§2 柯西——古萨定理及其应用
一、引理与基本定理
1. 引理
若f (z )在单连域D 内解析, 且f '(z )连续, 则对任意简单闭曲线C ⊂D , 有：
C f (z )dz
=0。
证明 f (z )=u +iv 解析, 且f '(z )连续，∴均连续。从而，由格林公式，⎰f (z )dz =
C
∂u ∂x
=
∂v ∂u ∂v
且它们, =-
∂y ∂y ∂x
⎰C udx
-vdy +i
⎰C vdx
+udy
=
⎰⎰
D
⎛∂v ∂u ⎫
- ⎪ -⎪dxdy +i ⎰⎰∂x ∂y ⎝⎭D
⎛∂u ∂v ⎫
- ⎪ ⎪dxdy =0+0=0。 ∂y ⎭⎝∂x
推论 若f (z )在一条简单闭曲线C 的内部及C 上解析，则f (z )dz =0。
C
例1 计算e
2
iz
C
z +1
dz ，其中曲线C 为正向圆周：z -3i =1。
解 奇点z =±i 不在闭曲线C 内，被积函数f (z )解析，从而， ∴在C 内，
e
2iz
2. 柯西——古萨基本定理
C
z +1
dz =0。
则对任意闭曲线C ⊂D , C -G ' s 定理 若f (z )在单连域D 内处处解析，有：
C f (z )dz
二、原函数与不定积分
1. 存在性定理
=0。
由基本定理及高等数学的知识知道，必有：
若f (z )在单连域D 内解析，则积分
⎰C f (z )dz
与路径无关。即此时,
⎰C
f (z )dz =
⎰
z 1
z 0
f (z )dz ，其中称z 1为上限，z 0为下限。积分⎰
z
z 0
f (z )dz 称为上
限z 的函数, 记为F (z )，并有：
定理1 若f (z )在单连域D 内处处解析, 则F (z )为解析函数, 且
F '(z )=f (z ).
证明 F (z )=⎰f (z )dz =
z 0
z
⎰(
(x , y )
x 0, y 0
)
udx -vdy +i ⎰
(x , y )
∆
(x 0, y 0)
vdx +udy =U +iV ,
f (z )=u +vi 在单连域D 内解析，∴
∂u ∂x
=
∂v ∂u ∂v
。 , =-
∂y ∂y ∂x
⇒dU =udx -vdy , dV =vdx +udy ，即
∂U ∂x
=u ,
∂U ∂y
=-v ;
∂V ∂x
=v ,
∂V ∂y
=u 。
从而，
∂U ∂x
∂U ∂x
=
∂V ∂y
,
∂U ∂y
=-
∂V ∂x
，于是，
F (z )为解析函数, 且F '(z )=
+i
∂V ∂x
=u +iv =f (z ).
2. 原函数概念与积分计算
定义 若F '(z )=f (z ), 则称F (z )为f (z )的原函数或不定积分。易见
⎰z f (z )dz 是f (z )的一个原函数，且任二原函数相差一常数。类似牛顿——莱
z
布尼兹定理的证明，有：
定理2 若f (z )在单连域D 内解析, F (z )为f (z )的原函数, 则
C
例2 计算⎰zdz , 其中C 为从点0到点1-i 的曲线段. 解 f (z )=z 处处解析, 从而,
1-i
⎰C zdz
π
=
⎰
zdz =
z
2
1-i
2
=
(1-i )2
2
=-i .
例3 求π2cot zdz .
2
+i
解 f (z )=cot z 在D :0
π
ππ
2, 2
+i ∈D ，从
原式=
π
2
+i
cos z sin z
π
dz =ln sin z
π
22
+i
2
π⎛π⎫
=ln sin +i ⎪-ln sin =ln cos i =ln cosh 1.
2⎝2⎭
三、柯西——古萨定理的推广
1. 引理
定义 两条曲线称为连续变形曲线，如果⑴开闭不变；⑵方向不变；⑶连续
扫过其存在的解析区域.
闭路变形原理 设f (z )在区域D 内解析，闭曲线C 1的任意连续变形曲线为则C 2，
f (z )dz =
C 1
C f (z )dz ，即闭曲线连续变形不改变解析函数的积分值.
