中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考
数学（理）试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第I 卷选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合A={x|-2015≤x
11π
sin2x+tan cos2x 的最小正周期为( ) 223
π
B. π C ．2π D. 4π 3
3．已知复数z 满足(2+i)z =l+2i+3i2 +4i3（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是( ) A ．
62626262
+i B ．-i . C ．- +i . D ．一-i 55555555
4．“C=5”是“点(2，1) 到直线3x+4y十C=0的距离为3”的( )
A ．充要条件 B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知S n 为等差数列{an }的前n 项和，若S 3+S7= 37，则19a 3+a 11=( ) A ．47 B. 73 C. 37 D. 74
x 2y 2
6．过双曲线2-2=1（a>0，b>0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐姬警雾于彳，曰两
a b
点，若△OAB
，则双曲线的离心率为( ) A.
B ．
C.
D.
3
7．菜市中心购物商场在“双l1”开展的“买三免一”促销
活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行 统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所 示．已知12：00时至16：00时的销售额为90万 元，则10时至12时的销售额为( ) A. 120万元 B. 100万元 C. 80万元 D ．60万元
uu u r uu u r
8．如图，在直角梯形ABCD 中．AB=2AD=2DC，E 为BC 边上一点，BC =3EC ，
F
uu u r
为AE 中点，则BF =( )
u r 1uuu r 2uu
A ．AB -AD
33u r 2uuu r 1uu
B ．AB -AD
33
u r 1uuu r 2uu
C ．-AB +AD
33u r 2uuu r 1uu
D ．-AB +AD
33
9．运行如图所示的程序，若输入x 的值为256，则输出的y 值 是( ) ，
A ．3 B. -3
11 D. - 331155
10. 已知（(+ax ) -(+bx ) 的展开式中含x 2与x 3的项的系
a b
C.
绝对值之比为1:6，则a 2 +b2的最小值为( )
A. 6 B. 9 C. 12 D ．18
11. 如图ABCD -A1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S- ABCD是
高为l 的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C l ，D 1在同一个球面上，则该 球的表面积为( )
925π B ．π
1616
4981π D ．π C ． 1616
A ．
12. 在数列{an }中，a 1=3, an
）
A ．数列{an }单调递减 B ．数列{an }单调递增
C ．数列{an }先递减后递增 D ．数列{an }先递增后递减
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数f(x)=(9x +1)·9kx (k∈R) 为偶函数，则实数k 的值为
14. 已知直线l ：y=kx+t号圆：x 2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C ：x 2 =4y交于不同的两点M ，N ，则
实数t 的取值范围是____．
⎧y ≤2
1x 7⎪
15．设x ，y 满足不等式⎨x +y ≥1x+y≥1，若M=3x+y，N=() -，则M-N 的最小值为
22⎪x -y ≤1
⎩
16．已知函数f(x)= cos2x +asinx在区间(0，n π) (n∈N*)内恰有9个零点，则实数
a
的值为．
三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考 生根据要求作答，本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分12分）
在△ABC 中，已知a ，b, c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(1)求角A 的大小;
(2)若a=2，求△ABC 的周长的取值范围．
18. （本小题满分12分）
新生儿Apgar 评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、 心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新 生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7-10 分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机制取了16名，以下表格记录了他们 的评分情况．
cos A a
=-． cos C 2b +c
(1)现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率：
(2)以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿中任选3名， 记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X 的分布列及数学期望．
19. （本小题满分12分），
如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 1E 分别为BB 1和CC 1的 中点，AF ⊥平面A 1DE ，其垂足F 落在直线A 1D 上． (1)求证：BC ⊥A 1D; (2)若A 1
AB=BC=3,求二面角C l -A 1D-E 的平面 角的余弦值．
20. （本小题满分12分）
x 2y 2b
已知Q 为椭圆C ：2+2=1 (a>b>0)的上顶点，
P () 是C 上的一点，
a b 33
以PQ 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．
(1)求椭圆C 的方程： (2)若直线l ：y=kx+m（|k|
≤
）与椭圆C 相交于A ，B 两点，M 为椭圆C 上任意 2
一点，且线段OM 的中点与线段AB 的中点重合，求|OM|的取值范围．
21. （本小题满分12分）
已知函数f (x)=
a
+lnx． x
3
，求a 的值； 2
