三视图：
三视图1．如图，三视图对应的几何体的体积等于 。
三视图2．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，
这条棱的投影是长为6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则 a + b的最大值为（ ）
A. 22
B. 23
C. 4
D. 25
三视图3、一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都为全等的等
腰直角三角形（如图所示），如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为
三视图4．如图，P 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，则∆PAC 在该正方体各个面上的射影可能是
( )
A ．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(2)(4)
三视图5、已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为____________
三视图6、两条异面直线在平面上的投影不可能是（ ） ．．．（A ）两个点 （B ）两条平行直线
（C ）一点和一条直线 （D ）两条相交直线
三视图7
（单位：cm 3）为（
）
（
A ）72cm 3 （B ）36cm 3 （C ）24cm 3
（D ）12cm 3
三视图8. 若某多面体的三视图(单位：cm) 如图所示,
则此多面体的体积是 （ ）
(A) 2 cm3 (B) 4 cm3 (C) 6 cm3 (D) 12 cm3
（第7题）
三视图9．已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸， 可得这个几何体的体积是（ ）
4000380003
A ．cm B ．cm
33
C ．2000cm 3 D ．4000cm 3
10 10
俯视图
三视图10．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
三视图11．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为俯视图可以是（ ）
1
，则该几何体的3
A B
C
D
三视图12. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几
何体的表面积及体积为( )
主视图 侧视图
（第11题）
正视图
侧视图
A 24πcm ，12πcm B 15πcm ，12πcm C 24πcm ，36πcm D 以上都不正确
2
3
2323
俯视图
三视图13、直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的三视图如图所示，D ，E 分别是棱CC 1和棱B 1C 1的中点，则图中三棱锥E —ABD 的侧视图的面积是 ．
三视图14. 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面 积为 ；
三视图15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直
的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的表面积为 ．
正视图
侧视图
俯视图
三视图16、设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a, 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A．3πa B．6πa C ．12πa D．24πa
三视图17、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A ．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。
三视图18. 如右下图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，
F 分别是SC 和AB 的中点，则EF=________.
三视图19．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
2
2
2
2
展开图：
展开图1
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线
③CN 与BM 成60角 ④DM 与BN 是异面直线
E 以上四个命题中，正确命题的序号是
A ．①、②、③ B ．②、④
C ．③、④ D ．②、③、④
展开图2. 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1 底面A 1B 1C 1，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC BC ＝CC 1＝1，P 是BC 1上一动点，则A 1P ＋PC 的最小值是 ．
（第2题）
展开图3．如图，圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的
最短距离为 ．
展开图4．下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是 ．
(1) (2) (3)
(4)
判断题：
判断题1. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ， F，且EF =
，则下列结论中错误的是 （ ）
A ．
AC ⊥BE B ．EF //平面ABCD
C ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值 D ．异面直线AE , BF 所成的角为定值
判断题2、在平面几何里, 我们知道，正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是2:1. 拓展
到空间，研究正四面体(四个面均为全等的正三角形的四面体) 的外接球和内切球的半径关系, 可以得出的正确结论是:正四面体的外接球和内切球的半径之比是 .判断题3. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A=AB=2，若棱AB 上存在一点P ，使得D 1P ⊥PC ，
则棱AD 的长的取值范围是（ ）
A ．[1, 2] B ．(0, 2] C ．(0, 2) D ．(0, 1]
判断题4．四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心；
④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体。其中真命题是 _ . （填上命题的序号）
α, β, γ是三个不同平面，判断题5. 已知m , n 是两条不同直线，下列命题中正确的是（ ）．
A ．若m ‖α, n ‖α, 则m ‖n B．若α⊥γ, β⊥γ, 则α‖βC ．若m ‖α, m ‖β, 则α‖β D．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ‖n 判断题6、已知m , n 是两条不同的直线，α, β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） （A ）若m ∥α, n ∥α，则m ∥n （B ）若α⊥β, m ⊥β, m ⊄α, 则m ∥α
（C ）若α⊥β, m //α, 则m ⊥β （D ）若m ⊂α, n ⊂α, m ∥β, n ∥β, 则α∥β
判断题7、已知m , n 是两条不同直线，α, β, γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）． A 若m ‖α, n ‖α, 则m ‖n B．若α⊥γ, β⊥γ, 则α‖βC ．若m ‖α, m ‖β, 则α‖β D．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ‖n
判断题8. 已知直线m 、n 与平面α, β, 给出下列三个命题：
①若m //α，n //α, 则m //n ; ②若m //α, n ⊥α, 则n ⊥m ; ③若m ⊥α, m //β, 则α⊥β. 其中真命题的个数是 （ ）
A ．0 B．1 C．2 D．3
判断题9．a 、b 是异面直线，P 为空间一点，下列命题： （1）过P 总可以作一条直线与a 、b 都垂直； （2）过P 总可以作一条直线与a 、b 都垂直相交；
（3）过P 总可以作一条直线与a 、b 之一垂直与另一条相交； （4）过点P 总可以作一平面与a 、b 同时垂直；
（5）过P 总可以作一平面与a 、b 之一垂直与另一条平行，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B．1 C．2 D．3
判断题10．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E , F 在线段AB 上，点M 在线段B 1C 1上，点N 在线段C 1D 1上，且EF =1，D 1N =x ，AE =y ，M 是B 1C 1的中点，则四面体MNEF 的体积（ ）
A ．与x 有关，与y 无关 B ．与x 无关，与y 无关 C ．与x 无关，与y 有关 D ．与x 有关，与y 有关
C
A
1
A 1B 1
判断题11. 设l 、m 、n 是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出下列
命题：
①若l ⊄α, m ⊂α, l //m ，则l //α； ②若α β=l , m ⊂α, l ⊥m ，则α⊥β； ③若l ⊂α, m ⊂α, n ⊥l , n ⊥m ，则n ⊥α；
④若α β=l , β γ=m , γ α=n , l //m ，则m //n ； ⑤若α⊥β, l ⊂α, ，则l ⊥β.