2
证明 如图：连A -a , B -b , 则由C -G ' s Th 知:
f (z )dz
AEBbeaA
=
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f (z )dz ⎰f (z )dz ⎰f (z )dz
⋂
⋂
⋂
AEB Bb bea aA
f (z )dz
AafbBFA
=
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f ⋂
Aa afb bB BFA
二式相加, 得
f (z )dz +f (z )dz
AEBFA
afbea
=0, 即
f (z )dz
C 1
+
f (z )dz
C 2
-
=0（*）
⇒
f (z )dz
C 1
=
f (z )dz .
C 2
例4 证明：dz z -z 0
C
=2πi ，其中C 为任意包含点z 0的闭曲线.
证明 在C 的内部作圆周C 1:z -z 0=r ，则1z -z 0
dz z -z 0
C 1
=2πi 。
f (z )=
只有一个奇点z =z 0，∴C , C 1互为连续变形曲线，
由原理知， dz z -z 0
=
C
dz z -z 0
C 1
=2πi .
为任意包含点z 0的闭曲线。 注:由原理证明中的(*)式, 若将C 1, C 2-视作一条复合闭路Γ=C 1+C 2-，其正向为外线逆时针, 内线顺时针, 则f (z )dz =0。进一步可由一般地：
Γ
2. 复合闭路定理
定理3 设f (z )在多连域D 内解析, 简单闭曲线C , C 1, C 2, , C n ⊂D , 且
---
以其为边界(Γ=C +C 1+C 2+ +C n ) 的区域也属于D , 诸
C k (k =1, 2, , n )互不相交，互不包含，但均在C 的内部，则
⑴f (z )dz =0；⑵f (z )dz =
Γ
n
C
∑C
k =1
f (z )dz 。
k
注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法：
⑴若f (z )在闭曲线C 所围域内解析，则f (z )dz =0；⑵若f (z )在闭曲
C
线C 所围域内不解析，则f (z )dz 等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。
C
例5 计算成。
dz z
2
C
z
2
+4
，其中C 由正向圆周z =
32
与负向圆周z =1构
的奇点z =
0, z =±2i z z +4dz
即f (z )在C 内解析，∴22=0.
C
z z +42
2
解 f (z )=
1
例6 计算，其中C 为正向圆周z =22
z -1
1
解 f (z )=2在C 内有奇点z =±1，如图在C 内作单独包含
z -1
C
dz
z =-1, 1的闭曲线C 1, C 2，于是，
原式=
1212
C
C 1
dz
1
z -1
dz
-
2
+
C
dz
2
z -1
) +
12
2
dz z -1
==
(z -1
C
dz
1
z +1
(C 2
-
C
2
(0-2πi +2πi -0)=0.
§3 柯西积分公式及其推广
一、柯西积分公式
1. 定理与公式
定理1 设f (z )在区域D 内解析，任意简单闭曲线C ⊂D ，且I (C ) ⊂D ，对∀z 0∈I (C )，有f (z 0)=
f (z )z -z 0
12π
f (z )z -z 0
i
C
dz ——柯西公式。
证明(思路) C
dz =
f (z 0)z -z 0
C
dz +
f (z )-f (z 0)z -z 0
C
dz
=2πi ⋅f (z 0)+f (z )-f (z 0)z -z 0
C
dz , 可以证明:
f (z )-f (z 0)z -z 0
C
dz =0.
