7-3 电场强度 一、 静电场
人们通过反复研究，终于弄清了任何电荷在其周围都将激发起电场，电荷间的相互作用是通过电场对电荷的作用来实现的。 现在我们将从施力和作功这两方面来研究静电场的性质，分别引出描述电场性质的两个物理量——电场强度和电势。
二、电场强度
在静止电荷周围存在着静电场，静电场遍布静止电荷周围的全部空间。 电场对处于其中的电荷施以作用力。 如下图所示，在静止电荷Q 周围的静电场中，先后将试验电荷+q 0放到电场中A 、B 和C 三个不同的位置处。 我们发现，试验电荷+q 0在电场中不同位置处所受到的电场力F 的值和方向均不相同。 另一方面就电场中的某一点而言，只与q 0的大小有关，但F 与q 0之比，则与
q 0无关，为一不变的矢量。 显然，这个不变的矢量只与该点处的电场有关，所以该矢量叫做电
场强度，用符号E 表示，有
E =
F
q 0 （7-2）
它表明，电场中某点处的电场强度E 等于位于该点处的单位试验电荷所受的电场力。电场强度是空间位置的函数。由于我们取试验电荷为正电荷，故E 的方向与试验电荷所受力F 的方向相同。
在国际单位中，电场强度的单位为牛顿每库仑，符号为N ⋅C ；电场强度的单位亦为伏特每米，符号为V ⋅m 。
应当指出，在已知电场强度分布的电场中，电荷q 在场中某点处所受的力F ，可由式（7-2）算得
-1
-1
F = q E
三、点电荷电场强度
由库仑定律及电场强度定义式，可求得真空中点电荷周围电场的电场强度。
如 上图所示，在真空中，点电荷Q 位于直角坐标系的原点O ，由原点O 指向场点P 的位矢为
r 。 若把试验电荷q 0置于场点P ，由库仑定律可得q 0所受的电场力为
F =
1Qq 0
e r
4πε0r 2
（7-3）
e r 为位矢r 的单位矢量，即e r =r /r。 由电场强度定义式（7-2）可得场点P 电场强度为
E =
F 1Q =e 2r q 04πε0r （7-4）
例 把一个点电荷（q =-62×10C ）放在电场中某点处，该电荷受到的电场力为F =3.2×10i +1.3×10j N. 求该电荷所在处的电场强度。
-6
-6
-9
解 由电场强度的定义式（7-2），可得电荷所在处的电场强度为
F 3. 2⨯10-6i +1. 3⨯10-6j N
E ==
q -62⨯10-9C =-(51. 6i +21. 90j ) N ⋅C -1
E 的大小为
E =(-51. 6) 2+(21. 0) 2N ⋅C -1=55. 71 N ⋅C -1
E 的方向则可按如下方法求得。 F 与x 轴的夹角α为
1. 3⨯10-6
α=arctg =arctg =22. 1︒
F x 3. 2⨯10-6
F y
E 与x 的夹角为α'
α'=arctg
E y E x
=arctg
-21. 0
=22. 1︒-51. 0
即E 的方向与F 的方向相反，如下图所示。
四、电场强度叠加原理
下面我们先介绍由力的叠加原理得到的电场强度叠加原理。
设真空中一点电荷系由Q 1，Q 2和Q 3三个点电荷组成(下图) ，在场点P 处放置
一试验电荷q 0，且Q 1，Q 2和Q 3到点P 的矢量为r 1, r 2和r 3。若试验电荷q 0受到Q 1，
Q 2
和Q 3的作用力分别为F 1，F 2和F 3，根据力的叠加原理可得作用在试验电荷q 0上
的力F 为
F =F 1+F 2+F 3
由库仑定律可知F 1, F 2和F 3分别为
F 1=
1q 0Q 1
e 1
4πε0r 12
，
F 2=
1q 0Q 2
e 2
4πε0r 22
，
F 3=
1q 0Q 3
e 3
4πε0r 32
式中e 1, e 2和e 3分别为矢量r 1, r 2和r 3的单位矢量。
另外，按照电场强度定义式（7-2），可得点P 处的电场强度为
E =
F F F F
=1+2+3=E 1+E 2+E 3q 0q 0q 0q 0