其中，正确的序号有 （ ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③⑤ D ．①④
判断题12. 如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A -D 1PC 的体积不变； ②DP ⊥BC 1； ③A 1P ∥面ACD 1；
（第12题）
④面PDB 1⊥面ACD 1；其中正确命题的序号是__.（写出所有正确的序号）
判断题13．已知平面α, β和直线m ，给出条件：①m //α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；
⑤α//β．（1）当满足条件 时，有m //β；（2）当满足条件 时，有m ⊥β．
判断题14．已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，
直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不．一．定．成立的是 （ ） (A)AB∥m
(B)AC⊥m
(C) AB∥β
(D) AC⊥β
直观图：
直观图1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 2+
2 B．
1+22+2
C． D． 1+2 22
直观图2．已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为（ ） A．
直观图3. 如图所示，用斜二测画法所作的直观图中，O ' A ' =1, O ' B ' =4, O ' D ' =2, O ' C ' =3，
B
2
A ' B ' C ' D ' 表示的原平面图形的面四边形
（ ）
A ．12 B ．11 C ．10 D ．8
直观图4、如右图所示的直观图，其平面图形的面积为 （ ）
积为
A ． 3 B． 错误！未找到引用源。 C． 6 D．3错误！未找到引用源。
直观图5. 如图，Rt ∆O 'A 'B '是一平面图形的直观图，直角边O 'B '=1， 则这个平面图形的面积是 ( )
（A
） （B ） 1 （C
（D
）
几何体：
外接球1．已知正方体外接球的体积是32π，那么正方体的棱长等于（ ）
3A.2
2 B.2
C.42 D.43
333
球2、用与球心O 距离为1的截面去截球，所得截面的面积为9π，则球的表面积为（ ）
（A ）4π （B ）10π （C ）20π （D ）40π
球3、已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为（ ）
（A ） （B ）
32 （C ） （D ）
332
圆锥4、已知圆锥的母线长为2cm ，底面直径为3cm ，则过该圆锥两条母线的截面面积的最
大值为（ ）
337
cm 2 （C ）2cm 2 （D ）cm 2 24
三棱锥5、已知三棱锥S －ABC 的侧棱和底面边长均为a ，SO ⊥底面ABC ，垂足为O ，
D 1
C 1则SO ＝ (用a 表示) ．
A 1B 1
直四棱柱6、如图所示，在直四棱柱（侧棱与底面垂直）ABCD －A 1B 1C 1D 1
中，当底面四边形ABCD 满足条件 ▲ 时，
C 有AC 1⊥BD 成立（注：填上你认为正确的一种情况
A B
即可，不必考虑所有可能的情况）．
（第6题图）
球7、（理科）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）
（A ）4cm 2 （B ）
球8、（文科）棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E , F 分别是棱AA 1, DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A ．
2
B．1 2
2
+1 D．2 2
C ．
三棱柱9、一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱 的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ▲ ；
球10、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个
9
，底面周长为3，那么这个球的体积为 ； 8
三棱锥11．（理科学生做）如图，在三棱锥A -BCD 中，．．
球面上，且该六棱柱的体积为
AB , AC , AD 两两互相垂直，AB =AC =AD =4．点 P ，Q 分
别
在侧面ABC 、棱AD 上运动，PQ =2，M 为线段PQ 中点， 当P ，Q 运动时，点M 的轨迹把三棱锥A -BCD 分成 上、下两部分的体积之比等于．
球12、（文科学生做）如图，已知球面上四点A ，B ，C ，D ， ．．
D A
C
DA ⊥平面ABC ，AB ⊥
BC ，DA =AB =BC =
则此球的表面积等于 ．
三棱柱13．一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成45˚角，则这个三棱柱的侧面积是（ ） A ．60 B
． C
．20 D
．20
o
AB =AD =BC =CD =2，AD 和BC 所成角为60，二点距离14．空间四边形ABCD 中，
E 、F 分别为AB 、CD 中点，则EF 的长度为 ．
表面积15. 如图所示，棱长为1的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示
的几何体，那么拼成的几何体的表面积为 （ ）
A ．2+22 B ．3+2 C ．4+22 D ．5+22
（第15题）
体积问题16. 如图，沿平面A ' BC 和A ' B ' C 将三棱柱分割成三个三棱锥，则有
A` （ ） A ．V 1>V 3>V 2 B ．V 1=V 2V 2 D ．V 1=V 2=V 3
1
C
（第16题）
体积问题17. 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为 （ ） A ．29cm
B ．30cm C ．32cm D ．48cm
三棱锥18．已知四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，侧棱SA =SB =SC =SD ，若侧棱与
底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ（ ）
A ．α
球19. 已知S , A , B , C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，SA =AB =
1，BC = 面积等于 ( )
（A ）4π （B ）3π
（C ）2π （D ）π
三棱锥20. 将边长为1的正方形ABCD ，沿对角线AC 折起，使BD =1. 则三棱锥D-ABC 的体积为( ) （A ）
B ．α
，则
α、β、γ、θ的大小关系是
O 的表
2 （B ） 12242
（D ） 1224
（C ）
体积问题21. （本小题10分）
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB ，EF ⊥FB, ∠BFC=90°，BF=FC.