注：1. 分析意义：f (z )在解析域内部的值可用其边界上的积分表示，即对
∀z ∈D ，有f (z )=
12πi
ζ-z 0
C =∂D
f (ζ)
d ζ——柯西型积分;
2. 计算意义：公式可用于求闭路积分
2. 应用举例
例1 设C 为正向圆周z =2，计算
cos z z +i
2πi
1cos z z +i
C
dz 。
解 在C 内有奇点z =-i ，从而，由柯西公式，
e +e 2
-1
原式=cos z
z =-i
=cos (-i )=
=cosh 1。
例2 计算解 从而，
原式=2
2z +1z +z
2
C
dz ，其中C 为正向圆周z =4。
2z +1z +z
在C 内有奇点z =0, -1，∴作C 1, C 2分别单包z =0, -1，
2z +1
z +1
C 1
z
dz +
2z +1z
C 2
z +1
dz =2πi
2z +1z +1
z =0
+2πi
2z +1z
z =-1
=2πi +2πi =4πi 。
π
2
例3 设f (z )=
C ζ
e
-z
d ζ，其中C 为正向圆周ζ=2，
试求f (1+i ), f '(1-2i )。
π
解 z
2
z
π
2
, f '(z )=πie
2
z
，
z >2时，f (z )=0, f '(z )=0。
又 +i =22，从而，
π
f (1+i )=2πie
2
(1+i )
π
=-2πe 2, f '(1-2i )=0。
二、柯西积分公式的推广——导数公式
1. 定理与公式
定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且
f
(n )
(z 0)=
n ! 2π
i (z -z )
C
f (z )
n +1
dz ，
其中C 为f (z )的解析域D 内含∀z 0∈D 的任一正向简单闭曲线，且
I (C ) ⊂D 。
证明(思路) 应用数学归纳法，先证： f '(z 0)=lim
f (z 0+∆z )-f (z 0)
∆z
=
∆z →0
2πi (z -z )
C
1!
f (z )
2
dz
注：10. 分析意义：解析函数任意阶可导;
2. 计算意义：公式可用于求闭路积分
——化积分问题成微分问题
2. 应用举例 例4 计算e
z
e
z
3
C
(z +2)
dz ，其中C 为正向圆周z =3。
解
(z +2)3
2πi 2!
z
在C 内有奇点z =-2，从而，
原式=
(e )"
z =-2
=πie
-2
=
πe
2
i 。
例5 计算
z -2=
2
sin z z -4z +4z
3
2
dz 。
解
sin z z -4z +4z
3
2
=
sin z z (z -2)
2
在z -2=2内有一个奇点z =2，从
而，
sin z
2πi ⎛sin z ⎫dz = ⎪
1! ⎝z ⎭
'
原式=
z -2=
(z -2)
2
2
2
z =2
=2πi
z cos z -sin z
z
z =2
=2πi
2cos 2-sin 2
4
sin 2⎫⎛
= cos 2-⎪πi 。
2⎭⎝
§2 柯西——古萨定理及其应用
一、引理与基本定理
1. 引理
若f (z )在单连域D 内解析, 且f '(z )连续, 则对任意简单闭曲线C ⊂D , 有：
C f (z )dz
=0。
证明 f (z )=u +iv 解析, 且f '(z )连续，∴均连续。从而，由格林公式，⎰f (z )dz =
C
∂u ∂x
=
∂v ∂u ∂v
且它们, =-
∂y ∂y ∂x
⎰C udx
-vdy +i
⎰C vdx
+udy
=
⎰⎰
D
⎛∂v ∂u ⎫
- ⎪ -⎪dxdy +i ⎰⎰∂x ∂y ⎝⎭D
⎛∂u ∂v ⎫
- ⎪ ⎪dxdy =0+0=0。 ∂y ⎭⎝∂x
推论 若f (z )在一条简单闭曲线C 的内部及C 上解析，则f (z )dz =0。
C
例1 计算e
2
iz
C
z +1
dz ，其中曲线C 为正向圆周：z -3i =1。
解 奇点z =±i 不在闭曲线C 内，被积函数f (z )解析，从而， ∴在C 内，
e
2iz
2. 柯西——古萨基本定理
C
z +1
dz =0。
则对任意闭曲线C ⊂D , C -G ' s 定理 若f (z )在单连域D 内处处解析，有：
C f (z )dz
二、原函数与不定积分
1. 存在性定理
=0。
由基本定理及高等数学的知识知道，必有：
若f (z )在单连域D 内解析，则积分
⎰C f (z )dz
与路径无关。即此时,
⎰C
f (z )dz =
⎰
z 1
z 0
f (z )dz ，其中称z 1为上限，z 0为下限。积分⎰
z
z 0
f (z )dz 称为上
限z 的函数, 记为F (z )，并有：
定理1 若f (z )在单连域D 内处处解析, 则F (z )为解析函数, 且
F '(z )=f (z ).
