2014年高三数学第一次月考
一、 选择题
1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则( )
A ．M ⊆N C ．M ∩N ＝{2,3}
B ．N ⊆M D ．M ∪N ＝{1,4}
2、设全集为R ，函数f (x ) 1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( )
A ．[－1,1]
C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
1
B ．(－1,1)
D ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)
3、设a ，b 为实数，则“0
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
4、函数f (x ) ＝1－x log 2 x 的零点所在区间是( )
11⎫1
B ．⎛，1⎫ C ．(1,2) D ．(2,3) A ．⎛⎝42⎭⎝2⎭5、已知函数f (x ) 的定义域为(－1,0) ，则函数f (2x ＋1) 的定义域为( )
A ．(－1,1) C ．(－1,0)
1
－1，－⎫ B ．⎛2⎭⎝1⎫D ．⎛⎝21⎭
解析：选C 因为f (1)＝1－l og 2 1＝1>0，f (2)＝1－2log 2 2＝－1
6、设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >b >c C ．b
B ．a
解析：选C 根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.51.所以b
7、由直线x ＝－，x ＝y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
33
13
A ． B ．1 C ． D．3
22解析：选D 结合图形可得：
1
8．如果函数f (x ) 对任意的实数x ，都有f (1＋x ) ＝f (－x ) ，且当x ≥时，f (x ) ＝log 2 (3x －1) ，那
2么函数f (x ) 在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A ．2 C ．4
B ．3 D ．－1
1
解析：选C 根据f (1＋x ) ＝f (－x ) ，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝对称．又函数f (x )
211
∞⎫上单调递增，故f (x ) 在⎛－∞上单调递减，则函数f (x ) 在[－2,0]上的最大值与在⎡2⎣2⎭⎝最小值之和为f (－2) ＋f (0)＝f (1＋2) ＋f (1＋0) ＝f (3)＋f (1)＝log 2 8＋log 2 2＝4.
二、填空题
9、函数f (x ) ＝－2x 2＋4x 在区间[0，3]上的值域是
2⎧ (0≤t
10、若一物体运动方程如下：s =⎨ 2
⎪ (2) ⎩29+3(t -3) (t ≥3)
则此物体在t =1和t =3时的瞬时速度分别是________和_______
11、给出下列结论：
①如果命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0” ③若命题p ：∃x 0∈R ，ln(x 2p ：∀x ∈R ，ln(x 2＋1) ≥0 0＋1)
1
④“sin θθ＝30°”的充分不必要条件
2其中所有正确结论的序号为______．
2
12、函数y =log 2x +2x 的单调递增区间是_______________
()
2
4
13、若a >0，a 3 ，则log 2a ＝________.
9
3
22
442解析：3 ∵a 3＝，∴log a 3＝log 2 ， 9339
2⎫2 22⎛2∴log a ＝log ⎝3⎭＝2，∴log 2 a ＝3.
3333
314、已知f (1－cos x ) ＝sin 2 x ，则f ⎛⎝2＝________
3
解析：f (1－cos x ) ＝sin 2 x ＝1－cos 2 x ，
4令1－cos x ＝t ，则cos x ＝1－t .
∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1－cos x ≤2. ∴0≤t ≤2. ∴f (t ) ＝1－(1－t ) 2＝－t 2＋2t (0≤t ≤2) ．
故f (x ) ＝－x 2＋2x (0≤x ≤2) ． 3⎫93∴f ⎛3＝. ⎝2⎭44
三、解答题
15、已知集合A ＝{x |x 2－x －2
（2）求A B ，A (C R B )
16、已知f (x ) ＝x
3
-3x
（1）f ' (2) （2）求f (x ) 的极值
2
7
17、已知函数f (x ) ＝x m －x ，且f (4)＝2.
(1)求m 的值； (2)判定f (x ) 的奇偶性；
(3)判断f (x ) 在(0，＋∞) 上的单调性，并给予证明． 727
解：(1)因为f (4)＝4m －. 所以m ＝1.
