一、填空题
⎡1⎢3⎢A =⎢0
⎢⎢⎢0
-1
⎢⎣1.(1995—Ⅰ, Ⅱ) 设三阶方阵A , B 满足关系式A BA =6A +BA , 且
B =0140
⎤
0⎥⎥0⎥⎥⎥1⎥⎥, 则7⎦
2.(1995—Ⅳ, Ⅴ) 设
⎡1
⎢A =2
⎢⎢⎣3
024
0⎤
⎥0⎥5⎥⎦
*
, A 为A 的伴随矩阵, 则(A )
*-1
=
3.(1996—Ⅰ, Ⅱ) 设A 是4⨯3矩阵, 且A 的秩R (A ) =2, 而
⎡1⎢B =0
⎢⎢⎣-1
020
2⎤
⎥0⎥3⎥⎦
, 则
R (AB ) =
4.(1997—Ⅰ) 设
⎡1
⎢A =4
⎢⎢⎣3
2t -1
-2⎤
⎥3⎥1⎥⎦
, B 为三阶非零矩阵, 且A B =0, 则t =5.(1997—Ⅱ) 已知向量组
α1=(1,2, -1,1), α2=(2,0, t , 0), α3=(0,-4, 5, -2) 的秩为2, 则
2
2
2
t = 6.(1997—Ⅲ) 若二次型
是 .
*
f (x 1, x 2, x 3) =2x 1+x 2+x 3+2x 1x 2+tx 2x 3是正定的, 则t 的取值范围
7.(1998—Ⅰ) 设A 为n 阶矩阵,
2
A ≠0, A
*
为A 的伴随矩阵, E 为n 阶单位矩阵. 若A 有特征值λ, 则
(A ) +E 必有特征值.
*
8.(1998—Ⅲ, Ⅳ) 设矩阵A , B 满足A BA =2BA -8E , 其中
⎡1⎢A =0
⎢⎢⎣0
0-20
0⎤
⎥0, E ⎥1⎥⎦
为单位矩
阵, A 为A 的伴随矩阵, 则B =.
*
2A B =A =2, B =-3
9.(1998—Ⅳ) 设A , B 均为n 阶矩阵, , 则. 10.(1999—Ⅰ) 设n 阶矩阵A 的元素全为1, 则A 的n 个特征值是 .
*-1
12.(1999—Ⅲ, Ⅳ) 设
⎡1⎢A =0
⎢⎢⎣1
020
1⎤
⎥0⎥1⎥⎦
n n -1
=. , 而n ≥2为正整数, 则A -2A
13.(1999—Ⅳ) 已知AB -B =A , 其中
⎡1
⎢B =2
⎢⎢⎣0
-210
0⎤
⎥0⎥2⎥⎦
, 则A =
14.(2000—Ⅰ) 已知方程组
⎡1⎢2⎢⎢⎣1
23a 03-40
⎤⎡x 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥a +2x 2=3
⎥⎢⎥⎢⎥-2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦无解, 则a =. 005-6
0⎤
⎥0⎥, E 0⎥⎥-17⎦为4阶单位矩阵, 且B =(E +A ) (E -A ) , 则
1
1
1
⎡1
⎢-2⎢A =⎢0⎢⎣015.(2000—Ⅱ) 设
-1
(E +B )
=.
,
11
16.(2000—Ⅲ) 若四阶矩阵A 与B 相似, A 的特征值为2345, 则行列式
B
-1
-E =
T
T
aE -A =
17.(2000—Ⅳ) 设α=(1,0, -1) , 矩阵A =αα, n 为正整数, 则. 18.(2000—Ⅳ) 已知四阶矩阵A 相似于B , A 的特征值为2, 3, 4, 5, E 为四阶单位矩阵, 则
n
B -E =
-1
2
19.(2001—Ⅰ) 设矩阵A 满足A +A -4E =O , 其中E 为单位矩阵, 则(A -E ) =.
