32
十7擞’7(2009年第10,11／1高中版)
抛物线过焦点弦的两个牲质
516007广东省惠州市第一中学陈义方志平
复习参考
在高考中抛物线的焦点弦及焦点三角形面积是解
析几何的热点之一，对于抛物线过焦点弦的弦长公式
IABI=÷争和顶点，’一
葛儿I‘暑
0连接的△01他的面积公式s△伽
一2
=_}二si一，在解决抛物线过焦点弦的问题，可避免冗长的n
a
推理和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了，从而获得事半功倍的解题效果1
1
焦点弦的两个性质性质1
(如图1)已知肚
是过抛物线y2=2芦(p>0)的焦
点的弦，且仙与舅轴的夹角为
a，0为坐标原点，则弦长D
．花。
^一
IAB
I=≠}
火i
证明’．’广=弛(p>o)的
图1
焦点，(号，o)，设AB所在直线的倾斜角为口(口≠予)，斜率I|}：t肌口，则直线衄的方程为：，，=_|}(石一号)，由
ry2=2px(p>o)，
1，，=矗(茗一号)，
得|j}2．x2-p(k2+2)善+盟4：o，
则
”铲学
’l肚l=IAFI+I
Brl=xA+号)+(
％=茗％^+茹口+p_p+p=p’—了丁一争托
妒2p(11++p=印【
古+i)=露
F南
，inS
=刍口
．．．O=a或0：霄一a，．．IA圳：2-s要in
2．
a
弘号帆=手’自{乏∽。，一蛾
t．．IABI=2p满足IABI=÷}
综上IABI=等
注(如图2)若AB是过抛物线戈2=2py(p>0)的焦点的弦，且AB与Y轴的夹角为a，0为坐标原点，则弦
长公式不变，即labI=÷}
y
5lII
q
证明。．‘菇2=2py(p>0)
l的焦点F(O，阜)，当AB上并轴
．譬，
价-站{
一
y
J
时不合题意，设AB所在直线
的倾斜角为秽(p≠要)，斜率k
图2
=tan口，则直线AB方程为：Y2缸+手
r茗2=2py(p>0)，
由i，，：k弪2。
得茗2一却h—p2=。，贝u{0．+戈x。a：=一2pp：,．
IAB
=~／，——I=h一％(一——————+髫矗)2——。—4x,$—|．厨
———。——x口—一———,／1+k2
——T
=2p(1+詹2)=鱼cos2口
又口=詈一a(如图2)岁
f
或0=詈+a(如图3)，故
时N．
IABI=心泌：。／
望
互ex)s20=急．
、i
性质2(如图4)已知
图3
肥是过抛物线广=2px(p>o)
的焦点的弦，且AB与菇轴的夹角为n，O为坐标原点，则△OAB
n2
D
．覆
的面积s△埘。2丢麓
证明。．‘y2=2px(p>O)的
火j
焦点F(等，o)，设船所在直线
图4
的倾斜角为口(口≠手)，斜率詹=tanp，则直线AB的方程
为：，，=||}(茗一号)，即缸一y一譬=o，原点到AB距离
d：崩灿心峥㈣l
复习参考
中。7擞7(2009年第lo期高中版)
33
=譬l
sin
al=譬竽，
又lAB
I=—等，
s△伽=虿1
IA曰Id=÷二sinL：a巴字=乏岳
当AB．I．x轴时，即a=詈，1orl=孚，I肚I=2p，
．s△叫=虿1
2p’号=拿，满足5△伽=≤‰
注(如图5)若AB是Y
过抛物线茗2=2py(p>0)的焦点的弦，且AB与Y轴的夹角为a，0为坐标原点，则∑．—氏△OAB的面积的公式不变，
一
驴
{
工
^2
即s△伽2丢，_(留给读者
图5
自己证明)．2性质应用
例1(2009福建卷理)过抛物线广=2芦(P>o)的
焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于P=A、B两点，若
线段AB的长为8，则——．
解。．’过抛物线，=2膨(p>o)的焦点的弦长lABI
=8，AB的倾斜角为45。，AB与茗轴的夹角a也为450，由
№|．苁得82j暑却22
点评本题也可以设出直线AB的点斜式方程，再
联立y2=2芦(p>o)，利用弦长公式IA曰I=I茗I一屯I．~／l+J}2求得P值，这比较麻烦．本题的解法充分体现了
利用性质1解题的优越性!
