第五章 两自由度系统振动
§5-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。①汽车动力学模型：
图3.1 两自由度汽车动力学模型
§5-2 两自由度系统的自由振动
一、系统的运动微分方程
②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k 1和
k 2，质量为m 1、m 2。质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位
置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析) 在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力k 1x 1及k 2(x 2-x 1)，在质量m 2上作用有弹性恢复力k 2(x 2-x 1)。这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：
1+k 1x 1-k 2(x 2-x 1)=0⎫m 1 x
⎬ （3.1）
2+k 2(x 2-x 1)=0m 2 x ⎭
令
k 1+k 2k 2k 2
a =, b =, c =
m 1m 1m 2
则（3.1）式可改写成如下形式：
1+k 1x 1-k 2(x 2-x 1)=0⎫m 1 x
⎬
2+k 2(x 2-x 1)=0m 2 x ⎭
1+ax 1-bx 2=0⎫x
⎬
2-cx 1+cx 2=0⎭ （3.2） x
这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析) 在第一个方程中包含-bx 2项，第二个方程中则包含
-cx 1项，称为“耦合项”（coupling term ）。这表明，质量m 除受
1
到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。m 2虽然只受一个弹簧k 2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点m 1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。 二、固有频率和主振型
[创造思维：]从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。
设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：
x 1=A 1sin (ωn t +ϕ)⎫
⎬ （3.3）
x 2=A 2sin (ωn t +ϕ)⎭
其中振幅A 1与A 2、频率ωn 、初相位角ϕ都有待于确定。对（3.3）式分别取一阶及二阶导数：
2 1=A 1ωn cos (ωn t +ϕ); 1=-A 1ωn x x sin (ωn t +ϕ)⎫⎪
⎬（3.4） 2
2=A 2ωn cos (ωn t +ϕ); 2=-A 2ωn sin (ωn t +ϕ)⎪x x ⎭
将（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得：
(a -ω)A -bA =0⎫⎪
⎬ （3.5）
-cA +(c -ω)A =0⎪⎭
2
n
1
2
1
2n
2
上式是A 1、A 2的线性齐次代数方程组。A 1、A 2=0显然不是我们所要的振动解，要使A 1、A 2有非零解，则（3.5）式的系数行列式必须等于零，即：
a -ω-c
将上式展开得：
4n
2n
-b
2
c -ωn
= 0
ω-(a +c )ω+c (a -b )=0 （3.6）
2n
解上列方程，可得如下的两个根：
ω
2n 1, 2
a +c ⎛a +c ⎫= ⎪-c (a -b )2⎝2⎭a +c ⎛a -c ⎫= ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2
（3.7）
由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程（frequency equation ）或特征方程（characteristic equation ）。特征方程的特征值（characteristic value ）即频率ωn 只与参数a ，b ，c 有关。而这些参数又只决定于系统的质量m 1，m 2和刚度k 1，k 2，即频率ωn 只决定于系统本身的物理性质，故称
ωn
为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个，即
ωn 1和ωn 2，且ωn 1
order natural circular frequency ） [基频] 。ωn 2称为第二阶固有频率（second order natural circular frequency）。[（推广）
2
ω理论证明，n 个自由度系统的频率方程是n 的n 次代数方程，在无
阻尼的情况下，它的n 个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自由度数目相等。]
将所求得的ωn 1和ωn 2代入（3.5）式中得：
2(1)
⎫a -ωn A 2c 1
β1=1==2⎪A 1b c -ωn 1⎪
⎬2(2)
a -ωn 2A 2c ⎪ （3.8）
β2=2==2⎪A 1b c -ωn 2⎭
(1)(1)A 式中：1, A 2——对应于ωn 1的质点m ，m 的振幅；
1
2
A 1, A 2
(2)(2)
——对应于ωn 2的质点m 1，m 2的振幅。
由此可见，对应于ωn 1和ωn 2，振幅A 1与A 2之间有两个确定的比值。称之为振幅比（amplitude ratio）。
将（3.8）式与（3.3）式联系起来可以看出，两个m 1与m 2任一瞬间位移的比值x 2x 1也是确定的，并且等于振幅比A 2A 1。系统的其它点的位移都可以由x 1及x 2来决定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可以由振幅比确定，也就是振幅比决定了整个系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型（principal mode ），也可称为固有振型（natural mode）。其中：
β1——第一主振型，即对应于第一主频率ωn 1的振幅比；
β2——第二主振型，即对应于第二主频率ωn 2的振幅比。
当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主振动（principal vibration）。所以，第一主振动为：
x 1(1)=A 1(1)sin (ωn 1t +ϕ1)
(1)
x 2
⎫⎪
⎬ （3.9） (1)(1)
=A 2sin (ωn 1t +ϕ1)=β1A 1sin (ωn 1t +ϕ1)⎪⎭
第二主振动为：
x 1(2)=A 1(2)sin (ωn 2t +ϕ2)
(2)x 2
⎫⎪
⎬ （3.10） (2)(2)
=A 2sin (ωn 2t +ϕ2)=β2A 1sin (ωn 2t +ϕ2)⎪⎭
为了进一步研究主振型的性质，可以将（3.7）式改写成如下形
式：
2ω因为
n 1,2
a +c
=
2
所以
2⎡a +c ⎤a -c ⎛⎫2
⎢a -ωn - ⎪+bc ⎥1=a -⎢2⎥⎝2⎭⎣⎦
a -c ⎛a -c ⎫=+ ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2
a -ω因为上式的等式右边恒大于零，所以n 1>0，由（3.8）
式知，β1
>0
2
a -ωn 2
2⎡a +c ⎤a -c ⎛⎫
=a -⎢+ ⎪+bc ⎥
2⎭⎢2⎥⎝⎣⎦
又因为
a -c ⎛a -c ⎫
=- ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2
a -ω因为上式的等式右边恒小于零，所以n 2
式知，β2
(1)
>0表示A 1(1)和A 2的符号相同，即第一主
(说明) 由此可见，β1
