技能演练
基 础 强 化
1．函数y ＝cos n x 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝cos x n B ．y ＝t ，t ＝cos n x C ．y ＝t n ，t ＝cos x D ．y ＝cos t ，t ＝x n 答案 C
2．y ＝e x 2－1的导数是( ) A ．y ′＝(x －1)e
22
x 2
－1
B ．y ′＝2x e D ．y ′＝e
x 2
－1
x
2
－1
C ．y ′＝(x －1)e 解析 y ′＝e 答案 B
3．下列函数在x ＝0处没有切线的是( ) A ．y ＝3x 2＋cos x 1
C ．y ＝＋2x
x
x 2
－1
x x
2
－1
(x －1) ′＝e
2
·2x .
B ．y ＝x sin x 1
D ．y ＝
cos x
11
解析 因为y ＝2x 在x ＝0处没定义，所以y ＝＋2x 在x ＝0处没有切线．
x x 答案 C
4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 C ．2x －y ＋1＝0
解析 设切点为(x 0，x 20) ，则斜率k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，∴切点为(1,1)．
故切线方程为y －1＝2(x －1) ，即2x －y －1＝0. 答案 D
5．y ＝log a (2x 2－1) 的导数是( ) 4x
(2x －1)ln a 1 (2x －1)ln a
4x B. 2x －12x 2－1ln a B ．2x －y －3＝0 D ．2x －y －1＝0
14x
解析 y ′＝x 2－1) ′＝(2x －1)ln a (2x －1)ln a 答案 A
6．已知函数f (x ) ＝ax －1，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．a ＝1 C ．a ＝
11
解析 f ′(x ) ＝(ax 2－1) ·(ax 2－1) ′
22＝＝
1
2ax
2ax －1ax
ax －1
B ．a ＝2 D ．a >0
由f ′(1)＝2， 得
a
＝2，∴a ＝2. a －1
答案 B
7．曲线y ＝sin2x 在点M (π，0) 处的切线方程是________． 解析 y ′＝(sin2x ) ′＝cos2x ·(2x ) ′＝2cos2x ，
∴k ＝y ′|x ＝π＝2.
又过点(π，0) ，所以切线方程为y ＝2(x －π)． 答案 y ＝2(x －π)
f ′(x )8．f (x ) ＝e 2x －2x ，则＝________.
e －1
解析 f ′(x ) ＝(e2x ) ′－(2x ) ′＝2e 2x －2＝2(e2x －1) ． f ′(x )2(e 2x －1)∴2(ex ＋1) ． e －1e －1答案 2(ex ＋1)
能 力 提 升
9．已知函数f (x ) ＝2x 3＋ax 与g (x ) ＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线．求实数a ，b ，c 的值．
解 ∵函数f (x ) ＝2x 3＋ax 与g (x ) ＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，
⎧2×23＋2a ＝0，⎪∴⎨得a ＝－8,4b ＋c ＝0， 2
⎪b ×2＋c ＝0，⎩
∴f (x ) ＝2x 3－8x ，f ′(x ) ＝6x 2－8. 又当x ＝2时，f ′(2)＝16，g ′(2)＝4b ， ∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.
1
10．已知函数f (x ) ＝ln x ，g (x ) ＝2＋a (a 为常数) ，直线l 与函数f (x ) 、g (x ) 的图像都相切，
2
且l 与函数f (x ) 图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a 的值．
1
解 ∵f (x ) ＝ln x ，∴f ′(x ) ＝，∴f ′(1)＝1，
x 即直线l 的斜率为1，切点为(1,0)． ∴直线l 的方程为y ＝x －1.
y ＝x －1，⎧⎪1
又l 与g (x ) 的图像也相切，等价于方程组⎨1x 2－x ＋1＋a
⎪⎩y ＝22＋a 2
＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝1－4×12(1＋a ) ＝0，∴a 1
2
品 味 高 考
11．曲线y ＝e
－2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( 11
3 B ．－22
3
D ．1 解析 ∵y ′＝(－2x ) ′e
－2x
＝－2e
－2x
，
∴k ＝y ′|x ＝0＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0) ， 即y ＝－2x ＋2.
如图，由⎧⎪⎨y ＝－2x ＋2，⎪得交点坐标为(22
⎩y ＝x ，
33) ，
y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S ＝12×1×21
33.
答案 A
12．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b ) 处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
)
A ．a ＝1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1
解析 ∵y ＝x 2＋ax ＋b ，∴y ′＝2x ＋a . ∵在点(0，b ) 处的切线方程是x －y ＋1＝0， ∴f ′(0)＝a ＝1.
