第一单元 方程
1、表示相等关系的式子叫做等式。
2、含有未知数的等式是方程。
3、方程一定是等式；等式不一定是方程。
4、等式的性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
等式的性质二：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
5、求方程中未知数的过程，叫做解方程。
解方程步骤：（1）写解；（2）=上下对齐；（3）运用等式的性质解方程；（4）注意：解完方程，要养成检验的好习惯，把求得的解代入原方程，看等号左右两边是否相等。
解方程时常用的关系式：
一个加数＝和－另一个加数 减数＝被减数－差 被减数＝减数＋差
一个因数＝积÷另一个因数 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数
6、列方程解应用题的思路：A 、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题。B 、理清题目的等量关系。
C 、设未知数，一般是把所求的数用X 表示。D 、根据等量关系列出方程E 、解方程F 、检验（把方程结果代入原题检验）G 、作答。
第二单元 确定位置
1、确定位置时，竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。
2、数对（x ，y ）第1个数表示第几列（x ），第2个数表示第几行（y ），写数对时，是先写列数，再写行数。
3、将某个点向左右平移几格，只是列（x ）上的数字发生加减变化，向左减，向右加，行（y ）上的数字不变。举例：将点（6，3）的位置向右平移2个单位后的位置是（8，3），列6+2=8；将点（6，3）的位置向左平移2个单位后的位置是（4，3），列6-2=4。
4、将某个点向上下平移几格，只是行（y ）上的数字发生加减变化，向上加，向下减，列（x ）上的数字不变。举例：将点（6，3）的位置向上平移2个单位后的位置是（6，5），行3+2=5；将点（6，3）的位置向下平移2个单位后的位置是（6，1），列3-2=1。
第三单元 公倍数和公因数
1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。
一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，
用符号[ ，]表示。几个数的公倍数也是无限的。
3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，
用符号（ ， ）。两个数的公因数也是有限的。
4、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。
5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。
6、求最大公因数和最小公倍数的方法：
倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5
素数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，（3，7）=1 一个素数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[5，8]=40，（5，8）=1 相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[9，8]=72，（9，8）=1
特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1），比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
第四单元 认识分数
1、一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。
2、在描述分数的意义时，要找准单位“1”，像1节课22小时，一根绳子长米这种分数后带单位33
名称的情况，单位“1”就是“1小时”、“1米”这样的一个计量单位；若分数后无单位，则单位1在给定的情境中寻找。
33 表示把单位“1”平均分成7份，表示这样的3份．还表示把３平7
3 吨表示把1吨平均分成7份，表示这样的3份．还表示把３吨平7
均分成７份，表示这样的１份。
14、分母越大, 分数单位越小，最大的分数单位是 。 2
5、分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
6、真分数小于１。假分数大于或等于１。真分数总是小于假分数。
34147，则女生人数是男生人数的。4和1同样长。 4355
8、分数与除法的关系：被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线。
被除数a 被除数÷除数＝如果用a 表示被除数，b 表示除数，可以写成a ÷b ＝（b ≠0） b 除数
9、能化成整数的假分数，它们的分子都是分母的倍数。反过来，分子是分母倍数的假分数，都能化成整数。（用分子除以分母）
10、分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数，通常叫做带分数。带分数是假
4311就可以看作是（就是1合成的数，写作1 ，读作一又三分3333
之一。带分数都大于真分数，同时也都大于1。
11、把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。
12、把小数化成分数的方法：如果是一位小数就写成十分之几，是两位小数就写成百分之几，是三位小数就写成千分之几，„„
13、把假分数转化成整数或带分数的方法：分子除以分母，如果分子是分母的倍数，可以化成整数；如果分子不是分母的倍数，可以化成带分数，除得的商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母不变。
14、把带分数化成假分数的方法：把整数乘分母加分子作为假分数的分子，分母不变。
看一个带分数里面有几个分数单位，通常要先把带分数转化成假分数，再看分子是几，就有几个分数单位。
15、把不是0的整数化成假分数的方法：用整数与分母相乘的积作分子。
