c+5000ann

=…=0

2d+12d+32d+5

000

an1

a10

例6：

a1a20

01

0a2a301

000

an1

a1

001

0c2+c100

c3+新c20c

4+

新c3an...1

1

=(1)n(n1)a1a2

an。

n

n1n2

n3【(-1)n+1xn-2】 21

234

123x12

练习：Dxx1

xx

xxxx

(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）

1a21b2+2

b例7：

1c2+2

c1d2+2

d

a2+1a21

b12

b+(-1)3

1

c12

c1

d1

d2

a1

abcd

1a1b1c1d

1a21b2

=

abcd

1

c2

1d2

1a1b1c1d1a212

b+1c21d2abcd

1a1b1c1d1a21

1b12

b=abcd

1

1c12

c1

1d1

d21

a11a1b 1c1d

1a1axbyaybzazbxxb=0 练习:证明aybzazbxaxby=(a3b3)y1

azbxaxbyaybzz

c1d

yzx

zx y

3、 降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）

非零元素较少。

231023421121

例8：D=

212121432122

a000a0

例9：

11200

231

按第4列展开034

211=8 1(1)

1

220

0000

0a000a

0100

00a

00a

a00a

00a000100

=

a

0000

n+1

+(-1)

1+

n

a00a

000100

a0

（按第一行展开）=aan-1+(-1)1(-1)n-1+1an-2（按第n-1行展开）=an-an-2

4、 利用范德蒙行列式：当行列式类似范德蒙行列式时，可以直接使用公式。

1111+a1+b1+c

例10：

a+a2b+b2c+c2a2+a3b2+b3c2+c31 1

l+l(-1)21

1+da

l3+新l2(-1)

d+d2a2

l+新l(-1)43

d2+d3a31

bb2b31cc2c31d

=… 2dd3

5、递推法：把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低行列式的线性关系式

Dn=aDn-1+bDn-2或Dn=aDn-1+b，再递推得结果。

2aa2

例11：已知Dn

12aa2

12a

1a2

2aa2

12a

，证明：Dn(n1)an

证明：按第一列展开Dn2aDn1a2Dn2，即DnaDn1aDn1aDn2. 所以数列DnaDn1是首项为D2aD1a2,公比为a的等比数列.

故DnaDn1an,即从而有

DnDn1

1. anan1

DnD1

n1n1,即Dnn1an. naa

6、 加边法：通过加一行（列）可使行列式变为特殊行列式

1

例12：计算x1

2

1

2

x23x2

1

2x3。解：该行列式与范德蒙行列式很接近，仅缺少一次项，可通过3x3

x13

加一行构造辅助行列式来证明。

1

令D=

1x2

2x2

1x3

2x3

1yy2y

3

x1x12x

31

,则D=y-x1y-x2y-x3

3i>j1

(x-x);（1）

i

j

x

32

x

33

23

另一方面，按第四列展开，得：D=1A14+yA24+yA34+yA44

题设行列式正是A24，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为x1x2+x2x3+x3x1

3i>j1

(x-x)

i

j

1

所以：x1

2

1

2

x23x2

1

2x3=x1x2+x2x3+x3x1(xi-xj)。

3i>j13

x3

x13

7、 观察一次因式法

1112x2

例13：计算D4=

232323

23

1519x2

解：当x1时，第一、第二行对应元素相等，所以D4=0，可见D4中含有因式，

(x1)(x1)，当x2时，第三、第四行对应元素相等，所以D4=0，可见D4中含有

因式(x2)(x2)。

由于D4中关于x的最高次数是4，所以D4A(x1)(x1)(x2)(x2)

D4中含x4的项是1(2x2)1(9x2)2(2x2)2(9x2)，

比较上面两式中x4的系数，得A3，故D43(x1)(x1)(x2)(x2)。

1

1

例14：解方程Dn1

1

解：当x=0,1,2，

11111(n1)x

=0

1x112x1

1

(n2)时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行

列式可写成Ax(x1)(x2)(xn2)，

(xn2)0，

于是原方程变为Ax(x1)(x2)所以原方程的解为x10,x21,

xn1n2。

8、利用数学归纳法进行证明或计算。

例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性