运筹学案例--QSB解线性规划应用题

问题描述：

某电视机工厂生产四种型号的特用电视机：Ⅰ型——轻便黑白，Ⅱ型——正规黑白，Ⅲ型——轻便彩色，Ⅳ型——正规彩色。各型号每台所需组装时间、调试时间、销售收入以及该厂组装调试能力如表2.47所示。

表2.47

但现在显像管紧缺，每月最多只能进货180只，其中彩色显像管不超过100只。令x1、x2、

x3

、x4一次表示各型号每月计划产量。现工厂需拟定使目标总销售

收入z为最大的生产计划。

（1）写出该问题的数字模型，对于约束条件依下列次序：组装时间、调试时间、显像管数、彩色显像管数，并引入松弛变量，使之为等式。 （2）用单纯形法求解得终表如图2.48所示。

表2.48

试分别回答：

（1）最优生产是什么？是否还有其他最优生产计划？为什么？ （2）组装时间的影子价格是多少？

（3）若外厂可调剂增加80小时的调试时间，但每小时需付0.4（百元），这样

的调剂值得吗？能增加多少收入？

（4）若Ⅰ型机售价由4（百元）增加到4.5（百元），最优计划会改变吗？如果增加到5.5（百元）呢？说明理由。

（5）写出本问题的对偶模型，并指出其最优解。

解：建立模型：

由该问题，可建立如下模型：

设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型分别生产x1台、x2台、x3台、x4台，则可列出目标函数及线性约束条件： MaxZ=4x1+6x2+88x1+10x2+122x1+2x2+4

x1

x3

x3

x3

x3

+10x4

+15x4≤2000

+5x4≤500

+x2+

x3

+x4≤180

+x4≤100

≥0 （i=1、2、3、4）

x5

xi

将该模型进行标准化，则引入松弛变量MaxZ=4x1+6x2+88x1+10x2+122x1+2x2+4

x1

x3

x3

x3

x3

、

x6

、

x7

、

x8

，则变为：

+10x4

x5

+15x4+

x6

≤2000

+5x4+

x7

≤500

+x2++x4+

x3x8

+x4+

≤180

≤100

xi

≥0 （i=1、2、3、4、„„7、8）

第1步：启动子程序“Linear and Integer Programming”。

点击开始程序WinQSB Linear and Integer Programming，如下图所示。

第2步：建立新问题。

选择FileNew Program”，出现下图所示的问题选项输入界面，输入标题及变量个数8，约束条件个数4，目标函数准则（Objective Criterion）：本例目标函数选最大化。

对该模型求解可得：

由该解答可知，当x1、x2、x3、x4分别取0、125、0、50时，可获得最大利润1250（百元）。 模型分析：

（1）由模型结果可知，目标系数C1、C2、C3、C4分别在（-M 5)、（4 6.7）、（-M 8）、（10 15）时最优解不变，故没有其他最优生产计划。 （2）由表知，组装时间的影子价格为0.5

（3）若从外厂增加80小时的调试时间，则新的模型为： MaxZ=4x1+6x2+8x3+10x4-32 8x1+10x2+122x1+2x2+4

x1

x3

x3

x3

+15x4+

x6

x5

≤2000

+5x4+

x7

≤580

+x2++x4+

x3x8

+x4+

≤180

≤100

xi

≥0 （i=1、2、„„7、8）

利用WIN QSB软件对该模型求解得：

则总销售收入Z=1290-32=1258>1250,即这样调剂是值得的。能增加8（百元） （4）由表知，Ⅰ型机售价在（-M 5)间时，最优解不变，故增加到4.5（百元）时不会改变，而增加到5.5（百元）时，则会发生改变。 （5）该问题的对偶模型为：

Min w=2000y1+500y2+180y3+100y4 8y1+2y2+y3≥4 10y1+2y2+y3≥6 12y1+4y2+y3+y4≥8 15y1+5y2+y3+y4≥10

yi

≥0 （i=1、2、3、4）

利用WIN QSB软件对该模型求解得：

根据所得结果，其最优解为y1=0.5、y2=0.5、

y3

=0、y4=0

运筹学案例分析

班级：2010MBA(2)班

姓名: 学号：

问题描述：

某电视机工厂生产四种型号的特用电视机：Ⅰ型——轻便黑白，Ⅱ型——正规黑白，Ⅲ型——轻便彩色，Ⅳ型——正规彩色。各型号每台所需组装时间、调试时间、销售收入以及该厂组装调试能力如表2.47所示。

