矩阵对角化及应用
理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云
摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究, 对矩阵对角化充要条件的归纳, 总结, 通过对实对称矩阵, 循环矩阵, 特殊矩阵对角化方法的计算和研究, 让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量, 求可逆矩阵, 使对角化, 提供了简便, 快捷的求解途征.
关键词:对角矩阵; 矩阵对角化; 实对称矩阵; 特征值; 特征向量.
矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分, 在矩阵论中占有重要的作用, 研究矩阵对角化问题很有实用价值, 关于矩阵对角化问题的研究, 这方面的资料和理论已经很多. 但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究, 没有进行系统的分类归纳和总结. 因此, 我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结, 对一些理论进行应用和举例, 给出算法. 特别给出了解题时方法的选择.
1．矩阵对角化概念及其判定
所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵, 称为对角矩阵或称为对角方阵.
定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X , 使
X -1AX 为对角矩阵, 则称矩阵A 可对角化.
矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.
定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵, λ是一个数, 如果方程组
AX =λX (1)
存在非零解向量, 则称λ为的A 一个特征值, 相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．
（1）式也可写成,
(λE -A ) X =0 (2)
这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组, 它有非零解的充分必要条件是系数行列式
λE -A =0, (3)
λ-a 11
即
-a 21-a n 1
-a 12λ-a 22-a n 2
-a 1n -a 2n
=0
λ-a nn
上式是以λ为未知数的一元n 次方程, 称为方阵A 的特征方程． 其左端A -λE 是λ的n 次多项式, 记作f (λ) , 称为方阵
的特征多项式．
λ-a 11
f A (λ) =|λE -A |=
-a 12-a 1n -a 2n
-a 21-a n 1
λ-a 22
-a n 2
λ-a nn
+a n -1λ+a n
=λn +a 1λn -1+
显然, A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解, 其个数为方程的次数（重根按重数计算）, 因此, n 阶矩阵A 有n 个特征值．
设n 阶矩阵A =(a ij ) 的特征值为λ1, λ2, （ⅰ）λ1+λ2+（ⅱ）λ1λ2
λn , 由多项式的根与系数之间的关系, 不难证明
+a nn ;
+λn =a 11+a 22+
λn =A .
若λ为A 的一个特征值, 则λ一定是方程A -λE =0的根, 因此又称特征根, 若λ为方程
A -λE =0的n i 重根, 则λ称为A 的n i 重特征根．方程 (A -λE ) X =0的每一个非零解向量都
是相应于λ的特征向量, 于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式 第二步：求出特征方程 第三步：对于
λE -A ；
λE -A =0的全部根, 即为A 的全部特征值；
的每一个特征值λ, 求出齐次线性方程组：
(λE -A ) X =0 的一个基础解系ξ1, ξ2, k 1ξ1+k
, ξs , 则A 的属于特征值λ的全部特征向量是
． ξ2+2+k s ξs （其中k 1, k 2, , k s 是不全为零的任意实数）
设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , λ1, λ2, , λt 为
A 的t 个互不相同的特征值, 高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中, 我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;
(3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根
我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积
f (λ) =(λ-λ1) r 1(λ-λ2) r 2(λ-λi ) r i
则V 可分解成不变子空间的直和
i
其中V i = {ξ| （A -λi E ）=V =V 1⊕V 2⊕
r
⊕V s ; ξ∈V}
引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.
定理 1.1:设A 是实数域F 上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若λ1, λ2,..., λK 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为r 1, r 2,... r k , 那么
⎛⎫
(Ⅰ) 可对角化的充要条件是秩 ∏(λi E -A )⎪=r j j=1, 2,.......k
⎝i ≠j ⎭
(Ⅱ) 当( 1) 式成立时,
∏(λE -A ) 的列空间就是A 的属于特征根λ的特征子子空间.
i
i
i ≠j
证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使
T -1AT =diag {λ1E 1, λ2E 2,..., λk E K }
这里右边是分块对角矩阵, E j 为r i 阶单位阵, 于是有
⎛-1⎛⎛⎫⎫⎫⎛⎫
秩 ∏(λi E -A )⎪=秩 T ∏(λi E -A )⎪T ⎪=秩 ∏(λi E -T -1AT )⎪
⎪
⎝i ≠j ⎭⎝i ≠j ⎭⎭⎝i ≠j ⎭⎝
⎛⎫
=秩 ∏(λi E -diag {λ1E , λ2E 2,..., λK E K })⎪
⎝i ≠j ⎭
=秩
⎛
⎫
diag λ-λE , λ-λE ,..., λ-λE , (i j )1(i j )2(i j )K ⎪ ∏⎝i ≠j ⎭
{}
⎛⎧⎫⎫
=秩 diag ⎨0,0,...0, ∏(λi -λj )E j ,0,0,...,0⎬⎪=r j j=1,2, ......k.
⎪i ≠j ⎩⎭⎭⎝
反之, 若秩
(∏(λE -A ) )=r i=1,2,.....k, 反复用引理可得
i
j
秩(∏λi E -A )r j ≥∑秩(λi E -A )-(K -2)n ≥∑(n -r i )-(k -2)n
i ≠j
i ≠j
=n -∑r i =r j j=1,2,...,k.
i ≠j
这里用到了齐次线性方程组(λi E -A )X =0的解空间的维数不大于λi 的重数不大于r j 这个结论. 于是又
∑秩(λE -A )=∑(n -r )从而秩(λ-A )=n -r i=1,2,......k. 这样的矩阵可
i
i
i i
i ≠j i ≠j
以对角化.
(Ⅱ) 设( Ⅰ) 式成立, 则A 可对角化. 故A 的最小多项式为
k
∏(x -λ)从而
i
i =1
k
∏(λE -A )=0 即 (λE -A )∏(λE -A )=0
i
i i
i =1i ≠j
这就是说, 列空间包含在λi 的特征子空间中, 但是由(1), 是r j 的特征子空间的维数, 所以结论(Ⅱ) 成立.
∏(λE -A )的列空间的维数是n, 它正
i
i ≠j
推论: 设A 为实数域F 上的n 阶矩阵,A 的特征根全为F 内, 且λ1, λ2 是A 的全部不同的特征根, 其维数分别为r 1, r 2, 若秩(λ1E -A )=r 2, 秩(λ2E -A )=r 1, 则A 可以对角化, 且
(λE -A )的列向量组的极大无关组恰是属于λ2 的极大线性无关的特征向量组, λ2E -A 的列向
量组的极大无关组恰是属于λ1的极大无关的特征向量组.
⎛460⎫
⎪
例1: 判断A= -3-50⎪能否对角化, 并求特征向量.
-361⎪⎝⎭
解: 易知A 的特征根λ1 =-2 , λ2 =1.
⎛-6-60⎫⎛-3-60⎫
⎪ ⎪
350360 和 =λ1E -A = λE -A 2 ⎪ ⎪ 3-6-3⎪ 360⎪⎝⎭⎝⎭
⎛0⎫⎛-2⎫⎛1⎫
⎪ ⎪ ⎪
的秩分别为2与1, 故A 可对角化. 又因为可以选取 0⎪和 1⎪为的列空间的一个基, -1⎪是属
-1⎪ 1⎪ 0⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
于λ1的特征向量.