（7-5）
于是，点P 处的电场强度为
E =
1
Q 1
上述结论虽是从三个点电荷组成的点电荷系得出的，显然不难推广至由任意数目点电荷所组成的点电荷系，故可以得到普遍结论如下：点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对该点所激起的电场强度的矢量和。这就是电场强度的叠加原理，其数学表达式为
E =∑E i =
i =1n
4πε0r 12
e 1+
1
Q 2
4πε0r 22
e 2+
1
Q 3
4πε0r 32
e 3
14πε0
∑r
i =1
n
Q i
2i
e i
如下图所示，有一体积为V ，电荷连续分布的带电体，现在来计算点P 处的电场强度。首先，我们在带电体上取电荷元d q ，其线度相对于V 可视为无限小，从而可将d q 作为一个点电荷对待。于是d q 在点P 的电场强度为
1d q
e r
4πε0r 2
d E =
式中e r 为由d q 指向点P 的单位矢量。 其次，取各电荷元对点P 处的电场强度，并求矢量积分。 于是可得电荷系在点P 处的电场强度E
1e r
d q
4πε0r 2
E =⎰ d E =⎰
V
V
（7-7）
若d V 为电荷元d q 的体积元，ρ为其电荷体密度，则d q =ρd V 。于是，式（7-7）亦可写成
1ρ e r
d V
4πε0r 2
E =⎰
V
顺便指出，对于电荷连续分布的线带电体和面带电体来说，电荷元d q 分别为
d q =λd l
和d q =σd S ， 其中λ为电荷线密度，σ为电荷面密度，则由式（7-7）可得
它们的电场强度分别为
1λe r 1σe r
l , E =d S 22⎰ l 4πε S 4πεr r 00
E =⎰
例1 如右图所示，正电荷q 均匀地分布在半径为R 的圆环上。 计算在环的轴线上任一点P 处的电场强度。
解 设圆环在如图所示的yz 平面上，坐标原点与环心相重合。 点P 与环心O 的距离为x 。 由题意知圆环上的电荷是均匀分布的，故其电荷线密度λ为一常量，且λ=q /2πR 。 在环上取线段元d l ，其电荷元d q =λd l ，此电荷元对点P 处激起的电场强度为
d E =
1λd l
e r
4πε0r 2
根据电场强度叠加原理，我们可以计算电荷连续分布的电荷系的电场强度。
由于电荷分布的对称性，圆环上各电荷元对点P 处激发的电场强度d E 的分布也具有对称性。 由图可见，d E 在垂直于x 轴方向上的分量d E ⊥将互相抵消，即
⎰d E
⊥
=0
；但d E 沿x 轴的分量d E x 由于都具有相同的方向而互相增强。 由图可知，
d E x =d E cos θ
d E 沿x 轴的分量；对这些分量求积分，有
E =⎰d E x =⎰d E cos θ
l
l
(1)
因为
d E cos θ=
1λd l x 1λx
=d l 22
4πε0r r 4πε0(x +R 2) 3/2
代入式（1），有
1λx 4πε0(x 2+R 2) 3/2
E =
⎰
2πR
d l
故知
qx 1
4πε0(x 2+R 2) 3/2
E =
(2)
上式表明，均匀带电圆环对轴线上任意点处的电场强度，是该点距环心O 的距离x 的函数，即E = E (x ) 。下面对几个特殊点的情况作一些讨论。
223/23
若x >>R ，则(x +R ) ≈x ，这时有
（1）
E ≈
1q 4πε0x 2
(3)
亦即在远离圆环的地方，可以把带电圆环看成为点电荷。 这正与我们在前面对点电荷的论述相一致。
（2）若x ≈0，E ≈0。 这表明环心处的电场强度为零
d E =0d x （3）由可求得电场强度极大的位置，故有
qx d 1[]=0dx 4πε0(x 2+R 2) 3/2
得
x =±
2R
2 （4）
这表明，圆环轴线上具有最大电场强度的位置，位于原点O 两侧的
