第19卷第3期2002年5月
杭州教育学院学报
JournalofHangzhouEducationalInstitute
Vol.19No.3文章编号:1008-9403(2002)03-0010-04
琴生(Jensen)不等式的应用
王新力
(浙江经济职业技术学院,浙江杭州)
摘 要:,(Jensen)不等式Λ利用凸函数或微积分
)内(sinx)″Λ(0,Π
x)″>0得到在锐角∃ABC中有tgA+tgB+tgC≥32
3Λ从而说明凸函数或函数在某
区间上二阶导数符号不变时应用琴生不等式可得到一系列不等式,为数学竞赛和初等数学构造一些不等式问题提供了理论依据Λ
关键词:凸函数;琴生不等式;二阶导数符号中图分类号:O174.13 文献标识码:A
数学竞赛和初等数学中出现的一些不等式,应用琴生不等式来证明,往往比求助于任何一般性的理论要容易得多Λ本文主要就琴生不等式在这方面的应用阐述一些简单而且有用的特别方法Λ
定义1 函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上满足:任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的上方,则称函数y=f(x)在区间[a,b]上是凸的Ζ
通常,这一定义可用下述等价的定义来代替Ζ
定义2 函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上任意两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))联线的中点
一定在曲线的中间点的上方,则称函数y=f(x)在区,f,
2222
间[a,b]上是凸的Ζ
定义2说明了函数在区间上的凸性与不等式
≥f x1,x2∈[a,b]
22的成立是等价的Ζ
利用数学归纳法,由(1)可以推出对任意x1,x2,……,xn∈[a,b]有
≥f
n
n
(1)
(2)
进一步,我们还可以得到,对一列正数Α1,Α2,…,Αn如果满足Α1+Α2+…+Αn=1则有
Α1f(x1)+Α2f(x2)+…+Αnf(xn)≥f(Α1x1+Α2x2+…+Αnxn)
收稿日期:2001212213
作者简介:王新力(1957-),男,浙江杭州人,浙江经济职业技术学院讲师,主要从事高等数学教学研究工作.
(3)
第3期王新力:琴生(Jensen)不等式的应用
11
(x)≥0或iii)因此如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足:i)是凸函数或ii)f″
f
2
≥
2
对一切x1,x2∈[a,b]成立,则对一切x1,x2,…,xn∈[a,b]有(2)及(3)成立Ζ这就是所谓的
琴生不等式Ζ
如果(1)的不等号反向,这样便得到凹函数Ζ这时同样可以得到不等号反向的(2)和(3)Ζ
琴生不等式还可以推广到多元函数Ζ如果多元函数f(x,y)对指定区域上的任意点(x1,y1)、(x2,y2)[f(x1,y1)+f(x2,y2)]≥f2
则对该区域上的一切点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)有
满足
2
,
2
(4)
n
[f(x1,y1)+f(x2,y2)+…+f(xn,yn)]≥f
,
nn
(5)
下面给出一些常用的凸函数和凹函数Ζ在[0,+∞上,23,…,x,0,
,
2
,
x
n
均为凸函数Ζ在
上,sinx,cosx,lgsinx,lgcosx2
,也可以帮助构筑这一类问题Ζ
例1 当xi,i=1,2,…,n时有
2
(i)sinx1sinx2…sinxn≤sinn;
n
(ii)cosx1cosx2…cosxn≤cosn
n
[cos(x1-x2)-cos(x1+x2)]≤[1-cos(x1+x2)]=sin2222
得:≤lgsin知lgsinx是凹函数Ζ
22
应用琴生不等式可得:≤lgsin
证:由sinx1sinx2=
nn
即sinx1sinx2…sinxn≤sinn
Ζ
n
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ
例2 在锐角∃ABC中(有不少可推广至任意三角形)有
2
证:由=sincos≤sin知sinx是凹函数Ζ
2222
应用琴生不等式可得:≤sin
33(i)sinA+sinB+sinC≤
;(ii)cosA+cosB+cosC≥
;(iii)tgA+tgB+tgC≥32
3.
即sinA+sinB+sinC≤3sin60
°=
2
Ζ
于是证得(i);(ii)和(iii)的证明是类似的Ζ
例3 在凸四边形ABCD中有
(i).sinsinsinsin≤;
22224
≤22.2222
证:由lgsinx是凹函数,应用琴生不等式可得:
+sin
+sin
+sin
(ii).sin
12
lgsin
杭 州 教 育 学 院 学 报+lgsin
2002年
=lgsin445°
22
+lgsin
2
+lgsinsin
2
≤4lgsin2sin
8
Ζ4
即
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ
sin
22
sin
2
≤
上述不等式中,诸角A,B,C等处于对称状态,我们还可以得到角为不对称状态的诸如下列的不等式Ζ例4 若2A+B+3C=Π则有
(i).2sinA+sinB+3sinC≤3; (ii).cos2AcosBcos3C≤
64
证:由sinx是凹函数,应用琴生不等式可得:
≤sin=sin
666
即
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ
2sinA+sinB+C例5 若ai>0,i=1,2,…,n,(i).