振动中两个质点的相位相同。因此，若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位置。而β2
位相反，永远相差180°。当质量m 1到达最低位置时，质量m 2恰好到达最高位置。它们一会相互分离，一会又相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的点称为“节点”（nodal
point ）。
“节点”
图3.3 两自由度系统的主振动与主振型
振动理论证明，多自由度系统的i 阶主振型一般有i －1个节点。这就是说，高一阶的主振型就比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点数就越多，故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，故振动就容易激起。所以，在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。 三、系统对初始条件的响应
[思维方式：]前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是简谐振动。但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竟是什么形式呢？这要取决于初始条件。
从微分方程的理论来说，两阶主振动只是微分方程组的两组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度系统受到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发。因而出现的自由振动应是这些简谐振动的合成。
所以，在一般的初干扰下，系统的响应是：
x 1=A 1(1)sin (ωn 1t +ϕ1)+A 1(2)sin (ωn 2t +ϕ2)
⎫⎪
⎬（3.11） (1)(2)
x 2=β1A 1sin (ωn 1t +ϕ1)+β2A 1sin (ωn 2t +ϕ2)⎪⎭
(1)(2)
A ，ϕ2四个未知数要由振动的四个初始条件式中，1, A 1，ϕ1
来决定。
1=x 10, x 2=x 20经设初始条件为：t=0时，x 1=x 10, x 2=x 20, x
过运算，可以求出：
⎫⎛ ⎫βx -x 21020⎪⎪(β2x 10-x 20)2+ ⎪⎪ωn 1⎝⎭
⎪2⎪
⎛β1x 10-x 20⎫12(2. )⎪ ⎪(β1x 10-x 20)+ A 1=⎪⎪β1-β2ωn 2⎝⎭⎬
⎪ （3.12） 10-x 20)-1ωn 1(β2x ⎪ϕ1=tg
10-x 20β2x ⎪
⎪ 10-x 20)-1ωn 2(β1x ⎪ϕ2=tg
10-x 20⎪β1x ⎭1(1)
A 1=
β2-β1
2
将（3.12）式代入（3.11）就得到系统在上述初始下响应。 四、振动特性的讨论 1．运动规律
从（3.11）式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从（3.7）式来看，这两个分振动的频率ωn 1与ωn 2的比值却不一定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动。
在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于
低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。 2．频率和振型
两自由度系统有两个不同数值的固有频率，称为主频率，当系统按任一个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时，任何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 3．节点和节面
在两自由度系统的第二阶主振型中存在着节点，而在第一阶主振型中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数越高，则节点数也就越多。一般来说，第i 阶主振型有i-1个节点。
对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面，称为节线（nodal line）和节面（nodal surface）。 4．阻尼
若系统存在阻尼，则阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统相似。由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。
[例] 试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。已知
m 1=m , m 2=2m , k 1=k 2=k , k 3=2k 。
又若已知初始条件为x 10的响应。
10=x 20=0，试求系统=1. 2, x 20=x
解：该系统的运动微分方程式为
1+(k 1+k 2)x 1-k 2x 2=0⎫m 1 x
⎬
2-k 2x 1+(k 2+k 3)x 2=0⎭m 2 x
k 2+k 3k 1+k 2k 2k 2
, b =, c =, d =令 a =m m m m 1122
则
1+ax 1-bx 2=0x ⎧ ⎨
2-cx 1+dx 2=0 x ⎩
可解出：[类比前面形式]
ω
2n 1, 2
a +d ⎛a -d ⎫= ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2a -ωn 1
β1=
b
2
a -ωn 2
β2=
b 2k k k 3k , b =, c =, d =因为 a =m m 2m 2m
2⎡1⎛3⎫1⎛3⎫1⎤k =⎢ 2+⎪ 2-⎪+⎥
2⎭4⎝2⎭2⎥m ⎢2⎝
⎣⎦
⎡73⎤k
=⎢ ⎥⎣44⎦m
2ωn 1, 2
故
2k k
-2
a -ωn k 1
ωn 1=, β1===1
k m b
m
2
a -ωn k 2
ωn 2=1. , β2=
m b
2k 5k
-
1==-
2m
根据给定的初始条件，代入（3.12）式得：
A 1(1)=A 1(2)
1⎛1⎫
-⨯1. 2 ⎪=0. 41⎝2⎭--121
(1⨯1. 2)=0. 8=
⎛1⎫ 1- -⎪⎝2⎭
ϕ1=
π
2
,
ϕ2=
π
2
故系统的响应为：
⎧
⎪x 1=0. 4cos ⎪⎨
⎪x =0. 4cos 2⎪⎩
k k
t +0. 8cos 1. t m m k k t -0. 4cos 1. t m m
§5-3 两自由度系统的受迫振动
一、系统的运动微分方程
和单自由度系统一样，两自由度系统在受到持续的激振力作用时就会产生受迫振动，而且在一定条件下也会产生共振。
图3.8所示为两自由度无阻尼受迫振动系统的动力学模型。我们称简谐激振力作用的m 1-k 1质量弹簧系统称为主系统。
把不受激振力作用的m 2-k 2质量弹簧系统称为副系统。 这一振动系统的运动微分方程式为：
1+k 1x 1-k 2(x 2-x 1)=p 0sin ωt ⎫m 1 x
⎬ （3.13）
2+k 2(x 2-x 1)=0m 2 x ⎭
p 0k 1+k 2k 2k 2
, b =, c =, p =令 a =m 1m 1m 2m 1
则（3.13）式可改写成：
1+ax 1-bx 2=p 0sin ωt ⎫x
⎬ （3.14）
2-cx 1+cx 2=0x ⎭
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程组，其通解由两部分组成。一是对应于齐次方程组的解，即为上一节讨论过的自由振动。二是对应于上述非齐次方程组的一个特解，它是由激振力引起的受迫振动，即系统的稳态振动。
我们只研究稳态振动，故设上列微分方程组有简谐振动的特解：
x 1=B 1sin ωt ⎫
⎬ （3.15）
x 2=B 2sin ωt ⎭
式中，B 1、B 2是m 1、m 2的振幅，在方程组中是待定常数。对（3.15）式分别求一阶、二阶导数，
1=-B 1ω2sin ωt ⎫x ⎪
⎬ （3.16） 2
2=B 2ωcos ωt ; 2=-B 2ωsin ωt ⎪x x ⎭ 1=B 1ωcos ωt ; x