ln x F (x ) e +1
(2)当a=1时，设F(x)=f(x)+1+，求证：当x>l时，x -1>x ．
x 2e xe +1
(1)若函数f(x）在区间[1，e]上的最小值是
【选考题】
请从下面所给的22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，已知D 为以AB 为斜边的Rt △ABC 的外接圆O 上一点，CE ⊥AB ，BD 交AC ， CE 的交点分别为F ，G ，且G 为BF 中点， (1)求证：BC=CD；
(2)过点C 作圆O 的切线交AD 延长线于点H ， 若AB=4，DH =1，求AD 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4-4:极坐标与参数方程选讲】
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点D 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．己知
直线l ：ρ=一
⎧x =3+5cos a 6
，曲线C ：⎨（a 为参数）．
3cos θ+4sin θ⎩y =5+5sin a
(l)将直线l 化成直角方程，将曲线C 化成极坐标方程：
(2)若将直线，向上平移m 个单位后与曲线C 相切，求m 的值
24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f(x）= 2|x-1|-a，g(x)= -|2x+m|,a，m ∈R ，若关于x 的不等式g(x)≥-1 的整数解有且仅有一个值为-3． (l)求整数m 的值： (2)若函数y=f(x)的图象恒在函数y=
1
g(x)的上方，求实数a 的取值范围． 2
中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考
理科数学答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．【答案】A
【解析】∵
B ={x 0≤2016-x
，
∴A I B =2．【答案】B
{x 2015
2π1π
T ==πf (x ) =sin 2x +2x =sin(2x +)
2223，所以最小正周期【解析】因为，故选
B ．
3．【答案】C
【解析】由1+2i +3i +4i =-2-2i ，
2
3
z =-
得4．【答案】B
2+2i (2+2i )(2-i ) 6+2i 6262=-=-=--i -+i
2+i (2+i )(2-i ) 555，则z 的共轭复数是55，故选C ．
【解析】由题意知点(2,1)到直线3x +4y +C =0的距离为3
=3
，解
得C =5或C =-25，所以“C =5”是“点(2,1)到直线3x +4y +C =0的距离为3”的充分
不必要条件，故选B ． 5．【答案】D 【解析】由6．【答案】D
【解析】由题意，得x =c 代入
S 3+S 7=37，得(3a 1+3d ) +(7a 1+21d ) =37，整理，得10a 1+24d =37，于是
19a 3+a 11＝19(a 1+2d ) +(a 1+10d ) =2(10a 1+24d ) =74，故选D ．
y =±
b bc bc 12bc x A (c , ), B (c , -) ⨯⨯c =a ，a a ，
a ，
得交点则2
c =
3，故选D ． 整理，得a
7．【答案】D
90
=200
0.100+0.125⨯2【解析】该商场11月11日8时至22时的总销售额为万元，所以10
时至12时的销售额为
8．【答案】C
200⨯(0.150⨯2)=60
万元，故选D ．
【解析】取AB 的中点G ，连结DG ，CG ，则D G B ，C 所以
1
B C =G =D A -D A =-A D A B
2，∴
2 2 2 2
AB +AD AE =AB +BE =AB +BC =AB +(AD -AB )
3332＝3，于是BF =AF -AB
12 2 1 1 2 AE -AB (AB +AD ) -AB =-AB +AD
333＝2＝23，故选C ．
1
9．【答案】C
【解析】根据程序框图及条件可知x =256>2→x =8>2→x =3>2→
1log 21log 231-log 23
y =() =2=23=
23，故选C ．
x =log 23
10．【答案】C
1110(b -a ) 21322132
(+ax ) 5-(+bx ) 5C () a -C () b =552
x a b a b ab 【解析】的展开式中含项的系数为，
10(b -a )
1ab 31233123=C 5() a -C 5() b =10(a -b ) 36，即a b 含x 的项的系数为，则由题意，得a -b )
2222
|ab |=6，则a +b =|a |+|b |≥2|ab |=12，故选C ．
11．【答案】D
【解析】按如图所示作辅助线，O 为球心，设
OG 1=x ，则OB 1=SO =2-x ，同时由正方体
(2-x ) 2=x 2+2222
2，则在Rt ∆OB 1G 1中，OB 1=G 1B 1+
OG 1，即2，的性质知
7981x =R =OB 1=S =4πR 2=π8，所以球的半径8，所以球的表面积为16，故选D ．
解得
B 1G 1=
12．【答案】A
22a =3, a =a >0a =a +2a =a n +2 ②．1n n n n -1n 【解析】
由知， ①，则有+1由22a -a =a n -a n -1，即(a n +1+a n )(a n +1-a n ) =a n -a n -1．∵a n >0，∴a n +1-a n 与n +1n ②-①得
a n -
a n -1同号．由a 2-a 1=3单调递减，故选A ．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
1
13
2-
14．【答案】
t +1
【解析】因为直线与圆相切，所以 +k
2
=1⇒k 2=t 2+2t
．又把直线方程代入抛物线方
222∆=16k +16t =16(t +2t ) +16t >0，得 t >0或x -4kx -4t =0程并整理得，于是由
t
1
15．【答案】2
【解析】作出满足不等式的平面区域，如图所示，当直线3x +y -M =0经过点A (-1, 2) 时目
17
N =() x -
22在x =-1标函数M =3x +y 取得最小值－1．又由平面区域知-1≤x ≤3，则函数
331--1-(-) =
22．
时，N 取得最大值2，由此可知M -N 的最小值为
16．【答案】a =±1
=【解析】由f (x )
g (x ) =
22s i x -n
a
0x +2a s =x i n ，即2s 2i x n -a s -x i n ．1=0，得c o s 设
2
s -x i n 1g (x ) =2t -a t -1．t =s i n x ，令，则考察x ∈(0,2π) 的函数g (x )
2
的零点个数，即如下图所示为t =sin x ，x ∈(0,2π) 的图象，易知：（1）方程2t -at -1=0的