20.(2001—Ⅱ) 设方程组
⎡a ⎢1⎢⎢⎣1
1a 1
1⎤⎡x 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥1x 2=1⎥⎢⎥⎢⎥a ⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣-2⎥⎦有无穷多个解, 则a =. 1k 1102-73
2
⎡k ⎢1⎢A =⎢1⎢⎣121.(2001—Ⅲ, Ⅳ) 设矩阵
3D =
20
11k 1420-2
2
1⎤
⎥1⎥1⎥⎥
k ⎦, 且秩(A ) =3, 则k =020
2, 则第四行各元素余子式之和的值为2
522.(2001—Ⅳ) 设行列式
23.(2002—Ⅰ) 已知实二次型
f (x 1, x 2, x 3) =a (x 1+x 2+x 3) +4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3
2
f =6y x =Py 1经正交变换可化成标准形, 则a = 24.(2002—Ⅱ) 矩阵
⎡0
⎢2⎢⎢⎣-2
-22-2
-2⎤
⎥-2⎥2⎥⎦
的非零特征值是 .
25.(2002—Ⅲ) 设三阶矩阵
⎡1⎢A =2
⎢⎢⎣3
210
-2⎤
⎥2⎥4⎥⎦
, 三维列向量α=(a ,1,1) . 已知A α与α线性相关,
T
则a =.
⎡1A =⎢
⎣226.(2002—Ⅳ) 设矩阵-1⎤2
⎥, B =A -3A +2E -13⎦, 则B = 48.(2002—Ⅳ) 设向量组α1=(a , 0, c ), α2=(b , c , 0), α3=(0,a , b ) 线性无关, 则a b c 必满足
关系式 .
27.(2003—Ⅰ) 从R 为 .
2
的基
α1=⎢⎥, α2=⎢
⎣0⎦
⎡1⎤
⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤
β=, β=1⎥⎢⎥2⎢⎥
⎣-1⎦到基⎣1⎦⎣2⎦的过渡矩阵
αα
28.(2003—Ⅱ) 设α为3维列向量, α
T
T
是α的转置, 若
⎡1
⎢=-1⎢⎢⎣1
-11-1
1⎤
⎥-1⎥1⎥⎦
, 则αα=T
2
29.(2003—Ⅱ) 设三阶方阵A , B 满足A B -
A -B =E , 其中E 为三阶单位矩阵, 若
⎡1
⎢A =0
⎢⎢⎣-2
020
1⎤
⎥0⎥1⎥⎦
, 则
B =
.
T
, , a 0, a )
1T T
A =E -αα, B =E +αα
a , 其中A 的逆矩阵为B , 则a =.
31.(2003—Ⅳ) 设A , B 均为三阶方阵, E 为三阶单位矩阵, 已知
-1
⎡2
⎢
AB =2A +B , B =0
⎢⎢⎣2
040
2⎤
⎥0⎥2⎥⎦
, 则
(A -E )
= 32.(2004—Ⅰ, Ⅱ) 设矩阵
⎡2
⎢A =1
⎢⎢⎣0
120
0⎤
⎥0⎥1⎥⎦
, 矩阵B 满足ABA =2BA +E , 其中A 为A 的伴随
***
矩阵, E 是单位矩阵, 则
B =
.
2
2
2
f (x 1, x 2, x 3) =(x 1+x 2) +(x 2-x 3) +(x 3+x 1) 的秩为.
33.(2004—Ⅲ) 二次型
34.(2004—Ⅳ) 设⎡0⎢A =1
⎢⎢⎣0
-100
0⎤
⎥-1
0, B =P AP ⎥-1⎥⎦
, 其中P 为三阶可逆矩阵, 则B
T
2004
-2A =
2
35.(2004—Ⅳ) 设
是 .
