资料一 ：导数. 知识点
1．导数的概念
例1．已知曲线y
P (0, 0)，求过点P 的
切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线
PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4) 处的切线方程·
解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x ) 2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x ) 2 =4∆x ＋(∆x ) 2 ∴ k ＝lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim (4+∆x ) =4.
∆x →0
∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4) 处切线方程为y －4＝4(x －2) 即4x －y －4＝0.
例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．
2
解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t ) 2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t ) ,
∴
∆S ∆t
=2t +1+∆t
, 即(t ) =2t +1+∆t , ∴ (5)=∆t +11,
即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11) 米／秒
∴ v (t )=S ’＝lim
∆S ∆t
∆t →0
=lim (2t +1+∆t ) =2t +1
∆t →0
即v (5)＝2×5＋1＝11.
∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y
∆y ∆
x
在x =1处的导数。
解析：∆y
∆y ∆
x
-1=
, ∴
1
∴ lim
∆x →0
=lim
∆x →0
=-
2
.
例5．已知函数
1⎧2
⎪x sin f (x )=⎨x
⎪0⎩
x ≠0x =0
, 求函数f (x ) 在点x ＝0处的导数
1∆x
2
∆y =f (0+∆x ) －f (0)=(∆x ) sin 解析：由已知f (x )=0，即f (x ) 在x =0处有定义，,
∆y ∆x
=∆x ⋅sin
1∆x
, lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim ∆x ⋅sin
∆x →0
1∆x
=0, 即 f ’(0)＝0.
∴ 函数f (x ) 在x ＝0处导数为
0.
⎧12
(x +1) ⎪⎪2
例6．已知函数f (x )=⎨
⎪1(x +1) ⎪⎩2
∆y
-
x ≤1
, 判断f (x ) 在x ＝1处是否可导？
x >11
解析：f (1)=1, lim
∆x →0
∆x
=lim -∆x →0
[(1+∆x ) +1]-1
∆x 12
2
=lim -(1+
∆x →0
12
∆x ) =1,
1
∆x →0
lim +
∆y ∆x
=lim +∆x →0
(1+∆x +1) -1
∆x
=
, ∵lim
∆x →0
∆y
-
∆x
≠lim +
∆x →0
∆y ∆x
,
∴ 函数y =f (x ) 在x ＝1处不可导．
例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.
解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x ) 3+3－(2x 3+3)=6x 2·(∆x ) 2+2(∆x ) 3, ∆x +6x ·
∴
∆y ∆x
2
=6x 2+6x ·∆x +2(∆x ) , ∴ y ’=lim
∆y ∆x
∆x →0
=6x 2.
例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程
和法线方程．
解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’|x =1＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－，
61
∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－
16
( x －1) ，即 6y ＋x －31＝0.
例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？
解析：∵ y ’=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
(x +∆x ) -x
∆x
22
∆x →0
=2x ,
令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4) 处切线平行于直线y ＝4x －5. 例10．设mt ≠0，f (x ) 在x 0处可导，求下列极限值 (1) lim
f (x 0-m ∆x ) -f (x 0)
∆x
f (x 0-m ∆x ) -f (x 0)
∆x
∆x →0
； (2) lim
f (x 0+
∆x
∆x →0
t ∆x
) -f (x 0)
.
解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0) 定义中的极限形式。 (1) lim
∆x →0
=lim
f (x 0-m ∆x ) -f (x 0)
-m ∆x
∆x →0
⋅(-m ) =-m ⋅f '(x 0)
,
∆x →0） （其中－m ·
(2) lim
f (x 0+
∆x
∆x →0
t
∆x
) -f (x 0)
=lim
f (x 0+
∆x
∆x →0
) -f (x 0)
11⋅=⋅f '(x 0) .
∆x t t t
（其中∆x →0）
t
1
例11．设函数f (x ) 在x ＝1处连续，且lim
f (x ) x -1
x →1
=2
，求f ’(1).
解析：∵ f (x ) 在x ＝1处连续，∴ lim f (x ) =f (1).
x →1
而又lim f (x ) =lim (x -1) ⋅
x →1
x →1
f (x ) x -1
=lim (x -1) ⋅lim
x →1
x →1
f (x ) x -1
2=0. =0×
∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=lim
f (1+∆x ) -f (1)
∆x
∆x →0
=lim
f (x ) -f (1)
x -1
x →1
=2
（将∆x 换成x －1）
即f ’(1)＝2.
例12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0) ，通过点(1，1) ，且在点(2，－1) 处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值． 解析：由y ’＝lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
a (x +∆x ) +b (x +∆x ) +c -(ax +bx +c )
∆x
22
∆x →0
=2ax +b ,
由函数在点(2，－1) 处与直线y ＝x －3相切, ∴ 2a ×2＋b ＝1， 又函数过点(1，1) ，(2，－1), ∴ a ＋b ＋c =1， 4a ＋2b ＋c ＝－1， 由三式解得a ＝3，b ＝－11，c =9. 例13．设曲线y ＝sin x 在点A (，
6π
12
) 处切线倾斜角为θ，求tan(
∆x 2
π4
－θ) 的值. ,
∆x
解析：∵ y =sinx ，∴ ∆y =sin(x +∆x ) －sin x =2cos(x +
∆y ∆x
)sin
∆x 2
2cos(x +
∆x ∆x
) sin
∆x
=lim cos(x +∆x ) ⋅lim
∆x →0∆x →02
sin
∴ y ’=lim
∆x →0
=lim
∆x →0
=cos x .
∆x 2
即y ’＝(sinx )’＝cos x ,
令在A 点处切线斜率为k =cos=
6π
32
, ∴ tan θ=
32
, θ∈(0, π),
∴ tan(
π4
－θ)
＝
1-tan θ1+tan θ
1-==7-2
H ，
例14．设f (x ) 是定义在R 上的函数，且对任何x 1、x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1) f (x 2) ，若f (0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x ∈R ，都有f (x )=f ’(x )
解析：由f (x 1＋x 0)=f (x 1) f (x 2) ，令x 1＝x 2＝0得f (0)＝f (0)f (0), 又f (0)≠0 ∴ f (0)=1 由f ’(0)=1即lim
∴ f ’(x ) ＝
f (∆x ) -f (0)
∆x
∆x →0
=lim
f (∆x ) -1∆x
∆x →0
=1,
∆x →0
lim
f (x +∆x ) -f (x )
∆x
=lim
f (x ) f (∆x ) -f (x )
∆x
∆x →0
=f (x ) ⋅lim
f (∆x ) -1∆x
∆x →0
=f (x ) .
即f ’(x )=f (x ) 成立．
2．几种常见函数的导数
例1．已知f (x )=x 3，求f ’(x ) ，f ’(1)，(f (1))’，f ’( 0.5)
解析：f (x )=x 3, ∴ f ’(x ) ＝3x 2, f ’(1)=3, f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f (1))’=(1)’=0.
说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．
例2．已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1), B (2, 4)，求 ① 割线AB 的斜率；②在[1， 1＋∆x ]内的平均变化率；③ 过点A 处的切线斜率k AT ；④ 点A 处的切线方程．
解析：① k AB ＝② 平均变化率
4-12-1
＝3；
f (1+∆x ) -f (1)
∆x
(1+∆x ) -1
∆x
2
∆y ∆x
==
=2+∆x ,
③ y ’＝2x , ∴ y ’|x ＝1＝2. 即点A 处的切线斜率为K AT ＝2.