将（3.15）及（3.16）式代入（3.14）式得：
(a -ω)B -bB =p ⎫⎪
⎬
-cB +(c -ω)B =0⎪⎭
2
1
22
1
2
（3.17）
这是一个二元非齐次联立代数方程，它的解可用行列式原理求出：
∆=
a -ω2-b -c p 0-c
c -ω-b c -ω0
22
=a -ω2c -ω2-bc =p c -ω2=pc
()()
∆1=∆2=
()
c -ω2
p
故
∆1p c -ω2B 1==
∆a -ω2c -ω2-bc
（3.18） ∆2pc
B 2==
∆a -ω2c -ω2-bc
(
)
这就是说，我们期待的方程组（3.14）式的简谐振动特解是可以
得到的。
二、振动特性的讨论 1．运动规律
由（3.15）式得知，两自由度系统无阻尼受迫振动的运动规律是简谐振动。 2．频率
两自由度系统受迫振动的频率与激振力的频率3．振幅
由（3.18）式得知，两自由度系统受迫振动的振幅决定于激振力力幅、激振力频率，以及系统本身的物理性质。现分别讨论如下：
（1）激振力幅值p 0的影响
因为p ∝p 0，所以p 0与B 1、B 2成线性关系。即p 0越大，振幅B 1、B 2也越大。
（2）激振力频率
ω相同。
ω的影响
为了说明ω对振幅的影响，我们以B 1、B 2为纵坐标，以
ω为横
坐标，将（3.18）式作成曲线示图3.9中，称之为振幅频率响应曲线，或称幅频特性曲线。它表明了系统位移对频率的响应特性。
讨论：
①当ω=0时，B 1=B 2=的作用相当。
②当ω=ωn 1, 或ω=ωn 2，即激振力频率等于系统第一或第二阶固有频率时，系统即出现共振现象，振幅B 1、B 2均急剧增加。这就是说，在两自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共振。也就是说，两自由度系统有两个共振区。
现在我们来分析一下系统共振时的振型。 由（3.18）式可得质量m 1和m 2的振幅比为：
p 0
，这表明，此时激振力的作用和静力k 1
B 2c =
B 1c -ω2 （3.19）
这说明，在一定的激振频率下，两个质量的振幅比是一个确定值。当激振频率ω等于第一阶固有频率ωn 1时，两个质量的振幅比的即
为：
⎛B 2 B ⎝1
⎫c ⎪⎪=c -ω2 （3.20）
n 1⎭ωn 1
当ω=ωn 2时，则
⎛B 2
B ⎝1
⎫c ⎪=2 （3.21） ⎪c -ω⎭ωn 2n 2
这表明，系统以那一阶固有频率共振，则此时的共振振型就是那一阶主振型。这是多自由度系统受迫振动的一个极为重要的特性。在实践中，经常用共振法测定系统的固有频率，并根据测出的振型来判定固有频率的阶次，就是利用了上述这一规律。
p 0
ω=c 时, x 2=B 2sin ωt =-sin ωt 当k 2
故k 2x 2
=-p 0sin ωt
这就是说，副系统通过弹簧k 2传给主系统的力，正好与作用在主系统上的激振力相平衡。这样，主系统的受迫振动就被副系统吸收掉了。主系统的质量m 1就如同不受激振力作用一样，保持静止。这种现象可以被利用来作为减小振动的一种措施。
当ω→∞时B 1、B 2→0，即激振力的频率很高时，两个质量m 1和m 2都几乎不动。这时受迫振动现象也进入惯性区了。 4．相位
由于系统是无阻尼的情况，所以只要观察振幅的正负变化就可以说明相位的变化。
现将振幅计算公式（3.18）式的分母作如下的变换：
(a -ω)(c -ω)-bc =ω-(a +c )ω
2
2
4
2
+c (a -b ) （3.23）
由系统的频率方程（3.6）式，可以得知频率方程的两个根
22ωn 、ω1n 2必定满足下列关系式：
⎬ ω⋅ω=c (a -b )⎪
⎭
2n 1
2n 2
ω+ω=a +c ⎫⎪2n 12n 2
（3.24）
将（3.24）式代入（3.23）式得：
(a -ω)(c -ω)-bc =ω-(ω+ω)ω+ω
=(ω-ω)(ω-ω)
2
2
4
2n 1
2n 2
2
2
2n 1
2
2n 2
2n 12⋅ωn 2
（3.25）
因而（3.18）式可改写成：
B 1=B 2=
ωω
p c -ω2
2
(
222
-ωn ω-ω1n 2
)
pc
2
222-ωn ω-ω1n 2
⎫
⎪⎪
⎬ （3.26） ⎪⎪⎭
从（3.26）式中可以看出：
在0≤ω≤ωn 1阶段，B 1、B 2均为正值。故质量m 1、m 2的位移和激振力是同相的，即两个质量的位移也同相。
当ω=ωn 1时，运动的相位对于激振力要出现相位突跳的反相。 当ω=
c 时，B =0，此后，B 又重新成为正值，但B 却仍保持
1
1
2
负值。这就是说，在c
当ω>ωn 1以后，B 1又改变为负值，而B 2却保持正值。 根据以上分析，可作出如图3.10所示的相频特性曲线
三、动力减振器
根据两自由度系统受迫振动的振动特性的分析得知，只要适当地选择系统的参数，就可以使主系统的受迫振动被副系统所吸收，从而使主系统不动，动力减振器就是应用这一原理来设计的。
动力减振器是用弹性元件把一个辅助质量固定到振动系统上的
一种减振装置，其动力学模型如图3.11所示。图中m 1、k 1为原振动系统（主系统）的质量（主质量）和弹簧刚度。m 2、k 2为动力减振器（附加系统）的质量（辅助质量）和弹簧刚度，c 为动力减振器的阻
i ωt p e 尼。0为作用在主系统上的激振力。
从图3.11可以看出，在主系统上增加了附加系统后，即使原来的单自由度系统变为两自由度系统。其运动微分方程式为：
i ωt m 1x 1+c (x 2-x 1)+(k 1+k 2)x 1-k 2x 2=p 0e ⎫
⎬ （3.27）
2+c (x 2-x 1)+k 2x 2-k 2x 1=0m 2 x ⎭
设上列方程组的特解为：（稳态振动）
x 1=B 1e i ωt ⎫⎪
i ωt ⎬
x 2=B 2e ⎪⎭
1=B 1ωcos ωt ; x
（3.28）
1=-B 1ω2sin ωt ⎫x ⎪
⎬ 2
2=B 2ωcos ωt ; 2=-B 2ωsin ωt ⎪x x ⎭
将（3.28）式及其一阶、二阶导数代入（3.27）式得：
(-m ω
1
+k 1+k 2+ic ωB 1-(k 2+ic ω)B 2=p 0⎫⎪
⎬ （3.29） 2
-(k 2+ic ω)B 1+-m 2ω+k 2+ic ωB 2=0⎪⎭
2
(
)
)
解上列联立方程，求出主系统的振幅B 1，并化成实数形式：
B 1=
k -m ωk -m ω-k m ω+(c ω)k -m ω
p 0k 2-m 2ω+c ω2
2
22
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
-m 2ω
22
（3.30）
为了简化计算，引进下列符号：
δst =
'1=ωn '2=ωn
p 0
——主系统在激振力力幅p 0作用下产生的静变位； k 1
k 1
m 1——主系统的固有频率； k 2
m 2——附加系统的固有频率；
——激振力频率与主系统固有频率之比；
ωλ=
'1ωn
'2ωn
α=
'1ωn
μ=
——减振器固有频率与主系统固有频率之比；
m 2
——辅助质量与主质量之比； m 1
ξ=
c
——减振器的阻尼比。
2k 2m 2
则（3.29）式可改写成下列无量纲形式：
⎛B 1 δ⎝st ⎫α2-λ2+4ξ2λ2⎪⎪=222222
1-λα-λ-μλα+4ξ2λ21-λ2-μλ2⎭
2
(
)2
（3.31）
现根据减振器分类进行讨论：（普遍式） 1．无阻尼动力减振器
若减振器没有阻尼元件，则ξ
=0，故（3.31）式简化为：
B 1
δst
α2-λ2
=
1-λ2α2-λ2-μλ2α2 （3.32）
由此可见，当α
'2=ω时，B 1=0。即当减振器的固有=λ，即ωn
'2等于激振频率频率ωn
ω时，辅助m 通过弹性元件k 作用于主质
2
2
量m 1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系统振幅为零，从而达到消振的目的。
当激振频率
'1，即λ=1时，主系统ω等于主系统固有频率ωn
=1。若再取质量比μ=0. 2，则（3.32）
'2等于主系产生共振。为了消除系统共振，应使减振器固有频率ωn
'1，即令α统固有频率ωn
如图3.12所示。
式中的四个变量就固定了两个。对即可作出主系统的幅频响应曲线，