B ．a ＝－1，b ＝1 D ．a ＝－1，b ＝－1
又0－b ＋1＝0，∴b ＝1. 答案 A
技能演练
基 础 强 化
1．函数y ＝cos n x 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝cos x n B ．y ＝t ，t ＝cos n x C ．y ＝t n ，t ＝cos x D ．y ＝cos t ，t ＝x n 答案 C
2．y ＝e x 2－1的导数是( ) A ．y ′＝(x －1)e
22
x 2
－1
B ．y ′＝2x e D ．y ′＝e
x 2
－1
x
2
－1
C ．y ′＝(x －1)e 解析 y ′＝e 答案 B
3．下列函数在x ＝0处没有切线的是( ) A ．y ＝3x 2＋cos x 1
C ．y ＝＋2x
x
x 2
－1
x x
2
－1
(x －1) ′＝e
2
·2x .
B ．y ＝x sin x 1
D ．y ＝
cos x
11
解析 因为y ＝2x 在x ＝0处没定义，所以y ＝＋2x 在x ＝0处没有切线．
x x 答案 C
4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 C ．2x －y ＋1＝0
解析 设切点为(x 0，x 20) ，则斜率k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，∴切点为(1,1)．
故切线方程为y －1＝2(x －1) ，即2x －y －1＝0. 答案 D
5．y ＝log a (2x 2－1) 的导数是( ) 4x
(2x －1)ln a 1 (2x －1)ln a
4x B. 2x －12x 2－1ln a B ．2x －y －3＝0 D ．2x －y －1＝0
14x
解析 y ′＝x 2－1) ′＝(2x －1)ln a (2x －1)ln a 答案 A
6．已知函数f (x ) ＝ax －1，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．a ＝1 C ．a ＝
11
解析 f ′(x ) ＝(ax 2－1) ·(ax 2－1) ′
22＝＝
1
2ax
2ax －1ax
ax －1
B ．a ＝2 D ．a >0
由f ′(1)＝2， 得
a
＝2，∴a ＝2. a －1
答案 B
7．曲线y ＝sin2x 在点M (π，0) 处的切线方程是________． 解析 y ′＝(sin2x ) ′＝cos2x ·(2x ) ′＝2cos2x ，
∴k ＝y ′|x ＝π＝2.
又过点(π，0) ，所以切线方程为y ＝2(x －π)． 答案 y ＝2(x －π)
f ′(x )8．f (x ) ＝e 2x －2x ，则＝________.
e －1
解析 f ′(x ) ＝(e2x ) ′－(2x ) ′＝2e 2x －2＝2(e2x －1) ． f ′(x )2(e 2x －1)∴2(ex ＋1) ． e －1e －1答案 2(ex ＋1)
能 力 提 升
9．已知函数f (x ) ＝2x 3＋ax 与g (x ) ＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线．求实数a ，b ，c 的值．
解 ∵函数f (x ) ＝2x 3＋ax 与g (x ) ＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，
⎧2×23＋2a ＝0，⎪∴⎨得a ＝－8,4b ＋c ＝0， 2
⎪b ×2＋c ＝0，⎩
∴f (x ) ＝2x 3－8x ，f ′(x ) ＝6x 2－8. 又当x ＝2时，f ′(2)＝16，g ′(2)＝4b ， ∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.
1
10．已知函数f (x ) ＝ln x ，g (x ) ＝2＋a (a 为常数) ，直线l 与函数f (x ) 、g (x ) 的图像都相切，
2
且l 与函数f (x ) 图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a 的值．
1
解 ∵f (x ) ＝ln x ，∴f ′(x ) ＝，∴f ′(1)＝1，
x 即直线l 的斜率为1，切点为(1,0)． ∴直线l 的方程为y ＝x －1.
y ＝x －1，⎧⎪1
又l 与g (x ) 的图像也相切，等价于方程组⎨1x 2－x ＋1＋a
⎪⎩y ＝22＋a 2
＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝1－4×12(1＋a ) ＝0，∴a 1
2
品 味 高 考
11．曲线y ＝e
－2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( 11
3 B ．－22
3
D ．1 解析 ∵y ′＝(－2x ) ′e
－2x
＝－2e
－2x
，
∴k ＝y ′|x ＝0＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0) ， 即y ＝－2x ＋2.
如图，由⎧⎪⎨y ＝－2x ＋2，⎪得交点坐标为(22
⎩y ＝x ，
33) ，
y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S ＝12×1×21
33.
答案 A
12．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b ) 处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
)
A ．a ＝1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1
解析 ∵y ＝x 2＋ax ＋b ，∴y ′＝2x ＋a . ∵在点(0，b ) 处的切线方程是x －y ＋1＝0， ∴f ′(0)＝a ＝1.
B ．a ＝－1，b ＝1 D ．a ＝－1，b ＝－1
又0－b ＋1＝0，∴b ＝1. 答案 A