高一数学必修一第三单元测试
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f (x ) ＝2x ＋bx －3(b ∈R) 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D．4
解析：∵Δ＝b ＋4×2×3＝b ＋24>0，
∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点． 答案：C
1
2．函数y ＝1＋的零点是( )
2
2
2
x
A ．(－1,0) B．－1 C ．1 D．0
1
解析：令1＋＝0，得x ＝－1，即为函数零点．
x
答案：B
3．下列给出的四个函数f (x ) 的图象中能使函数y ＝f (x ) －1没有零点的是( )
解析：把y ＝f (x ) 的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点．
答案：C
4．若函数y ＝f (x ) 在区间(－2,2) 上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x ) ＝0在(－2,2) 上仅有一个实数根，则f (－1) ·f (1)的值( )
A ．大于0 B．小于0 C ．无法判断 D．等于零
解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1) 内部还是外部． 答案：C
1x
5．函数f (x ) ＝e ( )
x
11
A ．(0．(，1)
2233
C ．(1．(，2)
22
111
解析：f ＝e －20，∵f () ·f (1)
222答案：B
6．方程log 1＝2－1的实根个数是( )
2
x
A ．0 B．1 C ．2 D．无穷多个
解析：方程log 1x ＝2－1的实根个数只有一个，可以画出f (x ) ＝log 1及g (x ) ＝2－1的图象，两曲线仅一个交点，故
2
2
x x
应选B.
答案：B
7．某产品的总成本y (万元) 与产量x (台) 之间的函数关系式是y ＝0.1x －11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于( )
2
A ．55台 B．120台 C ．150台 D．180台
解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x －11x ＋3000) ＝－0.1x ＋36x －3000
＝－0.1(x －180) ＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值． 答案：D
8．已知α是函数f (x ) 的一个零点，且x 10 B．f (x 1) f (x 2)
解析：定理的逆定理不成立，故f (x 1) f (x 2) 的值不确定． 答案：D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )
A ．10吨 B．13吨 C ．11吨 D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x 吨，易知x >8. 则水费y ＝16＋2×2(x －8) ＝4x －16＝20， ∴x ＝9. 答案：D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年) 的函数关系图象为( ) 答案：A
11．函数f (x ) ＝|x －6x ＋8|－k 只有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B．k >1
C ．0≤k 1，或k ＝0
解析：令y 1＝|x －6x ＋8|，y 2＝k ，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D. 答案：D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
2
22
2
2
A ．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：设f (x ) ＝2－x ，由表格观察出x ＝1.8时，2>x ，即f (1.8)>0； 在x ＝2.2时，2
综上知f (1.8)·f (2.2)
x
2
x 2x 2
x 2
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x －2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________． 解析：设f (x ) ＝x －2x －5，则f (2)0，f (4)>0，有f (2)f (3)
112
14．已知函数f (x ) ＝ax －bx ＋1的零点为－，a ＝__________，b ＝__________.
2311b 111
解析：由韦达定理得－＋＝×. 解得a ＝－6，b ＝1.
23a 23a 答案：－6 1
15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1. 已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地面积y 与场地一边长x 的关系为________．
解析：由题意知场地的另一边长为l －2x ， 则y ＝x (l －2x ) ，且l －2x >0，即0
2
1
16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少3少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
1n
解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－≤0.1%
32n 0.12
即() ≤n lg 1－lg2， 323∴n ≥7.39，∴n ＝8. 答案：8
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分) 已知二次函数f (x ) 的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x ) 的两个零点的平方和为10，求f (x ) 的解析式．
解：设二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0) ．由题意知：c ＝3，－＝2.
2a 设x 1，x 2是方程ax ＋bx ＋c ＝0的两根，则x 1＋x 2＝10，
2
2
2
2
3
3
l
l
b
b 22c 62
∴(x 1＋x 2) －2x 1x 2＝10，∴(－－＝10，∴16－＝10，
a
a
a
∴a ＝1. 代入－＝2中，得b ＝－4. ∴f (x ) ＝x －4x ＋3.
2a 18．(12分) 求方程x ＋2x ＝5(x >0)的近似解(精确度0.1) ． 解：令f (x ) ＝x ＋2x －5(x >0)． ∵f (1)＝－2，f (2)＝3，
∴函数f (x ) 的正零点在区间(1,2)内．
取(1,2)中点x 1＝1.5，f (1.5)>0.取(1,1.5)中点x 2＝1.25，f (1.25)
取(1.375,1.5)中点x 4＝1.4375，f (1.4375)
∴方程x ＋2x ＝5(x >0)的近似解为x ＝1.5(或1.4375) ．
19．(12分) 要挖一个面积为800 m的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．
2
2
2
2
b
2
800
解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为m ，于是鱼池与路的占地面积为
x
y ＝(x ＋2)(
当x 20
[1**********]02
4) ＝808＋4x ＋＝808＋4(x ＋) ＝808＋4[(x ) ＋40]．
x x x
x
x
x ＝20时，y 取最小值为968 m.