从图中可以看到，主系统共振点的振幅已经消失。但又出现了两
'。这两点的坐标值可以从（3.32）式的分项等个新的共振点λ1'及λ2
于零时求出：
(1-λ)(
22
α-λ-μλ'α=0 1-λ
2
2
2
2
)
(
22
)
-μλ'2α2=0
1-λ因为α=1 故上式成为 (
所以 λ'=1+对于α
2
1, 2
22
)
22'-μλα=0
μ
2
μ+
μ2
4
（3.33）
=1，质量比为μ
ω
2
n 1, 2
的系统，两个固有频率（主频率）为：
k 1⎡μμ2⎤
=⎢1+ μ+⎥ （3.34） m 1⎢4⎥⎣2⎦
显然，当激振频率生新的共振。
ω正好等于ωn 1或ωn 2时，都会使系统产
根据（3.33）式可作出λ'与μ的关系曲线，如图3.13所示 它们表示了系统的两个主频率ωn 1或ωn 2的相隔范围。我们希望这两个主频率相距较远。但对于稳定的定速运转机械，μ值则还可以取得小些。
由以上分析可见，使用无阻尼动力减振器时要特别慎重，应用不当会带来新的祸害。所以，这种减振器主要用于激振频率变化不大的情况。
{教学演示片：}
2．有阻尼动力减振器
当减振器有阻尼元件时，则根据（3.31）式，以ξ为参变量，仍
1
令α=1, μ=
20，所作出的主系统的幅频响应曲线如图3.15所示。
⎛B 1⎫α2-λ2+4ξ2λ2（ δ⎪⎪=222222
1-λα-λ-μλα+4ξ2λ21-λ2-μλ2⎝st ⎭
2
(
)2
）
从图上可以看出：
1）无论阻尼的ξ为何值，幅频响应曲线均经过P 、Q 两点，也就是说，当频率比位于P 点和Q 点相应的频率比λ1和λ2值时，主系统的受迫振动的振幅与阻尼比ξ的大小无关，这一物理现象是设计有阻尼动力减振器的重要依据。
2）若令ξ=0时的
B 1
δst
值与ξ=∞时的
B 1
δst
值相等，就可求得P 点
和Q 点的横坐标值λ1和λ2。
当ξ
=∞时从（3.31）式得：
±1= （3.35） δst 1-λ2-μλ2B 1
令（3.32）式与（3.35）式相等得
±1α2-λ2
= 22
1-λ-μλ1-λ2α2-λ2-μλ2α2
上式等号左边若取正号，则解出λ=0，这对减振没有意义。故取负号，则上式可展开得：
222
1+α+μαα
λ4-2λ2+=0 （3.36）
2+μ2+μ
解上列代数方程得：
2
λ1, 2
⎛1+α2+μα2⎫2α21+α2+μα2
⎪=± - （3.37） ⎪2+μ2+μ2+μ⎝⎭
将求得的λ1和λ2值代入（3.32）式（3.35）式，即可得P 、Q 两点的纵坐标值：
⎫⎫1
⎪⎪=1-λ2-μλ2⎪
11⎪⎭1
⎬
（3.38） ⎛B 1⎫-1⎪ δ⎪⎪=1-λ2-μλ2⎪
22⎭⎝st ⎭2⎛B 1
δ⎝st
这里需要说明一点，即Q 点的纵坐标值之所以为负值，是因为P 、Q 两点在共振点（λ=1）的两侧，两者的相位是相反的，所以这两点的振幅的符号也相反，因此，在图3.15中，在λ=1右边的曲线，实际上应该画在横坐标轴的下方，（现在为了直观起见）。
3）既然无论ξ值是多少，所有的幅频响应曲线都要经过P 、Q 两点。
B 1
因此，的最高点都不会低于P 、Q 两点的纵坐标。[思想方法]为
δst
了使减振器获得较好的减振效果，就应该设法降低P 、Q 两点，并使P 、Q 两点的纵坐标相等，而且成为曲线上的最高点。这样，减振后主系统振幅B 1与静变位δst 的比值就会减小，并限制在P 、Q 两点所对应的振幅以下（见图3.16）。
研究工作证明，为了使P 、Q 两点等高，就要适当选择了使
α值；为
B 1
δst
的最大值在P 、Q 两点上，就要适当选择
ξ值。所以选择的α
和
ξ值，分别称为最佳频率比（optimum frequency ratio）αop
和最佳阻尼比（optimum damping ratio）ξop 。下面就来分别介绍它们的确定方法。
（1）最佳频率比αop 的确定。（第一步）
为了使P 、Q 两点等高，即使P 、Q 两点的纵坐标相等，应使（3.38）
⎛B ⎫⎛B ⎫
式所表示的 1⎪与 1⎪相等。即：
st ⎭1⎝st ⎭2⎝
1-1
=222 1-λ1-μλ11-λ2-μλ22
解之得：
2
λ+λ= （3.39）
1+μ
21
22
根据代数方程理论，由（3.36）式得知
22
21+α+μα2
λ1+λ22= （3.40）
2+μ
()
联立（3.39）式及（3.40）式，并求解得：
221+α2+μα2
=1+μ2+μ
()
α所以 op
将
2=
1+μ
（3.41）
αop 值代入（3.37）式，即得到与P 、Q 两点相应的横坐标值：
⎫⎫
⎪⎪⎪⎭⎪
⎬ （3.42） ⎫⎪1⎛μ2
1+⎪λQ =⎪ 1+μ⎝2+μ⎪⎭⎭1⎛μ λ=1- 1+μ⎝2+μ
2
p
将（3.42）式代入（3.32）式或（3.35）式，即得到在选取最佳频率比的情况下，P 、Q 两点的纵坐标值：
⎛B 1 δ⎝st
⎫⎛B 1⎫2⎪ ⎪==±+ ⎪ δ⎪μ⎭P ⎝st ⎭Q
（3.43）
[分析]可见，要降低P 、Q 两点的纵坐标，应使质量比
μ
增大，
即增加减振器中的辅助质量m 2。m 2越大，减振效果越好。但辅助质量m 2的大小，还要根据减振器的安放空间，激振力的大小、主系统质量大小等因素来综合考虑决定。
（2）最佳阻尼比ξop 的确定（第二步）
∂B 1
=0，求出相应的ξ值，即应是使P 、Q 根据（3.31）式，使∂λ
点成为幅频响应曲线最高点时的最佳阻尼比。
∂B 1
=0相对应的ξ值，并将αop 值代入其中，可分别求求出与∂λ
出使P 点或Q 点成为曲线最高点时的阻尼比：
⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎪
⎬ （3.44）
⎛μμ⎫⎪2
⎪ξQ =3+3⎪⎪2+μ81+μ ⎝⎭⎭⎛μ ξ=3-3 2+μ81+μ⎝
2
p
μ
[分析]上式表明，根据P 点和Q 点分别成为曲线最高点而推导出来的阻尼比不一样。换句话说，在适当选择ξ值时，只能使曲线在P 点（或Q 点）为极大值。图3.16）中就分别表示出以P 点为最大值，以及以Q 点为最大值的两条曲线。但它们彼此相差不多。所以，可取
222
ξξP 与ξQ 的平均值为最佳阻尼比OP ，则
3μ
ξop =3
81+μ
（3.45）
（3）设计步骤（*）
1）根据主系统的振动情况，测定振动频率
ω，计算主系统固有
B 1
'频率ωn 1和振幅放大系数
δst
。然后根据减振要求，按（3.43）式计
算出质量比μ的值。
μ=
2⎛B 1
δ⎝st
⎫⎪⎪-1⎭
2
2）测定主系统的静刚度k 1，然后算出主系统的当量质量m 1，再根据m 1与μ值，计算减振器质量m 2，即
k 1
m 1=2m 2=μm 1
'1ωn
3）根据（3.41）式，计算最佳频率比αop 。再根据αop 、m 2、m 1及k 1计算减振器弹簧刚度k 2。
因为
2'ωk 2m 12n 2
αop ='2=ωn 1k 1m 2
2k 2m 2
k 2=αop m
1
所以
4）根据（3.45）式计算减振器最佳阻尼比ξop 及相应的阻尼系数C OP ，即
'2ξOP （3.46） C OP =2m 2ωn
然后，根据C OP 来计算减振器中油的粘度。
作业题：
1、如图所示起重机小车，其质量为m 1=2220kg,在质心A 处用绳悬挂一重物B ，其质量为m 2=2040kg。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m。设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B 以匀速v 0=1m/s碰上缓冲器后，求小车和重物的运动。
2、两个质量块m 1和m 2用一弹簧k 相连，m 1的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成а角的光滑斜面上，如习题图4-5所示。若t=0时突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t 两质量块的位置。
答案：
22m 2cos ω2t t 2m 2x 1=[+-]g sin α k (m 1+m 2) 2k (m 1+m 2) 22m 2c o ωs 2t t 2m 2x 2=[++]g s i n α k (m 1+m 2) 2k (m 1+m 2)