（1）求证：平面ABFE ⊥平面DCFE ； （2）求四面体B —DEF 的体积.
球22．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 （ ）
π(A)2 2π4π
π
(B)3 (C)6 (D)3
二点的距离23．已知ABCD 是空间四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则 （ ）
几何体的表面积和体积
24、（1）（如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高
（2）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =90，∠ADC =135，
00
AB =
5，CD =AD =2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一
周所成几何体的表面积及体积.
异面直线：
E , F , G 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1面A 1C 1, B 1C , CD 1的中心, 则AE 与异面直线1、FG 所成的角为（ ）
A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
异面直线2. 如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ,
则
异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为
____________
ABC 上的射异面直线3、已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面
影为BC 的中点，
则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为 （ ）
A
3
B
C
D ． 4
异面直线4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的
中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是____________. 异面直线5．（本题8分）如图2，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面
ABCD 是菱形，AB=2，
∠BAD= 60.
D A 1
E A
1
C 1G
(Ⅰ) 求证：BD ⊥平面PAC; （Ⅱ）若PA=AB, 求PB 与AC 所成角的余弦值.
异面直线6．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB , AD , AA 1所在直
线所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）
A ．1条 B ．2条 C ．3条 D．4条
异面直线 7．（本小题满分12分）已知四棱锥P -ABCD 的底面是边长为2的菱形，且
∠ABC =600, PA =PC =2, PB =PD ．
（Ⅰ）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值．
异面直线8. 如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在 平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的 余弦值是__________.
D
C
（第8题）
A
B
F E
异面直线9. （本小题8分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直. EF//AC，
CE=EF=1，
∠ECA =60︒.
（1）求证：AF//平面BDE ；
（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值.
异面直线10．(8分) 如图，四棱锥P -ABCD 底面是正方形且四个顶点A , B , C , D 在球O 的
同一个大圆(球面被过球心的平面截得的圆叫做大圆) 上，点P 在球面上且PO ⊥面AC ，且已知V P -ABCD =
16
。 3
（1）求球O 的体积；
（2）设M 为BC 中点，求异面直线AM 与PC 所成角
的余弦值。
P
D C O
B
C
A
M
线面关系：
线面角1. 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面， 底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，
则BB 1与平面AB 1C 1所成的角的大小为
线面角2、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
AB =BC =2,AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为
1
A 1
C 1
B
A
B.
C.
D.
线面平行3、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形的序号是（ ）
A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③
D. ②、④
线面平行和线面角4、（本小题满分8分）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对
角线的交点. 求证：
（１）C 1O //面AB 1D 1；（2 ）求A 1C 与平面AB 1D 1所成的角． D A
B C 1
面面垂直 、线面角和体积5、（理科）（本小题满分12分） 如图，在五棱锥P -ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，
AB //CD , AC //ED , AE //BC ，
∠ABC =45︒, AB =22, BC =2AE =4，
三角形PAB 是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P -ACDE 的体积．
C
B
线面平行6．(14分) 如图, 四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD , E , F 分别是AC , PB 的中点.
(Ⅰ) 证明: EF ∥平面PCD ；
(Ⅱ) 若PA ＝AB , 求EF 与平面PAC 所成角的大小
.
