一、单项选择题：（从下列各题备选答案中选出最适合的一个答案。共46题，每题3分）
1. 下列函数中是偶函数的是 Ａ. y =sin
y =sin x
π
4
B. y =e x C. y =ln x D.
2. 若f (x ) 在[a , b ]上单调增加，g (x ) 在[a , b ]上单调减少，则下列命题中错误的是
Ａ. f (f (x )) 在[a , b ]上单调增加 B. f (g (x )) 在[a , b ]上单调减少
C. g (f (x )) 在[a , b ]上单调增加 D. g (g (x )) 在[a , b ]上单调增加
3. 下列极限正确的是 sin x 1
=1 B. lim x sin =1 x →∞x x 11sin x sin 不存在 D. lim =1 C. lim x →∞x x →∞x x
Ａ. lim x →π
x 2
-ax -b ) =0，则 4. 已知lim(
x →∞2x +1
111242111
Ｃ. a =-, b = Ｄ. a =, b =
242
2
Ａ. a =-, b =- Ｂ. a =, b =-
1
41 4
5. 设x →0时，e x cos x -e x 与x n 是同阶无穷小，则n 为 Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ.
5
Ｄ. 2 2
x
6. 若f (x ) =⎨， g (x ) =⎨，且f (x ) +g (x ) 在(-∞, +∞) 内
a , x ≥1x +3, x ≥0⎩⎩
连续，
则有 Ｃ
Ａ. a =2, b 为任意实数， Ｂ. b =2, a 为任意实数， Ｃ. a =2, b =3 Ｄ. a =2, b =2 7. 与f (x ) =2x 完全相同的函数是
Ａ. ln e 2x Ｂ. e ln 2x Ｃ. sin(arcsin2x ) Ｄ.
arcsin(sin2x )
8. 若f (sinx ) =cos 2x ，则f (x ) =
Ａ. 1-x 2 Ｂ. 1-2x 2 Ｃ. x 2-1 Ｄ.
2x 2-1
9. 函数f (x ) =sin 2x 在x =0处的导数是 Ａ. 1 B. 2 C. 0 D. 2cos 2x 10. 若f (x ) =log 2x 2，则y '= Ａ.
1122
B. C. D.
2x 2x ln 2x 2ln 2x 2
11. f -'(x ) 与f +'(x ) 都存在是f '(x ) 存在的 Ａ. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分也非必要条件
12. 已知可导函数y =f (x ) 在点x 0处f '(x 0) =，则当x →0时，dy 与∆x Ａ. 是等价无穷小 Ｂ. 是同阶非等价无穷小
Ｃ. dy 比∆x 高阶的无穷小 Ｄ. ∆x 比dy 高阶的无穷小
13. 设可导函数f (x ) 有f '(1)=1, y =f (lnx ) ，则dy |x =e 为
1
2
Ａ. dx Ｂ.
11
Ｃ. dx Ｄ. 1 e e
14. 设函数f (x ) 在U (0)内有定义，若x ∈U (0)时，恒有|f (x ) |≤x 2，
则x =0一定是f (x ) 的
Ａ. 连续而不可导点； Ｂ. 间断点；
Ｃ. 可导点，且f '(0)=0； Ｄ. 可导点，且f '(0)≠0。 15. y =x 3-1在点(1,0)处的法线的斜率是 Ａ. 3 Ｂ. -13
Ｃ. 2 Ｄ. -2 16. 若f (sinx ) =cos 2x ，则f '(x ) =Ａ. -2x Ｂ. 1-2x Ｃ. x -1 2x -1
17. 函
数f (x ) =在[0,1]使罗尔定理成立的ξ= Ａ. 0 B.
12 C. 22
3 D. 3
18. f (x ) =ln x 在[1,e ]上使拉格朗日定理成立的ξ=
Ａ. e -1
2 B. e -1 C.
e +12 D. e +1
3
19. lim
ln(1+2x )
x →0tan 2x
= Ａ. 1 B. 2 C. ∞ D. 12
20. 函数y =1
2
(e x -e -x ) 在(-1,1) 内Ａ. 单调增加 Ｂ. 单调减少 Ｃ. 不单调 Ｄ. 是一个常数 21. f '(x 0) =0是可导函数f (x ) 在x 0取得极值的 Ａ. 必要条件 Ｂ. 充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 无关条件
22. 若f '(x 0) =0，f ''(x 0) =0，则函数f (x ) 在x 0处
. Ｄ
Ａ. 一定有极大值， Ｂ. 一定有极小值， Ｃ. 可能有极值 Ｄ. 一定无极值 23. y =e -x 在定义域内是单调
Ａ. 增加且的 Ｂ. 增加且的凸 Ｃ. 减少且的凸 Ｄ. 减少且的凸 24. 曲线y =x 4-34x 2+6x 的凸区间为 Ａ. (-2, 2) Ｂ. (-∞,0) Ｃ. (0,+∞) Ｄ. (-∞, +∞)
25. 函数f (x ) 的一个原函数为1
x
，则f '(x ) = Ａ. ln x B.
1x C. -12
x
2 D. x 3 26. 函数f (x ) 的一个原函数为cos 2x ，则⎰f '(x ) dx = Ａ. cos 2x B. cos 2x +C C. -2sin 2x +C D. -2sin 2x 27. 下列各项正确的是
Ａ. [⎰f (x ) dx ]'=f (x ) B. d [⎰f (x ) dx ]=f (x ) dx C.