2
2
答：鱼池与路的占地最小面积是968 m.
20．(12分) 某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P 和Q (万元) ，这两项利润与投入的资金x (万
x 10
元) 的关系是P ＝，Q ＝x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润
33y (万元) ，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．
x 10
解：投入养殖加工生产业为60－x 万元．由题意可得，y ＝P ＋Q ＋60－x ，
33
由60－x ≥0得x ≤60，∴0≤x ≤60，即函数的定义域是[0,60]．
21．(12分) 已知某种产品的数量x (百件) 与其成本y (千元) 之间的函数关系可以近似用y ＝ax ＋bx ＋c 表示，其中a ，b ，
2
c 为待定常数，今有实际统计数据如下表：
(1)试确定成本函数y ＝f (x ) ；
(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x ) ；
(3)据利润函数p ＝p (x ) 确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏) 解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax ＋bx ＋c ， 36a ＋6b ＋c ＝104⎧⎪
得⎨100a ＋10b ＋c ＝160，⎪⎩400a ＋20b ＋c ＝370
2
112
解得a ＝，b ＝6，c ＝50. 所以y ＝f (x ) ＝x ＋6x ＋50(x ≥0) ．
22
12
(2)p ＝p (x ) ＝－x ＋14x －50(x ≥0) ．
212
(3)令p (x ) ＝0，即－x ＋14x －50＝0，
2解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，
故4.20；x 23.8时，p (x )
22．(12分) 某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件) 如表所示：
(1)画出2000～2003(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1) 这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．
(3)2006年(即x ＝7) 因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
解：(1)散点图如图2：
⎧⎪a ＋b ＝4 (2)设f (x ) ＝ax ＋b . 由已知得⎨
⎪3a ＋b ＝7⎩
，
35
解得a b ＝，
2235
∴f (x ) ＋.
22
检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08
f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06
35
∴模型f (x ) ＝x
2235
(3)f (7)7＋＝13，
22
由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件) ，即2006年的年产量应约为9.1万件．
高一数学必修一第三单元测试
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f (x ) ＝2x ＋bx －3(b ∈R) 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D．4
解析：∵Δ＝b ＋4×2×3＝b ＋24>0，
∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点． 答案：C
1
2．函数y ＝1＋的零点是( )
2
2
2
x
A ．(－1,0) B．－1 C ．1 D．0
1
解析：令1＋＝0，得x ＝－1，即为函数零点．
x
答案：B
3．下列给出的四个函数f (x ) 的图象中能使函数y ＝f (x ) －1没有零点的是( )
解析：把y ＝f (x ) 的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点．
答案：C
4．若函数y ＝f (x ) 在区间(－2,2) 上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x ) ＝0在(－2,2) 上仅有一个实数根，则f (－1) ·f (1)的值( )
A ．大于0 B．小于0 C ．无法判断 D．等于零
解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1) 内部还是外部． 答案：C
1x
5．函数f (x ) ＝e ( )
x
11
A ．(0．(，1)
2233
C ．(1．(，2)
22
111
解析：f ＝e －20，∵f () ·f (1)
222答案：B
6．方程log 1＝2－1的实根个数是( )
2
x
A ．0 B．1 C ．2 D．无穷多个
解析：方程log 1x ＝2－1的实根个数只有一个，可以画出f (x ) ＝log 1及g (x ) ＝2－1的图象，两曲线仅一个交点，故
2
2
x x
应选B.
答案：B
7．某产品的总成本y (万元) 与产量x (台) 之间的函数关系式是y ＝0.1x －11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于( )
2
A ．55台 B．120台 C ．150台 D．180台
解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x －11x ＋3000) ＝－0.1x ＋36x －3000
＝－0.1(x －180) ＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值． 答案：D
8．已知α是函数f (x ) 的一个零点，且x 10 B．f (x 1) f (x 2)
解析：定理的逆定理不成立，故f (x 1) f (x 2) 的值不确定． 答案：D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )
A ．10吨 B．13吨 C ．11吨 D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x 吨，易知x >8. 则水费y ＝16＋2×2(x －8) ＝4x －16＝20， ∴x ＝9. 答案：D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年) 的函数关系图象为( ) 答案：A
11．函数f (x ) ＝|x －6x ＋8|－k 只有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B．k >1
C ．0≤k 1，或k ＝0
解析：令y 1＝|x －6x ＋8|，y 2＝k ，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D. 答案：D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
2
22
2
2
A ．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：设f (x ) ＝2－x ，由表格观察出x ＝1.8时，2>x ，即f (1.8)>0； 在x ＝2.2时，2
综上知f (1.8)·f (2.2)
x
2
x 2x 2
x 2
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x －2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________． 解析：设f (x ) ＝x －2x －5，则f (2)0，f (4)>0，有f (2)f (3)
112
14．已知函数f (x ) ＝ax －bx ＋1的零点为－，a ＝__________，b ＝__________.