第五章 两自由度系统振动
§5-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。①汽车动力学模型：
图3.1 两自由度汽车动力学模型
§5-2 两自由度系统的自由振动
一、系统的运动微分方程
②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k 1和
k 2，质量为m 1、m 2。质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位
置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析) 在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力k 1x 1及k 2(x 2-x 1)，在质量m 2上作用有弹性恢复力k 2(x 2-x 1)。这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：
1+k 1x 1-k 2(x 2-x 1)=0⎫m 1 x
⎬ （3.1）
2+k 2(x 2-x 1)=0m 2 x ⎭
令
k 1+k 2k 2k 2
a =, b =, c =
m 1m 1m 2
则（3.1）式可改写成如下形式：
1+k 1x 1-k 2(x 2-x 1)=0⎫m 1 x
⎬
2+k 2(x 2-x 1)=0m 2 x ⎭
1+ax 1-bx 2=0⎫x
⎬
2-cx 1+cx 2=0⎭ （3.2） x
这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析) 在第一个方程中包含-bx 2项，第二个方程中则包含
-cx 1项，称为“耦合项”（coupling term ）。这表明，质量m 除受
1
到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。m 2虽然只受一个弹簧k 2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点m 1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。 二、固有频率和主振型
[创造思维：]从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。
设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：
x 1=A 1sin (ωn t +ϕ)⎫
⎬ （3.3）
x 2=A 2sin (ωn t +ϕ)⎭
其中振幅A 1与A 2、频率ωn 、初相位角ϕ都有待于确定。对（3.3）式分别取一阶及二阶导数：
2 1=A 1ωn cos (ωn t +ϕ); 1=-A 1ωn x x sin (ωn t +ϕ)⎫⎪
⎬（3.4） 2
2=A 2ωn cos (ωn t +ϕ); 2=-A 2ωn sin (ωn t +ϕ)⎪x x ⎭
将（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得：
(a -ω)A -bA =0⎫⎪
⎬ （3.5）
-cA +(c -ω)A =0⎪⎭
2
n
1
2
1
2n
2
上式是A 1、A 2的线性齐次代数方程组。A 1、A 2=0显然不是我们所要的振动解，要使A 1、A 2有非零解，则（3.5）式的系数行列式必须等于零，即：
a -ω-c
将上式展开得：
4n
2n
-b
2
c -ωn
= 0
ω-(a +c )ω+c (a -b )=0 （3.6）
2n
解上列方程，可得如下的两个根：
ω
2n 1, 2
a +c ⎛a +c ⎫= ⎪-c (a -b )2⎝2⎭a +c ⎛a -c ⎫= ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2
（3.7）
由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程（frequency equation ）或特征方程（characteristic equation ）。特征方程的特征值（characteristic value ）即频率ωn 只与参数a ，b ，c 有关。而这些参数又只决定于系统的质量m 1，m 2和刚度k 1，k 2，即频率ωn 只决定于系统本身的物理性质，故称
ωn
为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个，即
ωn 1和ωn 2，且ωn 1
order natural circular frequency ） [基频] 。ωn 2称为第二阶固有频率（second order natural circular frequency）。[（推广）
2
ω理论证明，n 个自由度系统的频率方程是n 的n 次代数方程，在无
阻尼的情况下，它的n 个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自由度数目相等。]
将所求得的ωn 1和ωn 2代入（3.5）式中得：
2(1)
⎫a -ωn A 2c 1
β1=1==2⎪A 1b c -ωn 1⎪
⎬2(2)
a -ωn 2A 2c ⎪ （3.8）
β2=2==2⎪A 1b c -ωn 2⎭
(1)(1)A 式中：1, A 2——对应于ωn 1的质点m ，m 的振幅；
1
2
A 1, A 2
(2)(2)
——对应于ωn 2的质点m 1，m 2的振幅。
由此可见，对应于ωn 1和ωn 2，振幅A 1与A 2之间有两个确定的比值。称之为振幅比（amplitude ratio）。
将（3.8）式与（3.3）式联系起来可以看出，两个m 1与m 2任一瞬间位移的比值x 2x 1也是确定的，并且等于振幅比A 2A 1。系统的其它点的位移都可以由x 1及x 2来决定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可以由振幅比确定，也就是振幅比决定了整个系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型（principal mode ），也可称为固有振型（natural mode）。其中：
β1——第一主振型，即对应于第一主频率ωn 1的振幅比；
β2——第二主振型，即对应于第二主频率ωn 2的振幅比。
当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主振动（principal vibration）。所以，第一主振动为：
x 1(1)=A 1(1)sin (ωn 1t +ϕ1)
(1)
x 2
⎫⎪
⎬ （3.9） (1)(1)
=A 2sin (ωn 1t +ϕ1)=β1A 1sin (ωn 1t +ϕ1)⎪⎭
第二主振动为：
x 1(2)=A 1(2)sin (ωn 2t +ϕ2)
(2)x 2
⎫⎪
⎬ （3.10） (2)(2)
=A 2sin (ωn 2t +ϕ2)=β2A 1sin (ωn 2t +ϕ2)⎪⎭
为了进一步研究主振型的性质，可以将（3.7）式改写成如下形
式：
2ω因为
n 1,2
a +c
=
2
所以
2⎡a +c ⎤a -c ⎛⎫2
⎢a -ωn - ⎪+bc ⎥1=a -⎢2⎥⎝2⎭⎣⎦
a -c ⎛a -c ⎫=+ ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2
a -ω因为上式的等式右边恒大于零，所以n 1>0，由（3.8）
式知，β1
>0
2
a -ωn 2
2⎡a +c ⎤a -c ⎛⎫
=a -⎢+ ⎪+bc ⎥
2⎭⎢2⎥⎝⎣⎦
又因为
a -c ⎛a -c ⎫
=- ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2
a -ω因为上式的等式右边恒小于零，所以n 2
式知，β2
(1)
>0表示A 1(1)和A 2的符号相同，即第一主
(说明) 由此可见，β1