表2.47

但现在显像管紧缺，每月最多只能进货180只，其中彩色显像管不超过100只。令x1、x2、

x3

、x4一次表示各型号每月计划产量。现工厂需拟定使目标总销售

收入z为最大的生产计划。

（1）写出该问题的数字模型，对于约束条件依下列次序：组装时间、调试时间、显像管数、彩色显像管数，并引入松弛变量，使之为等式。 （2）用单纯形法求解得终表如图2.48所示。

表2.48

试分别回答：

（1）最优生产是什么？是否还有其他最优生产计划？为什么？ （2）组装时间的影子价格是多少？

（3）若外厂可调剂增加80小时的调试时间，但每小时需付0.4（百元），这样

的调剂值得吗？能增加多少收入？

（4）若Ⅰ型机售价由4（百元）增加到4.5（百元），最优计划会改变吗？如果增加到5.5（百元）呢？说明理由。

（5）写出本问题的对偶模型，并指出其最优解。

解：建立模型：

由该问题，可建立如下模型：

设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型分别生产x1台、x2台、x3台、x4台，则可列出目标函数及线性约束条件： MaxZ=4x1+6x2+88x1+10x2+122x1+2x2+4

x1

x3

x3

x3

x3

+10x4

+15x4≤2000

+5x4≤500

+x2+

x3

+x4≤180

+x4≤100

≥0 （i=1、2、3、4）

x5

xi

将该模型进行标准化，则引入松弛变量MaxZ=4x1+6x2+88x1+10x2+122x1+2x2+4

x1

x3

x3

x3

x3

、

x6

、

x7

、

x8

，则变为：

+10x4

x5

+15x4+

x6

≤2000

+5x4+

x7

≤500

+x2++x4+

x3x8

+x4+

≤180

≤100

xi

≥0 （i=1、2、3、4、„„7、8）

第1步：启动子程序“Linear and Integer Programming”。

点击开始程序WinQSB Linear and Integer Programming，如下图所示。

第2步：建立新问题。

选择FileNew Program”，出现下图所示的问题选项输入界面，输入标题及变量个数8，约束条件个数4，目标函数准则（Objective Criterion）：本例目标函数选最大化。

对该模型求解可得：

由该解答可知，当x1、x2、x3、x4分别取0、125、0、50时，可获得最大利润1250（百元）。 模型分析：

（1）由模型结果可知，目标系数C1、C2、C3、C4分别在（-M 5)、（4 6.7）、（-M 8）、（10 15）时最优解不变，故没有其他最优生产计划。 （2）由表知，组装时间的影子价格为0.5

（3）若从外厂增加80小时的调试时间，则新的模型为： MaxZ=4x1+6x2+8x3+10x4-32 8x1+10x2+122x1+2x2+4

x1

x3

x3

x3

+15x4+

x6

x5

≤2000

+5x4+

x7

≤580

+x2++x4+

x3x8

+x4+

≤180

≤100

xi

≥0 （i=1、2、„„7、8）

利用WIN QSB软件对该模型求解得：

则总销售收入Z=1290-32=1258>1250,即这样调剂是值得的。能增加8（百元） （4）由表知，Ⅰ型机售价在（-M 5)间时，最优解不变，故增加到4.5（百元）时不会改变，而增加到5.5（百元）时，则会发生改变。 （5）该问题的对偶模型为：

Min w=2000y1+500y2+180y3+100y4 8y1+2y2+y3≥4 10y1+2y2+y3≥6 12y1+4y2+y3+y4≥8 15y1+5y2+y3+y4≥10

yi

≥0 （i=1、2、3、4）

利用WIN QSB软件对该模型求解得：

根据所得结果，其最优解为y1=0.5、y2=0.5、

y3

=0、y4=0

运筹学案例分析

班级：2010MBA(2)班

姓名: 学号：