-
R
2处。
+
2R 2和
例2 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度。如下图所示，有一半径为R 0，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为σ。 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度。
解 取如图所示的坐标，薄圆盘的平面在yz 平面内，盘心位于坐标原点O 。 由于圆盘上的电荷分布是均匀的，故圆盘上的电荷为
2
q =σπR 0
我们把圆盘分成许多细圆环带，其中半径为R ，宽度为d R 的环带面积为2πR d R ，此环带上的电荷为d q =σ2πR d R 。由例1可知，环带上的电荷对x 轴上点P 处激起的电场强度为
x d q σxR d R
=
4πε0(x 2+R 2) 3/22ε0(x 2+R 2) 3/2
d E x =
由于圆盘上所有带电的环带在点P 处的电场强度都沿x 轴同一方向，故由上式可得带电圆盘的轴线上点P 处的电场强度为
σx 2ε0
R d R
(x 2+R 2) 3/2
E =⎰d E x =⎰
R 0
积分后，得
σ x 11
(-)
2222ε0
x x +R 0
E =
(1)
讨论
如果x
1x 2
1x 2+R 02
1x 2
(
-) ≈
于是(1)为
σ
2ε0
E =
(2)
上式表明，很大的均匀带电平面附近的电场强度E 的值是一个常量，E 的方向与平面垂直。 因此，很大的均匀带电平面附近的电场可看作均匀电场。
例3
求均匀带电圆弧圆心处的电场强度
φ总电荷为Q ，
例 均匀带电圆弧其半径为R ，所对的圆心角为0，求圆心O 处的电场强度。
解 我们建立如上图所示的坐标轴。取θ到θ+d θ的圆弧作为 电荷元d q 。这时，圆弧上的
电荷密度
λ=
q
R φ0，
则电荷元
d q =λ⋅d l =
q q ⋅R ⋅d θ=d θR φ0φ0
，
d q 在O 点处的电场强度
d q q
e =⋅d θe r 2r
4πε0R 4πε0R 2φ0
当θ变化时，d E 的方向在不断变化，不能直接积分。必须将d E 分解到x , y 坐标轴上，由图
d E =
可见
d E x =-d E ⋅sin θi , d E
y
=-d E ⋅cos θj
。
因为带电圆弧对y 轴对称，所以
⎰d E
x
=0
，
电场强度应在y 轴方向。 故
q
E =E y =-
4πε0R 2φ0
=-
⎰φ
-
φ0
2
cos θ⋅d θj
2
φq
sin o j 2
24πε0R φ0
例4 求均匀带电半球面球心处的电场强度
例 半径为R 的均匀带电半球面，设球面的电荷面密度为σ，半径为R 。求球心处的电场
强度
解 我们取θ→θ+d θ，ϕ→ϕ+d ϕ面元，当d θ，d ϕ很小时，面元可近似为矩形
d S =(R ⋅d θ)(R ⋅sin θ) d ϕ
相应的电荷元
d q =σ⋅dS =σ⋅R 2⋅d ϕ⋅sin θd θ
d q 在球心处的电场强度
d E =
d q σ
e =d ϕ⋅sin θd θ⋅e R R
4πε04πε0R 2
当电荷元在球面上随为d E //
θ, ϕ
变动时，d E 的方向不断改变，按矢量叠加的一般方法，将d E 分解
与
d E ⊥
d E //=0
，故
d E ⊥
因球面的对称性，⎰S
的叠加即为所求之电场强度
d E ⊥=d E cos θ
所以
2πσE ⊥=sin θ⋅cos θ⋅d θ⎰d ϕ4πε0⎰00π2
=σ12πsin 2ε022
σ=4ε0
方向沿球面的轴线向下。
五、思考题
1、在不同形状的带电体中，电荷元d q 有多种表示，你能否将它们逐一表示出来
2、均匀带电的正方形线框，中心处的电场强度等于多少？