一个根为1，另一个根为(-1,0) 时，g (x ) 在(0,2π) 内有三个零点，此时
⎧2⨯1-a ⨯1-1=0⎨222⨯(-1) -a ⨯(-1) -1>0a =1；⎩，解得（1）方程2t -at -1=0的一个根为－1，另一个根
⎧2⨯(-1) 2-a ⨯(-1) -1=0
⎨
(0,1)为时，g (x ) 在(0,2π) 内有三个零点，此时⎩2⨯1-a ⨯1-1>0，解得a =-1．综
9=3
f (x ) =cos 2x +a sin x (0,2π) 上可知当a =±1时，在内有3个解．再由3可知，
n =2⨯3=6．综上可知a =±1，n =6．
三、解答题 （第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【答案】（1）120︒；（2
）
(4,2+
3．
cos A sin A
=-
2sin B +sin C ， 【解析】（1）由正弦定理，得cos C
∴2cos A sin B +cos A sin C +sin A cos C =0，则2cos A sin B +sin(A +C ) =0．
∵A +B +C =π，∴sin(A +C ) =sin B ，∴2cos A sin B +sin B =0． ∵sin B ≠0，∴
cos A =-
1
2，∴A =120︒．„„„„„5分
b c a ===
，„„„„„6分
（2
）由正弦定理，得sin B sin C sin A
b +c =B +sin C ) =B +sin(60︒-B )]
33∴
B +sin 60︒cos B -cos60︒sin B ) ＝„„„„„8分
1sin B +B ) =B +60︒)
23＝32．„„„„„9分
∵A =120︒，∴B ∈(0︒,60︒) ，∴B +60︒∈(60︒,120︒
) ，∴
sin(B +60︒) ∈，
a +b +c ∈(4,2+∆
ABC 3，故3．„„„„„12分 ∴的周长
121
18．【答案】（1）140；（2）分布列见解析；0.75．
b +c ∈(2,
【解析】（1）设
A i 表示所抽取3名中有i 名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9
分记为事件A ，则
312
C 12C 4C 121
P (A )=P (A 0) +P (A 1)=3+312=
C 16C 16140．„„„„„5分
41
=
（2）由表格数据知，从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为164，„„„
6分
则由题意知X 的可能取值为0，1，2，3．
327P (X =0)=() 3=
464； 113227
P (X =1)=C1() () =3
4464；
921231
P (X =2)=C3() () =
4464； 131
P (X =3)=C33() =
464．„„„„„9分
所以X 的分布列为
„„„„„10分
E (X)=0⨯
由表格得
272791
+1⨯+2⨯+3⨯=0.7564646464．
1
E (X)=3⨯=0.75
4（或）„„„„„12分
19．【答案】（1）见解析；（2）17．
ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，
【解析】（1）∵在直三棱柱
又∵BC ⊂平面ABC ，∴
AA 1⊥BC ．„„„„„„„„2分
1DE ，DE ⊂平面ADE ，∴AF ⊥DE ． 又∵AF ⊥平面A
又∵D , E 分别为BB 1和CC 1的中点，∴DE BC ，∴AF ⊥BC ．„„„„„„„„4分
AA 1⊂平面AA 1B 1B ，AF ⊂平面AA 1B 1B ，且AA 1 AF =A ，
AA B B ∴BC ⊥平面11．
而又∵
A 1D ⊂平面AA 1B 1B
，∴BC ⊥A 1D ．„„„„„„„„5分
AA B B AA B B （2）由（1）知BC ⊥平面11，AB ⊂平面11，从而BC ⊥AB ，如图，以B 为原
点建立空间直角坐标系B -xyz
．„„„„„„„„6分
A B =B 1C 1=DE =3，
∵AB
=BC =3，∴11
C 1E ==2Rt ∆A B D ≅Rt ∆C DE C D 1111则由，知，
C (3,0,4)，A 1(0,3,4)，DA 1=(0,3,2)，DC 1=(3,0,2)，
则D (0,0,2)，E (3,0,2) ，1
DE =(3,0,0)．„„„„„„„„7分
A 1DC 1的一个法向量n 1=(x , y , z ) ，则 ⎧⎪n 1 DA 1=0⎧3y +2z =0 ⎨ ⎨n DC =0⎩11由⎪，得⎩3x +2z =0，取z =3，可得n 1=(-2, -2,3) ．„„„„„„„„9分
设平面设平面
A 1DE 的一个法向量n 2=(x , y , z ) ，则
⎧⎪n 2 DA 1=0⎧3y +2z =0 ⎨ ⎨
⎩n 2 DE =0，得⎩3x =0由⎪，取z =3，可得n 2=(0,-2,3) ，„„„„„„„„11分
n 1⋅n 2cos n 1, n 2==
n 1n 2
∴
，
∴二面角P -A 1
B -C 平面角的余弦值是．„„„„„„„„12分
x 2y 2
+=1220．【答案】（1）4；（2
）．
⎛b ⎫ b P
⎪ ⎪FP =(-c , ) 33⎭FQ =(-c , b ) F (c ,0)Q (0, b
)⎝33【解析】（1）因为，，，，，
b c 2-c +=0FP =0，则33由题设可知FQ
①„„„„„„„„2分
32b 2
+2=122222
C 9a 9b P 又点在椭圆上，∴，解得a =4，所以b +c =a =4 ②
2
①②联立解得，c =2，b =2，
2
2
x 2y 2
+=12故所求椭圆的方程为4．„„„„„„„„5分
(x , y ) （2）设A , B , M 三点的坐标分别为11，(x 2, y 2) ，(x 0, y 0) ，
22
⎧⎪x 1+2y 1=4(1)⎨22x +2y (2)⎪A , B 2=4由两点在椭圆C 上，则⎩2，则
(x +x 2)(x 1-x 2) +2(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0 （3）
由（1）－（2），得1．
⎧x 1+x 2=x 0(4)⎨
y +y 2=y 0(5)．
由线段OM 的中点与线段AB 的中点重合，则⎩1
y -y k =21
x 2-x 1，即y 2-y 1=k (x 2-x 1) （6）„„„„„„„„8分 又
把（4）（5）（6）代入（3）整理，得
x 0=-2ky 0，
⎧⎪x 0=-2ky 0
22⎨2222y =⎪x +2y 0=4，得x 0=4-2y 0，02k 2+1，
于是由⎩0
2222
|OM |2=x 0+y 0=4-y 0=4-2
2k +1．„„„„„„„„10分
所以
因为
|k |≤
21≤≤2
2k 2+12，所以1≤2k 2+1≤2，有，
2
所以2≤|OM |≤3，即|OM
|的取值范围为．„„„„„„„„12分
21．【答案】（1
（2）见解析．
f '(x ) =