351416而小于只有 一个。 7777
17、一些特殊分数的值：
113123 =0.75 244555
4135711 =0.375 =0.625 =0.875 =0.1 =0.0625 588881016
351111 =0.3125 =0.02 =0.01 [1**********]00
18、求一个数是（占）另一个数的几分之几，用除法列算式计算，用一个数除以另一个数，再写成分数。
19、重点题：把一袋3千克的糖果平均分给8个小朋友，每人分得这袋糖果的几分之几？是几分之几千克？
13 3÷8=（千克） 88
13答：每人分得这袋糖果的，是千克。 881÷8=
解答这类题，要看清是求分率还是求具体数量。当（ ）后不带单位时，是求分率，应想分数的意义，把总数看成单位“1”，1÷平均分成的份数=每份占总数的几分之一；如果（ ）后有单位，求具体数量时，要想除法的意义，用总数量÷平均分成的份数=每份的数量。
王阿姨用20千克花生榨了7千克油，平均每千克花生可以榨油多少千克？
7÷20=7（千克） 20
20（千克） 7平均榨1千克油要用多少千克花生？ 20÷7=
解决此类问题时，要找清平均分的总量，要求的是哪个量，就把题中哪个量当成总量去平均分。要求“平均每千克花生可以榨油多少千克”，要用“油的千克数÷花生的千克数”；
而求“平均榨1千克油要用多少千克花生”，要用“花生的千克数÷油的千克数”。
第五单元 找规律
1、单向平移求不同的和的个数规律：
方格的总个数—每次框出的个数＋1＝得到不同和的个数
2、中间的数×框出的个数＝框出的每个数的和
框出的每个数的和÷框出的个数=中间的数
（注意：有些数字的和是不能框出来的，（1）是框出的每个数的和÷框出的个数≠中间的数；（2）是虽然“框出的每个数的和÷框出的个数=中间的数”，但中间的数在边上；（3）出现有空白方格。）
第六单元 分数的基本性质
1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外), 分数的大小不变, 这是分数的基本性质。它和整数除法中的商不变规律类似。利用分数的基本性质可以对分数进行约分和通分。
2、分子和分母只有公因数1，这样的分数叫最简分数。约分时，通常要约成最简分数。
3、把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
约分方法：直接除以分子、分母的最大公因数。 例如：
4、把几个分母不同的分数（也叫做异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分过程中，相同的分母叫做这几个分数的公分母。通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。
5、分母相同的两个分数，分子大的那个比较大；分子相同的两个分数，分母小的那个比较大；分母、分子都不同的两个分数，一般先通分，再比较大小。
第七单元 统计
1、从复式折线统计图中，不仅能看出数量的多少和数量增减变化的情况，而且便于这两组相关数
据进行比较。
2、作复式折线统计图步骤：
①写标题和统计时间；
②注明图例（实线和虚线表示）；
③分别描点、标数；
④实线和虚线的区分（画线用直尺）。
注意：先画表示实线的统计图，再画虚线统计图。不能同时描点画线，以免混淆。（也可以先画虚线的统计图）
第八单元 分数加法和减法
1、计算异分母分数加减法时，要先通分，再按同分母分数加减法计算；计算结果能约分要约成最
简分数，是假分数的要化为带分数；计算后要验算。
2、分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相加，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母
的和。分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相减，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的差。举例：113+25113-21+== -== 232⨯36232⨯36
13、分母分子相差越大，分数就越接近02
分数就越接近1。举例：1518≈0，≈，≈1 101129
4、分数加、减法混合运算顺序与整数、小数加减混合运算顺序相同。没有小括号，从左往右，依
次运算；有小括号，先算小括号里的算式。
5、分数加减的简便计算：应用整数加法的加法交换律和加法结合律以及减法性质，可以使一些分
数加减运算简便。
典型题：一根绳子长
1-311米，第一次减去，第二次减去，还剩这根绳子的几分之几？ 24211311-=-= 42424
1。 4答：还剩这根绳子的
在解决分数加减法问题时，要正确区分是求分率还是具体的数量：
1、 求“一个数量是总量的几分之几”是求分率，如“还剩这根绳子的几分之几”，在求分率时，
要把总量当成单位“1”，本题要用“1”减去第一次、第二次减去的。
2、 如果求“还剩几分之几米”“还剩几分之几千克”„„是求具体的数量，我们要用题中的总量
减去用去的数量。
在解决问题的过程中，要明白具体的数量之间可以相加减，分率之间也可以相加减，但分率和具体的数量之间不可以相加减。总之，读题要仔细，在分清数量关系后再作解答。
第九单元 列方程解决实际问题
用方程解答实际问题的步骤：
找一找（关键句）
说一说（等量关系）
列一列（合理的选择未知数，根据等量关系列出方程）
解一解（利用等式的性质求解并将解代入原方程检验是否正确）
查一查（将求得的值代入题目检验）
注意书写应规范：设句中要有单位名称，求得的x 的值的后面不跟单位名称。
第十单元 圆
圆的认识
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。（以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O 表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。
圆的性质
4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r, r=d÷2）
5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径