定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来, 给出了一个不
用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.
2．实对称矩阵对角化的计算方法
我们知道任意实对称矩阵, 总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使P AP =PAP 为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值, 针对不同特征值求出相应的完全特征向量系, 合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , PAP
-1
-1
T
=PAP T 为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行, 但在具体操
作时, 由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值, 操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.
定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵, 对于任一n 维非零列向量x , 称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.
引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, λ1≥λ2≥...... ≥λn 为A 的特征值.
λ1=max
n
(Ax , x ), λ=min (Ax , x )
1
x ∈R /{0}x , x x ∈R /{0}x , x n
定义2.2 设w 为n 维列向量, 且w w = 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2ww 称为Householder 阵.
引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质: (1) H =H
(2) H H =HH =I ( H 是正交阵) .
引理2.3 设x , y ∈R , x ≠y , X =Y , 则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中H =I -2(x -y )(x -y )/x -y
定理2.1 设A 是实对称矩阵, λ, x (X
2
T
2
T T
T
T T
n
= 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量,
则存在P 为一个正交阵, 使Px =e 1 = (1,0,0...,0). 且PAP 的第一行和第一列的第一个元素为
T
T
λ, 其余元素均为零.
证 设A 是实对称矩阵, λ1≥ λ2≥ ... ≥ λn 为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法, 可求得λ1 及相应的规范化特征向量X 1 . 不妨假设‖X 1 ‖ = 1 , 由引
1,0,0,...,0). 且PAP 的第一行和第一列的第一个理2.3 ,存在P 1为一个正交阵, 使P 1X 1=e 1=(
T
T
⎛λ1元素为λ1 , 其余元素均为零. 设PAP = 1
⎝0
T 10⎫
⎪, 为对称阵, 故A 1 也为对称阵, 设λ2 及A 1⎭
X 2 为A 1最大特征值及相应的规范化特征向量, 则根据引理2.3 ,存在Q 2为一个正交阵, 使
T
Q 2x 2=e 1=(1,0,0,...,0). 且Q 2AQ 12 的第一行和第一列除λ2 外其余元素均为零. 令
T
⎛10⎫P 2= ⎪, 容易验证P 2亦为正交阵, 满足:
0Q ⎝2⎭
⎛λ1T T
P 2P AP P = 112
⎝0
⎛λ10
0⎫
⎪=0λ2
Q 2A 1Q 2T ⎭ 00
⎝
0⎫⎪0⎪ A 2⎪⎭
T
依此类推, 存在正交阵p 1, p 2 , ⋯, p n -1, 使得p n -1... p 2p 1Ap 1T p 2T ... p n -1T =D , 则PAP =D, 其中D 为对角阵, 令P =P n -1 P 2P 1, 则PAP =D , P 即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.
T
⎛2102⎫
⎪
例2: 设矩阵A = 105-8⎪, λ1≥λ2≥λ3为A 的特征值. 按上面的算法进
2-811⎪⎝⎭
行对角化, 求出正交矩阵P 及特征根和特征向量.
解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法, 可求得λ1 = 18 ,相应的特征向量
⎛1
为x 1= ,
⎝3
2, 3
2⎫-⎪ 3⎭
T
(2) 计算正交矩
p 1=p 1=I -2(x -e 1)(x -e 1)
T
⎛1 3 2
/x -e 1= 2
3 2 - ⎝3
232-31-3
2⎫-⎪3⎪1-⎪, 3⎪⎪2⎪-⎪3⎭
⎛1800⎫
T ⎪T
-90⎪, 至此已实现对角化. 借此可求得= λ2=9 , 满足p 1x 1=e 1=(1,0,0)且P 1AP 1= 0
009⎪⎝⎭
212⎫
λ3 = - 9. 相应的特征向量分别为x 2=⎛-, -, - ⎪,
33⎭⎝3
21⎫⎛2
x 3= , -, -⎪.
33⎭⎝3
T
T
3．循环矩阵对角化方法的研究
⎛a 0
a n -1 在复数域C 上, 形如A = ... ⎝a 1
a 1a 0... a 2
a 2... a n -1⎫
⎪
a 1... a n -2⎪
的矩阵, 称关于元素列a 0, a 1,..., a n -1的
... ... ... ⎪
⎪
a 3... a 0⎭
⎛0 0
循环矩阵. 已知n 阶循环矩阵K =
... ⎝1
1
0⎫⎪
01... 0⎪, 并令K =K i (i =1,2,
i
... ... ... ⎪...
⎪
00... 0⎭
0...
, n ) , 称
E , K 1, K 2,...., K n -1为循环矩阵基本列(其中E = K n 为单位矩阵).
循环矩阵基本列有如下特点: ①E , K 1, K 2,..., K n -1都是循环矩阵; ②K n +i =K i ,即K
n +i
=K i ;
③n 阶循环矩阵K 有n 个特征根: λm =cos
mx mx
+i sin (m =0,1, n n
, n -1)
④关于元素列a 0, a 1, a 2, ... n 阶循环矩阵A 可用循环矩阵基本列表示为n a -, 的1
A =a 0E +a 1K +a 2K 2+... +a n -1K n -1, 反之, 能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵, 则一定是循
环矩阵. 循环矩阵的性质
性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵. 性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律. 性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵. 性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.
n 阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:
命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数, 若λ是矩阵A 的特征根, 则 f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.
命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数, 若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .
考察n 阶循环矩阵K,K 的特征多项式为:
λE -K =λ-1=∏(
λ-η), η=e
n
j
j
j =0
n -1
2πi n
(i =
如果n 阶循环矩阵A 记为A =f A (K )=a 0E +a 1K +a 2K 2+... +a n -1K n -1不难求得K 中与特征值
ηj 相应的特征向量, 记:
⎡ηj ⎤⎡ηj ⎤⎡1⎤
⎢2j ⎥⎢2j ⎥⎢j ⎥ηη⎥(j )⎢⎥=ηj ⎢η⎥=ηj x (j )⎢kx ==⎢... ⎥⎢... ⎥⎢... ⎥
⎢⎥⎢⎥⎢n -1⎥
⎢⎢⎣η⎦, ⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦
命
n -1
x (j )
则由
(1)
(m )
题
-
1k
3.1
mk
n -1
得
Ax (j )=f A (K )x (j )=f A (ηj )x (j )
, 可以验证
(x
, x
)=∑η
k =0
. η
⎧0,1≠m (j )
. 将这n 个两两正交的向量x 单位化, 可得标
=∑(m -1)k =⎨
k =0⎩1,1=m
(n -1)⎫
x ⎬, 令矩阵 ⎭
准正交基(
0)
x , (
1)
x , ...,
(
0)T =x ,
(
1)
x , ..., 11... 1⎛1⎫ ⎪2n -11ηη... η⎪(
n -1)⎫ 242(n -1) 1η⎪
x η... η⎬=
⎪⎭
... ... ... ... ... ⎪ 1η(n -1) η2(n -1) ... η(n -1)(n -1) ⎪⎝⎭
则T
-1
=T ' =
x (0), (
x (1)
...
x (n -1)
-1
)
命题3.3 任意n 阶循环矩阵A =f A (K ) 在复数域C 上都可对角化, 即T AT =diag [f A (0)f A (η1),..., f A (ηn -1)]
推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是f A (ηi ) ≠0(i=0,1,...,n-1).