例2(如图6)已知直线
，，=石髫+2与抛物线茗2=8y
交于肘，Ⅳ两点，0为坐标原
点，求弦删的长及△OMN的
面积．
解‘．+抛物线石2=8y的＼焦点为(0，2)。直线y=怕z+2，o
∥
J
经过点(0，2)即过抛物线的焦点，MN的斜率为梅'．．．直线
图6
N的倾斜角为60。，则MN与Y轴的夹角为30。，
．．IMNI=条=：而sin8=，
S3l
2n
aSlnjU’
u
sAONN、¨一一
：—
2彘：u‘
a一
2上sin故弦MN长为32，AOM_r'30。-一16-．
N的面积为16．
点评本题注意观察抛物线x2=8y焦点(0，2)正好
在已知直线上，从而可直接利用性质l、性质2去解题．
例3(如图7)若0为坐
标原点，抛物线，=4x与过其
焦点，的直线交于A，启两点，
AOAB的面积为4，则弦AB的0
覆
长为．
A．4
B．8
C．16
D．18
火j
解设直线AB与石轴的夹图7
角为a，依题意
卜L
2忐P=．2
4'粕a：号，
…=盏2酉4-16…
点评性质1与性质2中的a是同一个角，故可利
用面积公式s△伽=嚣‰和弦长公式IA曰I=盎，对于
a采用设而不求的方法．即可解得弦长IAB1．
例4(如图8)设0为抛物线的顶点。，为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若
OFI=口，IPQl=6．贝4ZXOPq
。
缆
的面积为
．
解设抛物线方程为广=
火j
弛(p>0)，PQ与名轴的夹角为
图8
a，号=口却=2口．
由IPQI：÷争，得6：善}j。in：a：4Ta，
s
。删一删：盟：卑：口瓜si2
na．厢”
lN弋
点评本题是已知过焦点的弦长求面积问题，利用性质l与性质2中a是同一个角，对于口采用设而不求
的方法，即可解得ZXoPq的面积S△删．
注对于抛物线y2=一弛(p>0)和∥=一铆(p
>o)过焦点弦的弦长公式IA曰I=÷争和顶点。连接的
n2
ZXOAB的面积公式s△伽2丢‰仍然成立(其中a是弦
与抛物线对称轴的夹角)．
从以上几例我们不难发现，利用抛物线过焦点弦的两个性质去解有关问题，能降低思维强度，简化推理和运算过程，具有直观、简捷、明快的特点，解题法新颖独到．
(收稿日期：20090818)
M
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十7擞’7(2009年第10,11／1高中版)
抛物线过焦点弦的两个牲质
516007广东省惠州市第一中学陈义方志平
复习参考
在高考中抛物线的焦点弦及焦点三角形面积是解
析几何的热点之一，对于抛物线过焦点弦的弦长公式
IABI=÷争和顶点，’一
葛儿I‘暑
0连接的△01他的面积公式s△伽
一2
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推理和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了，从而获得事半功倍的解题效果1
1
焦点弦的两个性质性质1
(如图1)已知肚
是过抛物线y2=2芦(p>0)的焦
点的弦，且仙与舅轴的夹角为
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．花。
^一
IAB
I=≠}
火i
证明’．’广=弛(p>o)的
图1
焦点，(号，o)，设AB所在直线的倾斜角为口(口≠予)，斜率I|}：t肌口，则直线衄的方程为：，，=_|}(石一号)，由
ry2=2px(p>o)，
1，，=矗(茗一号)，
得|j}2．x2-p(k2+2)善+盟4：o，
则
”铲学
’l肚l=IAFI+I
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F南
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2．
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弘号帆=手’自{乏∽。，一蛾
t．．IABI=2p满足IABI=÷}
综上IABI=等
注(如图2)若AB是过抛物线戈2=2py(p>0)的焦点的弦，且AB与Y轴的夹角为a，0为坐标原点，则弦
长公式不变，即labI=÷}
y
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证明。．‘菇2=2py(p>0)
l的焦点F(O，阜)，当AB上并轴
．譬，
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J
时不合题意，设AB所在直线
的倾斜角为秽(p≠要)，斜率k
图2
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由i，，：k弪2。
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时N．
IABI=心泌：。／
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、i