④ 点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1) 即2x －y －1＝0.
说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=lim
∆y ∆x
∆x →0
.
1x 11+∆x
例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =角及该点处的法线方程．
解析：解法一：f (x )=, ∆y =f (1+∆x ) －f (1)=
x 1
在点P (1，1) 处的切线倾斜
-∆x 1+∆x
-1=
,
∴ y ’|x =1=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
-11+∆x
∆x →0
=-1.
即在点P 处斜率为k ＝－1，∴ 倾斜角为135°， 法线方程y －1＝x －1即x －y ＝0. 解法(二) ：y =f (x ) ＝
1x
，y ’=f ’(x )=-
1x
2
, ∴ y ’|x =1＝－1.
即在点P 处切线斜率为k =－1，以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可． 例4．已知曲线y
P (0，0) ，求过点P 的切线方程.
解析：由y
=∴ y
’=' =
, 在x =0处导数不存在，由图形知
过P 点的切线方程是x =0. 例5．设曲线y ＝cos x 在A (，
6π
32π6
) 点处的切线倾斜角为θ，求cot(
π6
π4
－θ)的值
解析：y =cosx , y ’=－sin x , x =时, k =－sin
π4
=－
12
, ∴ tanθ=－
12
，
∴ cot(－θ)=
tan(
1
π4
=-θ)
1+tan θ1-tan θ
=
=1. 131+
2
1-
1
例6．求曲线y ＝x 3在点(3，27) 处的切线与坐标轴所围成的三角形面积． 解析：∵ y =x 3, ∴ y ’=3x 2, y ’|x =3=27,
∴ 曲线 y =x 3在点(3，27) 处的切线方程为y －27＝27(x －3), 即y ＝27x －54. 其与x 轴，y 轴交点分别为(2，0) ，(0，－54) ∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S =
12
×2×54＝54.
例7．在抛物线y ＝x 2上取横坐标为x 1＝1及x 2＝3的两点，作过这两点的割线，
问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？
解析：已知两点A (1，1) B (3，9) ，割线斜率为k AB =4,
∵ y ’＝2x ，令y ’=2x ＝4得x ＝2, 即在点(2，4) 处切线平行于这一割线．
3．函数和、差、积、商的导数 例1．求下列函数的导数： ① y =3x 2＋x cos x ；② y =
tan x x
； ③ y =x tan x －
2cos x
；④ y =
11+
1x
.
解析：① y ’=6x +cosx －x sin x ； ② y ’=③ y =
(tanx ) ' ⋅x -tan x ⋅(x ) '
x
2
=
x sec x -tan x
x
2
2
；
x sin x -2cos x
, ∴ y ’=
(x cos x +sin x ) ⋅cos x -(x sin x -2) ⋅(-sin x )
cos x
cos x
2
2
=④ y =
x 1+x
=1-
1x +1
sin x (cosx -2) +x
. .
, y ’=-
-1(x +1)
2
=
1(x +1)
2
例2．已知函数f (x )=x 3－7x +1，求f ’(x ) ，f ’(1)，f ’(1.5).
解析：f (x )=x 3－7x +1, ∴ y ’= f ’(x )=3x 2－7, f ’(1)=－4，f ’(1.5)=－
14
.
注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点
处的函数值．
例3．已知函数y ＝x 3＋ax 2－a 的导数为0的x 值也都使y 值为0，求常数a 的
34
值．
解析：y ’=3x 2+2ax , 令y ’=0, 则3x 2+2ax =0, x 1=0, x 2=－a ,
32
当x =0时，y =0=－a ，∴ a =0，即a ＝0满足条件,
3
4
当x =－a 时．y ＝0=-
3
2827
a +
3
49
a -
2
43
a
得a ＝0或a ＝±3
检验知a ＝±3不满足条件，
∴ 常数的值为0.
例4．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4，0) ，B (2，4) ，求① 割线AB 的斜率k AB ； ② 过点A 处的切线斜率k A ；③ 点A 处的切线方程。
解析：① 割线AB 的斜率k AB =
4-02-4
=－2；
② y ’=－2x +4，∴ y ’|x =4=－4，即k A =－4；
③ 过A 点的切线方程为y －0＝－4(x －4) ，即 y ＝－4x ＋16.
例5．已知F (x )=f (x ) ＋g (x ) ，就下列两种情形判断F (x ) 在x ＝x 0处是否可导？ ① f (x ) 在x ＝x 0处可导，g (x ) 在x ＝x 0处不可导． ② f (x ) ，g (x ) 在x ＝x 0处均不可导． 解析： ① F (k ) 在x ＝x 0处不可导．
假设F (x ) 在x ＝x 0处可导， 由F (x )=f (x ) ＋g (x ), ∴g (x ) ＝F (x ) －f (x ).
∵ f (x ) 在x ＝x 0处可导，∴ g (x ) 在x =x 0处可导，与条件g (x ) 在x ＝x 0处不可导矛盾， ∴ F (x ) 在x ＝x 0处不可导． ② F (x ) 在x ＝x 0处不一定可导． 如设 f (x )=sinx +
1x
, g (x )=cosx －, 则f (x ) ，g (x ) 在x ＝0处均不可导，
x
1x
1
但F (x )=f (x )+g (x ) ＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 另：若．g (x )=tanx +
上，在x ＝0处不可导，
2x
F (x )=f (x )+g (x )=sinx +tanx +在x ＝0处也不可导．
例6．曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点切线与直线y =4x －7平行． 解析： y ’=(x 3＋x －1)’＝3x 2＋1，
由过P 点切线与直线y ＝4x －7平行， 令3x 2＋1＝4得x ＝±1，
当x =1时，y =1，此时切线为y －1＝4(x －1) ，即y ＝4x －3与直线y ＝4x －7平行，∴ P 点坐标为(1，1) 。
当x ＝－1时，y ＝－3，此时切线为y ＋3=－3(x ＋1) ，即y ＝4x ＋1也满足条件，∴ P 点坐标为(－1，－3).
综上得P 点坐标为(1，1) 或(－1，－3).
例7．证明：过抛物线y ＝a (x －x 1)(x －x 2), (a ≠0，x 1＜x 2) 上两点A (x 1，0) ，B (x 2，0) 的切线倾斜角互补．
解析： y ’=2ax －a (x 1+ x 2).
∴ y ' |x =x =a (x 1-x 2) , 即k 1=a (x 1－x 2), y ' |x =x =a (x 2-x 1) , 即k 2=a (x 2－x 1),
1
1
∵ k 1=－k 2，∴ 两切线倾斜角互补．
例8．已知曲线y =f (x ) 及y =f (x )sin ax ，(a ≠0) ，其中f (x ) ＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切．
解析：由f (x )=f (x )sin ax , f (x )>0，∴ sin ax =1，ax =2k π+ (k ∈Z ),
2π
2k π+
π
，设曲线交点(x , y ) ， 即x =000
2k π+
a
π.
∴ x =
a
又两曲线y 1=f (x ) ，y 1’=f ’(x ) ，y 1=f (x )sin ax ，y 2’=f ’(x )sin ax +a ·cos x ·f (x )
y 1' |x =x 0=f '(x 0) , y 2' |x =x =f '(x 0) sin(2k π+
π
2
) +af (x 0) cos(2k π+
π
2
) =f '(x 0) ,
∴ k 1=k 2，即两曲线在公共点处相切.