振动中两个质点的相位相同。因此，若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位置。而β2
位相反，永远相差180°。当质量m 1到达最低位置时，质量m 2恰好到达最高位置。它们一会相互分离，一会又相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的点称为“节点”（nodal
point ）。
“节点”
图3.3 两自由度系统的主振动与主振型
振动理论证明，多自由度系统的i 阶主振型一般有i －1个节点。这就是说，高一阶的主振型就比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点数就越多，故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，故振动就容易激起。所以，在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。 三、系统对初始条件的响应
[思维方式：]前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是简谐振动。但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竟是什么形式呢？这要取决于初始条件。
从微分方程的理论来说，两阶主振动只是微分方程组的两组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度系统受到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发。因而出现的自由振动应是这些简谐振动的合成。
所以，在一般的初干扰下，系统的响应是：
x 1=A 1(1)sin (ωn 1t +ϕ1)+A 1(2)sin (ωn 2t +ϕ2)
⎫⎪
⎬（3.11） (1)(2)
x 2=β1A 1sin (ωn 1t +ϕ1)+β2A 1sin (ωn 2t +ϕ2)⎪⎭
(1)(2)
A ，ϕ2四个未知数要由振动的四个初始条件式中，1, A 1，ϕ1
来决定。
1=x 10, x 2=x 20经设初始条件为：t=0时，x 1=x 10, x 2=x 20, x
过运算，可以求出：
⎫⎛ ⎫βx -x 21020⎪⎪(β2x 10-x 20)2+ ⎪⎪ωn 1⎝⎭
⎪2⎪
⎛β1x 10-x 20⎫12(2. )⎪ ⎪(β1x 10-x 20)+ A 1=⎪⎪β1-β2ωn 2⎝⎭⎬
⎪ （3.12） 10-x 20)-1ωn 1(β2x ⎪ϕ1=tg
10-x 20β2x ⎪
⎪ 10-x 20)-1ωn 2(β1x ⎪ϕ2=tg
10-x 20⎪β1x ⎭1(1)
A 1=
β2-β1
2
将（3.12）式代入（3.11）就得到系统在上述初始下响应。 四、振动特性的讨论 1．运动规律
从（3.11）式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从（3.7）式来看，这两个分振动的频率ωn 1与ωn 2的比值却不一定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动。
在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于
低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。 2．频率和振型
两自由度系统有两个不同数值的固有频率，称为主频率，当系统按任一个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时，任何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 3．节点和节面
在两自由度系统的第二阶主振型中存在着节点，而在第一阶主振型中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数越高，则节点数也就越多。一般来说，第i 阶主振型有i-1个节点。
对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面，称为节线（nodal line）和节面（nodal surface）。 4．阻尼
若系统存在阻尼，则阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统相似。由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。
[例] 试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。已知
m 1=m , m 2=2m , k 1=k 2=k , k 3=2k 。
又若已知初始条件为x 10的响应。
10=x 20=0，试求系统=1. 2, x 20=x
解：该系统的运动微分方程式为
1+(k 1+k 2)x 1-k 2x 2=0⎫m 1 x
⎬
2-k 2x 1+(k 2+k 3)x 2=0⎭m 2 x
k 2+k 3k 1+k 2k 2k 2
, b =, c =, d =令 a =m m m m 1122
则
1+ax 1-bx 2=0x ⎧ ⎨
2-cx 1+dx 2=0 x ⎩
可解出：[类比前面形式]
ω
2n 1, 2
a +d ⎛a -d ⎫= ⎪+bc
2⎝2⎭
2
2a -ωn 1
β1=
b
2
a -ωn 2
β2=
b 2k k k 3k , b =, c =, d =因为 a =m m 2m 2m
2⎡1⎛3⎫1⎛3⎫1⎤k =⎢ 2+⎪ 2-⎪+⎥
2⎭4⎝2⎭2⎥m ⎢2⎝
⎣⎦
⎡73⎤k
=⎢ ⎥⎣44⎦m
2ωn 1, 2
故
2k k
-2
a -ωn k 1
ωn 1=, β1===1
k m b
m
2
a -ωn k 2
ωn 2=1. , β2=
m b
2k 5k
-
1==-
2m
根据给定的初始条件，代入（3.12）式得：
A 1(1)=A 1(2)
1⎛1⎫
-⨯1. 2 ⎪=0. 41⎝2⎭--121
(1⨯1. 2)=0. 8=
⎛1⎫ 1- -⎪⎝2⎭
ϕ1=
π
2
,
ϕ2=
π
2
故系统的响应为：
⎧
⎪x 1=0. 4cos ⎪⎨
⎪x =0. 4cos 2⎪⎩
k k
t +0. 8cos 1. t m m k k t -0. 4cos 1. t m m
§5-3 两自由度系统的受迫振动
一、系统的运动微分方程
和单自由度系统一样，两自由度系统在受到持续的激振力作用时就会产生受迫振动，而且在一定条件下也会产生共振。
图3.8所示为两自由度无阻尼受迫振动系统的动力学模型。我们称简谐激振力作用的m 1-k 1质量弹簧系统称为主系统。
把不受激振力作用的m 2-k 2质量弹簧系统称为副系统。 这一振动系统的运动微分方程式为：
1+k 1x 1-k 2(x 2-x 1)=p 0sin ωt ⎫m 1 x
⎬ （3.13）
2+k 2(x 2-x 1)=0m 2 x ⎭
p 0k 1+k 2k 2k 2
, b =, c =, p =令 a =m 1m 1m 2m 1
则（3.13）式可改写成：
1+ax 1-bx 2=p 0sin ωt ⎫x
⎬ （3.14）
2-cx 1+cx 2=0x ⎭
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程组，其通解由两部分组成。一是对应于齐次方程组的解，即为上一节讨论过的自由振动。二是对应于上述非齐次方程组的一个特解，它是由激振力引起的受迫振动，即系统的稳态振动。
我们只研究稳态振动，故设上列微分方程组有简谐振动的特解：
x 1=B 1sin ωt ⎫
⎬ （3.15）
x 2=B 2sin ωt ⎭
式中，B 1、B 2是m 1、m 2的振幅，在方程组中是待定常数。对（3.15）式分别求一阶、二阶导数，
1=-B 1ω2sin ωt ⎫x ⎪
⎬ （3.16） 2
2=B 2ωcos ωt ; 2=-B 2ωsin ωt ⎪x x ⎭ 1=B 1ωcos ωt ; x
将（3.15）及（3.16）式代入（3.14）式得：
