三、不等式
（1）不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 1、不等式的基本概念：
2、实数的运算性质：a-b>0 a>b ； a-bb b
②传递性：a>b, b>c a>c; ③可加性：a>b ，a+c>b+c;
④加法法则：a>b, c>d a+c>b+d;
⑤可乘性：a>b, c>0 ac>bc; a>b,cb>0, c>d>0 ac>bd; ⑦倒数法则：a>b,ab>0
1
⇒1a
n
n
⑧乘方法则：a>b>0 a >b;
⑨开方法则：a>b>0
⇒a >
⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 4、不等式证明:主要依据：
①实数的运算性质。②不等式的性质。③基本不等式。 不等式证明的主要方法： ①比较法：作差（或作商） ②综合法：已知 结论。（要有分析作前提、保证） ③分析法：结论 已知。（注意书写格式的规范化）
（不等式的性质对应习题）1、对实数a ，b ，c ，下列命题不正确的是：（ ）
(A).若ac2>bc 2, 则a >b 11(C).若a
a b
(B).若a ab >b 2b a
(D).若a
a b
a b
c -b （不等式的证明对应习题）2、已知c>a>b>0，求证：c -a
分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手，以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。
>
a>b>0, -a
1c-a
1c-b
⇒>c -b
此题也可利用分析法，结合不等式的性质解决问题
⇒>0 a>b>0 c -a >
（2）一元二次不等式及其解法：
1. 考察下面含未知数x 的不等式： 15x +30x －1>0 和 3x +6x －1≤0.
这两个不等式有两个共同特点：（1）含有一个未知数x （2）未知数的最高次数为2.
2、定义：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为： a x+bx + c >0 (a ≠0) ，或a x+bx +c
一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x 的二次函数f (x ) 的解析式， 即 f (x )=a x
2
2
2
2
2
+bx +c (a ≠0) ，
3、解一元二次不等式的步骤： （1）首先将二次项系数化为正数；
（2）其次考虑相应的二次方程的根的情况；
（3）用“穿针引线法”描述出解的范围，“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：(x +1)(x -1)(x -2)
（4）用集合或区间的形式把不等式的解表示出来。 附注：谨记判别式公式：△=b -4ac
2
23
解下列不等式： （1）
（2）
（ 3）
（4）
（3）不等式组
⎧x -y ≥-1, ⎪
例题 实说 1、设变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥1, 则目标函数z =4x +y
⎪3x -y ≤3, ⎩
A.4 B.11 C.12 D.14 解题步骤：
（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，
标明直线序号
（2）依据以下结论确定平面区域：
y ≥f (x ) 是点在直线上方（包括直线）
的最大值为（ )
y ≤f (x ) 是点在直线下方（包括直线）； y >f (x ) 是点在直线上方（不包括直线） y
（3）确定目标函数函数值的几何意义
1若目标函数值z 表示截距，在已知区域内平移目标函数直线4x+y=0，找出使截距取最（4）○
2若目标函数z 表示距离或者大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z 的最值。○
距离的平方z=(x-a)+(y-b)，精确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点
2
2
z =的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。○3若目标函数z 表示斜精确画图，利
用求斜率取值范围结论，求最值。
y x
⎧2x +y ≥4,
⎪
设x,y 满足 ⎨ x - y ≥ - 1 , 则z=x+y （ ）
⎪x -2y ≤2, ⎩
A. 有最小值2，最大值3 B. 有最小值2，无最大值 C. 有最大值3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值
分析： 先作出可行域，然后作出与直线x+y=0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从而求出最大、最小值. 解：如下图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z 有最小值，但z 没有最大值。
.