例9．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．
解析：由y ’=3x 2－6x +2=k , 又由kx =x 3－3x 2+2x ，∴ 3x 3－6x 2+2x =x 3－3x 2+2x , 即2x 3－3x 2＝0得x 1＝0或x 2=．∴ k ＝2或－．
2
4
3
1
4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
例1．函数y ＝(sinx ) 3是由函数y ＝ ，u ＝ ，v = 三个函数复合而成．
解析：答案分别为：y =u 3, u =sinv . v =x 2. 例2．求下列函数的导数：
① y =(x +2x ) ；② y =e
2
3
5+4x
2
2
2
2
；③ y
；④ y ＝(sinx ) 3；
cos 5x sin 2x
2
1
⑤ y ＝ln(x
；⑥ y ＝x 3lig 3x ；⑦ y =；⑧ y =x n , (x ∈R +, n ∈R ).
解析：① y =(x 2+2x ) 3， y ’=3(x 2+2x ) 2·(2x +2)=6(x +1)(x 2+2x ) 2.
② y =e
5+4x
2
, y ’= e
5+4x
2
e ·(8x )=8x ·13
2
5+4x
2
.
-23
③ y
y ’=
1
(ax +bx +x )
23
·(2ax +b ).
2 ④ y =(sinx ) 3, y ’=
2
13
(sinx )
2
-
·cos x ·2x
2
⑤ y ＝ln(x
y
’=
(1+
⑥ y ＝x 3lig 3x , y ’=3x 2·lig 3x +x 3lig 3e =3x 2lig 3x +x 2lig 3e =x 2lig 3(ex 3).
x
1
⑦ y =y ’=
cos 5x sin 2x
,
=
1x
(cos5x ) '(sin2x ) -cos 5x ⋅(sin2x ) '
(sin2x )
2
-5sin 5x sin 2x -2cos 5x co s 2x
(sin2x )
2
.
⑧ y =x n =(e ln x ) n =e n ln x , y ’=e n ln x ⋅n ⋅=n ·x n =nx n -1.
x
1
说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记·
⎧(x -a ) 2(x -b ) 2例3．求函数f (x )=⎨
0⎩
a ≤x ≤b x b
的导数。
a ≤x ≤b x b
解析：f ’(x )= ⎨
⎩
⎧2(x -a )(x -b )[(x -b ) +(x -a )]
,
∴ f ’(x )= ⎨
⎩
⎧2(x -a )(x -b )(2x -a -b )
a ≤x ≤b x b
例4．若f (x )=x ＋ln(x －5) ，g (x ) ＝ln(x －1), 解不等式f ’(x )>g ’(x ).
解析：f ’(x )=1+1+
1x -5
1x -5
, g ’(x )=
(x -3)
2
1x -1
, 由f ’(x )>g (x ) ，有
>
1x -1
, 即
(x -5)(x -1)
>0, ∴ x >5或x
又两函数定义域为x >5, 所以，不等式f ’(x )>g ’(x ) 的解集为(5，＋∞).
说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域． 例5．证明：可导奇函数的导数是偶函数。 解析： 法一：定义法：
设f (x ) 为可导奇函数，则f (－x ) ＝－f (x ),
∴ f ’(－x )=lim
=lim
f (-x +∆x ) -f (-x ) ∆x
f (x -∆x ) -f (x )
-∆x
∆x →0
=lim
-[f (x -∆x ) -f (x )]
∆x
∆x →0
∆x →0
=f ’(x ).
即f ’(－x )=f ’(x ) ．∴导函数为偶函数. 法二：复合函数求导法：
设f (x ) 为可导奇函数，则f (－x ) ＝－f (x ) ，两边对x 求导 得：[f (－x )]’=－f ’(x ) 即 －f ’(－x ) ＝－f ’( x ),
∴ f ’(－x ) ＝f ’(x ) ．∴ f ’(x ) 为偶函数，即命题成立． 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数．
例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am /s ，问在b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？
解析：设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ，则R =ab ,
∴ S ＝πR2，又 R ’＝a ， ∴ S ’|R =ab =2πR·R ’(t )|R =ab =2πa2b .
即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πa2b m 2/s .
例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．(如图)
解析：设注入水t 分钟后，水深为h 米， 由相似三角形对应过之比可得水面直径为h 米，
43
这时水的体积温V =π(h ) 2·h =
3
83π64
133π64
h
3
，由于水面高
9π64
度h 随时间t 而变化，因此h 是t 的函数h ＝h (t ) ，由此可得水的体积关于时间t 的导数为V ’t ＝V ’h ·h ’t ，∴ V ’t =(
9π64
h ) ' ⋅h ' t =
3
h ⋅h ' t
2
，
由假设，注水的速度为 4米3／分． ∴ Vt ’=
h ⋅h ' t =4,
2
即h ’t =
4⨯649πh
2
,
256225π
∴ 当h ＝5米时，水面上升的速度为h ’|h =5=
5．函数的单调性和极值
(米/分).
1．求函数y ＝e x －x ＋1的单调区间
解析：y ’=(e x －x +1)’=e x －1, 由e x －1>0得x >0，即函数在(0, +∞) 上为增函数； 由e x －1
在区间(0，1) 上单调递增，在区间(1，2) 上单调递减．
解析：∵ y
’=
,
当x ∈(0，1) 时，y ’>0，∴ f (x ) 在(0，1) 上递增； 当x ∈(1，2) 时，y ’
∵ y ’=1－2cos x , x ∈(0, 2π)，由y ’>0，得单调递增；同理，由y ’
3π
5π3
π3
5π3
, 即y =f (x ) 在(,
3
π5π
3
) 内是
∴ y =f (x ) 在(0,
π3
) 和(
5π3
, 2π)内都是单调递减。
例4．设f (x )
ax (a ＞0) ，求a 的范围，使函数f (x ) 在(0，＋∞)
上是单
调函数．
解析：f ’(x
-a
，当x ∈(0, +∞) 时，
∵ a ＞0，且f (x ) 在(0，＋∞) 上是单调函数， 则必有f ’(x )
即a ≥1时，函数f (x ) 在(0，＋∞) 上是单调函数．
例5．已知函数f (x ) ＝a lg(2-ax ) (a ＞0且a ≠1) 在定义域(0，1) 上是减函数，求a 的取值范围．
解析：∵ 定义域要求2－ax >0, x
a 2
∴
2a
≥1，∴ a ≤2,
12-ax
⋅log 10e ⋅(-a ) =a
lg(2-ax )
∵ y ’=a lg(2-ax ) ⋅ln a ⋅
⋅lg a ⋅
1x -
2a
，
⎧lg a >0
⎪
由y ’
⎪x -
a ⎩⎧lg a
⎪
， 2⎨
⎪x ->0
a ⎩
2a
若 00，则x >>2与定义域x ∈(0, 1)矛盾，
a
2a
2
∴ 只有a >1，此时lga >0, x -例6．当x ＞0时，证明不等式
解析：设f (x )= 则f ’(x )=
1(1+x )
2
a
2
x 1+x
11+x
-ln(1+x ) ,
x 1+x
-ln(1+x ) =1-
-
11+x
=-
x (1+x )
2
,
当x >0时，f ’(x ) =-
x (1+x )
2
又当x ＝0时，f (0)＝0．∴ f (x )
x 1+x
-ln(1+x )
∴
x 1+x
-1=
-x 1+x
令g (x ) ＝ln(1＋x ) －x , g ’(x ) ＝
当x >0时，g ’(x )
又当x ＝0时，g (x ) ＝0，∴ g (x )
x 1+
x
例7．右图是函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的图象，试结合图形说明函数的极值情况：
解析：f ’(x )=3x 2+2x －5=(3x +5)(x －1),
令f ’(x )=0, 得x 1=－, x 2=1，
35
∴ x =－和x ＝1是f (x ) 可能的极值点，
3
5
又由图象可以看出，f (－值要小，
5
53
) 比它临近点的函数值大，f (1)比它临近点的函数
∴ f (－) ，f (1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点．
3
例8．设函数f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1与x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求f (x ) 表达式.