【解析】（1）因 为
x -a
x 2，且x ∈[1, e ]，则
1, e ①当a ≤1时，f '(x ) ≥0，函数f (x ) 单调递增，其最小值为f (1)=a ≤1，这与函数在[]上
3
的最小值是2相矛盾；
②当10，单
调递增，
∴函数f (x ) 的最小值为
f (a ) =ln a +1=
3
2，得a =
1, e ③当a ≥e 时，f '(x ) ≤0，函数f (x ) 在[]上单调递减，其最小值为
3
最小值是2相矛盾．
综上所述，a
5分
f (e ) =1+
a ≥2e ，与
F (x ) e +1F (x ) 2e x -1
>x >x x -1
xe +1，即证e +1xe +1，„„„„„„„„6分 （2）要证2e
1ln x 111-ln x x -ln x
F (x ) =1++ln x +F '(x ) =-2++=2
x x x x x x 2，„„„„7分 当a =1时，，
1x -1
'x ）ϕ（=1-=
（x ) =x -ln x ，则x x ， 令ϕ
当x >1时，ϕ'(x ) >0, ϕ(x ) 递增；当0
'∴ϕ(x ) 在x=1处取得唯一的极小值，即为最小值，即ϕ(x ) ≥ϕ(1)=1>0，∴F (x ) >0，
（0，+∞）∴F (x ) 在上是增函数，∴当x >1 时，F (x ) 为增函数，„„„„9分 F (x ) 2
>
故F (x ) >F (1)=2，故e +1e +1．
e x -1(xe x +1) -(xe x +1) 'e x -12e x -1(1-e x ) 2e x -1
h '(x ) =2=x 2x 2x h (x ) =(xe +1) (xe +1) xe +1令，则．„„„„10分 x
（1，+∞）∵x >1, ∴1-e
F (x ) 2F (x ) 2e x -12
>>h (x ) h (x ) x
x >1e +1e +1e +1e +1xe +1， ∴时，，所以，即F (x ) e +1
>x -1
xe x +1．„„„„„„„„12分 所以2e
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．【答案】（1）见解析；（2）AD=2． 【解析】（1）由题意知AB 为圆的直径，则AC ⊥BC ．
又∵G 为BF 中点，∴GF =GC ，∠GFC =∠GCF ．„„„„2分
2由CE ⊥AB ，知，
∴∠GCF =∠ABC ，则Rt ∆ADF Rt ∆ACB ，
∠GCF =
π
-∠CAE ∠ABC =
π
2
-∠CAE
，
∴∠DAC =∠BAC ，∴BC =CD ，即BC =CD ．„„„„„„„„4分
（2）∵A , B , C , D 四点共圆，所以∠HDC =∠ABC ，
又∵CH 为O 的切线，∴∠DCH =∠DAC =∠BAC ，„„„„6分
BC AB
=
2，且DH CD ．„„„„7分 ∴Rt ∆CDH RtABC ，∴
由（1）知BC =CD ，且AB =4，DH =1，
∠DHC =
CH =．„„„„8分 CD =
2∴，
2
(AD +DH ) ，
由切割线定理，得HC =HD AH =HD
π
2=1⨯(1+AD ) ，解得AD =2．„„„„„„„„10分
5
2
23．【答案】（1）ρ-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0；（2）2或15．
【解析】（1）直线l 的参数方程化为3ρcos θ+4ρsin θ+6=0，则
ρsin θ=y ，由ρcos θ=x ，得直线的直角坐标方程为3x +4y +6=0．„„„„„„„„„„
2分
⎧x =3+5cos α,
⎨2222
由⎩y =5+5sin α. ，消去参数α，得(x -3) +(y -5) =25，即x +y -6x -10y +9=0
（*），
由
ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，代入（*）可得曲线C 的极坐标方程为
ρ2-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0．„„„„„„„„„„5分
=5
，
（2）设直线l '：3x +4y +t =0与曲线C 相切． 由（1）知曲线C 的圆心为(3,5)，半径为5
解得t =-4或t =-54，„„„„„„„„„„7分
3327y =-x +1y =-x +
442． 所以l '的方程为3x +4y -4=0或3x +4y -54=0，即或
33y =-x -
42， 又将直线l 的方程化为
35273
m =1-(-) =m =-(-) =15
22或22所以．„„„„„„„„„„10分
24．【答案】（1）6；（2）(-∞, 4) ．
-m -1-m +1
≤x ≤
1，即-2x +m ≥-1，2x +m ≤1，所以22．„„【解析】（1）由g (x ) ≥-
2分
-m -1-m +1
≤-3≤
2，解得5≤m ≤7． 不等式的整数解为－3，则2
又不等式仅有一个整数解－3，∴m =6．„„„„„„„„4分
11y =g (x ) f (x ) -g (x ) >0
22（2）因为y =f (x ) 的图象恒在函数的上方，故，
所以a
设
h (x ) =2x -1+x +3
，则
⎧-3x -1⎪h (x ) =⎨5-x
⎪3x +1⎩
x ≤-3-31
„„„„„7分
作出h (x ) 图象得出当x =1时，h (x ) 取得最小值4， 故a
y =
1
g (x ) 2的上方，
即实数a 的取值范围是(-∞, 4) ．„„„„„„„„10分
中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考
数学（理）试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第I 卷选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合A={x|-2015≤x
11π
sin2x+tan cos2x 的最小正周期为( ) 223
π
B. π C ．2π D. 4π 3
3．已知复数z 满足(2+i)z =l+2i+3i2 +4i3（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是( ) A ．
62626262
+i B ．-i . C ．- +i . D ．一-i 55555555
4．“C=5”是“点(2，1) 到直线3x+4y十C=0的距离为3”的( )
A ．充要条件 B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知S n 为等差数列{an }的前n 项和，若S 3+S7= 37，则19a 3+a 11=( ) A ．47 B. 73 C. 37 D. 74
x 2y 2
6．过双曲线2-2=1（a>0，b>0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐姬警雾于彳，曰两
a b
点，若△OAB
，则双曲线的离心率为( ) A.