⎰f '(x ) dx =f (x ) +C D. ⎰dF (x ) =F (x )
28. 函数F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，则⎰
1
x 2
f (x ) dx = Ａ. F (1x ) Ｂ. -F (1
x )
Ｃ. F (1x ) +C Ｄ. -F (1
x ) +C
29. 若⎰f (x ) dx =ln x
x
+C ，则f (x ) = Ａ. ln x -1x 2
Ｂ. 12
ln 2
x Ｃ. ln ln x 1-ln x
x
2
. Ｄ
30. 若在(a , b ) 内， f '(x ) =g '(x ) ，则下列成立的是 Ａ. f (x ) =g (x ) ， Ｂ. f (x ) =g (x ) +1 Ｃ. [⎰f (x ) dx ]'=[⎰g (x ) dx ]' Ｄ.
⎰f '(x ) dx =⎰g '(x ) dx
31. 设f (x ) 的导数为ln x ，则f (x ) 的一个原函数为Ａ. x 22ln x -34
x 2+x +1 Ｂ. 1
x
Ｃ. x ln x -x Ｄ. 1
x
+x 32. ⎰darx tan x =
Ａ. arctan x Ｂ.
1
1+x
2
Ｃ. arctan x +C Ｄ.
1
1+x 2
+C 33. 下列各式中成立的是 Ａ. ⎰2
2
2
1
x dx >⎰2
x 31dx B.
⎰2
1
x dx
1x 3dx C.
⎰
2
x 2dx =⎰21
1
x 3dx D.
⎰
2
1
x 2dx =-⎰21
x 3dx
34. 21|ln x |dx = 2
Ａ.
1
211
ln xdx +ln xdx B. -ln xdx +2
⎰1⎰2
1
ln xdx
2
1
C. -⎰1
2
1ln xdx -⎰1ln xdx D.
-2
⎰
1
1ln xdx 2
⎰2
1
ln xdx
35. y =⎰x
0(t -1)(t -2) dx ，则y '(0)= Ａ. -2 B. 0 C. 1 36. 若⎰1
0(2x +k ) dx =2，则k = Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. -1 Ｄ. 1
2
37. ⎰3
0|x -1|dx =
D. 2
Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ.
b
b
5 2
38. 若f (x ) 是连续函数，则⎰f (x ) dx -⎰f (a +b -x ) dx = a a Ａ. 0， Ｂ. 1 Ｃ. [⎰f (x ) dx ]'=[⎰g (x ) dx ]' Ｄ. ⎰f '(x ) dx =⎰g '(x ) dx
39. ⎰π
x 2sin x
-π
1+x 2
dx Ａ. 2 Ｂ. -1 Ｃ. a +b Ｄ.
⎰
b
a
f (x ) dx
40. 若m =⎰1
1
0xdx ，n =⎰0ln(1+x ) dx 则 Ａ. m n Ｃ. m =n Ｄ. 以上都不对
⎧
x +1, -1
cos x +x sin x →0x , 0
0) 存在, 则lim
f h →0
h
=
A . f /(x 0) ; B . -2f /(x 0) ; C . 2f /(x 0) D . -f /(x 0)
43. 设f (x ) 在区间(1,4) 上有f /(x ) ≡0, f (3)=2. 则 A .f (x ) 严格单调增加; B. f (x ) 严格单调减少; C. f (x ) ≡2; D. f (x ) ≡0. 44.
函数y =, 当 A .x →2时; B .x →2+时; C .x →2-时; D .x →∞时. 45. . ⎰(3e ) x dx =
;
(3e ) x 1x x
+c . A .(3e ) +c ; B .(3e ) +c ; C .3e +c ; D .
31+ln 3
x
46. 设y =x n (n 为正整数) , 则y (n ) (1)= A . 0 B . 1 C . n D . n ! 二、填空题：（共48题，每题3分）
x x ) = 1. x lim
→+∞
x sin = 2. lim x →0-x ) = 3. lim(1x →0
1x
1x
4. y =
1
的定义域为
1+ln(x -2)
5. 若f (e x -1) =3x -2，则f (x ) ＝
x
的可去间断点为 tan x 3x 8
) = 7. lim(sin
x →π2
6. y =
2n 2+n +2
= 8. lim 2n →∞3n -7
9. (a x ) '=
10. f (x ) =x (x +1)(x +2) (x +49) ，则f '(0)= 11. 曲线的参数方程为⎨
⎧x =sin t , π
在t =处的法线方程为
4⎩y =cos 2t ,
12. 设y =cos x +x 2，则y (50)|x =0＝ 13. 若f (e x -1) =3x -2，则f '(x ) ＝ 14. y =f (
3x -2
), f '(x ) =arctan(x 2), 则y '|x =0= 3x +2
15. 若df (x ) =2x ，则f (x ) = 16. (sinx ) (n ) =
17. 若函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，则当 时，有ξ∈(a , b ) ，使得f '(ξ) =0。
18. 若函数y =f (x ) 在区间I 上连续，则当f '(x ) 时，函数
y =f (x ) 在区间I
上单调减少。
19. 若函数y =f (x ) 在区间I 上，f '(x ) ≡0，则函数y =f (x ) 为 函数。 20. lim
x →0
sin 2x
= sin 3x
21. f ''(x 0) =0，则x =x 0是函数y =f (x ) 拐点的条件 22. y =
2x
的最小值为 2
1+x
23.