(a -ω)B -bB =p ⎫⎪
⎬
-cB +(c -ω)B =0⎪⎭
2
1
22
1
2
（3.17）
这是一个二元非齐次联立代数方程，它的解可用行列式原理求出：
∆=
a -ω2-b -c p 0-c
c -ω-b c -ω0
22
=a -ω2c -ω2-bc =p c -ω2=pc
()()
∆1=∆2=
()
c -ω2
p
故
∆1p c -ω2B 1==
∆a -ω2c -ω2-bc
（3.18） ∆2pc
B 2==
∆a -ω2c -ω2-bc
(
)
这就是说，我们期待的方程组（3.14）式的简谐振动特解是可以
得到的。
二、振动特性的讨论 1．运动规律
由（3.15）式得知，两自由度系统无阻尼受迫振动的运动规律是简谐振动。 2．频率
两自由度系统受迫振动的频率与激振力的频率3．振幅
由（3.18）式得知，两自由度系统受迫振动的振幅决定于激振力力幅、激振力频率，以及系统本身的物理性质。现分别讨论如下：
（1）激振力幅值p 0的影响
因为p ∝p 0，所以p 0与B 1、B 2成线性关系。即p 0越大，振幅B 1、B 2也越大。
（2）激振力频率
ω相同。
ω的影响
为了说明ω对振幅的影响，我们以B 1、B 2为纵坐标，以
ω为横
坐标，将（3.18）式作成曲线示图3.9中，称之为振幅频率响应曲线，或称幅频特性曲线。它表明了系统位移对频率的响应特性。
讨论：
①当ω=0时，B 1=B 2=的作用相当。
②当ω=ωn 1, 或ω=ωn 2，即激振力频率等于系统第一或第二阶固有频率时，系统即出现共振现象，振幅B 1、B 2均急剧增加。这就是说，在两自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共振。也就是说，两自由度系统有两个共振区。
现在我们来分析一下系统共振时的振型。 由（3.18）式可得质量m 1和m 2的振幅比为：
p 0
，这表明，此时激振力的作用和静力k 1
B 2c =
B 1c -ω2 （3.19）
这说明，在一定的激振频率下，两个质量的振幅比是一个确定值。当激振频率ω等于第一阶固有频率ωn 1时，两个质量的振幅比的即
为：
⎛B 2 B ⎝1
⎫c ⎪⎪=c -ω2 （3.20）
n 1⎭ωn 1
当ω=ωn 2时，则
⎛B 2
B ⎝1
⎫c ⎪=2 （3.21） ⎪c -ω⎭ωn 2n 2
这表明，系统以那一阶固有频率共振，则此时的共振振型就是那一阶主振型。这是多自由度系统受迫振动的一个极为重要的特性。在实践中，经常用共振法测定系统的固有频率，并根据测出的振型来判定固有频率的阶次，就是利用了上述这一规律。
p 0
ω=c 时, x 2=B 2sin ωt =-sin ωt 当k 2
故k 2x 2
=-p 0sin ωt
这就是说，副系统通过弹簧k 2传给主系统的力，正好与作用在主系统上的激振力相平衡。这样，主系统的受迫振动就被副系统吸收掉了。主系统的质量m 1就如同不受激振力作用一样，保持静止。这种现象可以被利用来作为减小振动的一种措施。
当ω→∞时B 1、B 2→0，即激振力的频率很高时，两个质量m 1和m 2都几乎不动。这时受迫振动现象也进入惯性区了。 4．相位
由于系统是无阻尼的情况，所以只要观察振幅的正负变化就可以说明相位的变化。
现将振幅计算公式（3.18）式的分母作如下的变换：
(a -ω)(c -ω)-bc =ω-(a +c )ω
2
2
4
2
+c (a -b ) （3.23）
由系统的频率方程（3.6）式，可以得知频率方程的两个根
22ωn 、ω1n 2必定满足下列关系式：
⎬ ω⋅ω=c (a -b )⎪
⎭
2n 1
2n 2
ω+ω=a +c ⎫⎪2n 12n 2
（3.24）
将（3.24）式代入（3.23）式得：
(a -ω)(c -ω)-bc =ω-(ω+ω)ω+ω
=(ω-ω)(ω-ω)
2
2
4
2n 1
2n 2
2
2
2n 1
2
2n 2
2n 12⋅ωn 2
（3.25）
因而（3.18）式可改写成：
B 1=B 2=
ωω
p c -ω2
2
(
222
-ωn ω-ω1n 2
)
pc
2
222-ωn ω-ω1n 2
⎫
⎪⎪
⎬ （3.26） ⎪⎪⎭
从（3.26）式中可以看出：
在0≤ω≤ωn 1阶段，B 1、B 2均为正值。故质量m 1、m 2的位移和激振力是同相的，即两个质量的位移也同相。
当ω=ωn 1时，运动的相位对于激振力要出现相位突跳的反相。 当ω=
c 时，B =0，此后，B 又重新成为正值，但B 却仍保持
1
1
2
负值。这就是说，在c
当ω>ωn 1以后，B 1又改变为负值，而B 2却保持正值。 根据以上分析，可作出如图3.10所示的相频特性曲线
三、动力减振器
根据两自由度系统受迫振动的振动特性的分析得知，只要适当地选择系统的参数，就可以使主系统的受迫振动被副系统所吸收，从而使主系统不动，动力减振器就是应用这一原理来设计的。
动力减振器是用弹性元件把一个辅助质量固定到振动系统上的
一种减振装置，其动力学模型如图3.11所示。图中m 1、k 1为原振动系统（主系统）的质量（主质量）和弹簧刚度。m 2、k 2为动力减振器（附加系统）的质量（辅助质量）和弹簧刚度，c 为动力减振器的阻
i ωt p e 尼。0为作用在主系统上的激振力。
从图3.11可以看出，在主系统上增加了附加系统后，即使原来的单自由度系统变为两自由度系统。其运动微分方程式为：
i ωt m 1x 1+c (x 2-x 1)+(k 1+k 2)x 1-k 2x 2=p 0e ⎫
⎬ （3.27）
2+c (x 2-x 1)+k 2x 2-k 2x 1=0m 2 x ⎭
设上列方程组的特解为：（稳态振动）
x 1=B 1e i ωt ⎫⎪
i ωt ⎬
x 2=B 2e ⎪⎭
1=B 1ωcos ωt ; x
（3.28）
1=-B 1ω2sin ωt ⎫x ⎪
⎬ 2
2=B 2ωcos ωt ; 2=-B 2ωsin ωt ⎪x x ⎭
将（3.28）式及其一阶、二阶导数代入（3.27）式得：
(-m ω
1
+k 1+k 2+ic ωB 1-(k 2+ic ω)B 2=p 0⎫⎪
⎬ （3.29） 2
-(k 2+ic ω)B 1+-m 2ω+k 2+ic ωB 2=0⎪⎭
2
(
)
)
解上列联立方程，求出主系统的振幅B 1，并化成实数形式：
B 1=
k -m ωk -m ω-k m ω+(c ω)k -m ω
p 0k 2-m 2ω+c ω2
2
22
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
-m 2ω
22
（3.30）
为了简化计算，引进下列符号：
δst =
'1=ωn '2=ωn
p 0
——主系统在激振力力幅p 0作用下产生的静变位； k 1
k 1
m 1——主系统的固有频率； k 2
m 2——附加系统的固有频率；
——激振力频率与主系统固有频率之比；
ωλ=
'1ωn
'2ωn
α=
'1ωn
μ=
——减振器固有频率与主系统固有频率之比；
m 2
——辅助质量与主质量之比； m 1
ξ=
c
——减振器的阻尼比。
2k 2m 2
则（3.29）式可改写成下列无量纲形式：
⎛B 1 δ⎝st ⎫α2-λ2+4ξ2λ2⎪⎪=222222
1-λα-λ-μλα+4ξ2λ21-λ2-μλ2⎭
2
(
)2
（3.31）
现根据减振器分类进行讨论：（普遍式） 1．无阻尼动力减振器
若减振器没有阻尼元件，则ξ
=0，故（3.31）式简化为：
B 1
δst
α2-λ2
=
1-λ2α2-λ2-μλ2α2 （3.32）
由此可见，当α
'2=ω时，B 1=0。即当减振器的固有=λ，即ωn
'2等于激振频率频率ωn
ω时，辅助m 通过弹性元件k 作用于主质
2
2
量m 1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系统振幅为零，从而达到消振的目的。
当激振频率
'1，即λ=1时，主系统ω等于主系统固有频率ωn
=1。若再取质量比μ=0. 2，则（3.32）
'2等于主系产生共振。为了消除系统共振，应使减振器固有频率ωn
'1，即令α统固有频率ωn
如图3.12所示。
式中的四个变量就固定了两个。对即可作出主系统的幅频响应曲线，
从图中可以看到，主系统共振点的振幅已经消失。但又出现了两