B ．
C.
D.
3
7．菜市中心购物商场在“双l1”开展的“买三免一”促销
活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行 统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所 示．已知12：00时至16：00时的销售额为90万 元，则10时至12时的销售额为( ) A. 120万元 B. 100万元 C. 80万元 D ．60万元
uu u r uu u r
8．如图，在直角梯形ABCD 中．AB=2AD=2DC，E 为BC 边上一点，BC =3EC ，
F
uu u r
为AE 中点，则BF =( )
u r 1uuu r 2uu
A ．AB -AD
33u r 2uuu r 1uu
B ．AB -AD
33
u r 1uuu r 2uu
C ．-AB +AD
33u r 2uuu r 1uu
D ．-AB +AD
33
9．运行如图所示的程序，若输入x 的值为256，则输出的y 值 是( ) ，
A ．3 B. -3
11 D. - 331155
10. 已知（(+ax ) -(+bx ) 的展开式中含x 2与x 3的项的系
a b
C.
绝对值之比为1:6，则a 2 +b2的最小值为( )
A. 6 B. 9 C. 12 D ．18
11. 如图ABCD -A1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S- ABCD是
高为l 的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C l ，D 1在同一个球面上，则该 球的表面积为( )
925π B ．π
1616
4981π D ．π C ． 1616
A ．
12. 在数列{an }中，a 1=3, an
）
A ．数列{an }单调递减 B ．数列{an }单调递增
C ．数列{an }先递减后递增 D ．数列{an }先递增后递减
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数f(x)=(9x +1)·9kx (k∈R) 为偶函数，则实数k 的值为
14. 已知直线l ：y=kx+t号圆：x 2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C ：x 2 =4y交于不同的两点M ，N ，则
实数t 的取值范围是____．
⎧y ≤2
1x 7⎪
15．设x ，y 满足不等式⎨x +y ≥1x+y≥1，若M=3x+y，N=() -，则M-N 的最小值为
22⎪x -y ≤1
⎩
16．已知函数f(x)= cos2x +asinx在区间(0，n π) (n∈N*)内恰有9个零点，则实数
a
的值为．
三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考 生根据要求作答，本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分12分）
在△ABC 中，已知a ，b, c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(1)求角A 的大小;
(2)若a=2，求△ABC 的周长的取值范围．
18. （本小题满分12分）
新生儿Apgar 评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、 心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新 生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7-10 分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机制取了16名，以下表格记录了他们 的评分情况．
cos A a
=-． cos C 2b +c
(1)现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率：
(2)以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿中任选3名， 记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X 的分布列及数学期望．
19. （本小题满分12分），
如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 1E 分别为BB 1和CC 1的 中点，AF ⊥平面A 1DE ，其垂足F 落在直线A 1D 上． (1)求证：BC ⊥A 1D; (2)若A 1
AB=BC=3,求二面角C l -A 1D-E 的平面 角的余弦值．
20. （本小题满分12分）
x 2y 2b
已知Q 为椭圆C ：2+2=1 (a>b>0)的上顶点，
P () 是C 上的一点，
a b 33
以PQ 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．
(1)求椭圆C 的方程： (2)若直线l ：y=kx+m（|k|
≤
）与椭圆C 相交于A ，B 两点，M 为椭圆C 上任意 2
一点，且线段OM 的中点与线段AB 的中点重合，求|OM|的取值范围．
21. （本小题满分12分）
已知函数f (x)=
a
+lnx． x
3
，求a 的值； 2
ln x F (x ) e +1
(2)当a=1时，设F(x)=f(x)+1+，求证：当x>l时，x -1>x ．
x 2e xe +1
(1)若函数f(x）在区间[1，e]上的最小值是
【选考题】
请从下面所给的22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，已知D 为以AB 为斜边的Rt △ABC 的外接圆O 上一点，CE ⊥AB ，BD 交AC ， CE 的交点分别为F ，G ，且G 为BF 中点， (1)求证：BC=CD；
(2)过点C 作圆O 的切线交AD 延长线于点H ， 若AB=4，DH =1，求AD 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4-4:极坐标与参数方程选讲】