y =的拐点是
24. f (x ) =arctan x -x 的单调减少区间是 25. xdx = d (1-x 2)
1
+1) d sin x = sin x dx
= 27. ⎰3+2x
26. ⎰(
28. ⎰a x +1dx = 29. ⎰ln xdx ＝ 30. ⎰e 3x +2dx = 31. ⎰tan 2xdx = 32. ⎰x sin xdx = 33. ⎰0x 2dx = 34. ⎰1=
35. y =sin x 在[0,π]上与x 轴围成的面积为
e
1
1x
36. (⎰1cos tdt ) '= 37. ⎰-2x 2sin xdx =
2
x 2
38. 函数f (x ) 在[a , b ]上有界是f (x ) 在[a , b ]上可积的 条件
39. 函数f (x ) 在[a , b ]上连续是f (x ) 在[a , b ]上可积的 条件
40. 若⎰1f (x ) dx =x 2+ln x -1，则f (x ) ＝
1-x
, 则y /=. 1+x
1
42. f (x ) =的连续区间是 2
1-ln x
x
41. 若y =
43. 已知F /(x ) =f (x ) , 则⎰a f (t +a ) dt = 44. f (x ) =(e x +e -x ) 的极小值为
+-45. f (x ) 当x →x 0时的右极限f (x 0) 及左极限f (x 0) 都存在且相等是
x
1
2
x →x 0
lim f (x ) 存在的 条件. n +1n
) = n +2
-t 2
46. lim(
n →∞
1
47. d (⎰cos x e dt ) =
48. 曲线y =e x +x 在点(0,1) 处的切线方程为 三、计算题：（共30题，每题6分） 1. 求lim 3x 3+4x 2+2.
3
2
x →∞7x
+5x -3
x 2-92．求lim
x →3x -3
. .
n +x n
) ，求f (x ) n -2
3．求lim
sin x x →0x 3+3x
4．若f (x +1) =lim(
n →∞
x n 5．若数列{x
n }满足：x 1
，x n +1=(n =2,3, ) ，求lim n →∞
6
．若y =ln(x ，求y ' 7. 求函数f (x ) =⎨
⎧2x , 0
的导数。 2
⎩x +1, 1
8. 若f (x ) 可导，y =f (sin2x ) +f (x 2) ，求y ' 9. 若y =y (x ) 由方程e x +y +xy =1确定，求10. 2cos(2x +1) dx .
x sin x 11. x lim →0+
dy dy 和|x =0 dx dx
12. 求y =(x -2) (x +1) 的单调区间
2
2
3
13. 在区间(-∞, 0]和[2/3, +∞) 上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是
凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点.
14。求a 为何值时，f (x ) =a sin x +sin 3x 在x =处取得极大值。
3
13
π
15
。求y =x +[-1, 2]的最大值与最小值 16
。
17。求⎰
1
1+e x
x 3
dx 18。⎰1+x 2
19
。20。⎰21
．⎰1
dx
4
x (1+x )
4
22
．⎰0 23
．0
π
2
24
．若f (x ) =x
2
⎰
1
f (x ) dx ，求f (x )
25．⎰04
x +2. x +1
⎧x =ln(1+t 2) dy d 2y
26．设⎨ , 求, 2
dx dx y =t -arctan t ⎩
27
．y =e e +ln(x 求y / 28．lim
x →0
tan x -sin x
3
x
sin x
x
x
29．⎰xf /(2x ) dx , 其中f (x ) 的原函数为
x 3sin 2x
30．⎰π(2+cos x cos 2x ) dx
-x +12
2
π
四、证明题（共12题，每题6分）
1. 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根. 2.
证明n →∞
+
=1
3. 若f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) b 。证明：存在ξ∈(a , b ) ，使得f (ξ) =ξ。 4. 若φ(x ) =a f
2
(x )
，且f '(x ) =
1
，证明φ'(x ) =2φ(x )
f (x )ln a
5. 若f (x ) 在(-∞, +∞) 内可导，且F (x ) =f (x 2-1) +f (1-x 2) 。证明：
F '(1)=F '(-1) 。
6. 设e 7. 证明: 当x >1时,
>3-1
x
4
(b -a ) 2e
.
8. 证 设f (x ) =ln(1+x ) , 显然f (x ) 在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理
的条件, 根据定理, 就有
f (x ) -f (0)=f '(ξ)(x -0) , 0
f '(x ) =1
1+x
, 因此上式即为
ln(1+x ) =x
1+.
又由0
x
9. 因为f (x +T ) =f (x ) 所以⎰a
a +T
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx +⎰
a
T
0T a +T
T
f (x ) dx
=⎰0f (x ) dx
10. 令2
x 2-9=x +3x -3
∴∀ε>0, 令7x -3
7
ε
取δ=, 当x -3
7
ε
有x 2-9
x 2=9 故lim x →3
11. 用反证法, 设方程有四个根x 1, x 2, x 3, x 4. 又设f (x ) =e x -(ax 2+bx +c ) 则有ξ1∈(x 1, x 2), ξ2∈(x 2, x 3), ξ3∈(x 3, x 4),
使得f '(ξ1) =f '(ξ2)=f '(ξ3)=0
同理有η1∈(ξ, ξ2), η2∈(ξ2, ξ3), 使得f ''(η1)=f ''(η2)=0
1
存在ζ∈(η1, η2), 使得f '''(ζ)=0 而f '''(x )=e x ≠0
故方程不可能有四个根, 也不可能有四个以上的根,
得证.