⎛1 4 例3:求四阶循环矩阵A = 3 ⎝2
21433214
4⎫⎪3⎪
的特征根, 并对角化. 2⎪⎪1⎭
100001000⎫⎪0⎪ 1⎪⎪0⎭
⎛0 0
解: 令f (x ) =1+2x +3x 2+4x 3 得 A =f (A )(K ), K =
0 ⎝1
由于η=e
2πi n
=i , 所以A 的特征根分别为:
f (A )(η0)=10 , f (A )(η1)=-2-2i, f (A )(η2)=-2, f (A )(η3)=-2+2i
⎛1111⎫⎛1111⎫ ⎪ ⎪
1-i -1i 1 1-i -1-i ⎪1⎪ , T -1= T =
2 1-11-1⎪2 1-11-1⎪ ⎪ ⎪1-i -1-i 1i -1-i ⎝⎭⎝⎭
4．特殊矩阵特殊对角化的研究
前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究, 本部分主要讨论, 当矩阵只有两个特征根时的对角化问题, 方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内, 并且可以对角化, 不通过解线性方程组求特征向量, 而用初等变换求出可逆矩阵T, 使T AT 为对角形矩阵.
-1
定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化, 其特征根为λ1, λ2, 如果
⎛B n ⨯s ⎛λ1I -A ⎫
→ ⎪−−−−初等变换 *⎝I ⎭⎝
P,B 为列满秩矩阵, 那么
⎫
⎪
p n ⨯(n -s )⎪⎭
(i) A 的属于λ1 的线性无关的特征向量为P 的n -s 个列向量;A 的属于λ2的线 性无关的特征向量为B 的s 个列向量.
⎛λ1⎫ ⎪
... ⎪ ⎪λ1
-1
(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆, 且有T AT = ⎪
λ2 ⎪
⎪... ⎪ λ2⎪⎝⎭
其中λ1 有n -s 个, λ2有s 个.
证 因为初等矩阵不改变矩阵的秩, 且B 为列满秩, 则s =秩B =秩(λ1I -A )=λ2的重数. （i ）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质, 可得
P n ⨯(n -s ))=(B ,0) 从而(λ1I -A )P =0 (λ1I -A )(*，
因P 为列满秩矩阵, 则P 的n -s 个列向量为齐次线性方程组(λ1I -A )X =0 的基础解系, 亦即P 的n -s 个列向量为A 的属于λ1的线性无关的特征向量. 又A 可以对角化, 且λ2的重数为s ,则有可逆矩阵Q, 使得
⎛λ1⎫⎛λ1⎫
⎪ ⎪
... ... ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ1λ1-1
A =Q ⎪Q , 令D = ⎪,
λλ22 ⎪ ⎪
⎪ ⎪... ... ⎪ ⎪ ⎪ λ2⎭λ2⎪⎝⎝⎭
则有
(λ1I -A )(λ2I -A )=(λ1I -Q -1DQ )(λ2I -Q -1DQ )
=Q -1(λ1I -D )QQ -1(λ2I -D )Q =Q -1(λ1I -D )(λ2I -D )Q = Q -1OQ =0 由于B 的列向量为λ1I -A 的列空间的基, 则B 的s 个列向量为齐次线性方程组
(λ1I -A )X =0的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于λ2的线性无关的特征向量.
(ii) 因矩阵A 的属于不同特征根的特征向量线性无关, 且特征向量的个数之和等于A 的阶数n , 于是, 令 T =P , B ) 即有T AT =D
-1
(
⎛001⎫ ⎪-1
例4:令矩阵A = 010⎪, 求可逆矩阵T, 使得T AT 为对角形式.
100⎪⎝⎭
解: 方法一, 先求A 的特征根
0-1⎫⎛λ
2 ⎪
f A (λ)= 0λ-10⎪= (λ-1)(λ+1)
-10λ⎪⎝⎭
则λ1 = 1 (二重) , λ2 = - 1. 可见, 此例为定理所述的情况. 对矩阵 作初等列变换, 即
⎛λ1I -A ⎫
⎪
⎝I ⎭
⎛1 0
⎛λ1I -A ⎫ -1 ⎪= ⎝I ⎭ 1
0 0⎝0-1⎫⎛1
⎪ 00⎪ 001⎪ -1
⎪→ 00⎪ 110⎪ 0
⎪ ⎪01⎭ ⎝000⎫
⎪00⎪
00⎪⎛B 0⎫
⎪= ⎪01⎪⎝*P ⎭ 10⎪
⎪01⎪⎭
T
所以, 由定理4.1 知,A 的属于λ2 = - 1 的线性无关的特征向量为a 1=(1,0, -1);A 的属于λ1 = 1 的线性无关的特征向量为a 2=(0,1,0) , a 3=(1,0,1)
T
T
⎛011⎫⎛1⎫
⎪ ⎪-1
1令T = 100⎪, 则有T AT = ⎪. 这与[1 ]的结果一致.
01-1⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭
方法二 在矩阵(λI -A )中, 亦可取λ2=-1, 这时
⎛-10-1⎫⎛-100⎫ ⎪ ⎪0-200-20 ⎪ ⎪
⎛-I -A ⎫ -10-1⎪ -100⎪⎛B 0⎫
⎪→ ⎪= ⎪= ⎪
I 10010-1*P ⎝⎭ ⎭⎪ ⎪⎝
010⎪ 010⎪ 001⎪⎪ 001⎪⎪⎝⎭⎝⎭
则A 的属于λ1=1 的线性无关的特征向量为a 1=(-1,0, -1) , a 2=(0, -2,0) ;A 的属于
T
T
λ2=- 1 的线性无关的特征向量为a 2=(-1,0,1)
⎛-10-1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪-1
1令T = 0-20⎪, 则有T AT = ⎪.
-101⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭
T
5．常规矩阵对角化方法的新探
众所周知, 对数域P 上一个n 阶矩阵A 是否存在一个可逆矩阵T , 使得T AT 为对角形矩阵, 当这种矩阵存在时, 如何去寻求它. 一般有关教材中都是先计算一个行列式, 求出A 的特征值, 再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的. 在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的, 它比教材中的常规方法简单一些, 因为不必解若干的齐次线性方程组, 有时也不必计算行列式.
-1
5.1理论依据
为说话方便, 我们规定如果数域P 上, 对n 阶矩阵存在一个可逆矩T , 使得T AT 为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P 上可对角化. 当可对角化时, 我们说将A 对角化, 即指求矩阵T , 使
-1
T -1AT 为对角形矩阵. 若矩阵n 在数域P 上可对角化, 则有P 上可逆矩阵T , 使得T -1AT =B
为对角形矩阵. 于是B 的主对角线上的元素, 即为A 的全体特征值, 并且可表示：
T =QQ 12... Q S , 其中Q i 为初等矩阵,i=1,2,...,s,
-1
于是, B =Q -1S Q -1S -1... Q 1-1AQQ 12... Q S , 又Q i 也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的
关系, 即知Q 1-1AQ , 相当于对A 施行了一次初等行变换与一次初等列变换. 这里, 我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.