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点D 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．己知
直线l ：ρ=一
⎧x =3+5cos a 6
，曲线C ：⎨（a 为参数）．
3cos θ+4sin θ⎩y =5+5sin a
(l)将直线l 化成直角方程，将曲线C 化成极坐标方程：
(2)若将直线，向上平移m 个单位后与曲线C 相切，求m 的值
24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f(x）= 2|x-1|-a，g(x)= -|2x+m|,a，m ∈R ，若关于x 的不等式g(x)≥-1 的整数解有且仅有一个值为-3． (l)求整数m 的值： (2)若函数y=f(x)的图象恒在函数y=
1
g(x)的上方，求实数a 的取值范围． 2
中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考
理科数学答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．【答案】A
【解析】∵
B ={x 0≤2016-x
，
∴A I B =2．【答案】B
{x 2015
2π1π
T ==πf (x ) =sin 2x +2x =sin(2x +)
2223，所以最小正周期【解析】因为，故选
B ．
3．【答案】C
【解析】由1+2i +3i +4i =-2-2i ，
2
3
z =-
得4．【答案】B
2+2i (2+2i )(2-i ) 6+2i 6262=-=-=--i -+i
2+i (2+i )(2-i ) 555，则z 的共轭复数是55，故选C ．
【解析】由题意知点(2,1)到直线3x +4y +C =0的距离为3
=3
，解
得C =5或C =-25，所以“C =5”是“点(2,1)到直线3x +4y +C =0的距离为3”的充分
不必要条件，故选B ． 5．【答案】D 【解析】由6．【答案】D
【解析】由题意，得x =c 代入
S 3+S 7=37，得(3a 1+3d ) +(7a 1+21d ) =37，整理，得10a 1+24d =37，于是
19a 3+a 11＝19(a 1+2d ) +(a 1+10d ) =2(10a 1+24d ) =74，故选D ．
y =±
b bc bc 12bc x A (c , ), B (c , -) ⨯⨯c =a ，a a ，
a ，
得交点则2
c =
3，故选D ． 整理，得a
7．【答案】D
90
=200
0.100+0.125⨯2【解析】该商场11月11日8时至22时的总销售额为万元，所以10
时至12时的销售额为
8．【答案】C
200⨯(0.150⨯2)=60
万元，故选D ．
【解析】取AB 的中点G ，连结DG ，CG ，则D G B ，C 所以
1
B C =G =D A -D A =-A D A B
2，∴
2 2 2 2
AB +AD AE =AB +BE =AB +BC =AB +(AD -AB )
3332＝3，于是BF =AF -AB
12 2 1 1 2 AE -AB (AB +AD ) -AB =-AB +AD
333＝2＝23，故选C ．
1
9．【答案】C
【解析】根据程序框图及条件可知x =256>2→x =8>2→x =3>2→
1log 21log 231-log 23
y =() =2=23=
23，故选C ．
x =log 23
10．【答案】C
1110(b -a ) 21322132
(+ax ) 5-(+bx ) 5C () a -C () b =552
x a b a b ab 【解析】的展开式中含项的系数为，
10(b -a )
1ab 31233123=C 5() a -C 5() b =10(a -b ) 36，即a b 含x 的项的系数为，则由题意，得a -b )
2222
|ab |=6，则a +b =|a |+|b |≥2|ab |=12，故选C ．
11．【答案】D
【解析】按如图所示作辅助线，O 为球心，设
OG 1=x ，则OB 1=SO =2-x ，同时由正方体
(2-x ) 2=x 2+2222
2，则在Rt ∆OB 1G 1中，OB 1=G 1B 1+
OG 1，即2，的性质知
7981x =R =OB 1=S =4πR 2=π8，所以球的半径8，所以球的表面积为16，故选D ．
解得
B 1G 1=
12．【答案】A
22a =3, a =a >0a =a +2a =a n +2 ②．1n n n n -1n 【解析】
由知， ①，则有+1由22a -a =a n -a n -1，即(a n +1+a n )(a n +1-a n ) =a n -a n -1．∵a n >0，∴a n +1-a n 与n +1n ②-①得
a n -
a n -1同号．由a 2-a 1=3单调递减，故选A ．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
1
13
2-
14．【答案】
t +1
【解析】因为直线与圆相切，所以 +k
2
=1⇒k 2=t 2+2t
．又把直线方程代入抛物线方
222∆=16k +16t =16(t +2t ) +16t >0，得 t >0或x -4kx -4t =0程并整理得，于是由
t
1
15．【答案】2
【解析】作出满足不等式的平面区域，如图所示，当直线3x +y -M =0经过点A (-1, 2) 时目
17
N =() x -
22在x =-1标函数M =3x +y 取得最小值－1．又由平面区域知-1≤x ≤3，则函数
331--1-(-) =
22．
时，N 取得最大值2，由此可知M -N 的最小值为
16．【答案】a =±1
=【解析】由f (x )
g (x ) =
22s i x -n
a
0x +2a s =x i n ，即2s 2i x n -a s -x i n ．1=0，得c o s 设
2
s -x i n 1g (x ) =2t -a t -1．t =s i n x ，令，则考察x ∈(0,2π) 的函数g (x )
2
的零点个数，即如下图所示为t =sin x ，x ∈(0,2π) 的图象，易知：（1）方程2t -at -1=0的