12. 证 作g (x ) =1[f (x ) +f (-x )],
2
1
h (x ) =[f (x ) -f (-x )],
2
则 f (x ) =g (x ) +h (x ) ,
且
1
g (-x ) =[f (-x ) +f (x )]=g (x ) ,
2
11
h (-x ) =[f (-x ) -f (x )]=-[f (x ) -f (-x )]=-h (x ) .
22
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一、单项选择题：（从下列各题备选答案中选出最适合的一个答案。共46题，每题3分）
1A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6C, 7A, 8A, 9B, 10C, 11C, 12B,
13C, 14C, 15B, 16A, 17B, 18B, 19A, 20A, 21A, 22C, 23D, 24A, 25D, 26D, 27C, 28D, 29D, 30D, 31C, 32A, 33B, 34B, 35D, 36B, 37D, 38A, 39D, 40B, 41C, 42B, 43C, 44C, 45D, 46B,
二、填空题：（共48题，每题3分） 1.
11
, 2. 0 3. 4. x >2 且x ≠e -1+2 2e
5. f (x ) =3ln x +1 6. x =0, x =k π+(k =±1, )
2
π
7. 0 8. 11. 14.
2
9. a x ln a 10. 49!
3
3
-2y -1=0 12. -1 13.
x
3n π
π 15. x 2+C 16. sin(+x )
24
17. f (a ) =f (b ) 18. f '(x ) >0 19. 常量
2
21. 必要 22. 0 3
1
23. (0,0) 24. (-∞, +∞) 25. -
2
11
+sin x +C 27. ln |3+2x |+C 26. -
sin x 21x 1
a +C 29. x ln x -x +C 30. e 3x +2+C 28. ln a 3
20.
31. tan x -x +C 32. -x cos x +sin x +C 33. 33.
1
34. 2 35. 1 3
36. 2x cos x 2 37. 0 38. 必要
39. 充分 40. 2x + 41.
-
2
2
(1+x )
1x
42. (-∞, +∞) 43. F (x +a ) -F (2a )
44. 1 45. 充分必要 46. e -1 47. sin xe -cos 2
x dx 48. 2x -y +1=0 三、计算题：（共30题，每题8分）
1. 3
3. 17
3
4. f (x ) =e x +1 5. 2
6.
7. f '(x ) =⎨
⎧2, 0
⎩
2x , 1
8. y '=sin(2x ) f '(sin2x ) +2xf '(x 2)
9. dy dx =-y +e x +y
x +e x +y
, dy dx |x =0=-1 10. y=sin(2x +1) , 求dy . 11. 1
12. 单调增加区间：(-1, -14
) 与(2,+∞) 单调增加区间：(-1
4
, +2) 13. 求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 14. a =2
15. 最大值3，最小值-1 16.
1
2
(arcsinx ) 2+C
17. ln(1+C 18. x -ln(1+e x ) +C 19. 12
[x 2-ln(1+x 2)]+C 20. -14ln(1+x 2) +ln |x |+C 21. 4ln 2-2ln 3
(-∞, -1) 与
22.
4
5
3π2
x 8
23. 24.
π-2
82225.
3
11
222dy t t d y 1+t 226.
=== ==2
dx 2t 2dx 4t 221+t 1+t
1-
27. y '=e e +x 28.
x
1 211
29. cos 2x -sin 2x +c
44x 230.
3
四、证明题（共12题，每题6分）
1. 证: 函数f (x ) = x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续, 又f (0)=1>0,
f (1)=-2
根据零点定理, 在(0, 1)内至少有一点ξ , 使得f (ξ) =0, 即 ξ 3-4ξ 2+1=0 (0
这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ .
2.
++
所以
n →∞
+=1
3. 令F (x ) =f (x ) -x 则 F (a ) F (b )
所以 存在ξ∈(a , b ) ，使得f (ξ) =ξ。 4. φ'(x ) =(a f
2
(x )
ln a )2f (x ) f '(x )
1
f (x )ln a
=φ(x )2f (x )ln a =2φ(x )
5. F '(x ) =2xf '(x 2-1) -2xf '(1-x 2)
=F '-( 1) ∴ F '(1)
6. 证明：令f (x ) =ln 2x ， x ∈[a , b ]
由lagrange 定理，∃x ∈(a , b ) ，st ln 2b -ln 2a = 令g (x ) =
2ln ξ
ξ
(b -a )
2ln x 2
，则 g '(x ) =2(1-ln x )
4) 2 所以 g (ξ) >g (e =e 4
即： ln 2b -ln 2a >2(b -a )
e
7. 证明: 令f (x ) =2
-(3-1) ,
x
则
1(x -1) . f '(x ) =1-1=
x 2x 2
因为当x >1时, f '(x ) >0, 因此f (x ) 在[1, +∞) 上f (x ) 单调增加, 从而当x >1时, f (x ) >f (1).
由于f (1)=0, 故f (x ) >f (1)=0, 即 -(3-1>0,
x
(x >1) .
也就是8. 证明当x >0时,
>3-1
x
x
9. 若f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续，且以T 为周期，证明
⎰
a +T
a
f (x ) d =⎰x
T
(f ) x d x
x 2=9 10. 用ε-δ定义证明: lim
x →3
11. 证明方程 e x -(ax 2+bx +c )=0至多有三个实根
12. 设函数f (x ) 的定义域为(-l , l ) , 证明必存在(-l , l ) 上的偶函数g (x ) 及
奇函数h (x ) , 使得f (x ) =g (x ) +h (x ) .