242
2
(2)由(1)知f (x ) ＝x －f (x ) 的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．
x 又f (－x ) ＝－x －
22
x －＝－f (x ) ，⎛⎝x －x
所以f (x ) 是奇函数．
222
x 2＝(x 1－x 2) ⎛1＋(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1) －f (x 2) ＝x 1－－⎛x 2⎝x 1x 2. x 1⎝2
因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0,1>0.所以f (x 1)>f (x 2) ．
x 1x 2所以f (x ) 在(0，＋∞) 上为单调递增函数．
18、已知函数f (x ) ＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R ) ．
(1)若函数的值域为[0，＋∞) ，求a 的值；
(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a ) ＝2－a |a ＋3|的值域．
解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞) ， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6) ＝0，
3
∴2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a 2
(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6) ＝8(2a 2－a －3) ≤0. 3
∴－1≤a ≤∴a ＋3>0，
2∴g (a ) ＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 3317
a ＋2＋⎛a ∈⎡－1，⎤⎫. ＝－⎛2⎦⎭⎝24⎝⎣3
－1，⎤上单调递减， ∵二次函数g (a ) 在⎡2⎦⎣3∴g 2≤g (a ) ≤g (－1) ． 19
g (a ) ≤4.
419
－，4⎤. ∴g (a ) 的值域为⎡⎣4⎦
19、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的
车流速度v (单位：千米/时) 是车流密度x (单位：辆/千米) 的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x ) 的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时) f (x ) ＝x ·v (x ) 可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x ) ＝60；当20≤x ≤200时，设v (x ) ＝ax ＋b ，再由已
⎧⎪200a ＋b ＝0，
知得⎨
⎪20a ＋b ＝60，⎩
⎧解得⎨200
b ＝⎩31a ＝－3
故函数v (x ) 的表达式为
60， 0≤x ≤20，⎧⎪v (x ) ＝⎨1
x (200－x )， 20
60x ， 0≤x ≤20，⎧⎪
f (x ) ＝⎨1
(200－x )， 20
故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
11x ＋(200－x )⎤210 000
当20
10 000所以当x ＝100时，f (x ) 在区间(20,200]上取得最大值.
3
10 000
综上，当x ＝100时，f (x ) 在区间[0,200]≈3 333，
3
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． a
20、已知函数f (x ) ＝ln x －x
(1)若a ＞0，试判断f (x ) 在定义域内的单调性； 3
(2)若f (x ) 在[1，e]上的最小值为a 的值；
2(3)若f (x ) ＜x 2在(1，＋∞) 上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知f (x ) 的定义域为(0，＋∞) ， 1a x ＋a
且f ′(x ) ＝＝x x x ∵a ＞0，∴f ′(x ) ＞0，
故f (x ) 在(0，＋∞) 上是单调递增函数． x ＋a
(2)由(1)可知，f ′(x ) ＝.
x
①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x ) ≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x ) 在[1，e]上为增函数，
33
∴f (x ) min ＝f (1)＝－a ，∴a 舍去) ．
22
②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x ) ≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x ) 在[1，e]上为减函数，
a 3
∴f (x ) min ＝f (e)＝1－＝，
e 2e
∴a ＝－舍去) ．
2
③若－e ＜a ＜－1，令f ′(x ) ＝0得x ＝－a ， 当1＜x ＜－a 时，f ′(x ) ＜0， ∴f (x ) 在(1，－a ) 上为减函数； 当－a ＜x ＜e 时，f ′(x ) ＞0， ∴f (x ) 在(－a ，e) 上为增函数． 3
∴f (x ) min ＝f (－a ) ＝ln(－a ) ＋1＝，
2∴a ＝－e.
综上所述，a ＝－a
(3)∵f (x ) ＜x 2，∴ln x －x 2.
x 又x ＞0，∴a ＞x ln x －x 3. 令g (x ) ＝x ln x －x 3， h (x ) ＝g ′(x ) ＝1＋ln x －3x 2， 1－6x 21
h ′(x ) ＝－6x ＝.