一个根为1，另一个根为(-1,0) 时，g (x ) 在(0,2π) 内有三个零点，此时
⎧2⨯1-a ⨯1-1=0⎨222⨯(-1) -a ⨯(-1) -1>0a =1；⎩，解得（1）方程2t -at -1=0的一个根为－1，另一个根
⎧2⨯(-1) 2-a ⨯(-1) -1=0
⎨
(0,1)为时，g (x ) 在(0,2π) 内有三个零点，此时⎩2⨯1-a ⨯1-1>0，解得a =-1．综
9=3
f (x ) =cos 2x +a sin x (0,2π) 上可知当a =±1时，在内有3个解．再由3可知，
n =2⨯3=6．综上可知a =±1，n =6．
三、解答题 （第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【答案】（1）120︒；（2
）
(4,2+
3．
cos A sin A
=-
2sin B +sin C ， 【解析】（1）由正弦定理，得cos C
∴2cos A sin B +cos A sin C +sin A cos C =0，则2cos A sin B +sin(A +C ) =0．
∵A +B +C =π，∴sin(A +C ) =sin B ，∴2cos A sin B +sin B =0． ∵sin B ≠0，∴
cos A =-
1
2，∴A =120︒．„„„„„5分
b c a ===
，„„„„„6分
（2
）由正弦定理，得sin B sin C sin A
b +c =B +sin C ) =B +sin(60︒-B )]
33∴
B +sin 60︒cos B -cos60︒sin B ) ＝„„„„„8分
1sin B +B ) =B +60︒)
23＝32．„„„„„9分
∵A =120︒，∴B ∈(0︒,60︒) ，∴B +60︒∈(60︒,120︒
) ，∴
sin(B +60︒) ∈，
a +b +c ∈(4,2+∆
ABC 3，故3．„„„„„12分 ∴的周长
121
18．【答案】（1）140；（2）分布列见解析；0.75．
b +c ∈(2,
【解析】（1）设
A i 表示所抽取3名中有i 名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9
分记为事件A ，则
312
C 12C 4C 121
P (A )=P (A 0) +P (A 1)=3+312=
C 16C 16140．„„„„„5分
41
=
（2）由表格数据知，从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为164，„„„
6分
则由题意知X 的可能取值为0，1，2，3．
327P (X =0)=() 3=
464； 113227
P (X =1)=C1() () =3
4464；
921231
P (X =2)=C3() () =
4464； 131
P (X =3)=C33() =
464．„„„„„9分
所以X 的分布列为
„„„„„10分
E (X)=0⨯
由表格得
272791
+1⨯+2⨯+3⨯=0.7564646464．
1
E (X)=3⨯=0.75
4（或）„„„„„12分
19．【答案】（1）见解析；（2）17．
ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，
【解析】（1）∵在直三棱柱
又∵BC ⊂平面ABC ，∴
AA 1⊥BC ．„„„„„„„„2分
1DE ，DE ⊂平面ADE ，∴AF ⊥DE ． 又∵AF ⊥平面A
又∵D , E 分别为BB 1和CC 1的中点，∴DE BC ，∴AF ⊥BC ．„„„„„„„„4分
AA 1⊂平面AA 1B 1B ，AF ⊂平面AA 1B 1B ，且AA 1 AF =A ，
AA B B ∴BC ⊥平面11．
而又∵
A 1D ⊂平面AA 1B 1B
，∴BC ⊥A 1D ．„„„„„„„„5分
AA B B AA B B （2）由（1）知BC ⊥平面11，AB ⊂平面11，从而BC ⊥AB ，如图，以B 为原
点建立空间直角坐标系B -xyz
．„„„„„„„„6分
A B =B 1C 1=DE =3，
∵AB
=BC =3，∴11
C 1E ==2Rt ∆A B D ≅Rt ∆C DE C D 1111则由，知，
C (3,0,4)，A 1(0,3,4)，DA 1=(0,3,2)，DC 1=(3,0,2)，
则D (0,0,2)，E (3,0,2) ，1
DE =(3,0,0)．„„„„„„„„7分
A 1DC 1的一个法向量n 1=(x , y , z ) ，则 ⎧⎪n 1 DA 1=0⎧3y +2z =0 ⎨ ⎨n DC =0⎩11由⎪，得⎩3x +2z =0，取z =3，可得n 1=(-2, -2,3) ．„„„„„„„„9分
设平面设平面
A 1DE 的一个法向量n 2=(x , y , z ) ，则
⎧⎪n 2 DA 1=0⎧3y +2z =0 ⎨ ⎨
⎩n 2 DE =0，得⎩3x =0由⎪，取z =3，可得n 2=(0,-2,3) ，„„„„„„„„11分
n 1⋅n 2cos n 1, n 2==
n 1n 2
∴
，
∴二面角P -A 1
B -C 平面角的余弦值是．„„„„„„„„12分
x 2y 2
+=1220．【答案】（1）4；（2
）．
⎛b ⎫ b P
⎪ ⎪FP =(-c , ) 33⎭FQ =(-c , b ) F (c ,0)Q (0, b
)⎝33【解析】（1）因为，，，，，
b c 2-c +=0FP =0，则33由题设可知FQ
①„„„„„„„„2分
32b 2
+2=122222
C 9a 9b P 又点在椭圆上，∴，解得a =4，所以b +c =a =4 ②
2
①②联立解得，c =2，b =2，
2
2
x 2y 2
+=12故所求椭圆的方程为4．„„„„„„„„5分
(x , y ) （2）设A , B , M 三点的坐标分别为11，(x 2, y 2) ，(x 0, y 0) ，
22
⎧⎪x 1+2y 1=4(1)⎨22x +2y (2)⎪A , B 2=4由两点在椭圆C 上，则⎩2，则
(x +x 2)(x 1-x 2) +2(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0 （3）
由（1）－（2），得1．
⎧x 1+x 2=x 0(4)⎨
y +y 2=y 0(5)．