解析：∵ f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴ f ’(x )=3ax 2+2bx +c , x ∈(－∞, +∞) ， 由已加f (x ) 在x =一1与x ＝1时有极值． ∴ f ’(1)＝f ’(－1) ＝0， 又f (1)＝－1，
⎧3a +2b +c =0
31⎪
∴ ⎨3a -2b +c =0，解得 a =, b =0, c =－.
22⎪a +b +c =-1
⎩
∴ f (x )=x 3－x .
2
2
13
例9．已知f (x )=x 2＋c ，且g (x )=f [f (x )]=f (x 2＋1) ，设φ(x ) ＝g (x ) －λf (x ) ，问：是否存在实数λ，使φ(x ) 在(－∞，－1) 上是减函数，并且在(－1，0) 上是增函数．
解析：由f [f (x )]＝f ( x 2＋1) 得 (x 2＋c ) 2＋c ＝(x 2＋1) 2＋1，得c ＝1， ∴ φ(x ) ＝g (x ) －λf (x ) ＝x 4＋(2－λ)x 2＋(2－λ)是连续函数，
φ’(x ) ＝2x (2x 2＋2－λ)
由φ(x ) 在(－∞，－1) 上是减函数，且在(－1，0) 上是增函数， ∴ φ’(x )|x =－1=φ’(－1)=0，∴ λ=4， 即存在实数λ＝4，使φ(x ) 满足条件． 说明：本题若用函数单调性定义太繁！
6．函数的最大值和最小值
例1．求函数f (x ) ＝5x ＋
.
⎧x +3≥0
解析：由⎨得
4-x ≥0⎩
f (x ) 的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x ) 在区
间[－3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’＝f ’(x )
＝5+
11,
在[－3，4]上f ’(x ) ＞0恒成立, ∴ f (x ) 在[－3，4]上单调递增． ∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27， ∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27]. 例2．设－
2
23
2
3
, 求a , b 的值。
解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a ) ，当x 变化时，f ’(x ), f (x ) 的变化情况列表如下： 当x =0时, f (x ) 取极大值b ，而f (0)>f (a ) ，f (－1)
∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小， ∵ f (0)－f (1)＝
3212
a －1>0，∴ f (x ) 的最大值为f (0)＝b －1， (a 3－3a －2)=
32
12
又f (－1) －f (a )=
(a +1)2(a －)
32
∴ f (x )|min =f (－1) ，∴ －a －1+b =－a =
2
∴ a
3
b =1.
例3．若函数f (x ) 在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )
f (x ) x
在(0，a ]上的最大值。
f (x ) x
]' =
f '(x ) ⋅x -f (x )
x
2
解析：[，∵ f (x ) 是严格单调递增的，
f (x ) x
∴ f ’(x )>0，∵ f (x )0，∴f ’(x )·x －f (x )>0， ∴ [∴
f (x ) x f (x ) x
]' =
f '(x ) ⋅x -f (x )
x
2
>0，∴
f (a ) a
在(0，a ]上是增函数。
在(0，a ]上最大值为．
例4．设g (y ) ＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x ) ，x ∈R ， ① 求f (x ) 表达式；② 求f (x ) 最大值。
解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]，
当x ≥0时，g ’(y ) ≥0，∴ g (y ) 在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2.
当－0，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0) 上恒成立，
31
∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4
.
当x ≤－时，g ’(y ) ，g (y ) 在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x ,
3
1
∴
⎧
2
⎪1-x ⎪⎪
f (x )=⎨1-x 2+27x 4
⎪⎪2
-x -4x ⎪⎩
x ≥0-13
13
.
x ≤-
② 当x ≥0时，f (x ) ≤f (0)=1， 当x ∈(－，0) 时，f (x )=27[(x －
3131191
154
) 2－
154
2
]+1
3
1119
,
当x ≤－时， f (x ) ＝－( x ＋2) 2＋4≤f (－2) ＝4, ∵ 1
a x
3
例5．设函数f ( x ) ＝3x 2+
(x ∈(0，＋∞)) ，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，
＋∞) ，都有不等式f (x ) ＞20成立。
解析：f ’(x ) ＝6x －
a
15
3a x
4
，令f ’(x )=0得 x ＝() 5，
2
a
1
a
1
当0() 5 时f ’(x ) ＞0，
2
2
a
1
∴ x ＝() 5是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.
2
要使f (x ) ≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20, ∴ f (() 5) =3⋅() 5+
2
2
a
1
a
2
a a
() 52
3
=
5
2
2
⋅a 5≥20, 解得a ≥64.
25
例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？
解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，
∴ h =
S -2πR 2πR
12
2
, ∴ V (R ) ＝S 底面·h =
S -2πR 2πR
2
⋅πR =
2
12
SR -πR ,
2
由V ’(R )=0得
S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ，
即当罐的高和底面直径相等时容积最大．
例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b ) ，其中0＜a ＜b ．
（1）设f (x ) 在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ； （2）设A (s ，f (s )) ，B (t ，f (t )) ，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x ) 上；
（3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x ) 相切的两直线不可能垂直。
解析：（1）f ’(x ) ＝3x 2－2(a ＋b ) x +ab ，
由f (x ) 在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x ) ＝0的两实根．
∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a ) ＝3a 2－2(a ＋b ) a +ab =a (a －b )
f ’(b ) ＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x ) ＝0在(0，a ) 及(a ，b ) 内分别有一个实根，
∵ s
2(a +b ) ⎧
s +t =⎪⎪3
（2）由s ，t 是方程f ’(x ) ＝0的两根．∴ ⎨,
ab ⎪st =
⎪3⎩
∴ f (s )+f (t )=-∵ f (
s +t 2
427
(a +b ) +
) =-
3
232
ab (a +b )
3
,
13
ab (a +b ) =
12
[f (s ) +f (t )],
) =f (
a +b 32
272
(a +b ) +
∴ AB 的中点C (
s +t
，f (
s +t
)) 在曲线y =f (x ) 上.
（3）过曲线上点(x 1，y 1) 的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b ) x 1+ab ](x －x 1),
由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b ) 且切线过原点．
∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b ) x 1＋ab ], 当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ， 当x 1=
a +b 2
时，切线斜率为－
14
(a +b ) 2+ab ，
14
∵ a , b >0，a +b
14
(a +b ) 2+ab >(ab ) 2－2ab =(ab －1) 2－1≥－1
∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。
资料一 ：导数. 知识点
1．导数的概念
例1．已知曲线y
P (0, 0)，求过点P 的
切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线
PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4) 处的切线方程·
解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x ) 2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x ) 2 =4∆x ＋(∆x ) 2 ∴ k ＝lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim (4+∆x ) =4.