(Α1+
n
Α2+
n)
证:由
Α2
+
n
≥n2;(ii).
n
2
(Α1+2
Α2+…+2
Α≥n)
2
++…+≥
ΑΑΑΑ12n1+Α2+…+Αn
(Α++…+即≥n2.1+Α2+…+Αn)
ΑΑ12n
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ容易看出(ii)式中的ai还可以取负值Ζ
x
(x>0)是凸函数,应用琴生不等式可得:
例6 若a、b、c为任意的正数,则有
abc≥
x
abc
(a+b+c)3
a+b+c
证:利用函数f(x)=lg的凸性,在琴生不等式(3)中,取
x1=
a
,x2=
b
,x3=
c
,Α1=
,Α,Α2=3=
a+b+ca+b+ca+b+c
可以算得:
≥lga+b+c3
由此推得:
abc≥
+
abc
(a+b+c)3
n
a+b+c
.
n
例7 设ai∈R,0≤xi≤1(i=1,2,…,n)且∑ai=1,求证:
i=1
∑1+
i=1
xi
≤
an21+x1xa2…xn
a1
等号
成立当且仅当x1=x2=…=xnΖ
证:若某个xj为0,易知不等式成立Ζ
以下设0
(-∞
数,应用琴生不等式可得:
n
∑1+
i=1
e
yi
≤
aiyi
1+e∑i=1
n
第3期即
王新力:琴生(Jensen)不等式的应用
n
13
∑1+
i=1
xi
≤
a
1+x1xa22…xnn
a1
易知等号成立当且仅当y1=y2=…=yn,即x1=x2=…=xnΖ
例8 设{xi},{yi},i=1,2,…,n是正数序列,则有
x1y1+
x2y2+…+
xnyn≤
(x1+x2+…+xn)(y1+y2+…+yn)
xy
证:容易证明x1y1+x2y2≤(x1+x2)(y1+y2)对任意xi,yi>0成立,这说明f(x,y)=是二元凹函数,应用多元函数的琴生不等式可得:
n
≤
第19卷第3期2002年5月
杭州教育学院学报
JournalofHangzhouEducationalInstitute
Vol.19No.3文章编号:1008-9403(2002)03-0010-04
琴生(Jensen)不等式的应用
王新力
(浙江经济职业技术学院,浙江杭州)
摘 要:,(Jensen)不等式Λ利用凸函数或微积分
)内(sinx)″Λ(0,Π
x)″>0得到在锐角∃ABC中有tgA+tgB+tgC≥32
3Λ从而说明凸函数或函数在某
区间上二阶导数符号不变时应用琴生不等式可得到一系列不等式,为数学竞赛和初等数学构造一些不等式问题提供了理论依据Λ
关键词:凸函数;琴生不等式;二阶导数符号中图分类号:O174.13 文献标识码:A
数学竞赛和初等数学中出现的一些不等式,应用琴生不等式来证明,往往比求助于任何一般性的理论要容易得多Λ本文主要就琴生不等式在这方面的应用阐述一些简单而且有用的特别方法Λ
定义1 函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上满足:任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的上方,则称函数y=f(x)在区间[a,b]上是凸的Ζ
通常,这一定义可用下述等价的定义来代替Ζ
定义2 函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上任意两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))联线的中点
一定在曲线的中间点的上方,则称函数y=f(x)在区,f,
2222
间[a,b]上是凸的Ζ
定义2说明了函数在区间上的凸性与不等式
≥f x1,x2∈[a,b]
22的成立是等价的Ζ
利用数学归纳法,由(1)可以推出对任意x1,x2,……,xn∈[a,b]有
≥f
n
n
(1)
(2)
进一步,我们还可以得到,对一列正数Α1,Α2,…,Αn如果满足Α1+Α2+…+Αn=1则有
Α1f(x1)+Α2f(x2)+…+Αnf(xn)≥f(Α1x1+Α2x2+…+Αnxn)
收稿日期:2001212213
作者简介:王新力(1957-),男,浙江杭州人,浙江经济职业技术学院讲师,主要从事高等数学教学研究工作.
