七年级数学下册_分式方程及分式应用题

分式方程及分式应用题

【知识点归纳】

知识点一、分式方程

1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

《1》理解分式方程的有关概念

例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）

11x2x2=5 ②=5

2-5x=0

①+3=0 x2x3x23 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．

《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。（易错点））

例2 解方程：

10030

. xx7

xabxbcxca

3(a，b，c0) cbbxabxbcxca

1110 解：原方程化为：

cbb

xabcxbcaxcab

0 即

cab

例3. 解关于x的方程

111

(xabc)()0

abca0，b0，c0



1110abc

xabc0xabc

说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式

xabc。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的

结构特征，才能找到合适的办法。

例4. 解关于x的方程。

ax(xa)bx(xb)(ab)(xa)(xb)(ab0)

解：去括号：ax2a2xbx2b2x(ab)x2(ab)2xab(ab)

(a2b2)x(ab)2xab(ab)2abxab(ab)

ab0

ab

x

2

说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。

练习1. 解关于x的方程

x1x1

，其中m0，n0，mn。 mnnm

练习2. 解关于x的方程(a1)(a4)x2xa2。

例5． （2011安徽芜湖，5，4分） 分式方程

A．x2

例6. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a、b，规定ab

B．x2

C．x1

2x53

的解是（ ）. x22x

D．x1或x2

11

，若ba

1(x1)1，则x的值为

A．

例7. （2011四川成都，13,4分） 已知x1是分式方程

3111 B． C． D．  2322

13k

的根，则实数x1x

k=___________.

《3》分式方程的增根问题

例8. （2011黑龙江绥化，18，3分）分式方程为（ ）

A、0和1 B、1 C、1和－2 D、3

例9. （2011湖北襄阳，16，3分）关于x的分式方程值范围是 .

练习 已知关于x的方程

m31的解为正数，则m的取x11x

xm

有增根，则m的值1

x1x2x1

xm

2有一个正整数解，求m的取值范围。 x3x3

知识点二、分式方程应用题

分式方程应用题四步骤

1，设未知数

一般是问什么就设什么。

如果问题中有两个并列的，则一般设前面那个为x,把后面那个用x来表示。 如果问题问的量设为x之后题目中其他的量不容易用来表示，则设题目中容易表示其他量的量为x，然后把其他的量用x表示出来即可。（如第13题要设衬衫的单价而不能设总盈利，设衬衫的单价为x列出方程，求出x，再用x来求出总盈利） 2，找等量关系，从而列方程

列方程最重要的是找到等量关系，找到什么等于什么之后，用x来表示等号两边的量即可得到方程。那找等量关系的关键在哪呢？如何一眼看出等量关系呢？其实，非常简单。那就是找到这个题要达到的结果，那句话就是等量关系，所以找等量关系关键就是找到“题目要达到的那句话”。这句话一般都就是问题的前面那句话，如果不是，再到其他位置找。 3，解分式方程

第一步是去分母。注意是去分母，而不是通分。去分母的关键就是方程两边同时乘上所有的分母的最小公倍数。这样可以直接去掉所有的分母。 第二步就是去括号了，利用乘法分配率化简。

第三步移项。把所有含x的项移到一边，不含x的项移到另一边。 第四步合并同类项。 第五步把x的系数化为1.

第六步：检验。检验结果是否让方程中的分母为零，为零则无意义。

解方程一定要严格按照以上步骤，每一步都达到每一步的结果。基本所有的分式方程就用以上五步就可以解出。 不要把一步分成两步，去括号那一步就要去掉所有的括号，而不要分成两步来写，如果你认为要计算的太多一步得不到去括号的结果，那就在演草纸上算，把整个去括号的结果写上去即可。

4，当然，最后写上答案就完成了。

【精讲精练】

例1、 某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但

售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是

利润

100%

多少元？（利润售价进价，利润率进价） 思路：第一步：设进价为x元，



第二步，找等量关系。这个题要的那句话就是“从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%”。可知等号的一边是原来的利润，另一边是后来的利润提高5%。再利用利润的公式得出方程式。 第三步：解方程 第四步：写答案

解：设这种计算器原来每个的进价为x元， 1分

48x48(14%)x

100%5%100%

(14%)x根据题意，得x． 5分

解这个方程，得x40． 8分 经检验，x40是原方程的根．

9分

10分

答：这种计算器原来每个的进价是40元．

练习1、（2009，福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人

用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

例2、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例

如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提

速后少用1

7

小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第8

五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？

练习2、（2009，新疆）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇

2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？

例3、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原

来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．

练习3、（2009，达州）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤

量降低为原来的一半，结果多烧了10天.求改进设备后平均每天耗煤多少吨？

例4、A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工

程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

练习4、（2009南充）在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，

再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？

【课后训练】

1.