由线段OM 的中点与线段AB 的中点重合，则⎩1
y -y k =21
x 2-x 1，即y 2-y 1=k (x 2-x 1) （6）„„„„„„„„8分 又
把（4）（5）（6）代入（3）整理，得
x 0=-2ky 0，
⎧⎪x 0=-2ky 0
22⎨2222y =⎪x +2y 0=4，得x 0=4-2y 0，02k 2+1，
于是由⎩0
2222
|OM |2=x 0+y 0=4-y 0=4-2
2k +1．„„„„„„„„10分
所以
因为
|k |≤
21≤≤2
2k 2+12，所以1≤2k 2+1≤2，有，
2
所以2≤|OM |≤3，即|OM
|的取值范围为．„„„„„„„„12分
21．【答案】（1
（2）见解析．
f '(x ) =
【解析】（1）因 为
x -a
x 2，且x ∈[1, e ]，则
1, e ①当a ≤1时，f '(x ) ≥0，函数f (x ) 单调递增，其最小值为f (1)=a ≤1，这与函数在[]上
3
的最小值是2相矛盾；
②当10，单
调递增，
∴函数f (x ) 的最小值为
f (a ) =ln a +1=
3
2，得a =
1, e ③当a ≥e 时，f '(x ) ≤0，函数f (x ) 在[]上单调递减，其最小值为
3
最小值是2相矛盾．
综上所述，a
5分
f (e ) =1+
a ≥2e ，与
F (x ) e +1F (x ) 2e x -1
>x >x x -1
xe +1，即证e +1xe +1，„„„„„„„„6分 （2）要证2e
1ln x 111-ln x x -ln x
F (x ) =1++ln x +F '(x ) =-2++=2
x x x x x x 2，„„„„7分 当a =1时，，
1x -1
'x ）ϕ（=1-=
（x ) =x -ln x ，则x x ， 令ϕ
当x >1时，ϕ'(x ) >0, ϕ(x ) 递增；当0
'∴ϕ(x ) 在x=1处取得唯一的极小值，即为最小值，即ϕ(x ) ≥ϕ(1)=1>0，∴F (x ) >0，
（0，+∞）∴F (x ) 在上是增函数，∴当x >1 时，F (x ) 为增函数，„„„„9分 F (x ) 2
>
故F (x ) >F (1)=2，故e +1e +1．
e x -1(xe x +1) -(xe x +1) 'e x -12e x -1(1-e x ) 2e x -1
h '(x ) =2=x 2x 2x h (x ) =(xe +1) (xe +1) xe +1令，则．„„„„10分 x
（1，+∞）∵x >1, ∴1-e
F (x ) 2F (x ) 2e x -12
>>h (x ) h (x ) x
x >1e +1e +1e +1e +1xe +1， ∴时，，所以，即F (x ) e +1
>x -1
xe x +1．„„„„„„„„12分 所以2e
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．【答案】（1）见解析；（2）AD=2． 【解析】（1）由题意知AB 为圆的直径，则AC ⊥BC ．
又∵G 为BF 中点，∴GF =GC ，∠GFC =∠GCF ．„„„„2分
2由CE ⊥AB ，知，
∴∠GCF =∠ABC ，则Rt ∆ADF Rt ∆ACB ，
∠GCF =
π
-∠CAE ∠ABC =
π
2
-∠CAE
，
∴∠DAC =∠BAC ，∴BC =CD ，即BC =CD ．„„„„„„„„4分
（2）∵A , B , C , D 四点共圆，所以∠HDC =∠ABC ，
又∵CH 为O 的切线，∴∠DCH =∠DAC =∠BAC ，„„„„6分
BC AB
=
2，且DH CD ．„„„„7分 ∴Rt ∆CDH RtABC ，∴
由（1）知BC =CD ，且AB =4，DH =1，
∠DHC =
CH =．„„„„8分 CD =
2∴，
2
(AD +DH ) ，
由切割线定理，得HC =HD AH =HD
π
2=1⨯(1+AD ) ，解得AD =2．„„„„„„„„10分
5
2
23．【答案】（1）ρ-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0；（2）2或15．
【解析】（1）直线l 的参数方程化为3ρcos θ+4ρsin θ+6=0，则
ρsin θ=y ，由ρcos θ=x ，得直线的直角坐标方程为3x +4y +6=0．„„„„„„„„„„
2分
⎧x =3+5cos α,
⎨2222
由⎩y =5+5sin α. ，消去参数α，得(x -3) +(y -5) =25，即x +y -6x -10y +9=0
（*），
由
ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，代入（*）可得曲线C 的极坐标方程为
ρ2-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0．„„„„„„„„„„5分
=5
，
（2）设直线l '：3x +4y +t =0与曲线C 相切． 由（1）知曲线C 的圆心为(3,5)，半径为5
解得t =-4或t =-54，„„„„„„„„„„7分
3327y =-x +1y =-x +
442． 所以l '的方程为3x +4y -4=0或3x +4y -54=0，即或
33y =-x -
42， 又将直线l 的方程化为
35273
m =1-(-) =m =-(-) =15
22或22所以．„„„„„„„„„„10分
24．【答案】（1）6；（2）(-∞, 4) ．
-m -1-m +1
≤x ≤
1，即-2x +m ≥-1，2x +m ≤1，所以22．„„【解析】（1）由g (x ) ≥-
2分
-m -1-m +1
≤-3≤
2，解得5≤m ≤7． 不等式的整数解为－3，则2
又不等式仅有一个整数解－3，∴m =6．„„„„„„„„4分
11y =g (x ) f (x ) -g (x ) >0
22（2）因为y =f (x ) 的图象恒在函数的上方，故，
所以a
设
h (x ) =2x -1+x +3
，则
⎧-3x -1⎪h (x ) =⎨5-x
⎪3x +1⎩
x ≤-3-31
„„„„„7分
作出h (x ) 图象得出当x =1时，h (x ) 取得最小值4， 故a
y =
1
g (x ) 2的上方，
即实数a 的取值范围是(-∞, 4) ．„„„„„„„„10分