7-3 电场强度 一、 静电场
人们通过反复研究，终于弄清了任何电荷在其周围都将激发起电场，电荷间的相互作用是通过电场对电荷的作用来实现的。 现在我们将从施力和作功这两方面来研究静电场的性质，分别引出描述电场性质的两个物理量——电场强度和电势。
二、电场强度
在静止电荷周围存在着静电场，静电场遍布静止电荷周围的全部空间。 电场对处于其中的电荷施以作用力。 如下图所示，在静止电荷Q 周围的静电场中，先后将试验电荷+q 0放到电场中A 、B 和C 三个不同的位置处。 我们发现，试验电荷+q 0在电场中不同位置处所受到的电场力F 的值和方向均不相同。 另一方面就电场中的某一点而言，只与q 0的大小有关，但F 与q 0之比，则与
q 0无关，为一不变的矢量。 显然，这个不变的矢量只与该点处的电场有关，所以该矢量叫做电
场强度，用符号E 表示，有
E =
F
q 0 （7-2）
它表明，电场中某点处的电场强度E 等于位于该点处的单位试验电荷所受的电场力。电场强度是空间位置的函数。由于我们取试验电荷为正电荷，故E 的方向与试验电荷所受力F 的方向相同。
在国际单位中，电场强度的单位为牛顿每库仑，符号为N ⋅C ；电场强度的单位亦为伏特每米，符号为V ⋅m 。
应当指出，在已知电场强度分布的电场中，电荷q 在场中某点处所受的力F ，可由式（7-2）算得
-1
-1
F = q E
三、点电荷电场强度
由库仑定律及电场强度定义式，可求得真空中点电荷周围电场的电场强度。
如 上图所示，在真空中，点电荷Q 位于直角坐标系的原点O ，由原点O 指向场点P 的位矢为
r 。 若把试验电荷q 0置于场点P ，由库仑定律可得q 0所受的电场力为
F =
1Qq 0
e r
4πε0r 2
（7-3）
e r 为位矢r 的单位矢量，即e r =r /r。 由电场强度定义式（7-2）可得场点P 电场强度为
E =
F 1Q =e 2r q 04πε0r （7-4）
例 把一个点电荷（q =-62×10C ）放在电场中某点处，该电荷受到的电场力为F =3.2×10i +1.3×10j N. 求该电荷所在处的电场强度。
-6
-6
-9
解 由电场强度的定义式（7-2），可得电荷所在处的电场强度为
F 3. 2⨯10-6i +1. 3⨯10-6j N
E ==
q -62⨯10-9C =-(51. 6i +21. 90j ) N ⋅C -1
E 的大小为
E =(-51. 6) 2+(21. 0) 2N ⋅C -1=55. 71 N ⋅C -1
E 的方向则可按如下方法求得。 F 与x 轴的夹角α为
1. 3⨯10-6
α=arctg =arctg =22. 1︒
F x 3. 2⨯10-6
F y
E 与x 的夹角为α'
α'=arctg
E y E x
=arctg
-21. 0
=22. 1︒-51. 0
即E 的方向与F 的方向相反，如下图所示。
四、电场强度叠加原理
下面我们先介绍由力的叠加原理得到的电场强度叠加原理。
设真空中一点电荷系由Q 1，Q 2和Q 3三个点电荷组成(下图) ，在场点P 处放置
一试验电荷q 0，且Q 1，Q 2和Q 3到点P 的矢量为r 1, r 2和r 3。若试验电荷q 0受到Q 1，
Q 2
和Q 3的作用力分别为F 1，F 2和F 3，根据力的叠加原理可得作用在试验电荷q 0上
的力F 为
F =F 1+F 2+F 3
由库仑定律可知F 1, F 2和F 3分别为
F 1=
1q 0Q 1
e 1
4πε0r 12
，
F 2=
1q 0Q 2
e 2
4πε0r 22
，
F 3=
1q 0Q 3
e 3
4πε0r 32
式中e 1, e 2和e 3分别为矢量r 1, r 2和r 3的单位矢量。
另外，按照电场强度定义式（7-2），可得点P 处的电场强度为
E =
F F F F
=1+2+3=E 1+E 2+E 3q 0q 0q 0q 0