显见, 可对A 施行一系列的相似变换化为B . 又由, T =EQQ 12... Q S （E 此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A 化为对角形矩阵B , 且可求得T ：
⎛A ⎫对A 施行一系列相似变换⎛B ⎫
→ ⎪, 对E 只施行其中的初等列变换. ⎪−−−−−−−
⎝E ⎭⎝T ⎭
当A 不可对角化时, 也可经相似变换化简A 后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由T -1=Q -1S Q -1S -1... Q 1-1E , 做如下初等变换则可将A 化为对角形矩阵B, 且可求得T 或由B 求A 的特征值, 判定可否对角化：
(A 对A 施行一系列相似变换
E )−−−−−−−→(B T ), 对E 只施行其中的初等行变换.
并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.
5.2 应用举例
为叙述简便, 这里用r i 表示i 第行, c i 表示第i 列, r i +kr j 表示用数k 乘第j 行后再加到第i 行上, c i +kc j 表示用数k 乘第j 列后再加到第i 列上.
例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化, 若可则将其对角化:
⎛1111⎫
⎛5-11⎫ ⎪
11-1-1 ⎪⎪. 02⎪, (2)B = (1)A = 6
1-11-1⎪ -311⎪
⎪⎝⎭
1-1-11⎝⎭
⎛5-11`⎫⎛4-11⎫
⎪ ⎪r 3+r 1c 1-c 3
→ 602⎪ −−−→ 402⎪=C , 知A 与C 相似. 解：（1）由A −−−
202⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭
易得,C 的特征值为2,2,2, 且2E-C 的秩为2, 所以C 不能对角化, 从而知A 的特征值为2,2,2且A 不可以对角化.
⎛1111⎫⎛1111⎫
⎪ ⎪11-1-12200 ⎪ ⎪ 1-11-1⎪ 2020⎪ ⎪ ⎪1-1-112002c 1-c i , i =2,3,4r i +r 1, i =2,3,4⎪−−−−→ ⎪ −−−−−→ （2）由
1000⎪ 1000⎪ ⎪ ⎪ 0100⎪ 0100⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0000⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝
⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝
⎛
111⎫ -2
⎪ 200⎪
⎪020 0⎪ r i , i =2,3,4002⎪r 1-1
4
→ 0⎪000 1⎪ 100⎪
-1
⎪010 ⎪ -1⎪001⎭ -1
⎝
020014341-41-4
0020141-4341-4
0⎫⎪0⎪0⎪⎪2⎪1⎪, ⎪4⎪1⎪-⎪4⎪1-⎪4⎪⎪3⎪⎪4⎭
122000100
120200010
1⎫2⎪⎪0⎪0⎪
⎪c i +1c 1, i =2,3,4
42⎪→
0⎪⎪0⎪⎪0⎪1⎪⎭
知B 可以对角化,B 的特征值为-2,2,2,2.
1⎛
1 4
-13 4令T =
-1-1 4 1 -1-⎝41
41-4341-41⎫4⎪⎪⎛-21⎪- ⎪4, 则-1 0T AT =⎪ 01⎪- 4⎪⎝03⎪⎪4⎭
000⎫
⎪
200⎪
. ⎪020⎪
002⎭
当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.
⎛1-200⎫ ⎪-3200⎪可否对角化, 若可, 则将其对角化. 例6判定A =
002-3⎪ ⎪00-43⎝⎭
解法1（教材中的方法）
x -12003x -2002
由xE -A = =(x -4)(x -6)(x +1),
00x -23004x -3
知A 的特征值为4,6,-1,-1.
⎛2⎫
-3⎪ ⎪1解 齐次线性方程组(4E -A )X =0得一基础解系 ⎪ 0⎪ 0⎪⎪⎝⎭⎛0⎫ ⎪0 ⎪
解 齐次线性方程组(6E -A )X =0得一基础解系 3⎪
-⎪4⎪ 1⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪10
解 齐次线性方程组(-E -A )X =0得一基础解系 ⎪, ⎪
0⎪ 1⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭⎝1⎭
⎛2 -3 1
于是可,A 可对角化, 且取T =
0 0⎝⎫10⎪
⎛4000⎫
⎪ ⎪010⎪0600-1⎪. , 则T AT = ⎪ 00-10⎪3
-01⎪ ⎪4000-1⎪⎝⎭
⎪101⎭0
⎛1-200⎫⎛1-200⎫
⎪ ⎪-3200-4400 ⎪ ⎪ 002-3⎪ 002-3⎪ ⎪ ⎪00-4300-66c 1+c 2, c 3+c 4r 2-r 1, r 4-r 3⎪ −−−−⎪−−−−→ → 解法2由
1000⎪ 1000⎪ ⎪ ⎪01000100 ⎪ ⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0001⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-1-200⎫ ⎪0400 ⎪ 00-1-3⎪ ⎪0006 ⎪ 1000⎪ ⎪ 1100⎪ 0010⎪ 0011⎪⎪⎝⎭
⎛-1 0 0 0 1 1 0 0⎝
04002-53500
00-100011
0006
→
23
r 1-r 2, r 3-r 4
57
2⎛
-1- 5
4 0
0 0 00
0 1 11
0 0 00⎝⎫
0⎪⎪
00⎪
3⎪-1-⎪
7⎪06⎪
⎪
00⎪00⎪
⎪
10⎪11⎪⎭0
→
23
c 2-c 1, c 4-c 3
57
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0⎪⎪⎪0⎪⎪3⎪-⎪7⎪4⎪⎪7⎭
2⎛⎫1-00 ⎪5 ⎪
3⎛-1 100⎪ ⎪05-1
知,A 可对角化, 且取. T = ⎪, T AT =
0 001-3⎪
7⎪⎝0 ⎪4
001⎪
7⎭⎝
0⎫
⎪
400⎪
⎪0-10⎪
006⎭
00
两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.
上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法, 计算技巧的一些探讨, 比较传统的计算方法、计算技巧, 有一些优越性. 计算简便, 步骤简单具体, 有较强的实用性.
参考文献：
[1] 张禾瑞 赫炳新 高等代数[M] 第四版 北京 ：高等教育出版社 1998.166－410
[3] 毛纲源 线性代数[M] 解题方法与技巧归纳 第二版 华中科技大学出版社 1997,7.213－241. [4] 丘维声 抽象代数[M] 北京 ：高等教育出版社 2003.160－190.
[5] 王萼芳 石生明 高等代数[M] 北京 ：高等教育出版社 1987.176－254.
[6] 王萼芳 高等代数教程[M] 北京清华大学 1996.91－184.
[7] 张爱萍 循环矩阵的性质及其对角化[J] 广西师范自然科学报,2000,12.No.8.168－170. [8] 高吉全 矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨[J] 数学通报,1991.12.No.7.23－26. [9] 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化[J]河南机电高等专科学校学报．2006．No.4．106－108． [10]张正成 可对角化矩阵的应用[J] 科技资讯.2007.No.24.252－253.