(3)
第3期王新力:琴生(Jensen)不等式的应用
11
(x)≥0或iii)因此如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足:i)是凸函数或ii)f″
f
2
≥
2
对一切x1,x2∈[a,b]成立,则对一切x1,x2,…,xn∈[a,b]有(2)及(3)成立Ζ这就是所谓的
琴生不等式Ζ
如果(1)的不等号反向,这样便得到凹函数Ζ这时同样可以得到不等号反向的(2)和(3)Ζ
琴生不等式还可以推广到多元函数Ζ如果多元函数f(x,y)对指定区域上的任意点(x1,y1)、(x2,y2)[f(x1,y1)+f(x2,y2)]≥f2
则对该区域上的一切点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)有
满足
2
,
2
(4)
n
[f(x1,y1)+f(x2,y2)+…+f(xn,yn)]≥f
,
nn
(5)
下面给出一些常用的凸函数和凹函数Ζ在[0,+∞上,23,…,x,0,
,
2
,
x
n
均为凸函数Ζ在
上,sinx,cosx,lgsinx,lgcosx2
,也可以帮助构筑这一类问题Ζ
例1 当xi,i=1,2,…,n时有
2
(i)sinx1sinx2…sinxn≤sinn;
n
(ii)cosx1cosx2…cosxn≤cosn
n
[cos(x1-x2)-cos(x1+x2)]≤[1-cos(x1+x2)]=sin2222
得:≤lgsin知lgsinx是凹函数Ζ
22
应用琴生不等式可得:≤lgsin
证:由sinx1sinx2=
nn
即sinx1sinx2…sinxn≤sinn
Ζ
n
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ
例2 在锐角∃ABC中(有不少可推广至任意三角形)有
2
证:由=sincos≤sin知sinx是凹函数Ζ
2222
应用琴生不等式可得:≤sin
33(i)sinA+sinB+sinC≤
;(ii)cosA+cosB+cosC≥
;(iii)tgA+tgB+tgC≥32
3.
即sinA+sinB+sinC≤3sin60
°=
2
Ζ
于是证得(i);(ii)和(iii)的证明是类似的Ζ
例3 在凸四边形ABCD中有
(i).sinsinsinsin≤;
22224
≤22.2222
证:由lgsinx是凹函数,应用琴生不等式可得:
+sin
+sin
+sin
(ii).sin
12
lgsin
杭 州 教 育 学 院 学 报+lgsin
2002年
=lgsin445°
22
+lgsin
2
+lgsinsin
2
≤4lgsin2sin
8
Ζ4
即
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ
sin
22
sin
2
≤
上述不等式中,诸角A,B,C等处于对称状态,我们还可以得到角为不对称状态的诸如下列的不等式Ζ例4 若2A+B+3C=Π则有
(i).2sinA+sinB+3sinC≤3; (ii).cos2AcosBcos3C≤
64
证:由sinx是凹函数,应用琴生不等式可得:
≤sin=sin
666
即
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ
2sinA+sinB+C例5 若ai>0,i=1,2,…,n,(i).
(Α1+
n
Α2+
n)
证:由
Α2
+
n
≥n2;(ii).
n
2
(Α1+2
Α2+…+2
Α≥n)
2
++…+≥
ΑΑΑΑ12n1+Α2+…+Αn
(Α++…+即≥n2.1+Α2+…+Αn)
ΑΑ12n
于是证得(i);(ii)的证明是类似的Ζ容易看出(ii)式中的ai还可以取负值Ζ
x
(x>0)是凸函数,应用琴生不等式可得:
例6 若a、b、c为任意的正数,则有
abc≥
x
abc
(a+b+c)3
a+b+c
证:利用函数f(x)=lg的凸性,在琴生不等式(3)中,取
x1=
a
,x2=
b
,x3=
c
,Α1=
,Α,Α2=3=
a+b+ca+b+ca+b+c
可以算得:
≥lga+b+c3
由此推得:
abc≥
+
abc
(a+b+c)3
n
a+b+c
.
n
例7 设ai∈R,0≤xi≤1(i=1,2,…,n)且∑ai=1,求证:
i=1
∑1+
i=1
xi
≤
an21+x1xa2…xn
a1
等号
成立当且仅当x1=x2=…=xnΖ
证:若某个xj为0,易知不等式成立Ζ
以下设0
(-∞
数,应用琴生不等式可得:
n
∑1+
i=1
e
yi
≤
aiyi
1+e∑i=1
n
第3期即
王新力:琴生(Jensen)不等式的应用
n
13
∑1+
i=1
xi
≤
a
1+x1xa22…xnn
a1
易知等号成立当且仅当y1=y2=…=yn,即x1=x2=…=xnΖ
例8 设{xi},{yi},i=1,2,…,n是正数序列,则有
x1y1+
x2y2+…+
xnyn≤
(x1+x2+…+xn)(y1+y2+…+yn)
xy
证:容易证明x1y1+x2y2≤(x1+x2)(y1+y2)对任意xi,yi>0成立,这说明f(x,y)=是二元凹函数,应用多元函数的琴生不等式可得:
n
≤