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图3
肥是过抛物线广=2px(p>o)
的焦点的弦，且AB与菇轴的夹角为n，O为坐标原点，则△OAB
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火j
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为：，，=||}(茗一号)，即缸一y一譬=o，原点到AB距离
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复习参考
中。7擞7(2009年第lo期高中版)
33
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又lAB
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IA曰Id=÷二sinL：a巴字=乏岳
当AB．I．x轴时，即a=詈，1orl=孚，I肚I=2p，
．s△叫=虿1
2p’号=拿，满足5△伽=≤‰
注(如图5)若AB是Y
过抛物线茗2=2py(p>0)的焦点的弦，且AB与Y轴的夹角为a，0为坐标原点，则∑．—氏△OAB的面积的公式不变，
一
驴
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^2
即s△伽2丢，_(留给读者
图5
自己证明)．2性质应用
例1(2009福建卷理)过抛物线广=2芦(P>o)的
焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于P=A、B两点，若
线段AB的长为8，则——．
解。．’过抛物线，=2膨(p>o)的焦点的弦长lABI
=8，AB的倾斜角为45。，AB与茗轴的夹角a也为450，由
№|．苁得82j暑却22
点评本题也可以设出直线AB的点斜式方程，再
联立y2=2芦(p>o)，利用弦长公式IA曰I=I茗I一屯I．~／l+J}2求得P值，这比较麻烦．本题的解法充分体现了
利用性质1解题的优越性!
例2(如图6)已知直线
，，=石髫+2与抛物线茗2=8y
交于肘，Ⅳ两点，0为坐标原
点，求弦删的长及△OMN的
面积．
解‘．+抛物线石2=8y的＼焦点为(0，2)。直线y=怕z+2，o
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J
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图6
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2上sin故弦MN长为32，AOM_r'30。-一16-．
N的面积为16．
点评本题注意观察抛物线x2=8y焦点(0，2)正好
在已知直线上，从而可直接利用性质l、性质2去解题．
例3(如图7)若0为坐
标原点，抛物线，=4x与过其
焦点，的直线交于A，启两点，
AOAB的面积为4，则弦AB的0
覆
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A．4
B．8
C．16
D．18
火j
解设直线AB与石轴的夹图7
角为a，依题意
卜L
2忐P=．2
4'粕a：号，
…=盏2酉4-16…
点评性质1与性质2中的a是同一个角，故可利
用面积公式s△伽=嚣‰和弦长公式IA曰I=盎，对于
a采用设而不求的方法．即可解得弦长IAB1．
例4(如图8)设0为抛物线的顶点。，为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若
OFI=口，IPQl=6．贝4ZXOPq
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．
解设抛物线方程为广=
火j
弛(p>0)，PQ与名轴的夹角为
图8
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由IPQI：÷争，得6：善}j。in：a：4Ta，
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na．厢”
lN弋
点评本题是已知过焦点的弦长求面积问题，利用性质l与性质2中a是同一个角，对于口采用设而不求
的方法，即可解得ZXoPq的面积S△删．
注对于抛物线y2=一弛(p>0)和∥=一铆(p
>o)过焦点弦的弦长公式IA曰I=÷争和顶点。连接的
n2
ZXOAB的面积公式s△伽2丢‰仍然成立(其中a是弦
与抛物线对称轴的夹角)．
从以上几例我们不难发现，利用抛物线过焦点弦的两个性质去解有关问题，能降低思维强度，简化推理和运算过程，具有直观、简捷、明快的特点，解题法新颖独到．
(收稿日期：20090818)
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