发现、体验、创造生活中的“数学美”
----“中心对称图形”教学案例
江苏省清江中学 张峥嵘 （223001）
发现、体验、创造生活中的“数学美”
----“中心对称图形”教学案例
江苏省清江中学 张峥嵘 （223001）
【摘要】
本文结合教学工作实际，让学生采集图形、实物图片，引导学生观察、体验生活中的数学美（主要是对称美），这种学习与生活的联系，不是机械的还原生活，而是源于学生的生活，又高于学生的生活，学生把学习当成一种有意义的生活，学习即生活。
【关键词】
认识 体验 数学美 创造 生活
绝大多数学生反映，初中数学枯燥无味，事实也是如此。传统的课堂教学方法很难激起学生的学习兴趣，我们在解决这个问题时，借鉴了其他学科的教学方法，研究了当前教学改革的动向，结合数学的特点，设计了一些开放型课堂，使每个学生都积极参与，基本上克服了数学课的枯燥弱点，提高了教学效率。
什么是“数学美”?法国数学家是这样分类的：对称美、和谐美、简洁美、奇异美．中心对称图形，外形很美，这是对学生进行美育教育的极好素材．但在数学课堂上，如何使学生能够感受和体验数学美，从而对数学产生由衷的兴趣，主动去学习数学呢？我也常常给学生讲一些数学趣事，史事等，提高学生的兴趣，但都是暂时的，不能产生长久的效应．只有把数学美寓于课堂教学设计中，才可能收到良好的效果．于是，我选择《中心对称图形》进行了尝试，学生和我都找到了一些感觉，愉快地度过了一节课．
一、创设生活情景，感受图形美
在数学教学中可根据学生的年龄特点和生活体验，科学、有效地创造生活情景，让学生在熟悉的数学生活情景中愉快地探究问题，找到解决问题的规律。
（课前让学生采集生活中可以从数学角度来欣赏的美丽图形或实物或仿画、拓印的几何图形样式，每人剪两个正方形、平行四边形．）
师：请同学们把课前采集的图形展示给大家，并说说你的感受！
生1：这是一个美丽的图形，我觉得它的外形是正方形，很美．并且我发现连结它的一条对角线，可得两个全等的等腰直角三角形，若连结两条则可得四个全等的等腰直角三角形（如图1）．
生2：这是我国古代建筑中的“窗格”的样式，它是轴对称图形（如图2）．
生3：这是我自己画的我小时候玩过的“风车”的图形．它不是轴对称图形，但在它中间插一个签子，风一吹就可以转动（如图3）．
图1 图2 图3
生4：这是《易经》书上的封面图----阴阳八卦图，一黑一白对比鲜明，并且都象两条鱼，很有意思（如图
4）．
生5：我觉得这个图形外观象一个螺丝帽，是一个三角形围绕圆形旋转一周而成的（如图5）．
生6：这是中央电视台“大风车”栏目的图标，很美，能绕中间一点不停地旋转，很好玩（如图6）．
同学们展示的实物和图形都很美，有很多是我们以前学过的轴对称图形，但有些不是，却也很美．比如“大风车”的图标，聪明的同学会发现这些实物都能不停地转动，你们知道它们为什么能不停地转动吗？先请大家看老师作个实验：请同学们认真观察，看看你发现了什么？（老师演示：把大风车复印在纸上，然后把它绕一个点旋转180．）
(因为这个实验学生不知绕那一个点，怎样旋转180，有一定困难，所以老师先示范演示，再让学生模仿实验，才能悟出点道理．)
生：又与原来的图形重合了！（同学们都很惊奇）
师：若我再旋转180呢？（又重合）
师：请你们也在小组中实验一下，看看你手中的图形，哪些绕某一点旋转180能与原来的图形重合？并且用运动的观点描述一下这些图形的共同特征？
生：这些图形绕一个点旋转180，能与旋转前的图形重合．
师：这样旋转能重合吗？（演示不在同一平面内旋转）
生：应该在同一平面内．
师：很好，这一前提条件不能丢！我给这些美丽的图形取个好听的名字----（板书）中心对称图形．你能类比着轴对称图形的概念，说说什么叫中心对称图形吗？
生：在同一平面内，把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转前后的图形能够完全重合，这个图形就叫中心对称图形．
师：轴对称图形有对称轴，中心对称图形也有对称中心．这个点就叫对称中心，请大家看看下列图形（图7、图8、图９）是不是中心对称图形？前面同学们列举的图１－图６哪些是中心对称图形？