N
B
A M
线面平行7．下列四个正方体图形中，A , B 为 正方体的两个顶点，M , N , P 分别为
M
P
N
P
B
其所在棱的中点，能得出AB //面MNP ① ② ③ ④ 的图形的序号是______．
存在性问题、线面角8.(本小题满分10分) 如图，在直角梯形ABEF 中，
将四边形DCEF 沿CD 折起，
使∠FDA =60︒，得到一个空间几何体。 （1）在线段DF 上找点G , 使得AG//平面BEF ；
(2) 作出直线EF 与平面ABCD 所成角， 并求该角的正切值。
线面平行、存在性问题9．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．
⑴ （文科学生做）求证：OD ∥平面PAB ； ．．
1 ⑵当k ＝时，求直线P A 与平面BC 所成角的余弦值；
2
⑶（理科学生做）当k 取何值时，O 在平面PBC 内 ．． 的射影恰好为△PBC 的重心？
A C
线面角10. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动 点，且B 1F //平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 ( )
A. {2} B. ⎨
⎧2⎫
5⎬ ⎩5⎭
⎧2⎫
≤t ≤2⎬
⎩5⎭
C. t |2≤t ≤22 D. ⎨t |
{}
线面平行11. （12分）已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的三视图如图所示，其中正视图AA 1B 1B 和侧视图B 1BCC 1均为矩形，俯视图∆A 1B 1C 1中，A 1C 1=3, A 1B 1=5, cos ∠A 1=3。
5
（I ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，求证：BC ⊥AC 1；
1（II ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若D 是底边 AB 的中点，求证：AC 1//平面CDB 1；
线面角12．（本题8分）如图1，在三棱锥P －ABC 中，平面PAC⊥平面ABC ，
AB⊥BC ，AB ＝BC ＝PA ＝PC ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点. （I ）求证：OD //平面PAB ；
（II ）求PB 与平面ABC 所成角．
线面角13．（本小题满分13分）已知∆ABC 与∆
DBC 的等边三角形，且平面ABC ⊥平面DBC ，过点A 作PA ⊥平面ABC ，且AP =2． （Ⅰ）求证：PA //平面DBC ； （Ⅱ）求直线
PD 与平面ABC 所成角的大小．
线面角14. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC
D ，E 分别是AC 1
和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 （ ）
ππππ B ． C ． D ．A ．6432
线面角15. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
AB =BC =2,AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.
3
B.
5
C.
D.
线面角16．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影
为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于 （ ） (A)
1 3
(D)
2
3
面面关系：
二面角1. 已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）的体积
为12，
底面正方形的对角线的长为则侧面与底面所成的二面角的平面角为 .
二面角2．如图，三棱锥S-ABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA =SB =SC ，则二面角A -BC -S 大小的正切值为 （ ） A. 1
B.
D. 2 2
线面垂直和二面角3、如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90︒，CD ∥AB ，AB ＝4，AD
＝CD ＝2，M 为线段AB 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACD ； （Ⅱ）求二面角A －CD －M
图1 （第29题）
面面垂直 、线面角和体积4、如图，在五棱锥P -ABCDE 中，
PA ⊥平面ABCDE ，AB //CD , AC //ED , AE //BC ， ∠ABC =45︒, AB =22, BC =2AE =4，
三角形PAB 是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P -ACDE 的体积．
图2
面面垂直和存在问题5、如图，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，
PA ⊥面ABCD ，PA =AB =1, BC =2.
（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； （Ⅲ）在BC 上是否存在一点G ，使得D 到平面PAG 的
距离为1？若存在，求出BG ；若不存在，请说明理由。
E
二面角6．如图所示，已知PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形， PD=AB，Ｍ是PA 的中点，则二面角M-DC-A 的大小为（ ）
B
C
D
2ππππA ． 3 B ． 3 C ．4 D ．6
面面垂直、二面角7．（本题满分10分）
四棱锥P —ABCD 的底面为菱形， 且∠ABC =120︒, PA ⊥底面ABCD ， AB=1，PA =
6，E 为PC 的中点。
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD （2）求二面角E —AD —C 的正切值；
B
C
线面平行、存在性问题8．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．
⑴ （文科学生做）求证：OD ∥平面PAB ； ．．
1 ⑵当k ＝时，求直线P A 与平面BC 所成角的余弦值；
2
⑶（理科学生做）当k 取何值时，O 在平面PBC 内 ．． 的射影恰好为△PBC 的重心？
A C
二面角9. （14分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到 A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）
（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ； （Ⅱ）求二面角A 1－BP －E 的大小。
存在性问题10．（本题12分）如图3，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1．
(I) 求二面角O －AB －C 的平面角的正切值；
(II) 设P 为AC 的中点．证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算的值.
存在性问题12．（本题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB //EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知AB =2, EF =1． （1）求证：直线BF ⊥平面DAF ； （2）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；
（3）当AD 的长为何值时，二面角C -EF -A 的大小为30？
AB AQ
面面垂直13．（本小题10分）
如图：在三棱锥S -ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ；
（Ⅱ）若SA =SC ，BA =BC ，求证：平面SBD ⊥平面ABC .
二面角14．（本小题10分）
如图，已知平面α, β， 且α β=AB , PC ⊥α, PD ⊥β, C , D 是垂足． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若PC =PD =CD =1，求二面角α-AB -β的大小．
A
C
面面垂直15．(8分) 如图，在四棱锥P -ABCD
中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧
面PAD ⊥底面ABCD
，且PA =PD =（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD .
AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 2
二面角16．(9分) 已知AA 1B 上的点. 1⊥平面ABC , AA 1=AB =BC =CA =3，P 为A （1）当P 为A 1B 中点时，求证AB ⊥PC ； （2）当
存在性问题17．(9分) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A
⊥底面
A 1P 1
=时，求二面角P -BC -A 平面角的余弦值． PB 2
ABCD ，AB 3，BC =1，P A =2，E 为PD 的中点． (1)求直线BE 与平面ABCD 所成角的正切值； (2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离．
三视图：
三视图1．如图，三视图对应的几何体的体积等于 。
三视图2．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，
这条棱的投影是长为6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则 a + b的最大值为（ ）
A. 22
B. 23
C. 4
D. 25
三视图3、一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都为全等的等
腰直角三角形（如图所示），如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为
三视图4．如图，P 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，则∆PAC 在该正方体各个面上的射影可能是
( )
A ．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(2)(4)
三视图5、已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为____________
三视图6、两条异面直线在平面上的投影不可能是（ ） ．．．（A ）两个点 （B ）两条平行直线
（C ）一点和一条直线 （D ）两条相交直线
三视图7
（单位：cm 3）为（
）
（
A ）72cm 3 （B ）36cm 3 （C ）24cm 3
（D ）12cm 3
三视图8. 若某多面体的三视图(单位：cm) 如图所示,
则此多面体的体积是 （ ）
(A) 2 cm3 (B) 4 cm3 (C) 6 cm3 (D) 12 cm3
（第7题）
三视图9．已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸， 可得这个几何体的体积是（ ）
4000380003
A ．cm B ．cm
33
C ．2000cm 3 D ．4000cm 3
10 10
俯视图
三视图10．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
三视图11．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为俯视图可以是（ ）
1
，则该几何体的3
A B
C
D
三视图12. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几
何体的表面积及体积为( )
主视图 侧视图
（第11题）
正视图
侧视图
A 24πcm ，12πcm B 15πcm ，12πcm C 24πcm ，36πcm D 以上都不正确
2
3
2323
俯视图
三视图13、直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的三视图如图所示，D ，E 分别是棱CC 1和棱B 1C 1的中点，则图中三棱锥E —ABD 的侧视图的面积是 ．
三视图14. 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面 积为 ；
三视图15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直
的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的表面积为 ．
正视图
侧视图
俯视图
三视图16、设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a, 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A．3πa B．6πa C ．12πa D．24πa
三视图17、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A ．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。
三视图18. 如右下图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，
F 分别是SC 和AB 的中点，则EF=________.
三视图19．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
2
2
2
2
展开图：
展开图1
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线
③CN 与BM 成60角 ④DM 与BN 是异面直线
E 以上四个命题中，正确命题的序号是
A ．①、②、③ B ．②、④
C ．③、④ D ．②、③、④
展开图2. 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1 底面A 1B 1C 1，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC BC ＝CC 1＝1，P 是BC 1上一动点，则A 1P ＋PC 的最小值是 ．
（第2题）
展开图3．如图，圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的
最短距离为 ．
展开图4．下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是 ．
(1) (2) (3)
(4)
判断题：
判断题1. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ， F，且EF =
，则下列结论中错误的是 （ ）
A ．
AC ⊥BE B ．EF //平面ABCD
C ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值 D ．异面直线AE , BF 所成的角为定值
判断题2、在平面几何里, 我们知道，正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是2:1. 拓展
到空间，研究正四面体(四个面均为全等的正三角形的四面体) 的外接球和内切球的半径关系, 可以得出的正确结论是:正四面体的外接球和内切球的半径之比是 .判断题3. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A=AB=2，若棱AB 上存在一点P ，使得D 1P ⊥PC ，
则棱AD 的长的取值范围是（ ）
A ．[1, 2] B ．(0, 2] C ．(0, 2) D ．(0, 1]
判断题4．四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心；
④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体。其中真命题是 _ . （填上命题的序号）
α, β, γ是三个不同平面，判断题5. 已知m , n 是两条不同直线，下列命题中正确的是（ ）．
A ．若m ‖α, n ‖α, 则m ‖n B．若α⊥γ, β⊥γ, 则α‖βC ．若m ‖α, m ‖β, 则α‖β D．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ‖n 判断题6、已知m , n 是两条不同的直线，α, β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） （A ）若m ∥α, n ∥α，则m ∥n （B ）若α⊥β, m ⊥β, m ⊄α, 则m ∥α
（C ）若α⊥β, m //α, 则m ⊥β （D ）若m ⊂α, n ⊂α, m ∥β, n ∥β, 则α∥β
判断题7、已知m , n 是两条不同直线，α, β, γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）． A 若m ‖α, n ‖α, 则m ‖n B．若α⊥γ, β⊥γ, 则α‖βC ．若m ‖α, m ‖β, 则α‖β D．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ‖n
判断题8. 已知直线m 、n 与平面α, β, 给出下列三个命题：
①若m //α，n //α, 则m //n ; ②若m //α, n ⊥α, 则n ⊥m ; ③若m ⊥α, m //β, 则α⊥β. 其中真命题的个数是 （ ）
A ．0 B．1 C．2 D．3
判断题9．a 、b 是异面直线，P 为空间一点，下列命题： （1）过P 总可以作一条直线与a 、b 都垂直； （2）过P 总可以作一条直线与a 、b 都垂直相交；
（3）过P 总可以作一条直线与a 、b 之一垂直与另一条相交； （4）过点P 总可以作一平面与a 、b 同时垂直；
（5）过P 总可以作一平面与a 、b 之一垂直与另一条平行，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B．1 C．2 D．3
判断题10．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E , F 在线段AB 上，点M 在线段B 1C 1上，点N 在线段C 1D 1上，且EF =1，D 1N =x ，AE =y ，M 是B 1C 1的中点，则四面体MNEF 的体积（ ）
A ．与x 有关，与y 无关 B ．与x 无关，与y 无关 C ．与x 无关，与y 有关 D ．与x 有关，与y 有关
C
A
1
A 1B 1
判断题11. 设l 、m 、n 是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出下列
命题：
①若l ⊄α, m ⊂α, l //m ，则l //α； ②若α β=l , m ⊂α, l ⊥m ，则α⊥β； ③若l ⊂α, m ⊂α, n ⊥l , n ⊥m ，则n ⊥α；
④若α β=l , β γ=m , γ α=n , l //m ，则m //n ； ⑤若α⊥β, l ⊂α, ，则l ⊥β.
