双曲线焦点三角形的几个性质

双曲线焦点三角形的几个性质文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：

为双x2y2设若双曲线方程为221，F1,F2分别为它的左右焦点，Pab

曲线上任意一点，则有：

性质1、若FPF12,则SFPF12b2cot；特别地，当FPF12902时，有SFPFb2。 12

22PF1PF2cos|PF1|2|PF2|2|FF|12

22PF1PF2cos(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2||FF12|

2PF1PF2cos(2a)22|PF1||PF2|(2c)2

2PF1PF2(cos1)4(a2c2)

b2b2

PF1PF221cossin2

SF1PF2, 1|PF1||PF2|sin 2 2sincosb2cot 2222sin2

2b2

易得90时，有SFPFb2 12

性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。

x2y2证明：设双曲线221的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，ab

PF2于点A,B,C，双曲线的两个顶点为A1,A2

|PF1||PF2||CF1||BF2|AF1||AF2|

|PF1||PF2|2a，|AF1||AF2|2a,

A在双曲线上，又A在FF12上，

A是双曲线与x轴的交点即点A

1,A2

性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则|BA|e |AP|

证明：由角平分线性质得

||FB||FB||F2B|2c|BA||FB121e |AP||FP|F2P||FP2a1|1||F2P|

性质4、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PFF12,PF2F1, 当点P在双曲线右支上时，有tan当点Pe1cot; 22e1e1在双曲线左支上时，有cottan 22e

证明：由正弦定理知|F2P||FP||FF12|1 sinsinsin()

|F2P||FP|FF1|12| sinsinsin()由等比定理，上式转化为

2a2csinsinsin()

2sincossinsincoscossincsin()asinsin2cossinsinsincoscossin2222222

分子分母同除以costansin，得 22cot1e1 etancot22e1tancot122