∆x →0
∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4) 处切线方程为y －4＝4(x －2) 即4x －y －4＝0.
例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．
2
解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t ) 2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t ) ,
∴
∆S ∆t
=2t +1+∆t
, 即(t ) =2t +1+∆t , ∴ (5)=∆t +11,
即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11) 米／秒
∴ v (t )=S ’＝lim
∆S ∆t
∆t →0
=lim (2t +1+∆t ) =2t +1
∆t →0
即v (5)＝2×5＋1＝11.
∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y
∆y ∆
x
在x =1处的导数。
解析：∆y
∆y ∆
x
-1=
, ∴
1
∴ lim
∆x →0
=lim
∆x →0
=-
2
.
例5．已知函数
1⎧2
⎪x sin f (x )=⎨x
⎪0⎩
x ≠0x =0
, 求函数f (x ) 在点x ＝0处的导数
1∆x
2
∆y =f (0+∆x ) －f (0)=(∆x ) sin 解析：由已知f (x )=0，即f (x ) 在x =0处有定义，,
∆y ∆x
=∆x ⋅sin
1∆x
, lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim ∆x ⋅sin
∆x →0
1∆x
=0, 即 f ’(0)＝0.
∴ 函数f (x ) 在x ＝0处导数为
0.
⎧12
(x +1) ⎪⎪2
例6．已知函数f (x )=⎨
⎪1(x +1) ⎪⎩2
∆y
-
x ≤1
, 判断f (x ) 在x ＝1处是否可导？
x >11
解析：f (1)=1, lim
∆x →0
∆x
=lim -∆x →0
[(1+∆x ) +1]-1
∆x 12
2
=lim -(1+
∆x →0
12
∆x ) =1,
1
∆x →0
lim +
∆y ∆x
=lim +∆x →0
(1+∆x +1) -1
∆x
=
, ∵lim
∆x →0
∆y
-
∆x
≠lim +
∆x →0
∆y ∆x
,
∴ 函数y =f (x ) 在x ＝1处不可导．
例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.
解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x ) 3+3－(2x 3+3)=6x 2·(∆x ) 2+2(∆x ) 3, ∆x +6x ·
∴
∆y ∆x
2
=6x 2+6x ·∆x +2(∆x ) , ∴ y ’=lim
∆y ∆x
∆x →0
=6x 2.
例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程
和法线方程．
解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’|x =1＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－，
61
∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－
16
( x －1) ，即 6y ＋x －31＝0.
例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？
解析：∵ y ’=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
(x +∆x ) -x
∆x
22
∆x →0
=2x ,
令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4) 处切线平行于直线y ＝4x －5. 例10．设mt ≠0，f (x ) 在x 0处可导，求下列极限值 (1) lim
f (x 0-m ∆x ) -f (x 0)
∆x
f (x 0-m ∆x ) -f (x 0)
∆x
∆x →0
； (2) lim
f (x 0+
∆x
∆x →0
t ∆x
) -f (x 0)
.
解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0) 定义中的极限形式。 (1) lim
∆x →0
=lim
f (x 0-m ∆x ) -f (x 0)
-m ∆x
∆x →0
⋅(-m ) =-m ⋅f '(x 0)
,
∆x →0） （其中－m ·
(2) lim
f (x 0+
∆x
∆x →0
t
∆x
) -f (x 0)
=lim
f (x 0+
∆x
∆x →0
) -f (x 0)
11⋅=⋅f '(x 0) .
∆x t t t
（其中∆x →0）
t
1
例11．设函数f (x ) 在x ＝1处连续，且lim
f (x ) x -1
x →1
=2
，求f ’(1).
解析：∵ f (x ) 在x ＝1处连续，∴ lim f (x ) =f (1).
x →1
而又lim f (x ) =lim (x -1) ⋅
x →1
x →1
f (x ) x -1
=lim (x -1) ⋅lim
x →1
x →1
f (x ) x -1
2=0. =0×
∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=lim
f (1+∆x ) -f (1)
∆x
∆x →0
=lim
f (x ) -f (1)
x -1
x →1
=2
（将∆x 换成x －1）
即f ’(1)＝2.
例12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0) ，通过点(1，1) ，且在点(2，－1) 处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值． 解析：由y ’＝lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
a (x +∆x ) +b (x +∆x ) +c -(ax +bx +c )
∆x
22
∆x →0
=2ax +b ,
由函数在点(2，－1) 处与直线y ＝x －3相切, ∴ 2a ×2＋b ＝1， 又函数过点(1，1) ，(2，－1), ∴ a ＋b ＋c =1， 4a ＋2b ＋c ＝－1， 由三式解得a ＝3，b ＝－11，c =9. 例13．设曲线y ＝sin x 在点A (，
6π
12
) 处切线倾斜角为θ，求tan(
∆x 2
π4
－θ) 的值. ,
∆x
解析：∵ y =sinx ，∴ ∆y =sin(x +∆x ) －sin x =2cos(x +
∆y ∆x
)sin
∆x 2
2cos(x +
∆x ∆x
) sin
∆x
=lim cos(x +∆x ) ⋅lim
∆x →0∆x →02
sin
∴ y ’=lim
∆x →0
=lim
∆x →0
=cos x .
∆x 2
即y ’＝(sinx )’＝cos x ,
令在A 点处切线斜率为k =cos=
6π
32
, ∴ tan θ=
32
, θ∈(0, π),
∴ tan(
π4
－θ)
＝
1-tan θ1+tan θ
1-==7-2
H ，
例14．设f (x ) 是定义在R 上的函数，且对任何x 1、x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1) f (x 2) ，若f (0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x ∈R ，都有f (x )=f ’(x )
解析：由f (x 1＋x 0)=f (x 1) f (x 2) ，令x 1＝x 2＝0得f (0)＝f (0)f (0), 又f (0)≠0 ∴ f (0)=1 由f ’(0)=1即lim
∴ f ’(x ) ＝
f (∆x ) -f (0)
∆x
∆x →0
=lim
f (∆x ) -1∆x
∆x →0
=1,
∆x →0
lim
f (x +∆x ) -f (x )
∆x
=lim
f (x ) f (∆x ) -f (x )
∆x
∆x →0
=f (x ) ⋅lim
f (∆x ) -1∆x
∆x →0
=f (x ) .
即f ’(x )=f (x ) 成立．
2．几种常见函数的导数
例1．已知f (x )=x 3，求f ’(x ) ，f ’(1)，(f (1))’，f ’( 0.5)
解析：f (x )=x 3, ∴ f ’(x ) ＝3x 2, f ’(1)=3, f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f (1))’=(1)’=0.
说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．
例2．已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1), B (2, 4)，求 ① 割线AB 的斜率；②在[1， 1＋∆x ]内的平均变化率；③ 过点A 处的切线斜率k AT ；④ 点A 处的切线方程．
解析：① k AB ＝② 平均变化率
4-12-1
＝3；
f (1+∆x ) -f (1)
∆x
(1+∆x ) -1
∆x
2
∆y ∆x
==
=2+∆x ,
③ y ’＝2x , ∴ y ’|x ＝1＝2. 即点A 处的切线斜率为K AT ＝2.