其中，正确的序号有 （ ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③⑤ D ．①④
判断题12. 如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A -D 1PC 的体积不变； ②DP ⊥BC 1； ③A 1P ∥面ACD 1；
（第12题）
④面PDB 1⊥面ACD 1；其中正确命题的序号是__.（写出所有正确的序号）
判断题13．已知平面α, β和直线m ，给出条件：①m //α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；
⑤α//β．（1）当满足条件 时，有m //β；（2）当满足条件 时，有m ⊥β．
判断题14．已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，
直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不．一．定．成立的是 （ ） (A)AB∥m
(B)AC⊥m
(C) AB∥β
(D) AC⊥β
直观图：
直观图1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 2+
2 B．
1+22+2
C． D． 1+2 22
直观图2．已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为（ ） A．
直观图3. 如图所示，用斜二测画法所作的直观图中，O ' A ' =1, O ' B ' =4, O ' D ' =2, O ' C ' =3，
B
2
A ' B ' C ' D ' 表示的原平面图形的面四边形
（ ）
A ．12 B ．11 C ．10 D ．8
直观图4、如右图所示的直观图，其平面图形的面积为 （ ）
积为
A ． 3 B． 错误！未找到引用源。 C． 6 D．3错误！未找到引用源。
直观图5. 如图，Rt ∆O 'A 'B '是一平面图形的直观图，直角边O 'B '=1， 则这个平面图形的面积是 ( )
（A
） （B ） 1 （C
（D
）
几何体：
外接球1．已知正方体外接球的体积是32π，那么正方体的棱长等于（ ）
3A.2
2 B.2
C.42 D.43
333
球2、用与球心O 距离为1的截面去截球，所得截面的面积为9π，则球的表面积为（ ）
（A ）4π （B ）10π （C ）20π （D ）40π
球3、已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为（ ）
（A ） （B ）
32 （C ） （D ）
332
圆锥4、已知圆锥的母线长为2cm ，底面直径为3cm ，则过该圆锥两条母线的截面面积的最
大值为（ ）
337
cm 2 （C ）2cm 2 （D ）cm 2 24
三棱锥5、已知三棱锥S －ABC 的侧棱和底面边长均为a ，SO ⊥底面ABC ，垂足为O ，
D 1
C 1则SO ＝ (用a 表示) ．
A 1B 1
直四棱柱6、如图所示，在直四棱柱（侧棱与底面垂直）ABCD －A 1B 1C 1D 1
中，当底面四边形ABCD 满足条件 ▲ 时，
C 有AC 1⊥BD 成立（注：填上你认为正确的一种情况
A B
即可，不必考虑所有可能的情况）．
（第6题图）
球7、（理科）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）
（A ）4cm 2 （B ）
球8、（文科）棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E , F 分别是棱AA 1, DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A ．
2
B．1 2
2
+1 D．2 2
C ．
三棱柱9、一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱 的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ▲ ；
球10、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个
9
，底面周长为3，那么这个球的体积为 ； 8
三棱锥11．（理科学生做）如图，在三棱锥A -BCD 中，．．
球面上，且该六棱柱的体积为
AB , AC , AD 两两互相垂直，AB =AC =AD =4．点 P ，Q 分
别
在侧面ABC 、棱AD 上运动，PQ =2，M 为线段PQ 中点， 当P ，Q 运动时，点M 的轨迹把三棱锥A -BCD 分成 上、下两部分的体积之比等于．
球12、（文科学生做）如图，已知球面上四点A ，B ，C ，D ， ．．
D A
C
DA ⊥平面ABC ，AB ⊥
BC ，DA =AB =BC =
则此球的表面积等于 ．
三棱柱13．一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成45˚角，则这个三棱柱的侧面积是（ ） A ．60 B
． C
．20 D
．20
o
AB =AD =BC =CD =2，AD 和BC 所成角为60，二点距离14．空间四边形ABCD 中，
E 、F 分别为AB 、CD 中点，则EF 的长度为 ．
表面积15. 如图所示，棱长为1的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示
的几何体，那么拼成的几何体的表面积为 （ ）
A ．2+22 B ．3+2 C ．4+22 D ．5+22
（第15题）
体积问题16. 如图，沿平面A ' BC 和A ' B ' C 将三棱柱分割成三个三棱锥，则有
A` （ ） A ．V 1>V 3>V 2 B ．V 1=V 2V 2 D ．V 1=V 2=V 3
1
C
（第16题）
体积问题17. 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为 （ ） A ．29cm
B ．30cm C ．32cm D ．48cm
三棱锥18．已知四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，侧棱SA =SB =SC =SD ，若侧棱与
底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ（ ）
A ．α
球19. 已知S , A , B , C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，SA =AB =
1，BC = 面积等于 ( )
（A ）4π （B ）3π
（C ）2π （D ）π
三棱锥20. 将边长为1的正方形ABCD ，沿对角线AC 折起，使BD =1. 则三棱锥D-ABC 的体积为( ) （A ）
B ．α
，则
α、β、γ、θ的大小关系是
O 的表
2 （B ） 12242
（D ） 1224
（C ）
体积问题21. （本小题10分）
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB ，EF ⊥FB, ∠BFC=90°，BF=FC.