一、单项选择题：（从下列各题备选答案中选出最适合的一个答案。共46题，每题3分）
1. 下列函数中是偶函数的是 Ａ. y =sin
y =sin x
π
4
B. y =e x C. y =ln x D.
2. 若f (x ) 在[a , b ]上单调增加，g (x ) 在[a , b ]上单调减少，则下列命题中错误的是
Ａ. f (f (x )) 在[a , b ]上单调增加 B. f (g (x )) 在[a , b ]上单调减少
C. g (f (x )) 在[a , b ]上单调增加 D. g (g (x )) 在[a , b ]上单调增加
3. 下列极限正确的是 sin x 1
=1 B. lim x sin =1 x →∞x x 11sin x sin 不存在 D. lim =1 C. lim x →∞x x →∞x x
Ａ. lim x →π
x 2
-ax -b ) =0，则 4. 已知lim(
x →∞2x +1
111242111
Ｃ. a =-, b = Ｄ. a =, b =
242
2
Ａ. a =-, b =- Ｂ. a =, b =-
1
41 4
5. 设x →0时，e x cos x -e x 与x n 是同阶无穷小，则n 为 Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ.
5
Ｄ. 2 2
x
6. 若f (x ) =⎨， g (x ) =⎨，且f (x ) +g (x ) 在(-∞, +∞) 内
a , x ≥1x +3, x ≥0⎩⎩
连续，
则有 Ｃ
Ａ. a =2, b 为任意实数， Ｂ. b =2, a 为任意实数， Ｃ. a =2, b =3 Ｄ. a =2, b =2 7. 与f (x ) =2x 完全相同的函数是
Ａ. ln e 2x Ｂ. e ln 2x Ｃ. sin(arcsin2x ) Ｄ.
arcsin(sin2x )
8. 若f (sinx ) =cos 2x ，则f (x ) =
Ａ. 1-x 2 Ｂ. 1-2x 2 Ｃ. x 2-1 Ｄ.
2x 2-1
9. 函数f (x ) =sin 2x 在x =0处的导数是 Ａ. 1 B. 2 C. 0 D. 2cos 2x 10. 若f (x ) =log 2x 2，则y '= Ａ.
1122
B. C. D.
2x 2x ln 2x 2ln 2x 2
11. f -'(x ) 与f +'(x ) 都存在是f '(x ) 存在的 Ａ. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分也非必要条件
12. 已知可导函数y =f (x ) 在点x 0处f '(x 0) =，则当x →0时，dy 与∆x Ａ. 是等价无穷小 Ｂ. 是同阶非等价无穷小
Ｃ. dy 比∆x 高阶的无穷小 Ｄ. ∆x 比dy 高阶的无穷小
13. 设可导函数f (x ) 有f '(1)=1, y =f (lnx ) ，则dy |x =e 为
1
2
Ａ. dx Ｂ.
11
Ｃ. dx Ｄ. 1 e e
14. 设函数f (x ) 在U (0)内有定义，若x ∈U (0)时，恒有|f (x ) |≤x 2，
则x =0一定是f (x ) 的
Ａ. 连续而不可导点； Ｂ. 间断点；
Ｃ. 可导点，且f '(0)=0； Ｄ. 可导点，且f '(0)≠0。 15. y =x 3-1在点(1,0)处的法线的斜率是 Ａ. 3 Ｂ. -13
Ｃ. 2 Ｄ. -2 16. 若f (sinx ) =cos 2x ，则f '(x ) =Ａ. -2x Ｂ. 1-2x Ｃ. x -1 2x -1
17. 函
数f (x ) =在[0,1]使罗尔定理成立的ξ= Ａ. 0 B.
12 C. 22
3 D. 3
18. f (x ) =ln x 在[1,e ]上使拉格朗日定理成立的ξ=
Ａ. e -1
2 B. e -1 C.
e +12 D. e +1
3
19. lim
ln(1+2x )
x →0tan 2x
= Ａ. 1 B. 2 C. ∞ D. 12
20. 函数y =1
2
(e x -e -x ) 在(-1,1) 内Ａ. 单调增加 Ｂ. 单调减少 Ｃ. 不单调 Ｄ. 是一个常数 21. f '(x 0) =0是可导函数f (x ) 在x 0取得极值的 Ａ. 必要条件 Ｂ. 充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 无关条件
22. 若f '(x 0) =0，f ''(x 0) =0，则函数f (x ) 在x 0处
. Ｄ
Ａ. 一定有极大值， Ｂ. 一定有极小值， Ｃ. 可能有极值 Ｄ. 一定无极值 23. y =e -x 在定义域内是单调
Ａ. 增加且的 Ｂ. 增加且的凸 Ｃ. 减少且的凸 Ｄ. 减少且的凸 24. 曲线y =x 4-34x 2+6x 的凸区间为 Ａ. (-2, 2) Ｂ. (-∞,0) Ｃ. (0,+∞) Ｄ. (-∞, +∞)
25. 函数f (x ) 的一个原函数为1
x
，则f '(x ) = Ａ. ln x B.
1x C. -12
x
2 D. x 3 26. 函数f (x ) 的一个原函数为cos 2x ，则⎰f '(x ) dx = Ａ. cos 2x B. cos 2x +C C. -2sin 2x +C D. -2sin 2x 27. 下列各项正确的是
Ａ. [⎰f (x ) dx ]'=f (x ) B. d [⎰f (x ) dx ]=f (x ) dx C.