x x ∵x ∈(1，＋∞) 时，h ′(x ) ＜0， ∴h (x ) 在(1，＋∞) 上是减函数． ∴h (x ) ＜h (1)＝－2＜0，即g ′(x ) ＜0， ∴g (x ) 在(1，＋∞) 上也是减函数． g (x ) ＜g (1)＝－1，
∴当a ≥－1时，f (x ) ＜x 2在(1，＋∞) 上恒成立． 即所求a 的取值范围为[－1，＋∞) ．
2014年高三数学第一次月考
一、 选择题
1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则( )
A ．M ⊆N C ．M ∩N ＝{2,3}
B ．N ⊆M D ．M ∪N ＝{1,4}
2、设全集为R ，函数f (x ) 1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( )
A ．[－1,1]
C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
1
B ．(－1,1)
D ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)
3、设a ，b 为实数，则“0
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
4、函数f (x ) ＝1－x log 2 x 的零点所在区间是( )
11⎫1
B ．⎛，1⎫ C ．(1,2) D ．(2,3) A ．⎛⎝42⎭⎝2⎭5、已知函数f (x ) 的定义域为(－1,0) ，则函数f (2x ＋1) 的定义域为( )
A ．(－1,1) C ．(－1,0)
1
－1，－⎫ B ．⎛2⎭⎝1⎫D ．⎛⎝21⎭
解析：选C 因为f (1)＝1－l og 2 1＝1>0，f (2)＝1－2log 2 2＝－1
6、设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >b >c C ．b
B ．a
解析：选C 根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.51.所以b
7、由直线x ＝－，x ＝y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
33
13
A ． B ．1 C ． D．3
22解析：选D 结合图形可得：
1
8．如果函数f (x ) 对任意的实数x ，都有f (1＋x ) ＝f (－x ) ，且当x ≥时，f (x ) ＝log 2 (3x －1) ，那
2么函数f (x ) 在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A ．2 C ．4
B ．3 D ．－1
1
解析：选C 根据f (1＋x ) ＝f (－x ) ，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝对称．又函数f (x )
211
∞⎫上单调递增，故f (x ) 在⎛－∞上单调递减，则函数f (x ) 在[－2,0]上的最大值与在⎡2⎣2⎭⎝最小值之和为f (－2) ＋f (0)＝f (1＋2) ＋f (1＋0) ＝f (3)＋f (1)＝log 2 8＋log 2 2＝4.
二、填空题
9、函数f (x ) ＝－2x 2＋4x 在区间[0，3]上的值域是
2⎧ (0≤t
10、若一物体运动方程如下：s =⎨ 2
⎪ (2) ⎩29+3(t -3) (t ≥3)
则此物体在t =1和t =3时的瞬时速度分别是________和_______
11、给出下列结论：
①如果命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0” ③若命题p ：∃x 0∈R ，ln(x 2p ：∀x ∈R ，ln(x 2＋1) ≥0 0＋1)
1
④“sin θθ＝30°”的充分不必要条件
2其中所有正确结论的序号为______．
2
12、函数y =log 2x +2x 的单调递增区间是_______________
()
2
4
13、若a >0，a 3 ，则log 2a ＝________.
9
3
22
442解析：3 ∵a 3＝，∴log a 3＝log 2 ， 9339
2⎫2 22⎛2∴log a ＝log ⎝3⎭＝2，∴log 2 a ＝3.
3333
314、已知f (1－cos x ) ＝sin 2 x ，则f ⎛⎝2＝________
3
解析：f (1－cos x ) ＝sin 2 x ＝1－cos 2 x ，
4令1－cos x ＝t ，则cos x ＝1－t .
∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1－cos x ≤2. ∴0≤t ≤2. ∴f (t ) ＝1－(1－t ) 2＝－t 2＋2t (0≤t ≤2) ．
故f (x ) ＝－x 2＋2x (0≤x ≤2) ． 3⎫93∴f ⎛3＝. ⎝2⎭44
三、解答题
15、已知集合A ＝{x |x 2－x －2
（2）求A B ，A (C R B )
16、已知f (x ) ＝x
3
-3x
（1）f ' (2) （2）求f (x ) 的极值
2
7
17、已知函数f (x ) ＝x m －x ，且f (4)＝2.
(1)求m 的值； (2)判定f (x ) 的奇偶性；
(3)判断f (x ) 在(0，＋∞) 上的单调性，并给予证明． 727
解：(1)因为f (4)＝4m －. 所以m ＝1.