（1）求证：平面ABFE ⊥平面DCFE ； （2）求四面体B —DEF 的体积.
球22．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 （ ）
π(A)2 2π4π
π
(B)3 (C)6 (D)3
二点的距离23．已知ABCD 是空间四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则 （ ）
几何体的表面积和体积
24、（1）（如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高
（2）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =90，∠ADC =135，
00
AB =
5，CD =AD =2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一
周所成几何体的表面积及体积.
异面直线：
E , F , G 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1面A 1C 1, B 1C , CD 1的中心, 则AE 与异面直线1、FG 所成的角为（ ）
A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
异面直线2. 如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ,
则
异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为
____________
ABC 上的射异面直线3、已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面
影为BC 的中点，
则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为 （ ）
A
3
B
C
D ． 4
异面直线4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的
中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是____________. 异面直线5．（本题8分）如图2，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面
ABCD 是菱形，AB=2，
∠BAD= 60.
D A 1
E A
1
C 1G
(Ⅰ) 求证：BD ⊥平面PAC; （Ⅱ）若PA=AB, 求PB 与AC 所成角的余弦值.
异面直线6．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB , AD , AA 1所在直
线所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）
A ．1条 B ．2条 C ．3条 D．4条
异面直线 7．（本小题满分12分）已知四棱锥P -ABCD 的底面是边长为2的菱形，且
∠ABC =600, PA =PC =2, PB =PD ．
（Ⅰ）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值．
异面直线8. 如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在 平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的 余弦值是__________.
D
C
（第8题）
A
B
F E
异面直线9. （本小题8分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直. EF//AC，
CE=EF=1，
∠ECA =60︒.
（1）求证：AF//平面BDE ；
（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值.
异面直线10．(8分) 如图，四棱锥P -ABCD 底面是正方形且四个顶点A , B , C , D 在球O 的
同一个大圆(球面被过球心的平面截得的圆叫做大圆) 上，点P 在球面上且PO ⊥面AC ，且已知V P -ABCD =
16
。 3
（1）求球O 的体积；
（2）设M 为BC 中点，求异面直线AM 与PC 所成角
的余弦值。
P
D C O
B
C
A
M
线面关系：
线面角1. 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面， 底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，
则BB 1与平面AB 1C 1所成的角的大小为
线面角2、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
AB =BC =2,AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为
1
A 1
C 1
B
A
B.
C.
D.
线面平行3、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形的序号是（ ）
A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③
D. ②、④
线面平行和线面角4、（本小题满分8分）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对
角线的交点. 求证：
（１）C 1O //面AB 1D 1；（2 ）求A 1C 与平面AB 1D 1所成的角． D A
B C 1
面面垂直 、线面角和体积5、（理科）（本小题满分12分） 如图，在五棱锥P -ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，
AB //CD , AC //ED , AE //BC ，
∠ABC =45︒, AB =22, BC =2AE =4，
三角形PAB 是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P -ACDE 的体积．
C
B
线面平行6．(14分) 如图, 四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD , E , F 分别是AC , PB 的中点.
(Ⅰ) 证明: EF ∥平面PCD ；
(Ⅱ) 若PA ＝AB , 求EF 与平面PAC 所成角的大小
.