答案 B
（4）基本不等式
⎛a +b ⎫
a 2+b 2≥2ab a ，b ∈R +；a +b ≥2ab ；ab ≤ ⎪求最值时，你是否注
⎝2⎭
()
2
意到“a ，b ∈R +”且“等号成立”时的条件，积(ab ) 或和(a +b ) 其中之一为定 值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：
a 2+b 2a +b 2ab
≥≥ab ≥a ，b ∈R + 22a +b
()
当且仅当a =b 时等号成立。 a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (a ，b ∈R ) 当且仅当a =b =c 时取等号。 a >b >0，m >0，n >0，则
b b +m a +n a
a a +m b +n b
如：若x >0，2-3x -
4
的最大值为x
4⎫⎛
（设y =2- 3x +⎪≤2-2=2-43
⎝x ⎭
423
当且仅当3x =，又x >0，∴x =时，y max =2-4）
x 3
又如：x +2y =1，则2x +4y 的最小值为
（∵2x +22y ≥22x +2y =221，∴最小值为22）
三、不等式
（1）不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 1、不等式的基本概念：
2、实数的运算性质：a-b>0 a>b ； a-bb b
②传递性：a>b, b>c a>c; ③可加性：a>b ，a+c>b+c;
④加法法则：a>b, c>d a+c>b+d;
⑤可乘性：a>b, c>0 ac>bc; a>b,cb>0, c>d>0 ac>bd; ⑦倒数法则：a>b,ab>0
1
⇒1a
n
n
⑧乘方法则：a>b>0 a >b;
⑨开方法则：a>b>0
⇒a >
⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 4、不等式证明:主要依据：
①实数的运算性质。②不等式的性质。③基本不等式。 不等式证明的主要方法： ①比较法：作差（或作商） ②综合法：已知 结论。（要有分析作前提、保证） ③分析法：结论 已知。（注意书写格式的规范化）
（不等式的性质对应习题）1、对实数a ，b ，c ，下列命题不正确的是：（ ）
(A).若ac2>bc 2, 则a >b 11(C).若a
a b
(B).若a ab >b 2b a
(D).若a
a b
a b
c -b （不等式的证明对应习题）2、已知c>a>b>0，求证：c -a
分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手，以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。
>
a>b>0, -a
1c-a
1c-b
⇒>c -b
此题也可利用分析法，结合不等式的性质解决问题
⇒>0 a>b>0 c -a >
（2）一元二次不等式及其解法：
1. 考察下面含未知数x 的不等式： 15x +30x －1>0 和 3x +6x －1≤0.
这两个不等式有两个共同特点：（1）含有一个未知数x （2）未知数的最高次数为2.
2、定义：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为： a x+bx + c >0 (a ≠0) ，或a x+bx +c
一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x 的二次函数f (x ) 的解析式， 即 f (x )=a x
2
2
2
2
2
+bx +c (a ≠0) ，
3、解一元二次不等式的步骤： （1）首先将二次项系数化为正数；
（2）其次考虑相应的二次方程的根的情况；
（3）用“穿针引线法”描述出解的范围，“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：(x +1)(x -1)(x -2)
（4）用集合或区间的形式把不等式的解表示出来。 附注：谨记判别式公式：△=b -4ac
2
23
解下列不等式： （1）
（2）
（ 3）
（4）
（3）不等式组
⎧x -y ≥-1, ⎪
例题 实说 1、设变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥1, 则目标函数z =4x +y
⎪3x -y ≤3, ⎩
A.4 B.11 C.12 D.14 解题步骤：
（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，
标明直线序号
（2）依据以下结论确定平面区域：
y ≥f (x ) 是点在直线上方（包括直线）
的最大值为（ )
y ≤f (x ) 是点在直线下方（包括直线）； y >f (x ) 是点在直线上方（不包括直线） y
（3）确定目标函数函数值的几何意义
1若目标函数值z 表示截距，在已知区域内平移目标函数直线4x+y=0，找出使截距取最（4）○
2若目标函数z 表示距离或者大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z 的最值。○
距离的平方z=(x-a)+(y-b)，精确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点
2
2
z =的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。○3若目标函数z 表示斜精确画图，利
用求斜率取值范围结论，求最值。
y x
⎧2x +y ≥4,
⎪
设x,y 满足 ⎨ x - y ≥ - 1 , 则z=x+y （ ）
⎪x -2y ≤2, ⎩
A. 有最小值2，最大值3 B. 有最小值2，无最大值 C. 有最大值3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值
分析： 先作出可行域，然后作出与直线x+y=0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从而求出最大、最小值. 解：如下图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z 有最小值，但z 没有最大值。
.
答案 B
（4）基本不等式
⎛a +b ⎫
a 2+b 2≥2ab a ，b ∈R +；a +b ≥2ab ；ab ≤ ⎪求最值时，你是否注
⎝2⎭
()
2
意到“a ，b ∈R +”且“等号成立”时的条件，积(ab ) 或和(a +b ) 其中之一为定 值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：
a 2+b 2a +b 2ab
≥≥ab ≥a ，b ∈R + 22a +b
()
当且仅当a =b 时等号成立。 a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (a ，b ∈R ) 当且仅当a =b =c 时取等号。 a >b >0，m >0，n >0，则
b b +m a +n a
a a +m b +n b
如：若x >0，2-3x -
4
的最大值为x
4⎫⎛
（设y =2- 3x +⎪≤2-2=2-43
⎝x ⎭
423
当且仅当3x =，又x >0，∴x =时，y max =2-4）
x 3
又如：x +2y =1，则2x +4y 的最小值为
（∵2x +22y ≥22x +2y =221，∴最小值为22）