数学解题方法谈:点到直线的距离公式及其应用

点到直线的距离公式及其应用

一、知识要点

1．点P (x 0，y 0) 到直线x =a 的距离d =x 0-a ；点P (x 0，y 0) 到直线y =b 的距离d =y 0-b ；

2．点P (x 0，y 0) 到直线l ：Ax +By +C =

0的距离d =；； 3．点P (x 0，y 0) 到直线l '：y =kx +

b 的距离d = 4．利用点到直线的距离公式，可求得两平行线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0(C 1≠

C 2) 间的距离d =

推导方法如下：由于A ，B 不同时为零，不妨设A ≠0，令y =0，得直线l 1与x 轴的交点P -⎛C 1⎫0⎪，⎝A ⎭

点P 到直线l

2的距离d =

二、解题指导

1．求距离 A =

0时，公式d =-3) ，B (2，2) ，求△ABC 的面积． -1) ，C (0，例1 已知A (-2，

分析：欲求△ABC 的面积，可先求出直线AB 的方程，再求点C 到直线AB 的距离．

x -2y -4=0，解：由两点式，可求出直线AB 的方程为：点C 到直线AB 的距离等于△ABC 中AB

边上的高h

，h =

∴S △ABC ==

AB = 1AB h =8． 2

2．求点的坐标

例2 求直线l :2x -y -2=0上到直线l ':x +2y -3=

解：设P (a ，b ) 为直线l 上到l '

的距离为2a -b -2=0，b =2a -2，所以点P 的坐

2a -2) ．

标为(a ，

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∴a =122或． 55

∴所求点的坐标为 ⎛1214⎫⎛26⎫⎪，或为 -⎪． 5555⎭⎝⎭⎝

3．求方程

利用点到直线的距离可确定直线方程中的参数，从而求得直线方程；利用点到直线的距离列方程可求动点的轨迹方程．

例3 点P (x ，

y ) 到定点M

的距离与到直线x =

轨迹方程．

2，求点P (x ，y ) 的=．化简，得所求的轨迹方程为x 2+4y 2=4．

4．求最值（创新应用型）

例４已知5x +12y =

0) 到直线5x +12y =

60的距离d =

P (4，=40， 13

∴ 所求最小值为40． 13

三、感悟与体验

点到直线的距离公式是解析几何常用的基本公式之一．解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关，应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题.

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