④ 点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1) 即2x －y －1＝0.
说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=lim
∆y ∆x
∆x →0
.
1x 11+∆x
例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =角及该点处的法线方程．
解析：解法一：f (x )=, ∆y =f (1+∆x ) －f (1)=
x 1
在点P (1，1) 处的切线倾斜
-∆x 1+∆x
-1=
,
∴ y ’|x =1=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
-11+∆x
∆x →0
=-1.
即在点P 处斜率为k ＝－1，∴ 倾斜角为135°， 法线方程y －1＝x －1即x －y ＝0. 解法(二) ：y =f (x ) ＝
1x
，y ’=f ’(x )=-
1x
2
, ∴ y ’|x =1＝－1.
即在点P 处切线斜率为k =－1，以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可． 例4．已知曲线y
P (0，0) ，求过点P 的切线方程.
解析：由y
=∴ y
’=' =
, 在x =0处导数不存在，由图形知
过P 点的切线方程是x =0. 例5．设曲线y ＝cos x 在A (，
6π
32π6
) 点处的切线倾斜角为θ，求cot(
π6
π4
－θ)的值
解析：y =cosx , y ’=－sin x , x =时, k =－sin
π4
=－
12
, ∴ tanθ=－
12
，
∴ cot(－θ)=
tan(
1
π4
=-θ)
1+tan θ1-tan θ
=
=1. 131+
2
1-
1
例6．求曲线y ＝x 3在点(3，27) 处的切线与坐标轴所围成的三角形面积． 解析：∵ y =x 3, ∴ y ’=3x 2, y ’|x =3=27,
∴ 曲线 y =x 3在点(3，27) 处的切线方程为y －27＝27(x －3), 即y ＝27x －54. 其与x 轴，y 轴交点分别为(2，0) ，(0，－54) ∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S =
12
×2×54＝54.
例7．在抛物线y ＝x 2上取横坐标为x 1＝1及x 2＝3的两点，作过这两点的割线，
问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？
解析：已知两点A (1，1) B (3，9) ，割线斜率为k AB =4,
∵ y ’＝2x ，令y ’=2x ＝4得x ＝2, 即在点(2，4) 处切线平行于这一割线．
3．函数和、差、积、商的导数 例1．求下列函数的导数： ① y =3x 2＋x cos x ；② y =
tan x x
； ③ y =x tan x －
2cos x
；④ y =
11+
1x
.
解析：① y ’=6x +cosx －x sin x ； ② y ’=③ y =
(tanx ) ' ⋅x -tan x ⋅(x ) '
x
2
=
x sec x -tan x
x
2
2
；
x sin x -2cos x
, ∴ y ’=
(x cos x +sin x ) ⋅cos x -(x sin x -2) ⋅(-sin x )
cos x
cos x
2
2
=④ y =
x 1+x
=1-
1x +1
sin x (cosx -2) +x
. .
, y ’=-
-1(x +1)
2
=
1(x +1)
2
例2．已知函数f (x )=x 3－7x +1，求f ’(x ) ，f ’(1)，f ’(1.5).
解析：f (x )=x 3－7x +1, ∴ y ’= f ’(x )=3x 2－7, f ’(1)=－4，f ’(1.5)=－
14
.
注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点
处的函数值．
例3．已知函数y ＝x 3＋ax 2－a 的导数为0的x 值也都使y 值为0，求常数a 的
34
值．
解析：y ’=3x 2+2ax , 令y ’=0, 则3x 2+2ax =0, x 1=0, x 2=－a ,
32
当x =0时，y =0=－a ，∴ a =0，即a ＝0满足条件,
3
4
当x =－a 时．y ＝0=-
3
2827
a +
3
49
a -
2
43
a
得a ＝0或a ＝±3
检验知a ＝±3不满足条件，
∴ 常数的值为0.
例4．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4，0) ，B (2，4) ，求① 割线AB 的斜率k AB ； ② 过点A 处的切线斜率k A ；③ 点A 处的切线方程。
解析：① 割线AB 的斜率k AB =
4-02-4
=－2；
② y ’=－2x +4，∴ y ’|x =4=－4，即k A =－4；
③ 过A 点的切线方程为y －0＝－4(x －4) ，即 y ＝－4x ＋16.
例5．已知F (x )=f (x ) ＋g (x ) ，就下列两种情形判断F (x ) 在x ＝x 0处是否可导？ ① f (x ) 在x ＝x 0处可导，g (x ) 在x ＝x 0处不可导． ② f (x ) ，g (x ) 在x ＝x 0处均不可导． 解析： ① F (k ) 在x ＝x 0处不可导．
假设F (x ) 在x ＝x 0处可导， 由F (x )=f (x ) ＋g (x ), ∴g (x ) ＝F (x ) －f (x ).
∵ f (x ) 在x ＝x 0处可导，∴ g (x ) 在x =x 0处可导，与条件g (x ) 在x ＝x 0处不可导矛盾， ∴ F (x ) 在x ＝x 0处不可导． ② F (x ) 在x ＝x 0处不一定可导． 如设 f (x )=sinx +
1x
, g (x )=cosx －, 则f (x ) ，g (x ) 在x ＝0处均不可导，
x
1x
1
但F (x )=f (x )+g (x ) ＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 另：若．g (x )=tanx +
上，在x ＝0处不可导，
2x
F (x )=f (x )+g (x )=sinx +tanx +在x ＝0处也不可导．
例6．曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点切线与直线y =4x －7平行． 解析： y ’=(x 3＋x －1)’＝3x 2＋1，
由过P 点切线与直线y ＝4x －7平行， 令3x 2＋1＝4得x ＝±1，
当x =1时，y =1，此时切线为y －1＝4(x －1) ，即y ＝4x －3与直线y ＝4x －7平行，∴ P 点坐标为(1，1) 。
当x ＝－1时，y ＝－3，此时切线为y ＋3=－3(x ＋1) ，即y ＝4x ＋1也满足条件，∴ P 点坐标为(－1，－3).
综上得P 点坐标为(1，1) 或(－1，－3).
例7．证明：过抛物线y ＝a (x －x 1)(x －x 2), (a ≠0，x 1＜x 2) 上两点A (x 1，0) ，B (x 2，0) 的切线倾斜角互补．
解析： y ’=2ax －a (x 1+ x 2).
∴ y ' |x =x =a (x 1-x 2) , 即k 1=a (x 1－x 2), y ' |x =x =a (x 2-x 1) , 即k 2=a (x 2－x 1),
1
1
∵ k 1=－k 2，∴ 两切线倾斜角互补．
例8．已知曲线y =f (x ) 及y =f (x )sin ax ，(a ≠0) ，其中f (x ) ＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切．
解析：由f (x )=f (x )sin ax , f (x )>0，∴ sin ax =1，ax =2k π+ (k ∈Z ),
2π
2k π+
π
，设曲线交点(x , y ) ， 即x =000
2k π+
a
π.
∴ x =
a
又两曲线y 1=f (x ) ，y 1’=f ’(x ) ，y 1=f (x )sin ax ，y 2’=f ’(x )sin ax +a ·cos x ·f (x )
y 1' |x =x 0=f '(x 0) , y 2' |x =x =f '(x 0) sin(2k π+
π
2
) +af (x 0) cos(2k π+
π
2
) =f '(x 0) ,
∴ k 1=k 2，即两曲线在公共点处相切.