[11]张学元 线性代数能力试题解题[M] 武汉：华中理工大学出版社, 2000.34－37 [12]向人晶 矩阵可对角化的简单判定[J] 数学通报,2003,3.No.12.13－15. [13]靳廷昌 有两个特征根矩阵对角化[J] 数学通报,1997,11.No.23.53－57. [14]李世余 代数学的发展和展望[J] 广西大学学报．1985．No ．1.146－148.
[15]周立仁 矩阵同时对角化的条件讨论[J] 湖南理工学院学报．2007．Vol.20．No.1．8－10．
致谢
本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成. 陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神, 令我很受触动. 同时, 在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血. 陈老师尽心的指导与严格的监督, 促使我最终完成了论文. 值此论文完成之际, 我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!
On the martix diagonatization and application
College of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen Qiaoyun
Abstract :This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.
Key words: diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix; eigenvalue; eigenvectors
矩阵对角化及应用
理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云
摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究, 对矩阵对角化充要条件的归纳, 总结, 通过对实对称矩阵, 循环矩阵, 特殊矩阵对角化方法的计算和研究, 让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量, 求可逆矩阵, 使对角化, 提供了简便, 快捷的求解途征.
关键词:对角矩阵; 矩阵对角化; 实对称矩阵; 特征值; 特征向量.
矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分, 在矩阵论中占有重要的作用, 研究矩阵对角化问题很有实用价值, 关于矩阵对角化问题的研究, 这方面的资料和理论已经很多. 但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究, 没有进行系统的分类归纳和总结. 因此, 我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结, 对一些理论进行应用和举例, 给出算法. 特别给出了解题时方法的选择.
1．矩阵对角化概念及其判定
所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵, 称为对角矩阵或称为对角方阵.
定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X , 使
X -1AX 为对角矩阵, 则称矩阵A 可对角化.
矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.
定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵, λ是一个数, 如果方程组
AX =λX (1)
存在非零解向量, 则称λ为的A 一个特征值, 相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．
（1）式也可写成,
(λE -A ) X =0 (2)
这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组, 它有非零解的充分必要条件是系数行列式
λE -A =0, (3)
λ-a 11
即
-a 21-a n 1
-a 12λ-a 22-a n 2
-a 1n -a 2n
=0
λ-a nn
上式是以λ为未知数的一元n 次方程, 称为方阵A 的特征方程． 其左端A -λE 是λ的n 次多项式, 记作f (λ) , 称为方阵
的特征多项式．
λ-a 11
f A (λ) =|λE -A |=
-a 12-a 1n -a 2n
-a 21-a n 1
λ-a 22
-a n 2
λ-a nn
+a n -1λ+a n
=λn +a 1λn -1+
显然, A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解, 其个数为方程的次数（重根按重数计算）, 因此, n 阶矩阵A 有n 个特征值．
设n 阶矩阵A =(a ij ) 的特征值为λ1, λ2, （ⅰ）λ1+λ2+（ⅱ）λ1λ2
λn , 由多项式的根与系数之间的关系, 不难证明
+a nn ;
+λn =a 11+a 22+
λn =A .
若λ为A 的一个特征值, 则λ一定是方程A -λE =0的根, 因此又称特征根, 若λ为方程
A -λE =0的n i 重根, 则λ称为A 的n i 重特征根．方程 (A -λE ) X =0的每一个非零解向量都
是相应于λ的特征向量, 于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式 第二步：求出特征方程 第三步：对于
λE -A ；
λE -A =0的全部根, 即为A 的全部特征值；
的每一个特征值λ, 求出齐次线性方程组：
(λE -A ) X =0 的一个基础解系ξ1, ξ2, k 1ξ1+k
, ξs , 则A 的属于特征值λ的全部特征向量是
． ξ2+2+k s ξs （其中k 1, k 2, , k s 是不全为零的任意实数）
设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , λ1, λ2, , λt 为
A 的t 个互不相同的特征值, 高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中, 我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;
(3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根
我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积
f (λ) =(λ-λ1) r 1(λ-λ2) r 2(λ-λi ) r i
则V 可分解成不变子空间的直和
i
其中V i = {ξ| （A -λi E ）=V =V 1⊕V 2⊕
r
⊕V s ; ξ∈V}
引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.
定理 1.1:设A 是实数域F 上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若λ1, λ2,..., λK 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为r 1, r 2,... r k , 那么
⎛⎫
(Ⅰ) 可对角化的充要条件是秩 ∏(λi E -A )⎪=r j j=1, 2,.......k
⎝i ≠j ⎭
(Ⅱ) 当( 1) 式成立时,
∏(λE -A ) 的列空间就是A 的属于特征根λ的特征子子空间.
i
i
i ≠j
证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使
T -1AT =diag {λ1E 1, λ2E 2,..., λk E K }
这里右边是分块对角矩阵, E j 为r i 阶单位阵, 于是有
⎛-1⎛⎛⎫⎫⎫⎛⎫
秩 ∏(λi E -A )⎪=秩 T ∏(λi E -A )⎪T ⎪=秩 ∏(λi E -T -1AT )⎪
⎪
⎝i ≠j ⎭⎝i ≠j ⎭⎭⎝i ≠j ⎭⎝
⎛⎫
=秩 ∏(λi E -diag {λ1E , λ2E 2,..., λK E K })⎪
⎝i ≠j ⎭
=秩
⎛
⎫
diag λ-λE , λ-λE ,..., λ-λE , (i j )1(i j )2(i j )K ⎪ ∏⎝i ≠j ⎭
{}
⎛⎧⎫⎫
=秩 diag ⎨0,0,...0, ∏(λi -λj )E j ,0,0,...,0⎬⎪=r j j=1,2, ......k.
⎪i ≠j ⎩⎭⎭⎝
反之, 若秩
(∏(λE -A ) )=r i=1,2,.....k, 反复用引理可得
i
j
秩(∏λi E -A )r j ≥∑秩(λi E -A )-(K -2)n ≥∑(n -r i )-(k -2)n
i ≠j
i ≠j
=n -∑r i =r j j=1,2,...,k.
i ≠j
这里用到了齐次线性方程组(λi E -A )X =0的解空间的维数不大于λi 的重数不大于r j 这个结论. 于是又
∑秩(λE -A )=∑(n -r )从而秩(λ-A )=n -r i=1,2,......k. 这样的矩阵可
i
i
i i
i ≠j i ≠j
以对角化.
(Ⅱ) 设( Ⅰ) 式成立, 则A 可对角化. 故A 的最小多项式为
k
∏(x -λ)从而
i
i =1
k
∏(λE -A )=0 即 (λE -A )∏(λE -A )=0
i
i i
i =1i ≠j
这就是说, 列空间包含在λi 的特征子空间中, 但是由(1), 是r j 的特征子空间的维数, 所以结论(Ⅱ) 成立.
∏(λE -A )的列空间的维数是n, 它正
i
i ≠j
推论: 设A 为实数域F 上的n 阶矩阵,A 的特征根全为F 内, 且λ1, λ2 是A 的全部不同的特征根, 其维数分别为r 1, r 2, 若秩(λ1E -A )=r 2, 秩(λ2E -A )=r 1, 则A 可以对角化, 且
(λE -A )的列向量组的极大无关组恰是属于λ2 的极大线性无关的特征向量组, λ2E -A 的列向
量组的极大无关组恰是属于λ1的极大无关的特征向量组.