N
B
A M
线面平行7．下列四个正方体图形中，A , B 为 正方体的两个顶点，M , N , P 分别为
M
P
N
P
B
其所在棱的中点，能得出AB //面MNP ① ② ③ ④ 的图形的序号是______．
存在性问题、线面角8.(本小题满分10分) 如图，在直角梯形ABEF 中，
将四边形DCEF 沿CD 折起，
使∠FDA =60︒，得到一个空间几何体。 （1）在线段DF 上找点G , 使得AG//平面BEF ；
(2) 作出直线EF 与平面ABCD 所成角， 并求该角的正切值。
线面平行、存在性问题9．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．
⑴ （文科学生做）求证：OD ∥平面PAB ； ．．
1 ⑵当k ＝时，求直线P A 与平面BC 所成角的余弦值；
2
⑶（理科学生做）当k 取何值时，O 在平面PBC 内 ．． 的射影恰好为△PBC 的重心？
A C
线面角10. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动 点，且B 1F //平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 ( )
A. {2} B. ⎨
⎧2⎫
5⎬ ⎩5⎭
⎧2⎫
≤t ≤2⎬
⎩5⎭
C. t |2≤t ≤22 D. ⎨t |
{}
线面平行11. （12分）已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的三视图如图所示，其中正视图AA 1B 1B 和侧视图B 1BCC 1均为矩形，俯视图∆A 1B 1C 1中，A 1C 1=3, A 1B 1=5, cos ∠A 1=3。
5
（I ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，求证：BC ⊥AC 1；
1（II ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若D 是底边 AB 的中点，求证：AC 1//平面CDB 1；
线面角12．（本题8分）如图1，在三棱锥P －ABC 中，平面PAC⊥平面ABC ，
AB⊥BC ，AB ＝BC ＝PA ＝PC ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点. （I ）求证：OD //平面PAB ；
（II ）求PB 与平面ABC 所成角．
线面角13．（本小题满分13分）已知∆ABC 与∆
DBC 的等边三角形，且平面ABC ⊥平面DBC ，过点A 作PA ⊥平面ABC ，且AP =2． （Ⅰ）求证：PA //平面DBC ； （Ⅱ）求直线
PD 与平面ABC 所成角的大小．
线面角14. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC
D ，E 分别是AC 1
和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 （ ）
ππππ B ． C ． D ．A ．6432
线面角15. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
AB =BC =2,AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.
3
B.
5
C.
D.
线面角16．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影
为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于 （ ） (A)
1 3
(D)
2
3
面面关系：
二面角1. 已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）的体积
为12，
底面正方形的对角线的长为则侧面与底面所成的二面角的平面角为 .
二面角2．如图，三棱锥S-ABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA =SB =SC ，则二面角A -BC -S 大小的正切值为 （ ） A. 1
B.
D. 2 2
线面垂直和二面角3、如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90︒，CD ∥AB ，AB ＝4，AD
＝CD ＝2，M 为线段AB 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACD ； （Ⅱ）求二面角A －CD －M
图1 （第29题）
面面垂直 、线面角和体积4、如图，在五棱锥P -ABCDE 中，
PA ⊥平面ABCDE ，AB //CD , AC //ED , AE //BC ， ∠ABC =45︒, AB =22, BC =2AE =4，
三角形PAB 是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P -ACDE 的体积．
图2
面面垂直和存在问题5、如图，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，
PA ⊥面ABCD ，PA =AB =1, BC =2.
（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； （Ⅲ）在BC 上是否存在一点G ，使得D 到平面PAG 的
距离为1？若存在，求出BG ；若不存在，请说明理由。
E
二面角6．如图所示，已知PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形， PD=AB，Ｍ是PA 的中点，则二面角M-DC-A 的大小为（ ）
B
C
D
2ππππA ． 3 B ． 3 C ．4 D ．6
面面垂直、二面角7．（本题满分10分）
四棱锥P —ABCD 的底面为菱形， 且∠ABC =120︒, PA ⊥底面ABCD ， AB=1，PA =
6，E 为PC 的中点。
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD （2）求二面角E —AD —C 的正切值；
B
C
线面平行、存在性问题8．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．
⑴ （文科学生做）求证：OD ∥平面PAB ； ．．
1 ⑵当k ＝时，求直线P A 与平面BC 所成角的余弦值；
2
⑶（理科学生做）当k 取何值时，O 在平面PBC 内 ．． 的射影恰好为△PBC 的重心？
A C
二面角9. （14分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到 A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）
（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ； （Ⅱ）求二面角A 1－BP －E 的大小。
存在性问题10．（本题12分）如图3，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1．
(I) 求二面角O －AB －C 的平面角的正切值；
(II) 设P 为AC 的中点．证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算的值.
存在性问题12．（本题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB //EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知AB =2, EF =1． （1）求证：直线BF ⊥平面DAF ； （2）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；
（3）当AD 的长为何值时，二面角C -EF -A 的大小为30？
AB AQ
面面垂直13．（本小题10分）
如图：在三棱锥S -ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ；
（Ⅱ）若SA =SC ，BA =BC ，求证：平面SBD ⊥平面ABC .
二面角14．（本小题10分）
如图，已知平面α, β， 且α β=AB , PC ⊥α, PD ⊥β, C , D 是垂足． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若PC =PD =CD =1，求二面角α-AB -β的大小．
A
C
面面垂直15．(8分) 如图，在四棱锥P -ABCD
中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧
面PAD ⊥底面ABCD
，且PA =PD =（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD .
AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 2
二面角16．(9分) 已知AA 1B 上的点. 1⊥平面ABC , AA 1=AB =BC =CA =3，P 为A （1）当P 为A 1B 中点时，求证AB ⊥PC ； （2）当
存在性问题17．(9分) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A
⊥底面
A 1P 1
=时，求二面角P -BC -A 平面角的余弦值． PB 2
ABCD ，AB 3，BC =1，P A =2，E 为PD 的中点． (1)求直线BE 与平面ABCD 所成角的正切值； (2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离．