例9．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．
解析：由y ’=3x 2－6x +2=k , 又由kx =x 3－3x 2+2x ，∴ 3x 3－6x 2+2x =x 3－3x 2+2x , 即2x 3－3x 2＝0得x 1＝0或x 2=．∴ k ＝2或－．
2
4
3
1
4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
例1．函数y ＝(sinx ) 3是由函数y ＝ ，u ＝ ，v = 三个函数复合而成．
解析：答案分别为：y =u 3, u =sinv . v =x 2. 例2．求下列函数的导数：
① y =(x +2x ) ；② y =e
2
3
5+4x
2
2
2
2
；③ y
；④ y ＝(sinx ) 3；
cos 5x sin 2x
2
1
⑤ y ＝ln(x
；⑥ y ＝x 3lig 3x ；⑦ y =；⑧ y =x n , (x ∈R +, n ∈R ).
解析：① y =(x 2+2x ) 3， y ’=3(x 2+2x ) 2·(2x +2)=6(x +1)(x 2+2x ) 2.
② y =e
5+4x
2
, y ’= e
5+4x
2
e ·(8x )=8x ·13
2
5+4x
2
.
-23
③ y
y ’=
1
(ax +bx +x )
23
·(2ax +b ).
2 ④ y =(sinx ) 3, y ’=
2
13
(sinx )
2
-
·cos x ·2x
2
⑤ y ＝ln(x
y
’=
(1+
⑥ y ＝x 3lig 3x , y ’=3x 2·lig 3x +x 3lig 3e =3x 2lig 3x +x 2lig 3e =x 2lig 3(ex 3).
x
1
⑦ y =y ’=
cos 5x sin 2x
,
=
1x
(cos5x ) '(sin2x ) -cos 5x ⋅(sin2x ) '
(sin2x )
2
-5sin 5x sin 2x -2cos 5x co s 2x
(sin2x )
2
.
⑧ y =x n =(e ln x ) n =e n ln x , y ’=e n ln x ⋅n ⋅=n ·x n =nx n -1.
x
1
说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记·
⎧(x -a ) 2(x -b ) 2例3．求函数f (x )=⎨
0⎩
a ≤x ≤b x b
的导数。
a ≤x ≤b x b
解析：f ’(x )= ⎨
⎩
⎧2(x -a )(x -b )[(x -b ) +(x -a )]
,
∴ f ’(x )= ⎨
⎩
⎧2(x -a )(x -b )(2x -a -b )
a ≤x ≤b x b
例4．若f (x )=x ＋ln(x －5) ，g (x ) ＝ln(x －1), 解不等式f ’(x )>g ’(x ).
解析：f ’(x )=1+1+
1x -5
1x -5
, g ’(x )=
(x -3)
2
1x -1
, 由f ’(x )>g (x ) ，有
>
1x -1
, 即
(x -5)(x -1)
>0, ∴ x >5或x
又两函数定义域为x >5, 所以，不等式f ’(x )>g ’(x ) 的解集为(5，＋∞).
说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域． 例5．证明：可导奇函数的导数是偶函数。 解析： 法一：定义法：
设f (x ) 为可导奇函数，则f (－x ) ＝－f (x ),
∴ f ’(－x )=lim
=lim
f (-x +∆x ) -f (-x ) ∆x
f (x -∆x ) -f (x )
-∆x
∆x →0
=lim
-[f (x -∆x ) -f (x )]
∆x
∆x →0
∆x →0
=f ’(x ).
即f ’(－x )=f ’(x ) ．∴导函数为偶函数. 法二：复合函数求导法：
设f (x ) 为可导奇函数，则f (－x ) ＝－f (x ) ，两边对x 求导 得：[f (－x )]’=－f ’(x ) 即 －f ’(－x ) ＝－f ’( x ),
∴ f ’(－x ) ＝f ’(x ) ．∴ f ’(x ) 为偶函数，即命题成立． 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数．
例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am /s ，问在b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？
解析：设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ，则R =ab ,
∴ S ＝πR2，又 R ’＝a ， ∴ S ’|R =ab =2πR·R ’(t )|R =ab =2πa2b .
即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πa2b m 2/s .
例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．(如图)
解析：设注入水t 分钟后，水深为h 米， 由相似三角形对应过之比可得水面直径为h 米，
43
这时水的体积温V =π(h ) 2·h =
3
83π64
133π64
h
3
，由于水面高
9π64
度h 随时间t 而变化，因此h 是t 的函数h ＝h (t ) ，由此可得水的体积关于时间t 的导数为V ’t ＝V ’h ·h ’t ，∴ V ’t =(
9π64
h ) ' ⋅h ' t =
3
h ⋅h ' t
2
，
由假设，注水的速度为 4米3／分． ∴ Vt ’=
h ⋅h ' t =4,
2
即h ’t =
4⨯649πh
2
,
256225π
∴ 当h ＝5米时，水面上升的速度为h ’|h =5=
5．函数的单调性和极值
(米/分).
1．求函数y ＝e x －x ＋1的单调区间
解析：y ’=(e x －x +1)’=e x －1, 由e x －1>0得x >0，即函数在(0, +∞) 上为增函数； 由e x －1
在区间(0，1) 上单调递增，在区间(1，2) 上单调递减．
解析：∵ y
’=
,
当x ∈(0，1) 时，y ’>0，∴ f (x ) 在(0，1) 上递增； 当x ∈(1，2) 时，y ’
∵ y ’=1－2cos x , x ∈(0, 2π)，由y ’>0，得单调递增；同理，由y ’
3π
5π3
π3
5π3
, 即y =f (x ) 在(,
3
π5π
3
) 内是
∴ y =f (x ) 在(0,
π3
) 和(
5π3
, 2π)内都是单调递减。
例4．设f (x )
ax (a ＞0) ，求a 的范围，使函数f (x ) 在(0，＋∞)
上是单
调函数．
解析：f ’(x
-a
，当x ∈(0, +∞) 时，
∵ a ＞0，且f (x ) 在(0，＋∞) 上是单调函数， 则必有f ’(x )
即a ≥1时，函数f (x ) 在(0，＋∞) 上是单调函数．
例5．已知函数f (x ) ＝a lg(2-ax ) (a ＞0且a ≠1) 在定义域(0，1) 上是减函数，求a 的取值范围．
解析：∵ 定义域要求2－ax >0, x
a 2
∴
2a
≥1，∴ a ≤2,
12-ax
⋅log 10e ⋅(-a ) =a
lg(2-ax )
∵ y ’=a lg(2-ax ) ⋅ln a ⋅
⋅lg a ⋅
1x -
2a
，
⎧lg a >0
⎪
由y ’
⎪x -
a ⎩⎧lg a
⎪
， 2⎨
⎪x ->0
a ⎩
2a
若 00，则x >>2与定义域x ∈(0, 1)矛盾，
a
2a
2
∴ 只有a >1，此时lga >0, x -例6．当x ＞0时，证明不等式
解析：设f (x )= 则f ’(x )=
1(1+x )
2
a
2
x 1+x
11+x
-ln(1+x ) ,
x 1+x
-ln(1+x ) =1-
-
11+x
=-
x (1+x )
2
,
当x >0时，f ’(x ) =-
x (1+x )
2
又当x ＝0时，f (0)＝0．∴ f (x )
x 1+x
-ln(1+x )
∴
x 1+x
-1=
-x 1+x
令g (x ) ＝ln(1＋x ) －x , g ’(x ) ＝
当x >0时，g ’(x )
又当x ＝0时，g (x ) ＝0，∴ g (x )
x 1+
x
例7．右图是函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的图象，试结合图形说明函数的极值情况：
解析：f ’(x )=3x 2+2x －5=(3x +5)(x －1),
令f ’(x )=0, 得x 1=－, x 2=1，
35
∴ x =－和x ＝1是f (x ) 可能的极值点，
3
5
又由图象可以看出，f (－值要小，
5
53
) 比它临近点的函数值大，f (1)比它临近点的函数
∴ f (－) ，f (1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点．
3
例8．设函数f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1与x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求f (x ) 表达式.
