第二节 二元函数的极限
1、试求下列极限（包括非正常极限）：
x 2y 21+x2+y2
（1）lim ； （2）lim ； (x , y ) (0,0)x +y(x , y ) (0,0)x +y
x 2+y2xy+1
（3）lim ； （4）lim ； (x , y ) (0,0)(x , y ) (0,0)x +y1+x+y -1
11
（5）lim ； （6）lim (x+y)sin ；
(x , y ) (1,2)2x-y (x , y ) (0,0)x +y
sin(x2+y2) 22
（7）lim x +y.
(x , y ) (0,0)x +y2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：
y 211
（1）f(x,y)= ； （2）f(x,y)=(x+y)sin sin ；
x +yx y x 2y 2x 3+y3
（3）f(x,y)= ； （4）f(x,y)= ；
x y +(x-y)x +y
1x 2y 2
（5）f(x,y)=ysin ； （6）f(x,y)=；
x x +ye x -e y
（7）f(x,y)= .
sinxy 3、证明：若1
。
（x,y ）(a,b)
lim f(x,y)存在且等于A ；2y 在b 的某邻域内，有lim f(x,y)=j (y)
x a
。
则 lim l i m f(x,y)=A.
y b x a
4、试应用ε—δ定义证明
x 2y
lim =0. (x,y)(0,0)x +y
5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）
(x,y)? (? , )
lim f(x,y)=A； （2）
(x,y)? (0, )
lim f(x,y)=A.
7、试求下列极限：
x 2+y2
lim lim （1）； （2）(x,y)? (? , ) x +y(x,y)? (? , （3）
lim
)
(x2+y2)e -(x+y)；
x 2
x +y
(x,y)? (? , )
(1+
1xsiny ) ； （4）lim
(x,y)? ( xy
骣1
琪1+,0) 琪x 桫
.
8、试作一函数f(x,y)使当x +¥,y +¥时，
（1）两个累次极限存在而重极限不存在；
（2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.
10、设f(x,y)在点P 0(x0,y 0) 的某邻域U (P 0) 上有定义，且满足：
lim f(x,y)=ψ(y)； （i ）在U (P 0) 上，对每个y ≠y 0，存在极限x x
。
。
。
lim f(x,y)=j (x)(即对任意ε>0，存（ii ）在U (P 0) 上，关于x 一致地存在极限y y 0
在δ>0，当0
成立). 试证明
x lim x lim lim 0y y 0
f(x,y)=y y lim 0
x x
f(x,y).
第二节 二元函数的极限
1、试求下列极限（包括非正常极限）：
x 2y 21+x2+y2
（1）lim ； （2）lim ； (x , y ) (0,0)x +y(x , y ) (0,0)x +y
x 2+y2xy+1
（3）lim ； （4）lim ； (x , y ) (0,0)(x , y ) (0,0)x +y1+x+y -1
11
（5）lim ； （6）lim (x+y)sin ；
(x , y ) (1,2)2x-y (x , y ) (0,0)x +y
sin(x2+y2) 22
（7）lim x +y.
(x , y ) (0,0)x +y2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：
y 211
（1）f(x,y)= ； （2）f(x,y)=(x+y)sin sin ；
x +yx y x 2y 2x 3+y3
（3）f(x,y)= ； （4）f(x,y)= ；
x y +(x-y)x +y
1x 2y 2
（5）f(x,y)=ysin ； （6）f(x,y)=；
x x +ye x -e y
（7）f(x,y)= .
sinxy 3、证明：若1
。
（x,y ）(a,b)
lim f(x,y)存在且等于A ；2y 在b 的某邻域内，有lim f(x,y)=j (y)
x a
。
则 lim l i m f(x,y)=A.
y b x a
4、试应用ε—δ定义证明
x 2y
lim =0. (x,y)(0,0)x +y
5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）
(x,y)? (? , )
lim f(x,y)=A； （2）
(x,y)? (0, )
lim f(x,y)=A.
7、试求下列极限：
x 2+y2
lim lim （1）； （2）(x,y)? (? , ) x +y(x,y)? (? , （3）
lim
)
(x2+y2)e -(x+y)；
x 2
x +y
(x,y)? (? , )
(1+
1xsiny ) ； （4）lim
(x,y)? ( xy
骣1
琪1+,0) 琪x 桫
.
8、试作一函数f(x,y)使当x +¥,y +¥时，
（1）两个累次极限存在而重极限不存在；
（2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.
10、设f(x,y)在点P 0(x0,y 0) 的某邻域U (P 0) 上有定义，且满足：
lim f(x,y)=ψ(y)； （i ）在U (P 0) 上，对每个y ≠y 0，存在极限x x
。
。
。
lim f(x,y)=j (x)(即对任意ε>0，存（ii ）在U (P 0) 上，关于x 一致地存在极限y y 0
在δ>0，当0
成立). 试证明
x lim x lim lim 0y y 0
f(x,y)=y y lim 0
x x
f(x,y).