36 .(2005—Ⅰ) 设
A =(a ij ) 3⨯3
a =1, b =(1,0, 0) , 则线性方程组A x =b 的解
是实正交矩阵, 且11
均为三维列向量，记矩阵
，
α1，α2，α3
A =(α1，α2，α3) ，B =(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)
如果
A =1
，那么
B =
37. .(2005—Ⅲ) 设行向量组则a =
(2，1，1，1) ，(2，1，. a ，. a ) ，(3，2，1，. a ) ，(4，3，2，1)
线性相关，且a ≠1，
⎛2A =
⎝-138. .(2006—Ⅰ) 设矩阵
39. .(2006—Ⅳ) 已知若行列式
1⎫
⎪B 2⎭E
，为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +2E ，则=
A =(2a 1+a 2, a 1-a 2)
，
a 1, a 2
为2维列向量，矩阵
B =(a 1, a 2)
。
|A |=6，则|B |=
⎛0 0A =
10010⎫
⎪0⎪⎪40. .(2007—Ⅰ) 设矩阵
000 ⎝00
1⎪0⎪⎭，则A 3的秩为
一、填空题
⎡1⎢3⎢A =⎢0
⎢⎢⎢0
-1
⎢⎣1.(1995—Ⅰ, Ⅱ) 设三阶方阵A , B 满足关系式A BA =6A +BA , 且
B =0140
⎤
0⎥⎥0⎥⎥⎥1⎥⎥, 则7⎦
2.(1995—Ⅳ, Ⅴ) 设
⎡1
⎢A =2
⎢⎢⎣3
024
0⎤
⎥0⎥5⎥⎦
*
, A 为A 的伴随矩阵, 则(A )
*-1
=
3.(1996—Ⅰ, Ⅱ) 设A 是4⨯3矩阵, 且A 的秩R (A ) =2, 而
⎡1⎢B =0
⎢⎢⎣-1
020
2⎤
⎥0⎥3⎥⎦
, 则
R (AB ) =
4.(1997—Ⅰ) 设
⎡1
⎢A =4
⎢⎢⎣3
2t -1
-2⎤
⎥3⎥1⎥⎦
, B 为三阶非零矩阵, 且A B =0, 则t =5.(1997—Ⅱ) 已知向量组
α1=(1,2, -1,1), α2=(2,0, t , 0), α3=(0,-4, 5, -2) 的秩为2, 则
2
2
2
t = 6.(1997—Ⅲ) 若二次型
是 .
*
f (x 1, x 2, x 3) =2x 1+x 2+x 3+2x 1x 2+tx 2x 3是正定的, 则t 的取值范围
7.(1998—Ⅰ) 设A 为n 阶矩阵,
2
A ≠0, A
*
为A 的伴随矩阵, E 为n 阶单位矩阵. 若A 有特征值λ, 则
(A ) +E 必有特征值.
*
8.(1998—Ⅲ, Ⅳ) 设矩阵A , B 满足A BA =2BA -8E , 其中
⎡1⎢A =0
⎢⎢⎣0
0-20
0⎤
⎥0, E ⎥1⎥⎦
为单位矩
阵, A 为A 的伴随矩阵, 则B =.
*
2A B =A =2, B =-3
9.(1998—Ⅳ) 设A , B 均为n 阶矩阵, , 则. 10.(1999—Ⅰ) 设n 阶矩阵A 的元素全为1, 则A 的n 个特征值是 .
*-1
12.(1999—Ⅲ, Ⅳ) 设
⎡1⎢A =0
⎢⎢⎣1
020
1⎤
⎥0⎥1⎥⎦
n n -1
=. , 而n ≥2为正整数, 则A -2A
13.(1999—Ⅳ) 已知AB -B =A , 其中
⎡1
⎢B =2
⎢⎢⎣0
-210
0⎤
⎥0⎥2⎥⎦
, 则A =
14.(2000—Ⅰ) 已知方程组
⎡1⎢2⎢⎢⎣1
23a 03-40
⎤⎡x 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥a +2x 2=3
⎥⎢⎥⎢⎥-2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦无解, 则a =. 005-6
0⎤
⎥0⎥, E 0⎥⎥-17⎦为4阶单位矩阵, 且B =(E +A ) (E -A ) , 则
1
1
1
⎡1
⎢-2⎢A =⎢0⎢⎣015.(2000—Ⅱ) 设
-1
(E +B )
=.
,
11
16.(2000—Ⅲ) 若四阶矩阵A 与B 相似, A 的特征值为2345, 则行列式
B
-1
-E =
T
T
aE -A =
17.(2000—Ⅳ) 设α=(1,0, -1) , 矩阵A =αα, n 为正整数, 则. 18.(2000—Ⅳ) 已知四阶矩阵A 相似于B , A 的特征值为2, 3, 4, 5, E 为四阶单位矩阵, 则
n
B -E =
-1
2
19.(2001—Ⅰ) 设矩阵A 满足A +A -4E =O , 其中E 为单位矩阵, 则(A -E ) =.