'。这两点的坐标值可以从（3.32）式的分项等个新的共振点λ1'及λ2
于零时求出：
(1-λ)(
22
α-λ-μλ'α=0 1-λ
2
2
2
2
)
(
22
)
-μλ'2α2=0
1-λ因为α=1 故上式成为 (
所以 λ'=1+对于α
2
1, 2
22
)
22'-μλα=0
μ
2
μ+
μ2
4
（3.33）
=1，质量比为μ
ω
2
n 1, 2
的系统，两个固有频率（主频率）为：
k 1⎡μμ2⎤
=⎢1+ μ+⎥ （3.34） m 1⎢4⎥⎣2⎦
显然，当激振频率生新的共振。
ω正好等于ωn 1或ωn 2时，都会使系统产
根据（3.33）式可作出λ'与μ的关系曲线，如图3.13所示 它们表示了系统的两个主频率ωn 1或ωn 2的相隔范围。我们希望这两个主频率相距较远。但对于稳定的定速运转机械，μ值则还可以取得小些。
由以上分析可见，使用无阻尼动力减振器时要特别慎重，应用不当会带来新的祸害。所以，这种减振器主要用于激振频率变化不大的情况。
{教学演示片：}
2．有阻尼动力减振器
当减振器有阻尼元件时，则根据（3.31）式，以ξ为参变量，仍
1
令α=1, μ=
20，所作出的主系统的幅频响应曲线如图3.15所示。
⎛B 1⎫α2-λ2+4ξ2λ2（ δ⎪⎪=222222
1-λα-λ-μλα+4ξ2λ21-λ2-μλ2⎝st ⎭
2
(
)2
）
从图上可以看出：
1）无论阻尼的ξ为何值，幅频响应曲线均经过P 、Q 两点，也就是说，当频率比位于P 点和Q 点相应的频率比λ1和λ2值时，主系统的受迫振动的振幅与阻尼比ξ的大小无关，这一物理现象是设计有阻尼动力减振器的重要依据。
2）若令ξ=0时的
B 1
δst
值与ξ=∞时的
B 1
δst
值相等，就可求得P 点
和Q 点的横坐标值λ1和λ2。
当ξ
=∞时从（3.31）式得：
±1= （3.35） δst 1-λ2-μλ2B 1
令（3.32）式与（3.35）式相等得
±1α2-λ2
= 22
1-λ-μλ1-λ2α2-λ2-μλ2α2
上式等号左边若取正号，则解出λ=0，这对减振没有意义。故取负号，则上式可展开得：
222
1+α+μαα
λ4-2λ2+=0 （3.36）
2+μ2+μ
解上列代数方程得：
2
λ1, 2
⎛1+α2+μα2⎫2α21+α2+μα2
⎪=± - （3.37） ⎪2+μ2+μ2+μ⎝⎭
将求得的λ1和λ2值代入（3.32）式（3.35）式，即可得P 、Q 两点的纵坐标值：
⎫⎫1
⎪⎪=1-λ2-μλ2⎪
11⎪⎭1
⎬
（3.38） ⎛B 1⎫-1⎪ δ⎪⎪=1-λ2-μλ2⎪
22⎭⎝st ⎭2⎛B 1
δ⎝st
这里需要说明一点，即Q 点的纵坐标值之所以为负值，是因为P 、Q 两点在共振点（λ=1）的两侧，两者的相位是相反的，所以这两点的振幅的符号也相反，因此，在图3.15中，在λ=1右边的曲线，实际上应该画在横坐标轴的下方，（现在为了直观起见）。
3）既然无论ξ值是多少，所有的幅频响应曲线都要经过P 、Q 两点。
B 1
因此，的最高点都不会低于P 、Q 两点的纵坐标。[思想方法]为
δst
了使减振器获得较好的减振效果，就应该设法降低P 、Q 两点，并使P 、Q 两点的纵坐标相等，而且成为曲线上的最高点。这样，减振后主系统振幅B 1与静变位δst 的比值就会减小，并限制在P 、Q 两点所对应的振幅以下（见图3.16）。
研究工作证明，为了使P 、Q 两点等高，就要适当选择了使
α值；为
B 1
δst
的最大值在P 、Q 两点上，就要适当选择
ξ值。所以选择的α
和
ξ值，分别称为最佳频率比（optimum frequency ratio）αop
和最佳阻尼比（optimum damping ratio）ξop 。下面就来分别介绍它们的确定方法。
（1）最佳频率比αop 的确定。（第一步）
为了使P 、Q 两点等高，即使P 、Q 两点的纵坐标相等，应使（3.38）
⎛B ⎫⎛B ⎫
式所表示的 1⎪与 1⎪相等。即：
st ⎭1⎝st ⎭2⎝
1-1
=222 1-λ1-μλ11-λ2-μλ22
解之得：
2
λ+λ= （3.39）
1+μ
21
22
根据代数方程理论，由（3.36）式得知
22
21+α+μα2
λ1+λ22= （3.40）
2+μ
()
联立（3.39）式及（3.40）式，并求解得：
221+α2+μα2
=1+μ2+μ
()
α所以 op
将
2=
1+μ
（3.41）
αop 值代入（3.37）式，即得到与P 、Q 两点相应的横坐标值：
⎫⎫
⎪⎪⎪⎭⎪
⎬ （3.42） ⎫⎪1⎛μ2
1+⎪λQ =⎪ 1+μ⎝2+μ⎪⎭⎭1⎛μ λ=1- 1+μ⎝2+μ
2
p
将（3.42）式代入（3.32）式或（3.35）式，即得到在选取最佳频率比的情况下，P 、Q 两点的纵坐标值：
⎛B 1 δ⎝st
⎫⎛B 1⎫2⎪ ⎪==±+ ⎪ δ⎪μ⎭P ⎝st ⎭Q
（3.43）
[分析]可见，要降低P 、Q 两点的纵坐标，应使质量比
μ
增大，
即增加减振器中的辅助质量m 2。m 2越大，减振效果越好。但辅助质量m 2的大小，还要根据减振器的安放空间，激振力的大小、主系统质量大小等因素来综合考虑决定。
（2）最佳阻尼比ξop 的确定（第二步）
∂B 1
=0，求出相应的ξ值，即应是使P 、Q 根据（3.31）式，使∂λ
点成为幅频响应曲线最高点时的最佳阻尼比。
∂B 1
=0相对应的ξ值，并将αop 值代入其中，可分别求求出与∂λ
出使P 点或Q 点成为曲线最高点时的阻尼比：
⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎪
⎬ （3.44）
⎛μμ⎫⎪2
⎪ξQ =3+3⎪⎪2+μ81+μ ⎝⎭⎭⎛μ ξ=3-3 2+μ81+μ⎝
2
p
μ
[分析]上式表明，根据P 点和Q 点分别成为曲线最高点而推导出来的阻尼比不一样。换句话说，在适当选择ξ值时，只能使曲线在P 点（或Q 点）为极大值。图3.16）中就分别表示出以P 点为最大值，以及以Q 点为最大值的两条曲线。但它们彼此相差不多。所以，可取
222
ξξP 与ξQ 的平均值为最佳阻尼比OP ，则
3μ
ξop =3
81+μ
（3.45）
（3）设计步骤（*）
1）根据主系统的振动情况，测定振动频率
ω，计算主系统固有
B 1
'频率ωn 1和振幅放大系数
δst
。然后根据减振要求，按（3.43）式计
算出质量比μ的值。
μ=
2⎛B 1
δ⎝st
⎫⎪⎪-1⎭
2
2）测定主系统的静刚度k 1，然后算出主系统的当量质量m 1，再根据m 1与μ值，计算减振器质量m 2，即
k 1
m 1=2m 2=μm 1
'1ωn
3）根据（3.41）式，计算最佳频率比αop 。再根据αop 、m 2、m 1及k 1计算减振器弹簧刚度k 2。
因为
2'ωk 2m 12n 2
αop ='2=ωn 1k 1m 2
2k 2m 2
k 2=αop m
1
所以
4）根据（3.45）式计算减振器最佳阻尼比ξop 及相应的阻尼系数C OP ，即
'2ξOP （3.46） C OP =2m 2ωn
然后，根据C OP 来计算减振器中油的粘度。
作业题：
1、如图所示起重机小车，其质量为m 1=2220kg,在质心A 处用绳悬挂一重物B ，其质量为m 2=2040kg。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m。设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B 以匀速v 0=1m/s碰上缓冲器后，求小车和重物的运动。
2、两个质量块m 1和m 2用一弹簧k 相连，m 1的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成а角的光滑斜面上，如习题图4-5所示。若t=0时突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t 两质量块的位置。
答案：
22m 2cos ω2t t 2m 2x 1=[+-]g sin α k (m 1+m 2) 2k (m 1+m 2) 22m 2c o ωs 2t t 2m 2x 2=[++]g s i n α k (m 1+m 2) 2k (m 1+m 2)