证明 F (z )=⎰f (z )dz =
z 0
z
⎰(
(x , y )
x 0, y 0
)
udx -vdy +i ⎰
(x , y )
∆
(x 0, y 0)
vdx +udy =U +iV ,
f (z )=u +vi 在单连域D 内解析，∴
∂u ∂x
=
∂v ∂u ∂v
。 , =-
∂y ∂y ∂x
⇒dU =udx -vdy , dV =vdx +udy ，即
∂U ∂x
=u ,
∂U ∂y
=-v ;
∂V ∂x
=v ,
∂V ∂y
=u 。
从而，
∂U ∂x
∂U ∂x
=
∂V ∂y
,
∂U ∂y
=-
∂V ∂x
，于是，
F (z )为解析函数, 且F '(z )=
+i
∂V ∂x
=u +iv =f (z ).
2. 原函数概念与积分计算
定义 若F '(z )=f (z ), 则称F (z )为f (z )的原函数或不定积分。易见
⎰z f (z )dz 是f (z )的一个原函数，且任二原函数相差一常数。类似牛顿——莱
z
布尼兹定理的证明，有：
定理2 若f (z )在单连域D 内解析, F (z )为f (z )的原函数, 则
C
例2 计算⎰zdz , 其中C 为从点0到点1-i 的曲线段. 解 f (z )=z 处处解析, 从而,
1-i
⎰C zdz
π
=
⎰
zdz =
z
2
1-i
2
=
(1-i )2
2
=-i .
例3 求π2cot zdz .
2
+i
解 f (z )=cot z 在D :0
π
ππ
2, 2
+i ∈D ，从
原式=
π
2
+i
cos z sin z
π
dz =ln sin z
π
22
+i
2
π⎛π⎫
=ln sin +i ⎪-ln sin =ln cos i =ln cosh 1.
2⎝2⎭
三、柯西——古萨定理的推广
1. 引理
定义 两条曲线称为连续变形曲线，如果⑴开闭不变；⑵方向不变；⑶连续
扫过其存在的解析区域.
闭路变形原理 设f (z )在区域D 内解析，闭曲线C 1的任意连续变形曲线为则C 2，
f (z )dz =
C 1
C f (z )dz ，即闭曲线连续变形不改变解析函数的积分值.
2
证明 如图：连A -a , B -b , 则由C -G ' s Th 知:
f (z )dz
AEBbeaA
=
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f (z )dz ⎰f (z )dz ⎰f (z )dz
⋂
⋂
⋂
AEB Bb bea aA
f (z )dz
AafbBFA
=
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f (z )dz
⋂
+
⎰f ⋂
Aa afb bB BFA
二式相加, 得
f (z )dz +f (z )dz
AEBFA
afbea
=0, 即
f (z )dz
C 1
+
f (z )dz
C 2
-
=0（*）
⇒
f (z )dz
C 1
=
f (z )dz .
C 2
例4 证明：dz z -z 0
C
=2πi ，其中C 为任意包含点z 0的闭曲线.
证明 在C 的内部作圆周C 1:z -z 0=r ，则1z -z 0
dz z -z 0
C 1
=2πi 。
f (z )=
只有一个奇点z =z 0，∴C , C 1互为连续变形曲线，
由原理知， dz z -z 0
=
C
dz z -z 0
C 1
=2πi .
为任意包含点z 0的闭曲线。 注:由原理证明中的(*)式, 若将C 1, C 2-视作一条复合闭路Γ=C 1+C 2-，其正向为外线逆时针, 内线顺时针, 则f (z )dz =0。进一步可由一般地：
Γ
2. 复合闭路定理
定理3 设f (z )在多连域D 内解析, 简单闭曲线C , C 1, C 2, , C n ⊂D , 且
---
以其为边界(Γ=C +C 1+C 2+ +C n ) 的区域也属于D , 诸
C k (k =1, 2, , n )互不相交，互不包含，但均在C 的内部，则
⑴f (z )dz =0；⑵f (z )dz =
Γ
n
C
∑C
k =1
f (z )dz 。
k
注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法：
⑴若f (z )在闭曲线C 所围域内解析，则f (z )dz =0；⑵若f (z )在闭曲
C
线C 所围域内不解析，则f (z )dz 等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。
C
例5 计算成。
dz z
2
C
z
2
+4
，其中C 由正向圆周z =
32
与负向圆周z =1构
的奇点z =
0, z =±2i z z +4dz
即f (z )在C 内解析，∴22=0.