图7 图8 图9 o o o o o o
(一个好的情境的创设，能激发学生浓厚的学生兴趣．这里展示学生课前采集的图片，并选择有代表性的一幅图标“大风车”，教师指导实验，让学生深刻感受到中心对称图形的美的外形及本质特征，在此基础上上升为理性认识，得出中心对称图形和对称中心的概念．)
二、感受生活数学，理解图形之美
师：请大家拿出“大风车模型”，在上面任取两点A 、B ，旋转180，点A 、B 分别到了点A′、B′的位置．若把AA′、BB′连结起来，并设对称中心为O ，你发现了什么？
生１：连结AA′、BB′，我发现它们都经过对称中心O ．
生２：我猜想，并通过测量，发现OA=OA′、OB=OB′．
生３：与轴对称图形一样，A 和A′、B 和B′也是一对对应点．
师：同学们观察很仔细，头脑也很灵活，自觉把中心对称图形与轴对称图形联系起来对照学习，很好！你能结合刚才的操作，类比着轴对称图形的性质，说说中心对称图形的性质吗？
生４：中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．
(通过观察实验、进行类比，给学生发现的机会，让学生在实践中探究中心对称图形的内在本质特征，真正体会他们美在何处，体验自己发现的快乐，让他们在亲自实验中，发现这些一下子并看不出来的“真理”，体会到数学的“美妙”，从而对数学产生由衷的兴趣．)
三、探究生活问题，欣赏图形之美
师：刚才我们通过实验发现了中心对称图形的特征和性质，知道怎样判断一个图形是不是中心对称图形．只要你留心观察，善于思考，就会发现生活中有很多这样的图形，大到一些建筑物，小到一个数字和一个字母．比如：你们经常玩的扑克牌的牌面图形中就有很多，请你们把它找出来，看哪个组找得又准又快？
生1：所有的2、4、10的牌面都是的．
生2：J 、Q 、K 所有的牌面都是中心对称图形．
生3：除方块7外，其余方块的牌面都是中心对称图形．
师：在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形？
A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、L 、M
N 、O 、P 、Q 、R 、S 、T 、U 、V 、W 、X 、Y 、Z
生：H 、I 、N 、O 、S 、X 、Z ．
师：前面，我们学习了平行四边形、矩形、正方形，这些图形是不是中心对称图形？请大家把课前准备的平行四边形、正方形拿出来，选一种（每相邻两组选不一样的），通过实验验证，它们是不是中心对称图形？若是，找出它的对称中心，并在实验过程中，验证它们的性质，在组内交流，然后全班交流．
（学生纷纷操作讨论，争论不休） o
生1：我们组通过实验讨论，结果一致认为平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，通过旋转（演示）发现，平行四边形的对边、对角完全重合，说明它们相等，对角线就是对应点的连线，被对称中心平分，即平行四边形的对角线互相平分．
生2：连结对角线后，发现有两对三角形旋转180能互相重合，可得内错角相等，从而得平行四边形的对边平行．
生3：我们组发现正方形也是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心，它的对边相等，对角线相等、垂直且互相平分，并且我们还发现（演示）正方形，只需旋转90就能与原来图形重合了，说明它的邻边也相等，综合起来它的四条边都相等，对角线也相等．
生4：我们发现正方形沿对角线折叠也能与原图完全重合，这说明它也是轴对称图形．所以它的每一条对角线平分一组对角，因此正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
师：那么正五边形呢？你还能找到哪些多边形是中心对称图形呢？请同学们课外探究，并互相交流，看看有没有新的发现．
(运用所学“新”知识，验证己学的“旧”知识，沟通了“新”、“旧”知识之间的联系，使相关知识融会贯通，学生在交流过程中互相取长补短，共同成长．)
四、发挥想象能力，创造图形之美