242
2
(2)由(1)知f (x ) ＝x －f (x ) 的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．
x 又f (－x ) ＝－x －
22
x －＝－f (x ) ，⎛⎝x －x
所以f (x ) 是奇函数．
222
x 2＝(x 1－x 2) ⎛1＋(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1) －f (x 2) ＝x 1－－⎛x 2⎝x 1x 2. x 1⎝2
因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0,1>0.所以f (x 1)>f (x 2) ．
x 1x 2所以f (x ) 在(0，＋∞) 上为单调递增函数．
18、已知函数f (x ) ＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R ) ．
(1)若函数的值域为[0，＋∞) ，求a 的值；
(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a ) ＝2－a |a ＋3|的值域．
解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞) ， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6) ＝0，
3
∴2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a 2
(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6) ＝8(2a 2－a －3) ≤0. 3
∴－1≤a ≤∴a ＋3>0，
2∴g (a ) ＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 3317
a ＋2＋⎛a ∈⎡－1，⎤⎫. ＝－⎛2⎦⎭⎝24⎝⎣3
－1，⎤上单调递减， ∵二次函数g (a ) 在⎡2⎦⎣3∴g 2≤g (a ) ≤g (－1) ． 19
g (a ) ≤4.
419
－，4⎤. ∴g (a ) 的值域为⎡⎣4⎦
19、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的
车流速度v (单位：千米/时) 是车流密度x (单位：辆/千米) 的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x ) 的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时) f (x ) ＝x ·v (x ) 可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x ) ＝60；当20≤x ≤200时，设v (x ) ＝ax ＋b ，再由已
⎧⎪200a ＋b ＝0，
知得⎨
⎪20a ＋b ＝60，⎩
⎧解得⎨200
b ＝⎩31a ＝－3
故函数v (x ) 的表达式为
60， 0≤x ≤20，⎧⎪v (x ) ＝⎨1
x (200－x )， 20
60x ， 0≤x ≤20，⎧⎪
f (x ) ＝⎨1
(200－x )， 20
故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
11x ＋(200－x )⎤210 000
当20
10 000所以当x ＝100时，f (x ) 在区间(20,200]上取得最大值.
3
10 000
综上，当x ＝100时，f (x ) 在区间[0,200]≈3 333，
3
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． a
20、已知函数f (x ) ＝ln x －x
(1)若a ＞0，试判断f (x ) 在定义域内的单调性； 3
(2)若f (x ) 在[1，e]上的最小值为a 的值；
2(3)若f (x ) ＜x 2在(1，＋∞) 上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知f (x ) 的定义域为(0，＋∞) ， 1a x ＋a
且f ′(x ) ＝＝x x x ∵a ＞0，∴f ′(x ) ＞0，
故f (x ) 在(0，＋∞) 上是单调递增函数． x ＋a
(2)由(1)可知，f ′(x ) ＝.
x
①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x ) ≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x ) 在[1，e]上为增函数，
33
∴f (x ) min ＝f (1)＝－a ，∴a 舍去) ．
22
②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x ) ≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x ) 在[1，e]上为减函数，
a 3
∴f (x ) min ＝f (e)＝1－＝，
e 2e
∴a ＝－舍去) ．
2
③若－e ＜a ＜－1，令f ′(x ) ＝0得x ＝－a ， 当1＜x ＜－a 时，f ′(x ) ＜0， ∴f (x ) 在(1，－a ) 上为减函数； 当－a ＜x ＜e 时，f ′(x ) ＞0， ∴f (x ) 在(－a ，e) 上为增函数． 3
∴f (x ) min ＝f (－a ) ＝ln(－a ) ＋1＝，
2∴a ＝－e.
综上所述，a ＝－a
(3)∵f (x ) ＜x 2，∴ln x －x 2.
x 又x ＞0，∴a ＞x ln x －x 3. 令g (x ) ＝x ln x －x 3， h (x ) ＝g ′(x ) ＝1＋ln x －3x 2， 1－6x 21
h ′(x ) ＝－6x ＝.
x x ∵x ∈(1，＋∞) 时，h ′(x ) ＜0， ∴h (x ) 在(1，＋∞) 上是减函数． ∴h (x ) ＜h (1)＝－2＜0，即g ′(x ) ＜0， ∴g (x ) 在(1，＋∞) 上也是减函数． g (x ) ＜g (1)＝－1，
∴当a ≥－1时，f (x ) ＜x 2在(1，＋∞) 上恒成立． 即所求a 的取值范围为[－1，＋∞) ．