C
z z +42
2
解 f (z )=
1
例6 计算，其中C 为正向圆周z =22
z -1
1
解 f (z )=2在C 内有奇点z =±1，如图在C 内作单独包含
z -1
C
dz
z =-1, 1的闭曲线C 1, C 2，于是，
原式=
1212
C
C 1
dz
1
z -1
dz
-
2
+
C
dz
2
z -1
) +
12
2
dz z -1
==
(z -1
C
dz
1
z +1
(C 2
-
C
2
(0-2πi +2πi -0)=0.
§3 柯西积分公式及其推广
一、柯西积分公式
1. 定理与公式
定理1 设f (z )在区域D 内解析，任意简单闭曲线C ⊂D ，且I (C ) ⊂D ，对∀z 0∈I (C )，有f (z 0)=
f (z )z -z 0
12π
f (z )z -z 0
i
C
dz ——柯西公式。
证明(思路) C
dz =
f (z 0)z -z 0
C
dz +
f (z )-f (z 0)z -z 0
C
dz
=2πi ⋅f (z 0)+f (z )-f (z 0)z -z 0
C
dz , 可以证明:
f (z )-f (z 0)z -z 0
C
dz =0.
注：1. 分析意义：f (z )在解析域内部的值可用其边界上的积分表示，即对
∀z ∈D ，有f (z )=
12πi
ζ-z 0
C =∂D
f (ζ)
d ζ——柯西型积分;
2. 计算意义：公式可用于求闭路积分
2. 应用举例
例1 设C 为正向圆周z =2，计算
cos z z +i
2πi
1cos z z +i
C
dz 。
解 在C 内有奇点z =-i ，从而，由柯西公式，
e +e 2
-1
原式=cos z
z =-i
=cos (-i )=
=cosh 1。
例2 计算解 从而，
原式=2
2z +1z +z
2
C
dz ，其中C 为正向圆周z =4。
2z +1z +z
在C 内有奇点z =0, -1，∴作C 1, C 2分别单包z =0, -1，
2z +1
z +1
C 1
z
dz +
2z +1z
C 2
z +1
dz =2πi
2z +1z +1
z =0
+2πi
2z +1z
z =-1
=2πi +2πi =4πi 。
π
2
例3 设f (z )=
C ζ
e
-z
d ζ，其中C 为正向圆周ζ=2，
试求f (1+i ), f '(1-2i )。
π
解 z
2
z
π
2
, f '(z )=πie
2
z
，
z >2时，f (z )=0, f '(z )=0。
又 +i =22，从而，
π
f (1+i )=2πie
2
(1+i )
π
=-2πe 2, f '(1-2i )=0。
二、柯西积分公式的推广——导数公式
1. 定理与公式
定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且
f
(n )
(z 0)=
n ! 2π
i (z -z )
C
f (z )
n +1
dz ，
其中C 为f (z )的解析域D 内含∀z 0∈D 的任一正向简单闭曲线，且
I (C ) ⊂D 。
证明(思路) 应用数学归纳法，先证： f '(z 0)=lim
f (z 0+∆z )-f (z 0)
∆z
=
∆z →0
2πi (z -z )
C
1!
f (z )
2
dz
注：10. 分析意义：解析函数任意阶可导;
2. 计算意义：公式可用于求闭路积分
——化积分问题成微分问题
2. 应用举例 例4 计算e
z
e
z
3
C
(z +2)
dz ，其中C 为正向圆周z =3。
解
(z +2)3
2πi 2!
z
在C 内有奇点z =-2，从而，
原式=
(e )"
z =-2
=πie
-2
=
πe
2
i 。
例5 计算
z -2=
2
sin z z -4z +4z
3
2
dz 。
解
sin z z -4z +4z
3
2
=
sin z z (z -2)
2
在z -2=2内有一个奇点z =2，从
而，
sin z
2πi ⎛sin z ⎫dz = ⎪
1! ⎝z ⎭
'
原式=
z -2=
(z -2)
2
2
2
z =2
=2πi
z cos z -sin z
z
z =2
=2πi
2cos 2-sin 2
4
sin 2⎫⎛
= cos 2-⎪πi 。
2⎭⎝