⎰f '(x ) dx =f (x ) +C D. ⎰dF (x ) =F (x )
28. 函数F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，则⎰
1
x 2
f (x ) dx = Ａ. F (1x ) Ｂ. -F (1
x )
Ｃ. F (1x ) +C Ｄ. -F (1
x ) +C
29. 若⎰f (x ) dx =ln x
x
+C ，则f (x ) = Ａ. ln x -1x 2
Ｂ. 12
ln 2
x Ｃ. ln ln x 1-ln x
x
2
. Ｄ
30. 若在(a , b ) 内， f '(x ) =g '(x ) ，则下列成立的是 Ａ. f (x ) =g (x ) ， Ｂ. f (x ) =g (x ) +1 Ｃ. [⎰f (x ) dx ]'=[⎰g (x ) dx ]' Ｄ.
⎰f '(x ) dx =⎰g '(x ) dx
31. 设f (x ) 的导数为ln x ，则f (x ) 的一个原函数为Ａ. x 22ln x -34
x 2+x +1 Ｂ. 1
x
Ｃ. x ln x -x Ｄ. 1
x
+x 32. ⎰darx tan x =
Ａ. arctan x Ｂ.
1
1+x
2
Ｃ. arctan x +C Ｄ.
1
1+x 2
+C 33. 下列各式中成立的是 Ａ. ⎰2
2
2
1
x dx >⎰2
x 31dx B.
⎰2
1
x dx
1x 3dx C.
⎰
2
x 2dx =⎰21
1
x 3dx D.
⎰
2
1
x 2dx =-⎰21
x 3dx
34. 21|ln x |dx = 2
Ａ.
1
211
ln xdx +ln xdx B. -ln xdx +2
⎰1⎰2
1
ln xdx
2
1
C. -⎰1
2
1ln xdx -⎰1ln xdx D.
-2
⎰
1
1ln xdx 2
⎰2
1
ln xdx
35. y =⎰x
0(t -1)(t -2) dx ，则y '(0)= Ａ. -2 B. 0 C. 1 36. 若⎰1
0(2x +k ) dx =2，则k = Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. -1 Ｄ. 1
2
37. ⎰3
0|x -1|dx =
D. 2
Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ.
b
b
5 2
38. 若f (x ) 是连续函数，则⎰f (x ) dx -⎰f (a +b -x ) dx = a a Ａ. 0， Ｂ. 1 Ｃ. [⎰f (x ) dx ]'=[⎰g (x ) dx ]' Ｄ. ⎰f '(x ) dx =⎰g '(x ) dx
39. ⎰π
x 2sin x
-π
1+x 2
dx Ａ. 2 Ｂ. -1 Ｃ. a +b Ｄ.
⎰
b
a
f (x ) dx
40. 若m =⎰1
1
0xdx ，n =⎰0ln(1+x ) dx 则 Ａ. m n Ｃ. m =n Ｄ. 以上都不对
⎧
x +1, -1
cos x +x sin x →0x , 0
0) 存在, 则lim
f h →0
h
=
A . f /(x 0) ; B . -2f /(x 0) ; C . 2f /(x 0) D . -f /(x 0)
43. 设f (x ) 在区间(1,4) 上有f /(x ) ≡0, f (3)=2. 则 A .f (x ) 严格单调增加; B. f (x ) 严格单调减少; C. f (x ) ≡2; D. f (x ) ≡0. 44.
函数y =, 当 A .x →2时; B .x →2+时; C .x →2-时; D .x →∞时. 45. . ⎰(3e ) x dx =
;
(3e ) x 1x x
+c . A .(3e ) +c ; B .(3e ) +c ; C .3e +c ; D .
31+ln 3
x
46. 设y =x n (n 为正整数) , 则y (n ) (1)= A . 0 B . 1 C . n D . n ! 二、填空题：（共48题，每题3分）
x x ) = 1. x lim
→+∞
x sin = 2. lim x →0-x ) = 3. lim(1x →0
1x
1x
4. y =
1
的定义域为
1+ln(x -2)
5. 若f (e x -1) =3x -2，则f (x ) ＝
x
的可去间断点为 tan x 3x 8
) = 7. lim(sin
x →π2
6. y =
2n 2+n +2
= 8. lim 2n →∞3n -7
9. (a x ) '=
10. f (x ) =x (x +1)(x +2) (x +49) ，则f '(0)= 11. 曲线的参数方程为⎨
⎧x =sin t , π
在t =处的法线方程为
4⎩y =cos 2t ,
12. 设y =cos x +x 2，则y (50)|x =0＝ 13. 若f (e x -1) =3x -2，则f '(x ) ＝ 14. y =f (
3x -2
), f '(x ) =arctan(x 2), 则y '|x =0= 3x +2
15. 若df (x ) =2x ，则f (x ) = 16. (sinx ) (n ) =
17. 若函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，则当 时，有ξ∈(a , b ) ，使得f '(ξ) =0。
18. 若函数y =f (x ) 在区间I 上连续，则当f '(x ) 时，函数
y =f (x ) 在区间I
上单调减少。
19. 若函数y =f (x ) 在区间I 上，f '(x ) ≡0，则函数y =f (x ) 为 函数。 20. lim
x →0
sin 2x
= sin 3x
21. f ''(x 0) =0，则x =x 0是函数y =f (x ) 拐点的条件 22. y =
2x
的最小值为 2
1+x
23.