师:通过这节课的实验、观察，我们发现了生活中很多中心对称图形非常美丽，其“美妙”只有在实践过程中才能体验到，请同学们发挥想象，以学过的几何图形为基础，设计一个美丽的中心对称图案，然后在全班展示，让我们共同欣赏，好吗？
（学生设计，有独立创作，也有合作的，也有借鉴别人，进行再创造的．）
部分学生作品展示
o o
部分学生作品展示：(学生对这种实践性作业很感兴趣，设计的很多漂亮的中心对称图形，很有创意，这样的作业可以让学生运用所学知识进行创作，在设计过程中进一步理解所学知识，从而使所学知识得以升华，让学生回味、体验数学美，弘扬数学美的文化价值．)
反思：
数学开放课堂的优越性是显而易见的。首先调动了学生参与的积极性，体现了学生的主体地位。其次是开放型课堂创设的情境使学生对所学知识非常容易理解和记忆。第三是教师学生都是教学的组织者和参与者，通过这种主动学习，有利于后进生的提高。
这节课结束之后，我想了很多很多，我为学生的表现感到惊奇；为学生的创造感到诧异．虽然在平时的教学中，我也想做到以学生为主体，尊重他们的想法和感受，但仔细想，他们的那些“想法”仍然是我设计好的或预想到的．因此每涉及到“偏离正轨”的时候，我总是想方设法牵着他们走向“正轨”，好顺利完成教学任务．而今天这节课，我大胆放手让学生说感受，让学生动手操作，让学生实验验证，让学生自己设计，没想到学生在自主、合作、探究中学得如此快乐．这样组织教学联系了学生的生活经验，触动了学生的内心世界．我感到一个理想的课堂应该听到孩子们的心声，尤其是不一样的心声．我想：只要你大胆给学生一个空间，让他们自己去探索；给学生一个时间，让他们自己去支配；给学生一个条件，让他们自己去创造．那时，他们一定会还你无数个惊喜的！
参考资料：
1、张奠宙：《数学素质教育设计》，江苏教育出版社，1996.4.
3、张奠宙 戴再平：《中学数学问题集》，华东师范大学出版社，1995.5
4、田万年等：《数学教学测量与评估》，上海教育出版社，1995.12.
5、张建良：“问题解决与创新思维能力培养”，K12网站.
发现、体验、创造生活中的“数学美”
----“中心对称图形”教学案例
江苏省清江中学 张峥嵘 （223001）
发现、体验、创造生活中的“数学美”
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江苏省清江中学 张峥嵘 （223001）
【摘要】
本文结合教学工作实际，让学生采集图形、实物图片，引导学生观察、体验生活中的数学美（主要是对称美），这种学习与生活的联系，不是机械的还原生活，而是源于学生的生活，又高于学生的生活，学生把学习当成一种有意义的生活，学习即生活。
【关键词】
认识 体验 数学美 创造 生活
绝大多数学生反映，初中数学枯燥无味，事实也是如此。传统的课堂教学方法很难激起学生的学习兴趣，我们在解决这个问题时，借鉴了其他学科的教学方法，研究了当前教学改革的动向，结合数学的特点，设计了一些开放型课堂，使每个学生都积极参与，基本上克服了数学课的枯燥弱点，提高了教学效率。
什么是“数学美”?法国数学家是这样分类的：对称美、和谐美、简洁美、奇异美．中心对称图形，外形很美，这是对学生进行美育教育的极好素材．但在数学课堂上，如何使学生能够感受和体验数学美，从而对数学产生由衷的兴趣，主动去学习数学呢？我也常常给学生讲一些数学趣事，史事等，提高学生的兴趣，但都是暂时的，不能产生长久的效应．只有把数学美寓于课堂教学设计中，才可能收到良好的效果．于是，我选择《中心对称图形》进行了尝试，学生和我都找到了一些感觉，愉快地度过了一节课．
一、创设生活情景，感受图形美
在数学教学中可根据学生的年龄特点和生活体验，科学、有效地创造生活情景，让学生在熟悉的数学生活情景中愉快地探究问题，找到解决问题的规律。
（课前让学生采集生活中可以从数学角度来欣赏的美丽图形或实物或仿画、拓印的几何图形样式，每人剪两个正方形、平行四边形．）
师：请同学们把课前采集的图形展示给大家，并说说你的感受！
生1：这是一个美丽的图形，我觉得它的外形是正方形，很美．并且我发现连结它的一条对角线，可得两个全等的等腰直角三角形，若连结两条则可得四个全等的等腰直角三角形（如图1）．