画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径
画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。
10、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。
每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数
11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（读p ài ）表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653„„
我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14
圆的周长
12、如果用C 表示圆的周长，那么C ＝πd 或C = 2πr
13、求圆的半径或直径的方法：d = C圆÷π r= C圆÷ π÷2= C圆÷2π
14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。 C 半圆= πr ＋2r C半圆= πd ÷2＋d
15、常用的3.14的倍数：
3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.14×6＝18.84
3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96
3.14×16＝50.24 3.14×18＝56.52 3.14×24＝75.36 3.14×25＝78.5
3.14×36＝113.04 3.14×49＝153.86 3.14×64＝200.96 3.14×81=254.34
圆的面积
216、圆的面积公式：S 圆=πr 。圆的面积是半径平方的π倍。
17、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S 长方形＝S 圆）；
C 长方形的宽是圆的半径（即b ＝r ）；长方形的长是圆周长的一半（即a πr ）。即： 2
S长方形＝ a × b
↓ ↓
S 圆 ＝ πr × r
2 ＝ πr
2S 圆 ＝ π r
注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C 长方形＝2πr ＋2r=C圆＋d
18、半圆的面积是圆面积的一半。S 半圆＝πr ÷2
19、大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，
2 面积的倍数＝半径的倍数
20、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
21、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配律进行简便计算。 S圆环=πR -πr =π（Ｒ－r ）
22、常用的平方数：11＝121 12＝144 13＝169 14＝196 15＝225
22222 16＝256 17＝289 18＝324 19＝361 20＝400
2222222222
第一单元 方程
1、表示相等关系的式子叫做等式。
2、含有未知数的等式是方程。
3、方程一定是等式；等式不一定是方程。
4、等式的性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
等式的性质二：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
5、求方程中未知数的过程，叫做解方程。
解方程步骤：（1）写解；（2）=上下对齐；（3）运用等式的性质解方程；（4）注意：解完方程，要养成检验的好习惯，把求得的解代入原方程，看等号左右两边是否相等。
解方程时常用的关系式：
一个加数＝和－另一个加数 减数＝被减数－差 被减数＝减数＋差
一个因数＝积÷另一个因数 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数
6、列方程解应用题的思路：A 、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题。B 、理清题目的等量关系。
C 、设未知数，一般是把所求的数用X 表示。D 、根据等量关系列出方程E 、解方程F 、检验（把方程结果代入原题检验）G 、作答。
第二单元 确定位置
1、确定位置时，竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。
2、数对（x ，y ）第1个数表示第几列（x ），第2个数表示第几行（y ），写数对时，是先写列数，再写行数。
3、将某个点向左右平移几格，只是列（x ）上的数字发生加减变化，向左减，向右加，行（y ）上的数字不变。举例：将点（6，3）的位置向右平移2个单位后的位置是（8，3），列6+2=8；将点（6，3）的位置向左平移2个单位后的位置是（4，3），列6-2=4。
4、将某个点向上下平移几格，只是行（y ）上的数字发生加减变化，向上加，向下减，列（x ）上的数字不变。举例：将点（6，3）的位置向上平移2个单位后的位置是（6，5），行3+2=5；将点（6，3）的位置向下平移2个单位后的位置是（6，1），列3-2=1。
第三单元 公倍数和公因数
1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。
一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，
用符号[ ，]表示。几个数的公倍数也是无限的。
3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，
用符号（ ， ）。两个数的公因数也是有限的。
4、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。
5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。
6、求最大公因数和最小公倍数的方法：
倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5