解析：∵ f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴ f ’(x )=3ax 2+2bx +c , x ∈(－∞, +∞) ， 由已加f (x ) 在x =一1与x ＝1时有极值． ∴ f ’(1)＝f ’(－1) ＝0， 又f (1)＝－1，
⎧3a +2b +c =0
31⎪
∴ ⎨3a -2b +c =0，解得 a =, b =0, c =－.
22⎪a +b +c =-1
⎩
∴ f (x )=x 3－x .
2
2
13
例9．已知f (x )=x 2＋c ，且g (x )=f [f (x )]=f (x 2＋1) ，设φ(x ) ＝g (x ) －λf (x ) ，问：是否存在实数λ，使φ(x ) 在(－∞，－1) 上是减函数，并且在(－1，0) 上是增函数．
解析：由f [f (x )]＝f ( x 2＋1) 得 (x 2＋c ) 2＋c ＝(x 2＋1) 2＋1，得c ＝1， ∴ φ(x ) ＝g (x ) －λf (x ) ＝x 4＋(2－λ)x 2＋(2－λ)是连续函数，
φ’(x ) ＝2x (2x 2＋2－λ)
由φ(x ) 在(－∞，－1) 上是减函数，且在(－1，0) 上是增函数， ∴ φ’(x )|x =－1=φ’(－1)=0，∴ λ=4， 即存在实数λ＝4，使φ(x ) 满足条件． 说明：本题若用函数单调性定义太繁！
6．函数的最大值和最小值
例1．求函数f (x ) ＝5x ＋
.
⎧x +3≥0
解析：由⎨得
4-x ≥0⎩
f (x ) 的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x ) 在区
间[－3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’＝f ’(x )
＝5+
11,
在[－3，4]上f ’(x ) ＞0恒成立, ∴ f (x ) 在[－3，4]上单调递增． ∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27， ∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27]. 例2．设－
2
23
2
3
, 求a , b 的值。
解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a ) ，当x 变化时，f ’(x ), f (x ) 的变化情况列表如下： 当x =0时, f (x ) 取极大值b ，而f (0)>f (a ) ，f (－1)
∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小， ∵ f (0)－f (1)＝
3212
a －1>0，∴ f (x ) 的最大值为f (0)＝b －1， (a 3－3a －2)=
32
12
又f (－1) －f (a )=
(a +1)2(a －)
32
∴ f (x )|min =f (－1) ，∴ －a －1+b =－a =
2
∴ a
3
b =1.
例3．若函数f (x ) 在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )
f (x ) x
在(0，a ]上的最大值。
f (x ) x
]' =
f '(x ) ⋅x -f (x )
x
2
解析：[，∵ f (x ) 是严格单调递增的，
f (x ) x
∴ f ’(x )>0，∵ f (x )0，∴f ’(x )·x －f (x )>0， ∴ [∴
f (x ) x f (x ) x
]' =
f '(x ) ⋅x -f (x )
x
2
>0，∴
f (a ) a
在(0，a ]上是增函数。
在(0，a ]上最大值为．
例4．设g (y ) ＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x ) ，x ∈R ， ① 求f (x ) 表达式；② 求f (x ) 最大值。
解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]，
当x ≥0时，g ’(y ) ≥0，∴ g (y ) 在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2.
当－0，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0) 上恒成立，
31
∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4
.
当x ≤－时，g ’(y ) ，g (y ) 在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x ,
3
1
∴
⎧
2
⎪1-x ⎪⎪
f (x )=⎨1-x 2+27x 4
⎪⎪2
-x -4x ⎪⎩
x ≥0-13
13
.
x ≤-
② 当x ≥0时，f (x ) ≤f (0)=1， 当x ∈(－，0) 时，f (x )=27[(x －
3131191
154
) 2－
154
2
]+1
3
1119
,
当x ≤－时， f (x ) ＝－( x ＋2) 2＋4≤f (－2) ＝4, ∵ 1
a x
3
例5．设函数f ( x ) ＝3x 2+
(x ∈(0，＋∞)) ，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，
＋∞) ，都有不等式f (x ) ＞20成立。
解析：f ’(x ) ＝6x －
a
15
3a x
4
，令f ’(x )=0得 x ＝() 5，
2
a
1
a
1
当0() 5 时f ’(x ) ＞0，
2
2
a
1
∴ x ＝() 5是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.
2
要使f (x ) ≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20, ∴ f (() 5) =3⋅() 5+
2
2
a
1
a
2
a a
() 52
3
=
5
2
2
⋅a 5≥20, 解得a ≥64.
25
例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？
解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，
∴ h =
S -2πR 2πR
12
2
, ∴ V (R ) ＝S 底面·h =
S -2πR 2πR
2
⋅πR =
2
12
SR -πR ,
2
由V ’(R )=0得
S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ，
即当罐的高和底面直径相等时容积最大．
例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b ) ，其中0＜a ＜b ．
（1）设f (x ) 在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ； （2）设A (s ，f (s )) ，B (t ，f (t )) ，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x ) 上；
（3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x ) 相切的两直线不可能垂直。
解析：（1）f ’(x ) ＝3x 2－2(a ＋b ) x +ab ，
由f (x ) 在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x ) ＝0的两实根．
∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a ) ＝3a 2－2(a ＋b ) a +ab =a (a －b )
f ’(b ) ＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x ) ＝0在(0，a ) 及(a ，b ) 内分别有一个实根，
∵ s
2(a +b ) ⎧
s +t =⎪⎪3
（2）由s ，t 是方程f ’(x ) ＝0的两根．∴ ⎨,
ab ⎪st =
⎪3⎩
∴ f (s )+f (t )=-∵ f (
s +t 2
427
(a +b ) +
) =-
3
232
ab (a +b )
3
,
13
ab (a +b ) =
12
[f (s ) +f (t )],
) =f (
a +b 32
272
(a +b ) +
∴ AB 的中点C (
s +t
，f (
s +t
)) 在曲线y =f (x ) 上.
（3）过曲线上点(x 1，y 1) 的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b ) x 1+ab ](x －x 1),
由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b ) 且切线过原点．
∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b ) x 1＋ab ], 当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ， 当x 1=
a +b 2
时，切线斜率为－
14
(a +b ) 2+ab ，
14
∵ a , b >0，a +b
14
(a +b ) 2+ab >(ab ) 2－2ab =(ab －1) 2－1≥－1
∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。