⎛460⎫
⎪
例1: 判断A= -3-50⎪能否对角化, 并求特征向量.
-361⎪⎝⎭
解: 易知A 的特征根λ1 =-2 , λ2 =1.
⎛-6-60⎫⎛-3-60⎫
⎪ ⎪
350360 和 =λ1E -A = λE -A 2 ⎪ ⎪ 3-6-3⎪ 360⎪⎝⎭⎝⎭
⎛0⎫⎛-2⎫⎛1⎫
⎪ ⎪ ⎪
的秩分别为2与1, 故A 可对角化. 又因为可以选取 0⎪和 1⎪为的列空间的一个基, -1⎪是属
-1⎪ 1⎪ 0⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
于λ1的特征向量.
定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来, 给出了一个不
用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.
2．实对称矩阵对角化的计算方法
我们知道任意实对称矩阵, 总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使P AP =PAP 为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值, 针对不同特征值求出相应的完全特征向量系, 合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , PAP
-1
-1
T
=PAP T 为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行, 但在具体操
作时, 由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值, 操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.
定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵, 对于任一n 维非零列向量x , 称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.
引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, λ1≥λ2≥...... ≥λn 为A 的特征值.
λ1=max
n
(Ax , x ), λ=min (Ax , x )
1
x ∈R /{0}x , x x ∈R /{0}x , x n
定义2.2 设w 为n 维列向量, 且w w = 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2ww 称为Householder 阵.
引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质: (1) H =H
(2) H H =HH =I ( H 是正交阵) .
引理2.3 设x , y ∈R , x ≠y , X =Y , 则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中H =I -2(x -y )(x -y )/x -y
定理2.1 设A 是实对称矩阵, λ, x (X
2
T
2
T T
T
T T
n
= 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量,
则存在P 为一个正交阵, 使Px =e 1 = (1,0,0...,0). 且PAP 的第一行和第一列的第一个元素为
T
T
λ, 其余元素均为零.
证 设A 是实对称矩阵, λ1≥ λ2≥ ... ≥ λn 为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法, 可求得λ1 及相应的规范化特征向量X 1 . 不妨假设‖X 1 ‖ = 1 , 由引
1,0,0,...,0). 且PAP 的第一行和第一列的第一个理2.3 ,存在P 1为一个正交阵, 使P 1X 1=e 1=(
T
T
⎛λ1元素为λ1 , 其余元素均为零. 设PAP = 1
⎝0
T 10⎫
⎪, 为对称阵, 故A 1 也为对称阵, 设λ2 及A 1⎭
X 2 为A 1最大特征值及相应的规范化特征向量, 则根据引理2.3 ,存在Q 2为一个正交阵, 使
T
Q 2x 2=e 1=(1,0,0,...,0). 且Q 2AQ 12 的第一行和第一列除λ2 外其余元素均为零. 令
T
⎛10⎫P 2= ⎪, 容易验证P 2亦为正交阵, 满足:
0Q ⎝2⎭
⎛λ1T T
P 2P AP P = 112
⎝0
⎛λ10
0⎫
⎪=0λ2
Q 2A 1Q 2T ⎭ 00
⎝
0⎫⎪0⎪ A 2⎪⎭
T
依此类推, 存在正交阵p 1, p 2 , ⋯, p n -1, 使得p n -1... p 2p 1Ap 1T p 2T ... p n -1T =D , 则PAP =D, 其中D 为对角阵, 令P =P n -1 P 2P 1, 则PAP =D , P 即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.
T
⎛2102⎫
⎪
例2: 设矩阵A = 105-8⎪, λ1≥λ2≥λ3为A 的特征值. 按上面的算法进
2-811⎪⎝⎭
行对角化, 求出正交矩阵P 及特征根和特征向量.
解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法, 可求得λ1 = 18 ,相应的特征向量
⎛1
为x 1= ,
⎝3
2, 3
2⎫-⎪ 3⎭
T
(2) 计算正交矩
p 1=p 1=I -2(x -e 1)(x -e 1)
T
⎛1 3 2
/x -e 1= 2
3 2 - ⎝3
232-31-3
2⎫-⎪3⎪1-⎪, 3⎪⎪2⎪-⎪3⎭
⎛1800⎫
T ⎪T
-90⎪, 至此已实现对角化. 借此可求得= λ2=9 , 满足p 1x 1=e 1=(1,0,0)且P 1AP 1= 0
009⎪⎝⎭
212⎫
λ3 = - 9. 相应的特征向量分别为x 2=⎛-, -, - ⎪,
33⎭⎝3
21⎫⎛2
x 3= , -, -⎪.
33⎭⎝3
T
T
3．循环矩阵对角化方法的研究
⎛a 0
a n -1 在复数域C 上, 形如A = ... ⎝a 1
a 1a 0... a 2
a 2... a n -1⎫
⎪
a 1... a n -2⎪
的矩阵, 称关于元素列a 0, a 1,..., a n -1的
... ... ... ⎪
⎪
a 3... a 0⎭
⎛0 0
循环矩阵. 已知n 阶循环矩阵K =
... ⎝1
1
0⎫⎪
01... 0⎪, 并令K =K i (i =1,2,
i
... ... ... ⎪...
⎪
00... 0⎭
0...
, n ) , 称
E , K 1, K 2,...., K n -1为循环矩阵基本列(其中E = K n 为单位矩阵).
循环矩阵基本列有如下特点: ①E , K 1, K 2,..., K n -1都是循环矩阵; ②K n +i =K i ,即K
n +i
=K i ;
③n 阶循环矩阵K 有n 个特征根: λm =cos
mx mx
+i sin (m =0,1, n n
, n -1)
④关于元素列a 0, a 1, a 2, ... n 阶循环矩阵A 可用循环矩阵基本列表示为n a -, 的1
A =a 0E +a 1K +a 2K 2+... +a n -1K n -1, 反之, 能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵, 则一定是循
环矩阵. 循环矩阵的性质
性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵. 性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律. 性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵. 性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.
n 阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:
命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数, 若λ是矩阵A 的特征根, 则 f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.
命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数, 若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .
考察n 阶循环矩阵K,K 的特征多项式为:
λE -K =λ-1=∏(
λ-η), η=e
n
j
j
j =0
n -1
2πi n
(i =
如果n 阶循环矩阵A 记为A =f A (K )=a 0E +a 1K +a 2K 2+... +a n -1K n -1不难求得K 中与特征值
ηj 相应的特征向量, 记:
⎡ηj ⎤⎡ηj ⎤⎡1⎤
⎢2j ⎥⎢2j ⎥⎢j ⎥ηη⎥(j )⎢⎥=ηj ⎢η⎥=ηj x (j )⎢kx ==⎢... ⎥⎢... ⎥⎢... ⎥
⎢⎥⎢⎥⎢n -1⎥
⎢⎢⎣η⎦, ⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦
命
n -1
x (j )
则由
(1)
(m )
题
-
1k
3.1
mk
n -1
得
Ax (j )=f A (K )x (j )=f A (ηj )x (j )
, 可以验证
(x
, x
)=∑η
k =0
. η
⎧0,1≠m (j )
. 将这n 个两两正交的向量x 单位化, 可得标
=∑(m -1)k =⎨
k =0⎩1,1=m
(n -1)⎫
x ⎬, 令矩阵 ⎭
准正交基(
0)
x , (
1)
x , ...,
(
0)T =x ,
(
1)
x , ..., 11... 1⎛1⎫ ⎪2n -11ηη... η⎪(
n -1)⎫ 242(n -1) 1η⎪
x η... η⎬=
⎪⎭
... ... ... ... ... ⎪ 1η(n -1) η2(n -1) ... η(n -1)(n -1) ⎪⎝⎭
则T
-1
=T ' =
x (0), (
x (1)
...
x (n -1)
-1
)
命题3.3 任意n 阶循环矩阵A =f A (K ) 在复数域C 上都可对角化, 即T AT =diag [f A (0)f A (η1),..., f A (ηn -1)]
推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是f A (ηi ) ≠0(i=0,1,...,n-1).