素数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，（3，7）=1 一个素数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[5，8]=40，（5，8）=1 相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[9，8]=72，（9，8）=1
特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1），比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
第四单元 认识分数
1、一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。
2、在描述分数的意义时，要找准单位“1”，像1节课22小时，一根绳子长米这种分数后带单位33
名称的情况，单位“1”就是“1小时”、“1米”这样的一个计量单位；若分数后无单位，则单位1在给定的情境中寻找。
33 表示把单位“1”平均分成7份，表示这样的3份．还表示把３平7
3 吨表示把1吨平均分成7份，表示这样的3份．还表示把３吨平7
均分成７份，表示这样的１份。
14、分母越大, 分数单位越小，最大的分数单位是 。 2
5、分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
6、真分数小于１。假分数大于或等于１。真分数总是小于假分数。
34147，则女生人数是男生人数的。4和1同样长。 4355
8、分数与除法的关系：被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线。
被除数a 被除数÷除数＝如果用a 表示被除数，b 表示除数，可以写成a ÷b ＝（b ≠0） b 除数
9、能化成整数的假分数，它们的分子都是分母的倍数。反过来，分子是分母倍数的假分数，都能化成整数。（用分子除以分母）
10、分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数，通常叫做带分数。带分数是假
4311就可以看作是（就是1合成的数，写作1 ，读作一又三分3333
之一。带分数都大于真分数，同时也都大于1。
11、把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。
12、把小数化成分数的方法：如果是一位小数就写成十分之几，是两位小数就写成百分之几，是三位小数就写成千分之几，„„
13、把假分数转化成整数或带分数的方法：分子除以分母，如果分子是分母的倍数，可以化成整数；如果分子不是分母的倍数，可以化成带分数，除得的商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母不变。
14、把带分数化成假分数的方法：把整数乘分母加分子作为假分数的分子，分母不变。
看一个带分数里面有几个分数单位，通常要先把带分数转化成假分数，再看分子是几，就有几个分数单位。
15、把不是0的整数化成假分数的方法：用整数与分母相乘的积作分子。
351416而小于只有 一个。 7777
17、一些特殊分数的值：
113123 =0.75 244555
4135711 =0.375 =0.625 =0.875 =0.1 =0.0625 588881016
351111 =0.3125 =0.02 =0.01 [1**********]00
18、求一个数是（占）另一个数的几分之几，用除法列算式计算，用一个数除以另一个数，再写成分数。
19、重点题：把一袋3千克的糖果平均分给8个小朋友，每人分得这袋糖果的几分之几？是几分之几千克？
13 3÷8=（千克） 88
13答：每人分得这袋糖果的，是千克。 881÷8=
解答这类题，要看清是求分率还是求具体数量。当（ ）后不带单位时，是求分率，应想分数的意义，把总数看成单位“1”，1÷平均分成的份数=每份占总数的几分之一；如果（ ）后有单位，求具体数量时，要想除法的意义，用总数量÷平均分成的份数=每份的数量。
王阿姨用20千克花生榨了7千克油，平均每千克花生可以榨油多少千克？
7÷20=7（千克） 20
20（千克） 7平均榨1千克油要用多少千克花生？ 20÷7=
解决此类问题时，要找清平均分的总量，要求的是哪个量，就把题中哪个量当成总量去平均分。要求“平均每千克花生可以榨油多少千克”，要用“油的千克数÷花生的千克数”；
而求“平均榨1千克油要用多少千克花生”，要用“花生的千克数÷油的千克数”。
第五单元 找规律
1、单向平移求不同的和的个数规律：
方格的总个数—每次框出的个数＋1＝得到不同和的个数
2、中间的数×框出的个数＝框出的每个数的和
框出的每个数的和÷框出的个数=中间的数
（注意：有些数字的和是不能框出来的，（1）是框出的每个数的和÷框出的个数≠中间的数；（2）是虽然“框出的每个数的和÷框出的个数=中间的数”，但中间的数在边上；（3）出现有空白方格。）
第六单元 分数的基本性质
1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外), 分数的大小不变, 这是分数的基本性质。它和整数除法中的商不变规律类似。利用分数的基本性质可以对分数进行约分和通分。
2、分子和分母只有公因数1，这样的分数叫最简分数。约分时，通常要约成最简分数。
3、把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
约分方法：直接除以分子、分母的最大公因数。 例如：
4、把几个分母不同的分数（也叫做异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分过程中，相同的分母叫做这几个分数的公分母。通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。
5、分母相同的两个分数，分子大的那个比较大；分子相同的两个分数，分母小的那个比较大；分母、分子都不同的两个分数，一般先通分，再比较大小。
第七单元 统计
1、从复式折线统计图中，不仅能看出数量的多少和数量增减变化的情况，而且便于这两组相关数
据进行比较。
2、作复式折线统计图步骤：
①写标题和统计时间；