（7-5）
于是，点P 处的电场强度为
E =
1
Q 1
上述结论虽是从三个点电荷组成的点电荷系得出的，显然不难推广至由任意数目点电荷所组成的点电荷系，故可以得到普遍结论如下：点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对该点所激起的电场强度的矢量和。这就是电场强度的叠加原理，其数学表达式为
E =∑E i =
i =1n
4πε0r 12
e 1+
1
Q 2
4πε0r 22
e 2+
1
Q 3
4πε0r 32
e 3
14πε0
∑r
i =1
n
Q i
2i
e i
如下图所示，有一体积为V ，电荷连续分布的带电体，现在来计算点P 处的电场强度。首先，我们在带电体上取电荷元d q ，其线度相对于V 可视为无限小，从而可将d q 作为一个点电荷对待。于是d q 在点P 的电场强度为
1d q
e r
4πε0r 2
d E =
式中e r 为由d q 指向点P 的单位矢量。 其次，取各电荷元对点P 处的电场强度，并求矢量积分。 于是可得电荷系在点P 处的电场强度E
1e r
d q
4πε0r 2
E =⎰ d E =⎰
V
V
（7-7）
若d V 为电荷元d q 的体积元，ρ为其电荷体密度，则d q =ρd V 。于是，式（7-7）亦可写成
1ρ e r
d V
4πε0r 2
E =⎰
V
顺便指出，对于电荷连续分布的线带电体和面带电体来说，电荷元d q 分别为
d q =λd l
和d q =σd S ， 其中λ为电荷线密度，σ为电荷面密度，则由式（7-7）可得
它们的电场强度分别为
1λe r 1σe r
l , E =d S 22⎰ l 4πε S 4πεr r 00
E =⎰
例1 如右图所示，正电荷q 均匀地分布在半径为R 的圆环上。 计算在环的轴线上任一点P 处的电场强度。
解 设圆环在如图所示的yz 平面上，坐标原点与环心相重合。 点P 与环心O 的距离为x 。 由题意知圆环上的电荷是均匀分布的，故其电荷线密度λ为一常量，且λ=q /2πR 。 在环上取线段元d l ，其电荷元d q =λd l ，此电荷元对点P 处激起的电场强度为
d E =
1λd l
e r
4πε0r 2
根据电场强度叠加原理，我们可以计算电荷连续分布的电荷系的电场强度。
由于电荷分布的对称性，圆环上各电荷元对点P 处激发的电场强度d E 的分布也具有对称性。 由图可见，d E 在垂直于x 轴方向上的分量d E ⊥将互相抵消，即
⎰d E
⊥
=0
；但d E 沿x 轴的分量d E x 由于都具有相同的方向而互相增强。 由图可知，
d E x =d E cos θ
d E 沿x 轴的分量；对这些分量求积分，有
E =⎰d E x =⎰d E cos θ
l
l
(1)
因为
d E cos θ=
1λd l x 1λx
=d l 22
4πε0r r 4πε0(x +R 2) 3/2
代入式（1），有
1λx 4πε0(x 2+R 2) 3/2
E =
⎰
2πR
d l
故知
qx 1
4πε0(x 2+R 2) 3/2
E =
(2)
上式表明，均匀带电圆环对轴线上任意点处的电场强度，是该点距环心O 的距离x 的函数，即E = E (x ) 。下面对几个特殊点的情况作一些讨论。
223/23
若x >>R ，则(x +R ) ≈x ，这时有
（1）
E ≈
1q 4πε0x 2
(3)
亦即在远离圆环的地方，可以把带电圆环看成为点电荷。 这正与我们在前面对点电荷的论述相一致。
（2）若x ≈0，E ≈0。 这表明环心处的电场强度为零
d E =0d x （3）由可求得电场强度极大的位置，故有
qx d 1[]=0dx 4πε0(x 2+R 2) 3/2
得
x =±
2R
2 （4）
这表明，圆环轴线上具有最大电场强度的位置，位于原点O 两侧的