y =的拐点是
24. f (x ) =arctan x -x 的单调减少区间是 25. xdx = d (1-x 2)
1
+1) d sin x = sin x dx
= 27. ⎰3+2x
26. ⎰(
28. ⎰a x +1dx = 29. ⎰ln xdx ＝ 30. ⎰e 3x +2dx = 31. ⎰tan 2xdx = 32. ⎰x sin xdx = 33. ⎰0x 2dx = 34. ⎰1=
35. y =sin x 在[0,π]上与x 轴围成的面积为
e
1
1x
36. (⎰1cos tdt ) '= 37. ⎰-2x 2sin xdx =
2
x 2
38. 函数f (x ) 在[a , b ]上有界是f (x ) 在[a , b ]上可积的 条件
39. 函数f (x ) 在[a , b ]上连续是f (x ) 在[a , b ]上可积的 条件
40. 若⎰1f (x ) dx =x 2+ln x -1，则f (x ) ＝
1-x
, 则y /=. 1+x
1
42. f (x ) =的连续区间是 2
1-ln x
x
41. 若y =
43. 已知F /(x ) =f (x ) , 则⎰a f (t +a ) dt = 44. f (x ) =(e x +e -x ) 的极小值为
+-45. f (x ) 当x →x 0时的右极限f (x 0) 及左极限f (x 0) 都存在且相等是
x
1
2
x →x 0
lim f (x ) 存在的 条件. n +1n
) = n +2
-t 2
46. lim(
n →∞
1
47. d (⎰cos x e dt ) =
48. 曲线y =e x +x 在点(0,1) 处的切线方程为 三、计算题：（共30题，每题6分） 1. 求lim 3x 3+4x 2+2.
3
2
x →∞7x
+5x -3
x 2-92．求lim
x →3x -3
. .
n +x n
) ，求f (x ) n -2
3．求lim
sin x x →0x 3+3x
4．若f (x +1) =lim(
n →∞
x n 5．若数列{x
n }满足：x 1
，x n +1=(n =2,3, ) ，求lim n →∞
6
．若y =ln(x ，求y ' 7. 求函数f (x ) =⎨
⎧2x , 0
的导数。 2
⎩x +1, 1
8. 若f (x ) 可导，y =f (sin2x ) +f (x 2) ，求y ' 9. 若y =y (x ) 由方程e x +y +xy =1确定，求10. 2cos(2x +1) dx .
x sin x 11. x lim →0+
dy dy 和|x =0 dx dx
12. 求y =(x -2) (x +1) 的单调区间
2
2
3
13. 在区间(-∞, 0]和[2/3, +∞) 上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是
凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点.
14。求a 为何值时，f (x ) =a sin x +sin 3x 在x =处取得极大值。
3
13
π
15
。求y =x +[-1, 2]的最大值与最小值 16
。
17。求⎰
1
1+e x
x 3
dx 18。⎰1+x 2
19
。20。⎰21
．⎰1
dx
4
x (1+x )
4
22
．⎰0 23
．0
π
2
24
．若f (x ) =x
2
⎰
1
f (x ) dx ，求f (x )
25．⎰04
x +2. x +1
⎧x =ln(1+t 2) dy d 2y
26．设⎨ , 求, 2
dx dx y =t -arctan t ⎩
27
．y =e e +ln(x 求y / 28．lim
x →0
tan x -sin x
3
x
sin x
x
x
29．⎰xf /(2x ) dx , 其中f (x ) 的原函数为
x 3sin 2x
30．⎰π(2+cos x cos 2x ) dx
-x +12
2
π
四、证明题（共12题，每题6分）
1. 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根. 2.
证明n →∞
+
=1
3. 若f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) b 。证明：存在ξ∈(a , b ) ，使得f (ξ) =ξ。 4. 若φ(x ) =a f
2
(x )
，且f '(x ) =
1
，证明φ'(x ) =2φ(x )
f (x )ln a
5. 若f (x ) 在(-∞, +∞) 内可导，且F (x ) =f (x 2-1) +f (1-x 2) 。证明：
F '(1)=F '(-1) 。
6. 设e 7. 证明: 当x >1时,
>3-1
x
4
(b -a ) 2e
.
8. 证 设f (x ) =ln(1+x ) , 显然f (x ) 在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理
的条件, 根据定理, 就有
f (x ) -f (0)=f '(ξ)(x -0) , 0
f '(x ) =1
1+x
, 因此上式即为
ln(1+x ) =x
1+.
又由0
x
9. 因为f (x +T ) =f (x ) 所以⎰a
a +T
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx +⎰
a
T
0T a +T
T
f (x ) dx
=⎰0f (x ) dx
10. 令2
x 2-9=x +3x -3
∴∀ε>0, 令7x -3
7
ε
取δ=, 当x -3
7
ε
有x 2-9
x 2=9 故lim x →3
11. 用反证法, 设方程有四个根x 1, x 2, x 3, x 4. 又设f (x ) =e x -(ax 2+bx +c ) 则有ξ1∈(x 1, x 2), ξ2∈(x 2, x 3), ξ3∈(x 3, x 4),
使得f '(ξ1) =f '(ξ2)=f '(ξ3)=0
同理有η1∈(ξ, ξ2), η2∈(ξ2, ξ3), 使得f ''(η1)=f ''(η2)=0
1
存在ζ∈(η1, η2), 使得f '''(ζ)=0 而f '''(x )=e x ≠0
故方程不可能有四个根, 也不可能有四个以上的根,
得证.