②注明图例（实线和虚线表示）；
③分别描点、标数；
④实线和虚线的区分（画线用直尺）。
注意：先画表示实线的统计图，再画虚线统计图。不能同时描点画线，以免混淆。（也可以先画虚线的统计图）
第八单元 分数加法和减法
1、计算异分母分数加减法时，要先通分，再按同分母分数加减法计算；计算结果能约分要约成最
简分数，是假分数的要化为带分数；计算后要验算。
2、分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相加，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母
的和。分母的最大公因数是1，分子都是1的分数相减，得数的分母是两个分母的积，分子是两个分母的差。举例：113+25113-21+== -== 232⨯36232⨯36
13、分母分子相差越大，分数就越接近02
分数就越接近1。举例：1518≈0，≈，≈1 101129
4、分数加、减法混合运算顺序与整数、小数加减混合运算顺序相同。没有小括号，从左往右，依
次运算；有小括号，先算小括号里的算式。
5、分数加减的简便计算：应用整数加法的加法交换律和加法结合律以及减法性质，可以使一些分
数加减运算简便。
典型题：一根绳子长
1-311米，第一次减去，第二次减去，还剩这根绳子的几分之几？ 24211311-=-= 42424
1。 4答：还剩这根绳子的
在解决分数加减法问题时，要正确区分是求分率还是具体的数量：
1、 求“一个数量是总量的几分之几”是求分率，如“还剩这根绳子的几分之几”，在求分率时，
要把总量当成单位“1”，本题要用“1”减去第一次、第二次减去的。
2、 如果求“还剩几分之几米”“还剩几分之几千克”„„是求具体的数量，我们要用题中的总量
减去用去的数量。
在解决问题的过程中，要明白具体的数量之间可以相加减，分率之间也可以相加减，但分率和具体的数量之间不可以相加减。总之，读题要仔细，在分清数量关系后再作解答。
第九单元 列方程解决实际问题
用方程解答实际问题的步骤：
找一找（关键句）
说一说（等量关系）
列一列（合理的选择未知数，根据等量关系列出方程）
解一解（利用等式的性质求解并将解代入原方程检验是否正确）
查一查（将求得的值代入题目检验）
注意书写应规范：设句中要有单位名称，求得的x 的值的后面不跟单位名称。
第十单元 圆
圆的认识
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。（以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O 表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。
圆的性质
4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r, r=d÷2）
5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径
画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径
画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。
10、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。
每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数
11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（读p ài ）表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653„„
我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14
圆的周长
12、如果用C 表示圆的周长，那么C ＝πd 或C = 2πr
13、求圆的半径或直径的方法：d = C圆÷π r= C圆÷ π÷2= C圆÷2π
14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。 C 半圆= πr ＋2r C半圆= πd ÷2＋d
15、常用的3.14的倍数：
3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.14×6＝18.84
3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96
3.14×16＝50.24 3.14×18＝56.52 3.14×24＝75.36 3.14×25＝78.5
3.14×36＝113.04 3.14×49＝153.86 3.14×64＝200.96 3.14×81=254.34
圆的面积
216、圆的面积公式：S 圆=πr 。圆的面积是半径平方的π倍。
17、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S 长方形＝S 圆）；
C 长方形的宽是圆的半径（即b ＝r ）；长方形的长是圆周长的一半（即a πr ）。即： 2
S长方形＝ a × b
↓ ↓
S 圆 ＝ πr × r
2 ＝ πr
2S 圆 ＝ π r
注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C 长方形＝2πr ＋2r=C圆＋d
18、半圆的面积是圆面积的一半。S 半圆＝πr ÷2
19、大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，
2 面积的倍数＝半径的倍数
20、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
21、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配律进行简便计算。 S圆环=πR -πr =π（Ｒ－r ）
22、常用的平方数：11＝121 12＝144 13＝169 14＝196 15＝225
22222 16＝256 17＝289 18＝324 19＝361 20＝400
2222222222