⎛1 4 例3:求四阶循环矩阵A = 3 ⎝2
21433214
4⎫⎪3⎪
的特征根, 并对角化. 2⎪⎪1⎭
100001000⎫⎪0⎪ 1⎪⎪0⎭
⎛0 0
解: 令f (x ) =1+2x +3x 2+4x 3 得 A =f (A )(K ), K =
0 ⎝1
由于η=e
2πi n
=i , 所以A 的特征根分别为:
f (A )(η0)=10 , f (A )(η1)=-2-2i, f (A )(η2)=-2, f (A )(η3)=-2+2i
⎛1111⎫⎛1111⎫ ⎪ ⎪
1-i -1i 1 1-i -1-i ⎪1⎪ , T -1= T =
2 1-11-1⎪2 1-11-1⎪ ⎪ ⎪1-i -1-i 1i -1-i ⎝⎭⎝⎭
4．特殊矩阵特殊对角化的研究
前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究, 本部分主要讨论, 当矩阵只有两个特征根时的对角化问题, 方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内, 并且可以对角化, 不通过解线性方程组求特征向量, 而用初等变换求出可逆矩阵T, 使T AT 为对角形矩阵.
-1
定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化, 其特征根为λ1, λ2, 如果
⎛B n ⨯s ⎛λ1I -A ⎫
→ ⎪−−−−初等变换 *⎝I ⎭⎝
P,B 为列满秩矩阵, 那么
⎫
⎪
p n ⨯(n -s )⎪⎭
(i) A 的属于λ1 的线性无关的特征向量为P 的n -s 个列向量;A 的属于λ2的线 性无关的特征向量为B 的s 个列向量.
⎛λ1⎫ ⎪
... ⎪ ⎪λ1
-1
(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆, 且有T AT = ⎪
λ2 ⎪
⎪... ⎪ λ2⎪⎝⎭
其中λ1 有n -s 个, λ2有s 个.
证 因为初等矩阵不改变矩阵的秩, 且B 为列满秩, 则s =秩B =秩(λ1I -A )=λ2的重数. （i ）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质, 可得
P n ⨯(n -s ))=(B ,0) 从而(λ1I -A )P =0 (λ1I -A )(*，
因P 为列满秩矩阵, 则P 的n -s 个列向量为齐次线性方程组(λ1I -A )X =0 的基础解系, 亦即P 的n -s 个列向量为A 的属于λ1的线性无关的特征向量. 又A 可以对角化, 且λ2的重数为s ,则有可逆矩阵Q, 使得
⎛λ1⎫⎛λ1⎫
⎪ ⎪
... ... ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ1λ1-1
A =Q ⎪Q , 令D = ⎪,
λλ22 ⎪ ⎪
⎪ ⎪... ... ⎪ ⎪ ⎪ λ2⎭λ2⎪⎝⎝⎭
则有
(λ1I -A )(λ2I -A )=(λ1I -Q -1DQ )(λ2I -Q -1DQ )
=Q -1(λ1I -D )QQ -1(λ2I -D )Q =Q -1(λ1I -D )(λ2I -D )Q = Q -1OQ =0 由于B 的列向量为λ1I -A 的列空间的基, 则B 的s 个列向量为齐次线性方程组
(λ1I -A )X =0的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于λ2的线性无关的特征向量.
(ii) 因矩阵A 的属于不同特征根的特征向量线性无关, 且特征向量的个数之和等于A 的阶数n , 于是, 令 T =P , B ) 即有T AT =D
-1
(
⎛001⎫ ⎪-1
例4:令矩阵A = 010⎪, 求可逆矩阵T, 使得T AT 为对角形式.
100⎪⎝⎭
解: 方法一, 先求A 的特征根
0-1⎫⎛λ
2 ⎪
f A (λ)= 0λ-10⎪= (λ-1)(λ+1)
-10λ⎪⎝⎭
则λ1 = 1 (二重) , λ2 = - 1. 可见, 此例为定理所述的情况. 对矩阵 作初等列变换, 即
⎛λ1I -A ⎫
⎪
⎝I ⎭
⎛1 0
⎛λ1I -A ⎫ -1 ⎪= ⎝I ⎭ 1
0 0⎝0-1⎫⎛1
⎪ 00⎪ 001⎪ -1
⎪→ 00⎪ 110⎪ 0
⎪ ⎪01⎭ ⎝000⎫
⎪00⎪
00⎪⎛B 0⎫
⎪= ⎪01⎪⎝*P ⎭ 10⎪
⎪01⎪⎭
T
所以, 由定理4.1 知,A 的属于λ2 = - 1 的线性无关的特征向量为a 1=(1,0, -1);A 的属于λ1 = 1 的线性无关的特征向量为a 2=(0,1,0) , a 3=(1,0,1)
T
T
⎛011⎫⎛1⎫
⎪ ⎪-1
1令T = 100⎪, 则有T AT = ⎪. 这与[1 ]的结果一致.
01-1⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭
方法二 在矩阵(λI -A )中, 亦可取λ2=-1, 这时
⎛-10-1⎫⎛-100⎫ ⎪ ⎪0-200-20 ⎪ ⎪
⎛-I -A ⎫ -10-1⎪ -100⎪⎛B 0⎫
⎪→ ⎪= ⎪= ⎪
I 10010-1*P ⎝⎭ ⎭⎪ ⎪⎝
010⎪ 010⎪ 001⎪⎪ 001⎪⎪⎝⎭⎝⎭
则A 的属于λ1=1 的线性无关的特征向量为a 1=(-1,0, -1) , a 2=(0, -2,0) ;A 的属于
T
T
λ2=- 1 的线性无关的特征向量为a 2=(-1,0,1)
⎛-10-1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪-1
1令T = 0-20⎪, 则有T AT = ⎪.
-101⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭
T
5．常规矩阵对角化方法的新探
众所周知, 对数域P 上一个n 阶矩阵A 是否存在一个可逆矩阵T , 使得T AT 为对角形矩阵, 当这种矩阵存在时, 如何去寻求它. 一般有关教材中都是先计算一个行列式, 求出A 的特征值, 再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的. 在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的, 它比教材中的常规方法简单一些, 因为不必解若干的齐次线性方程组, 有时也不必计算行列式.