生2：这是我国古代建筑中的“窗格”的样式，它是轴对称图形（如图2）．
生3：这是我自己画的我小时候玩过的“风车”的图形．它不是轴对称图形，但在它中间插一个签子，风一吹就可以转动（如图3）．
图1 图2 图3
生4：这是《易经》书上的封面图----阴阳八卦图，一黑一白对比鲜明，并且都象两条鱼，很有意思（如图
4）．
生5：我觉得这个图形外观象一个螺丝帽，是一个三角形围绕圆形旋转一周而成的（如图5）．
生6：这是中央电视台“大风车”栏目的图标，很美，能绕中间一点不停地旋转，很好玩（如图6）．
同学们展示的实物和图形都很美，有很多是我们以前学过的轴对称图形，但有些不是，却也很美．比如“大风车”的图标，聪明的同学会发现这些实物都能不停地转动，你们知道它们为什么能不停地转动吗？先请大家看老师作个实验：请同学们认真观察，看看你发现了什么？（老师演示：把大风车复印在纸上，然后把它绕一个点旋转180．）
(因为这个实验学生不知绕那一个点，怎样旋转180，有一定困难，所以老师先示范演示，再让学生模仿实验，才能悟出点道理．)
生：又与原来的图形重合了！（同学们都很惊奇）
师：若我再旋转180呢？（又重合）
师：请你们也在小组中实验一下，看看你手中的图形，哪些绕某一点旋转180能与原来的图形重合？并且用运动的观点描述一下这些图形的共同特征？
生：这些图形绕一个点旋转180，能与旋转前的图形重合．
师：这样旋转能重合吗？（演示不在同一平面内旋转）
生：应该在同一平面内．
师：很好，这一前提条件不能丢！我给这些美丽的图形取个好听的名字----（板书）中心对称图形．你能类比着轴对称图形的概念，说说什么叫中心对称图形吗？
生：在同一平面内，把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转前后的图形能够完全重合，这个图形就叫中心对称图形．
师：轴对称图形有对称轴，中心对称图形也有对称中心．这个点就叫对称中心，请大家看看下列图形（图7、图8、图９）是不是中心对称图形？前面同学们列举的图１－图６哪些是中心对称图形？
图7 图8 图9 o o o o o o
(一个好的情境的创设，能激发学生浓厚的学生兴趣．这里展示学生课前采集的图片，并选择有代表性的一幅图标“大风车”，教师指导实验，让学生深刻感受到中心对称图形的美的外形及本质特征，在此基础上上升为理性认识，得出中心对称图形和对称中心的概念．)
二、感受生活数学，理解图形之美
师：请大家拿出“大风车模型”，在上面任取两点A 、B ，旋转180，点A 、B 分别到了点A′、B′的位置．若把AA′、BB′连结起来，并设对称中心为O ，你发现了什么？
生１：连结AA′、BB′，我发现它们都经过对称中心O ．
生２：我猜想，并通过测量，发现OA=OA′、OB=OB′．
生３：与轴对称图形一样，A 和A′、B 和B′也是一对对应点．
师：同学们观察很仔细，头脑也很灵活，自觉把中心对称图形与轴对称图形联系起来对照学习，很好！你能结合刚才的操作，类比着轴对称图形的性质，说说中心对称图形的性质吗？
生４：中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．
(通过观察实验、进行类比，给学生发现的机会，让学生在实践中探究中心对称图形的内在本质特征，真正体会他们美在何处，体验自己发现的快乐，让他们在亲自实验中，发现这些一下子并看不出来的“真理”，体会到数学的“美妙”，从而对数学产生由衷的兴趣．)
三、探究生活问题，欣赏图形之美
师：刚才我们通过实验发现了中心对称图形的特征和性质，知道怎样判断一个图形是不是中心对称图形．只要你留心观察，善于思考，就会发现生活中有很多这样的图形，大到一些建筑物，小到一个数字和一个字母．比如：你们经常玩的扑克牌的牌面图形中就有很多，请你们把它找出来，看哪个组找得又准又快？
生1：所有的2、4、10的牌面都是的．
生2：J 、Q 、K 所有的牌面都是中心对称图形．
生3：除方块7外，其余方块的牌面都是中心对称图形．
师：在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形？