12. 证 作g (x ) =1[f (x ) +f (-x )],
2
1
h (x ) =[f (x ) -f (-x )],
2
则 f (x ) =g (x ) +h (x ) ,
且
1
g (-x ) =[f (-x ) +f (x )]=g (x ) ,
2
11
h (-x ) =[f (-x ) -f (x )]=-[f (x ) -f (-x )]=-h (x ) .
22
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一、单项选择题：（从下列各题备选答案中选出最适合的一个答案。共46题，每题3分）
1A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6C, 7A, 8A, 9B, 10C, 11C, 12B,
13C, 14C, 15B, 16A, 17B, 18B, 19A, 20A, 21A, 22C, 23D, 24A, 25D, 26D, 27C, 28D, 29D, 30D, 31C, 32A, 33B, 34B, 35D, 36B, 37D, 38A, 39D, 40B, 41C, 42B, 43C, 44C, 45D, 46B,
二、填空题：（共48题，每题3分） 1.
11
, 2. 0 3. 4. x >2 且x ≠e -1+2 2e
5. f (x ) =3ln x +1 6. x =0, x =k π+(k =±1, )
2
π
7. 0 8. 11. 14.
2
9. a x ln a 10. 49!
3
3
-2y -1=0 12. -1 13.
x
3n π
π 15. x 2+C 16. sin(+x )
24
17. f (a ) =f (b ) 18. f '(x ) >0 19. 常量
2
21. 必要 22. 0 3
1
23. (0,0) 24. (-∞, +∞) 25. -
2
11
+sin x +C 27. ln |3+2x |+C 26. -
sin x 21x 1
a +C 29. x ln x -x +C 30. e 3x +2+C 28. ln a 3
20.
31. tan x -x +C 32. -x cos x +sin x +C 33. 33.
1
34. 2 35. 1 3
36. 2x cos x 2 37. 0 38. 必要
39. 充分 40. 2x + 41.
-
2
2
(1+x )
1x
42. (-∞, +∞) 43. F (x +a ) -F (2a )
44. 1 45. 充分必要 46. e -1 47. sin xe -cos 2
x dx 48. 2x -y +1=0 三、计算题：（共30题，每题8分）
1. 3
3. 17
3
4. f (x ) =e x +1 5. 2
6.
7. f '(x ) =⎨
⎧2, 0
⎩
2x , 1
8. y '=sin(2x ) f '(sin2x ) +2xf '(x 2)
9. dy dx =-y +e x +y
x +e x +y
, dy dx |x =0=-1 10. y=sin(2x +1) , 求dy . 11. 1
12. 单调增加区间：(-1, -14
) 与(2,+∞) 单调增加区间：(-1
4
, +2) 13. 求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 14. a =2
15. 最大值3，最小值-1 16.
1
2
(arcsinx ) 2+C
17. ln(1+C 18. x -ln(1+e x ) +C 19. 12
[x 2-ln(1+x 2)]+C 20. -14ln(1+x 2) +ln |x |+C 21. 4ln 2-2ln 3
(-∞, -1) 与
22.
4
5
3π2
x 8
23. 24.
π-2
82225.
3
11
222dy t t d y 1+t 226.
=== ==2
dx 2t 2dx 4t 221+t 1+t
1-
27. y '=e e +x 28.
x
1 211
29. cos 2x -sin 2x +c
44x 230.
3
四、证明题（共12题，每题6分）
1. 证: 函数f (x ) = x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续, 又f (0)=1>0,
f (1)=-2
根据零点定理, 在(0, 1)内至少有一点ξ , 使得f (ξ) =0, 即 ξ 3-4ξ 2+1=0 (0
这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ .
2.
++
所以
n →∞
+=1
3. 令F (x ) =f (x ) -x 则 F (a ) F (b )
所以 存在ξ∈(a , b ) ，使得f (ξ) =ξ。 4. φ'(x ) =(a f
2
(x )
ln a )2f (x ) f '(x )
1
f (x )ln a
=φ(x )2f (x )ln a =2φ(x )
5. F '(x ) =2xf '(x 2-1) -2xf '(1-x 2)
=F '-( 1) ∴ F '(1)
6. 证明：令f (x ) =ln 2x ， x ∈[a , b ]
由lagrange 定理，∃x ∈(a , b ) ，st ln 2b -ln 2a = 令g (x ) =
2ln ξ
ξ
(b -a )
2ln x 2
，则 g '(x ) =2(1-ln x )
4) 2 所以 g (ξ) >g (e =e 4
即： ln 2b -ln 2a >2(b -a )
e
7. 证明: 令f (x ) =2
-(3-1) ,
x
则
1(x -1) . f '(x ) =1-1=
x 2x 2
因为当x >1时, f '(x ) >0, 因此f (x ) 在[1, +∞) 上f (x ) 单调增加, 从而当x >1时, f (x ) >f (1).
由于f (1)=0, 故f (x ) >f (1)=0, 即 -(3-1>0,
x
(x >1) .
也就是8. 证明当x >0时,
>3-1
x
x
9. 若f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续，且以T 为周期，证明
⎰
a +T
a
f (x ) d =⎰x
T
(f ) x d x
x 2=9 10. 用ε-δ定义证明: lim
x →3
11. 证明方程 e x -(ax 2+bx +c )=0至多有三个实根
12. 设函数f (x ) 的定义域为(-l , l ) , 证明必存在(-l , l ) 上的偶函数g (x ) 及
奇函数h (x ) , 使得f (x ) =g (x ) +h (x ) .