2311b 111
解析：由韦达定理得－＋＝×. 解得a ＝－6，b ＝1.
23a 23a 答案：－6 1
15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1. 已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地面积y 与场地一边长x 的关系为________．
解析：由题意知场地的另一边长为l －2x ， 则y ＝x (l －2x ) ，且l －2x >0，即0
2
1
16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少3少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
1n
解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－≤0.1%
32n 0.12
即() ≤n lg 1－lg2， 323∴n ≥7.39，∴n ＝8. 答案：8
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分) 已知二次函数f (x ) 的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x ) 的两个零点的平方和为10，求f (x ) 的解析式．
解：设二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0) ．由题意知：c ＝3，－＝2.
2a 设x 1，x 2是方程ax ＋bx ＋c ＝0的两根，则x 1＋x 2＝10，
2
2
2
2
3
3
l
l
b
b 22c 62
∴(x 1＋x 2) －2x 1x 2＝10，∴(－－＝10，∴16－＝10，
a
a
a
∴a ＝1. 代入－＝2中，得b ＝－4. ∴f (x ) ＝x －4x ＋3.
2a 18．(12分) 求方程x ＋2x ＝5(x >0)的近似解(精确度0.1) ． 解：令f (x ) ＝x ＋2x －5(x >0)． ∵f (1)＝－2，f (2)＝3，
∴函数f (x ) 的正零点在区间(1,2)内．
取(1,2)中点x 1＝1.5，f (1.5)>0.取(1,1.5)中点x 2＝1.25，f (1.25)
取(1.375,1.5)中点x 4＝1.4375，f (1.4375)
∴方程x ＋2x ＝5(x >0)的近似解为x ＝1.5(或1.4375) ．
19．(12分) 要挖一个面积为800 m的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．
2
2
2
2
b
2
800
解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为m ，于是鱼池与路的占地面积为
x
y ＝(x ＋2)(
当x 20
[1**********]02
4) ＝808＋4x ＋＝808＋4(x ＋) ＝808＋4[(x ) ＋40]．
x x x
x
x
x ＝20时，y 取最小值为968 m.
2
2
答：鱼池与路的占地最小面积是968 m.
20．(12分) 某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P 和Q (万元) ，这两项利润与投入的资金x (万
x 10
元) 的关系是P ＝，Q ＝x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润
33y (万元) ，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．
x 10
解：投入养殖加工生产业为60－x 万元．由题意可得，y ＝P ＋Q ＋60－x ，
33
由60－x ≥0得x ≤60，∴0≤x ≤60，即函数的定义域是[0,60]．
21．(12分) 已知某种产品的数量x (百件) 与其成本y (千元) 之间的函数关系可以近似用y ＝ax ＋bx ＋c 表示，其中a ，b ，
2
c 为待定常数，今有实际统计数据如下表：
(1)试确定成本函数y ＝f (x ) ；
(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x ) ；
(3)据利润函数p ＝p (x ) 确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏) 解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax ＋bx ＋c ， 36a ＋6b ＋c ＝104⎧⎪
得⎨100a ＋10b ＋c ＝160，⎪⎩400a ＋20b ＋c ＝370
2
112
解得a ＝，b ＝6，c ＝50. 所以y ＝f (x ) ＝x ＋6x ＋50(x ≥0) ．
22
12
(2)p ＝p (x ) ＝－x ＋14x －50(x ≥0) ．
212
(3)令p (x ) ＝0，即－x ＋14x －50＝0，
2解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，
故4.20；x 23.8时，p (x )
22．(12分) 某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件) 如表所示：
(1)画出2000～2003(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1) 这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．
(3)2006年(即x ＝7) 因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
解：(1)散点图如图2：
⎧⎪a ＋b ＝4 (2)设f (x ) ＝ax ＋b . 由已知得⎨
⎪3a ＋b ＝7⎩
，
35
解得a b ＝，
2235
∴f (x ) ＋.
22
检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08
f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06
35
∴模型f (x ) ＝x
2235
(3)f (7)7＋＝13，
22
由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件) ，即2006年的年产量应约为9.1万件．