A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、L 、M
N 、O 、P 、Q 、R 、S 、T 、U 、V 、W 、X 、Y 、Z
生：H 、I 、N 、O 、S 、X 、Z ．
师：前面，我们学习了平行四边形、矩形、正方形，这些图形是不是中心对称图形？请大家把课前准备的平行四边形、正方形拿出来，选一种（每相邻两组选不一样的），通过实验验证，它们是不是中心对称图形？若是，找出它的对称中心，并在实验过程中，验证它们的性质，在组内交流，然后全班交流．
（学生纷纷操作讨论，争论不休） o
生1：我们组通过实验讨论，结果一致认为平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，通过旋转（演示）发现，平行四边形的对边、对角完全重合，说明它们相等，对角线就是对应点的连线，被对称中心平分，即平行四边形的对角线互相平分．
生2：连结对角线后，发现有两对三角形旋转180能互相重合，可得内错角相等，从而得平行四边形的对边平行．
生3：我们组发现正方形也是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心，它的对边相等，对角线相等、垂直且互相平分，并且我们还发现（演示）正方形，只需旋转90就能与原来图形重合了，说明它的邻边也相等，综合起来它的四条边都相等，对角线也相等．
生4：我们发现正方形沿对角线折叠也能与原图完全重合，这说明它也是轴对称图形．所以它的每一条对角线平分一组对角，因此正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
师：那么正五边形呢？你还能找到哪些多边形是中心对称图形呢？请同学们课外探究，并互相交流，看看有没有新的发现．
(运用所学“新”知识，验证己学的“旧”知识，沟通了“新”、“旧”知识之间的联系，使相关知识融会贯通，学生在交流过程中互相取长补短，共同成长．)
四、发挥想象能力，创造图形之美
师:通过这节课的实验、观察，我们发现了生活中很多中心对称图形非常美丽，其“美妙”只有在实践过程中才能体验到，请同学们发挥想象，以学过的几何图形为基础，设计一个美丽的中心对称图案，然后在全班展示，让我们共同欣赏，好吗？
（学生设计，有独立创作，也有合作的，也有借鉴别人，进行再创造的．）
部分学生作品展示
o o
部分学生作品展示：(学生对这种实践性作业很感兴趣，设计的很多漂亮的中心对称图形，很有创意，这样的作业可以让学生运用所学知识进行创作，在设计过程中进一步理解所学知识，从而使所学知识得以升华，让学生回味、体验数学美，弘扬数学美的文化价值．)
反思：
数学开放课堂的优越性是显而易见的。首先调动了学生参与的积极性，体现了学生的主体地位。其次是开放型课堂创设的情境使学生对所学知识非常容易理解和记忆。第三是教师学生都是教学的组织者和参与者，通过这种主动学习，有利于后进生的提高。
这节课结束之后，我想了很多很多，我为学生的表现感到惊奇；为学生的创造感到诧异．虽然在平时的教学中，我也想做到以学生为主体，尊重他们的想法和感受，但仔细想，他们的那些“想法”仍然是我设计好的或预想到的．因此每涉及到“偏离正轨”的时候，我总是想方设法牵着他们走向“正轨”，好顺利完成教学任务．而今天这节课，我大胆放手让学生说感受，让学生动手操作，让学生实验验证，让学生自己设计，没想到学生在自主、合作、探究中学得如此快乐．这样组织教学联系了学生的生活经验，触动了学生的内心世界．我感到一个理想的课堂应该听到孩子们的心声，尤其是不一样的心声．我想：只要你大胆给学生一个空间，让他们自己去探索；给学生一个时间，让他们自己去支配；给学生一个条件，让他们自己去创造．那时，他们一定会还你无数个惊喜的！
参考资料：
1、张奠宙：《数学素质教育设计》，江苏教育出版社，1996.4.
3、张奠宙 戴再平：《中学数学问题集》，华东师范大学出版社，1995.5
4、田万年等：《数学教学测量与评估》，上海教育出版社，1995.12.
5、张建良：“问题解决与创新思维能力培养”，K12网站.