-1
5.1理论依据
为说话方便, 我们规定如果数域P 上, 对n 阶矩阵存在一个可逆矩T , 使得T AT 为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P 上可对角化. 当可对角化时, 我们说将A 对角化, 即指求矩阵T , 使
-1
T -1AT 为对角形矩阵. 若矩阵n 在数域P 上可对角化, 则有P 上可逆矩阵T , 使得T -1AT =B
为对角形矩阵. 于是B 的主对角线上的元素, 即为A 的全体特征值, 并且可表示：
T =QQ 12... Q S , 其中Q i 为初等矩阵,i=1,2,...,s,
-1
于是, B =Q -1S Q -1S -1... Q 1-1AQQ 12... Q S , 又Q i 也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的
关系, 即知Q 1-1AQ , 相当于对A 施行了一次初等行变换与一次初等列变换. 这里, 我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.
显见, 可对A 施行一系列的相似变换化为B . 又由, T =EQQ 12... Q S （E 此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A 化为对角形矩阵B , 且可求得T ：
⎛A ⎫对A 施行一系列相似变换⎛B ⎫
→ ⎪, 对E 只施行其中的初等列变换. ⎪−−−−−−−
⎝E ⎭⎝T ⎭
当A 不可对角化时, 也可经相似变换化简A 后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由T -1=Q -1S Q -1S -1... Q 1-1E , 做如下初等变换则可将A 化为对角形矩阵B, 且可求得T 或由B 求A 的特征值, 判定可否对角化：
(A 对A 施行一系列相似变换
E )−−−−−−−→(B T ), 对E 只施行其中的初等行变换.
并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.
5.2 应用举例
为叙述简便, 这里用r i 表示i 第行, c i 表示第i 列, r i +kr j 表示用数k 乘第j 行后再加到第i 行上, c i +kc j 表示用数k 乘第j 列后再加到第i 列上.
例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化, 若可则将其对角化:
⎛1111⎫
⎛5-11⎫ ⎪
11-1-1 ⎪⎪. 02⎪, (2)B = (1)A = 6
1-11-1⎪ -311⎪
⎪⎝⎭
1-1-11⎝⎭
⎛5-11`⎫⎛4-11⎫
⎪ ⎪r 3+r 1c 1-c 3
→ 602⎪ −−−→ 402⎪=C , 知A 与C 相似. 解：（1）由A −−−
202⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭
易得,C 的特征值为2,2,2, 且2E-C 的秩为2, 所以C 不能对角化, 从而知A 的特征值为2,2,2且A 不可以对角化.
⎛1111⎫⎛1111⎫
⎪ ⎪11-1-12200 ⎪ ⎪ 1-11-1⎪ 2020⎪ ⎪ ⎪1-1-112002c 1-c i , i =2,3,4r i +r 1, i =2,3,4⎪−−−−→ ⎪ −−−−−→ （2）由
1000⎪ 1000⎪ ⎪ ⎪ 0100⎪ 0100⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0000⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝
⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝
⎛
111⎫ -2
⎪ 200⎪
⎪020 0⎪ r i , i =2,3,4002⎪r 1-1
4
→ 0⎪000 1⎪ 100⎪
-1
⎪010 ⎪ -1⎪001⎭ -1
⎝
020014341-41-4
0020141-4341-4
0⎫⎪0⎪0⎪⎪2⎪1⎪, ⎪4⎪1⎪-⎪4⎪1-⎪4⎪⎪3⎪⎪4⎭
122000100
120200010
1⎫2⎪⎪0⎪0⎪
⎪c i +1c 1, i =2,3,4
42⎪→
0⎪⎪0⎪⎪0⎪1⎪⎭
知B 可以对角化,B 的特征值为-2,2,2,2.
1⎛
1 4
-13 4令T =
-1-1 4 1 -1-⎝41
41-4341-41⎫4⎪⎪⎛-21⎪- ⎪4, 则-1 0T AT =⎪ 01⎪- 4⎪⎝03⎪⎪4⎭
000⎫
⎪
200⎪
. ⎪020⎪
002⎭
当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.
⎛1-200⎫ ⎪-3200⎪可否对角化, 若可, 则将其对角化. 例6判定A =
002-3⎪ ⎪00-43⎝⎭
解法1（教材中的方法）
x -12003x -2002
由xE -A = =(x -4)(x -6)(x +1),
00x -23004x -3
知A 的特征值为4,6,-1,-1.
⎛2⎫
-3⎪ ⎪1解 齐次线性方程组(4E -A )X =0得一基础解系 ⎪ 0⎪ 0⎪⎪⎝⎭⎛0⎫ ⎪0 ⎪
解 齐次线性方程组(6E -A )X =0得一基础解系 3⎪
-⎪4⎪ 1⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪10
解 齐次线性方程组(-E -A )X =0得一基础解系 ⎪, ⎪
0⎪ 1⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭⎝1⎭
⎛2 -3 1
于是可,A 可对角化, 且取T =
0 0⎝⎫10⎪
⎛4000⎫
⎪ ⎪010⎪0600-1⎪. , 则T AT = ⎪ 00-10⎪3
-01⎪ ⎪4000-1⎪⎝⎭
⎪101⎭0
⎛1-200⎫⎛1-200⎫
⎪ ⎪-3200-4400 ⎪ ⎪ 002-3⎪ 002-3⎪ ⎪ ⎪00-4300-66c 1+c 2, c 3+c 4r 2-r 1, r 4-r 3⎪ −−−−⎪−−−−→ → 解法2由
1000⎪ 1000⎪ ⎪ ⎪01000100 ⎪ ⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0001⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-1-200⎫ ⎪0400 ⎪ 00-1-3⎪ ⎪0006 ⎪ 1000⎪ ⎪ 1100⎪ 0010⎪ 0011⎪⎪⎝⎭
⎛-1 0 0 0 1 1 0 0⎝
04002-53500
00-100011
0006
→
23
r 1-r 2, r 3-r 4
57
2⎛
-1- 5
4 0
0 0 00
0 1 11
0 0 00⎝⎫
0⎪⎪
00⎪
3⎪-1-⎪
7⎪06⎪
⎪
00⎪00⎪
⎪
10⎪11⎪⎭0
→
23
c 2-c 1, c 4-c 3
57
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0⎪⎪⎪0⎪⎪3⎪-⎪7⎪4⎪⎪7⎭
2⎛⎫1-00 ⎪5 ⎪
3⎛-1 100⎪ ⎪05-1
知,A 可对角化, 且取. T = ⎪, T AT =
0 001-3⎪
7⎪⎝0 ⎪4
001⎪
7⎭⎝
0⎫
⎪
400⎪
⎪0-10⎪
006⎭
00
两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.
上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法, 计算技巧的一些探讨, 比较传统的计算方法、计算技巧, 有一些优越性. 计算简便, 步骤简单具体, 有较强的实用性.
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致谢
本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成. 陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神, 令我很受触动. 同时, 在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血. 陈老师尽心的指导与严格的监督, 促使我最终完成了论文. 值此论文完成之际, 我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!
On the martix diagonatization and application
College of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen Qiaoyun
Abstract :This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.
Key words: diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix; eigenvalue; eigenvectors