解下列分式方程：

2. a为何值时，关于x的方程

3. 如果a、b为定值，关于x的一次方程

x12a3

的解等于零？ x2a5

3kxaxbk

2，无论取何值，它的根总是36

1，求a、b的值。

4、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装

粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 5、（2010辽宁沈阳课改，10分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙

队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工

4

程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的5工程各需多少天？

分式方程及分式应用题

【知识点归纳】

知识点一、分式方程

1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

《1》理解分式方程的有关概念

例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）

11x2x2=5 ②=5

2-5x=0

①+3=0 x2x3x23 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．

《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。（易错点））

例2 解方程：

10030

. xx7

xabxbcxca

3(a，b，c0) cbbxabxbcxca

1110 解：原方程化为：

cbb

xabcxbcaxcab

0 即

cab

例3. 解关于x的方程

111

(xabc)()0

abca0，b0，c0



1110abc

xabc0xabc

说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式

xabc。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的

结构特征，才能找到合适的办法。

例4. 解关于x的方程。

ax(xa)bx(xb)(ab)(xa)(xb)(ab0)

解：去括号：ax2a2xbx2b2x(ab)x2(ab)2xab(ab)

(a2b2)x(ab)2xab(ab)2abxab(ab)

ab0

ab

x

2

说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。

练习1. 解关于x的方程

x1x1

，其中m0，n0，mn。 mnnm

练习2. 解关于x的方程(a1)(a4)x2xa2。

例5． （2011安徽芜湖，5，4分） 分式方程

A．x2

例6. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a、b，规定ab

B．x2

C．x1

2x53

的解是（ ）. x22x

D．x1或x2

11

，若ba

1(x1)1，则x的值为

A．

例7. （2011四川成都，13,4分） 已知x1是分式方程

3111 B． C． D．  2322

13k

的根，则实数x1x

k=___________.

《3》分式方程的增根问题

例8. （2011黑龙江绥化，18，3分）分式方程为（ ）

A、0和1 B、1 C、1和－2 D、3

例9. （2011湖北襄阳，16，3分）关于x的分式方程值范围是 .

练习 已知关于x的方程

m31的解为正数，则m的取x11x

xm

有增根，则m的值1

x1x2x1

xm

2有一个正整数解，求m的取值范围。 x3x3

知识点二、分式方程应用题

分式方程应用题四步骤

1，设未知数

一般是问什么就设什么。

如果问题中有两个并列的，则一般设前面那个为x,把后面那个用x来表示。 如果问题问的量设为x之后题目中其他的量不容易用来表示，则设题目中容易表示其他量的量为x，然后把其他的量用x表示出来即可。（如第13题要设衬衫的单价而不能设总盈利，设衬衫的单价为x列出方程，求出x，再用x来求出总盈利） 2，找等量关系，从而列方程

列方程最重要的是找到等量关系，找到什么等于什么之后，用x来表示等号两边的量即可得到方程。那找等量关系的关键在哪呢？如何一眼看出等量关系呢？其实，非常简单。那就是找到这个题要达到的结果，那句话就是等量关系，所以找等量关系关键就是找到“题目要达到的那句话”。这句话一般都就是问题的前面那句话，如果不是，再到其他位置找。 3，解分式方程

第一步是去分母。注意是去分母，而不是通分。去分母的关键就是方程两边同时乘上所有的分母的最小公倍数。这样可以直接去掉所有的分母。 第二步就是去括号了，利用乘法分配率化简。

第三步移项。把所有含x的项移到一边，不含x的项移到另一边。 第四步合并同类项。 第五步把x的系数化为1.

第六步：检验。检验结果是否让方程中的分母为零，为零则无意义。

解方程一定要严格按照以上步骤，每一步都达到每一步的结果。基本所有的分式方程就用以上五步就可以解出。 不要把一步分成两步，去括号那一步就要去掉所有的括号，而不要分成两步来写，如果你认为要计算的太多一步得不到去括号的结果，那就在演草纸上算，把整个去括号的结果写上去即可。

4，当然，最后写上答案就完成了。

【精讲精练】

例1、 某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但

售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是

利润

100%

多少元？（利润售价进价，利润率进价） 思路：第一步：设进价为x元，



第二步，找等量关系。这个题要的那句话就是“从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%”。可知等号的一边是原来的利润，另一边是后来的利润提高5%。再利用利润的公式得出方程式。 第三步：解方程 第四步：写答案

解：设这种计算器原来每个的进价为x元， 1分

48x48(14%)x

100%5%100%

(14%)x根据题意，得x． 5分

解这个方程，得x40． 8分 经检验，x40是原方程的根．

9分

10分

答：这种计算器原来每个的进价是40元．

练习1、（2009，福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人

用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

例2、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例

如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提

速后少用1

7

小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第8

五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？

练习2、（2009，新疆）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇

2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？

例3、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原

来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．

练习3、（2009，达州）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤

量降低为原来的一半，结果多烧了10天.求改进设备后平均每天耗煤多少吨？

例4、A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工

程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

练习4、（2009南充）在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，

再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？

【课后训练】

1.

解下列分式方程：

2. a为何值时，关于x的方程

3. 如果a、b为定值，关于x的一次方程

x12a3

的解等于零？ x2a5

3kxaxbk

2，无论取何值，它的根总是36

1，求a、b的值。

4、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装

粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 5、（2010辽宁沈阳课改，10分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙

队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工

4

程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的5工程各需多少天？