-
R
2处。
+
2R 2和
例2 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度。如下图所示，有一半径为R 0，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为σ。 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度。
解 取如图所示的坐标，薄圆盘的平面在yz 平面内，盘心位于坐标原点O 。 由于圆盘上的电荷分布是均匀的，故圆盘上的电荷为
2
q =σπR 0
我们把圆盘分成许多细圆环带，其中半径为R ，宽度为d R 的环带面积为2πR d R ，此环带上的电荷为d q =σ2πR d R 。由例1可知，环带上的电荷对x 轴上点P 处激起的电场强度为
x d q σxR d R
=
4πε0(x 2+R 2) 3/22ε0(x 2+R 2) 3/2
d E x =
由于圆盘上所有带电的环带在点P 处的电场强度都沿x 轴同一方向，故由上式可得带电圆盘的轴线上点P 处的电场强度为
σx 2ε0
R d R
(x 2+R 2) 3/2
E =⎰d E x =⎰
R 0
积分后，得
σ x 11
(-)
2222ε0
x x +R 0
E =
(1)
讨论
如果x
1x 2
1x 2+R 02
1x 2
(
-) ≈
于是(1)为
σ
2ε0
E =
(2)
上式表明，很大的均匀带电平面附近的电场强度E 的值是一个常量，E 的方向与平面垂直。 因此，很大的均匀带电平面附近的电场可看作均匀电场。
例3
求均匀带电圆弧圆心处的电场强度
φ总电荷为Q ，
例 均匀带电圆弧其半径为R ，所对的圆心角为0，求圆心O 处的电场强度。
解 我们建立如上图所示的坐标轴。取θ到θ+d θ的圆弧作为 电荷元d q 。这时，圆弧上的
电荷密度
λ=
q
R φ0，
则电荷元
d q =λ⋅d l =
q q ⋅R ⋅d θ=d θR φ0φ0
，
d q 在O 点处的电场强度
d q q
e =⋅d θe r 2r
4πε0R 4πε0R 2φ0
当θ变化时，d E 的方向在不断变化，不能直接积分。必须将d E 分解到x , y 坐标轴上，由图
d E =
可见
d E x =-d E ⋅sin θi , d E
y
=-d E ⋅cos θj
。
因为带电圆弧对y 轴对称，所以
⎰d E
x
=0
，
电场强度应在y 轴方向。 故
q
E =E y =-
4πε0R 2φ0
=-
⎰φ
-
φ0
2
cos θ⋅d θj
2
φq
sin o j 2
24πε0R φ0
例4 求均匀带电半球面球心处的电场强度
例 半径为R 的均匀带电半球面，设球面的电荷面密度为σ，半径为R 。求球心处的电场
强度
解 我们取θ→θ+d θ，ϕ→ϕ+d ϕ面元，当d θ，d ϕ很小时，面元可近似为矩形
d S =(R ⋅d θ)(R ⋅sin θ) d ϕ
相应的电荷元
d q =σ⋅dS =σ⋅R 2⋅d ϕ⋅sin θd θ
d q 在球心处的电场强度
d E =
d q σ
e =d ϕ⋅sin θd θ⋅e R R
4πε04πε0R 2
当电荷元在球面上随为d E //
θ, ϕ
变动时，d E 的方向不断改变，按矢量叠加的一般方法，将d E 分解
与
d E ⊥
d E //=0
，故
d E ⊥
因球面的对称性，⎰S
的叠加即为所求之电场强度
d E ⊥=d E cos θ
所以
2πσE ⊥=sin θ⋅cos θ⋅d θ⎰d ϕ4πε0⎰00π2
=σ12πsin 2ε022
σ=4ε0
方向沿球面的轴线向下。
五、思考题
1、在不同形状的带电体中，电荷元d q 有多种表示，你能否将它们逐一表示出来
2、均匀带电的正方形线框，中心处的电场强度等于多少？