20.(2001—Ⅱ) 设方程组
⎡a ⎢1⎢⎢⎣1
1a 1
1⎤⎡x 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥1x 2=1⎥⎢⎥⎢⎥a ⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣-2⎥⎦有无穷多个解, 则a =. 1k 1102-73
2
⎡k ⎢1⎢A =⎢1⎢⎣121.(2001—Ⅲ, Ⅳ) 设矩阵
3D =
20
11k 1420-2
2
1⎤
⎥1⎥1⎥⎥
k ⎦, 且秩(A ) =3, 则k =020
2, 则第四行各元素余子式之和的值为2
522.(2001—Ⅳ) 设行列式
23.(2002—Ⅰ) 已知实二次型
f (x 1, x 2, x 3) =a (x 1+x 2+x 3) +4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3
2
f =6y x =Py 1经正交变换可化成标准形, 则a = 24.(2002—Ⅱ) 矩阵
⎡0
⎢2⎢⎢⎣-2
-22-2
-2⎤
⎥-2⎥2⎥⎦
的非零特征值是 .
25.(2002—Ⅲ) 设三阶矩阵
⎡1⎢A =2
⎢⎢⎣3
210
-2⎤
⎥2⎥4⎥⎦
, 三维列向量α=(a ,1,1) . 已知A α与α线性相关,
T
则a =.
⎡1A =⎢
⎣226.(2002—Ⅳ) 设矩阵-1⎤2
⎥, B =A -3A +2E -13⎦, 则B = 48.(2002—Ⅳ) 设向量组α1=(a , 0, c ), α2=(b , c , 0), α3=(0,a , b ) 线性无关, 则a b c 必满足
关系式 .
27.(2003—Ⅰ) 从R 为 .
2
的基
α1=⎢⎥, α2=⎢
⎣0⎦
⎡1⎤
⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤
β=, β=1⎥⎢⎥2⎢⎥
⎣-1⎦到基⎣1⎦⎣2⎦的过渡矩阵
αα
28.(2003—Ⅱ) 设α为3维列向量, α
T
T
是α的转置, 若
⎡1
⎢=-1⎢⎢⎣1
-11-1
1⎤
⎥-1⎥1⎥⎦
, 则αα=T
2
29.(2003—Ⅱ) 设三阶方阵A , B 满足A B -
A -B =E , 其中E 为三阶单位矩阵, 若
⎡1
⎢A =0
⎢⎢⎣-2
020
1⎤
⎥0⎥1⎥⎦
, 则
B =
.
T
, , a 0, a )
1T T
A =E -αα, B =E +αα
a , 其中A 的逆矩阵为B , 则a =.
31.(2003—Ⅳ) 设A , B 均为三阶方阵, E 为三阶单位矩阵, 已知
-1
⎡2
⎢
AB =2A +B , B =0
⎢⎢⎣2
040
2⎤
⎥0⎥2⎥⎦
, 则
(A -E )
= 32.(2004—Ⅰ, Ⅱ) 设矩阵
⎡2
⎢A =1
⎢⎢⎣0
120
0⎤
⎥0⎥1⎥⎦
, 矩阵B 满足ABA =2BA +E , 其中A 为A 的伴随
***
矩阵, E 是单位矩阵, 则
B =
.
2
2
2
f (x 1, x 2, x 3) =(x 1+x 2) +(x 2-x 3) +(x 3+x 1) 的秩为.
33.(2004—Ⅲ) 二次型
34.(2004—Ⅳ) 设⎡0⎢A =1
⎢⎢⎣0
-100
0⎤
⎥-1
0, B =P AP ⎥-1⎥⎦
, 其中P 为三阶可逆矩阵, 则B
T
2004
-2A =
2
35.(2004—Ⅳ) 设
是 .
36 .(2005—Ⅰ) 设
A =(a ij ) 3⨯3
a =1, b =(1,0, 0) , 则线性方程组A x =b 的解
是实正交矩阵, 且11
均为三维列向量，记矩阵
，
α1，α2，α3
A =(α1，α2，α3) ，B =(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)
如果
A =1
，那么
B =
37. .(2005—Ⅲ) 设行向量组则a =
(2，1，1，1) ，(2，1，. a ，. a ) ，(3，2，1，. a ) ，(4，3，2，1)
线性相关，且a ≠1，
⎛2A =
⎝-138. .(2006—Ⅰ) 设矩阵
39. .(2006—Ⅳ) 已知若行列式
1⎫
⎪B 2⎭E
，为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +2E ，则=
A =(2a 1+a 2, a 1-a 2)
，
a 1, a 2
为2维列向量，矩阵
B =(a 1, a 2)
。
|A |=6，则|B |=
⎛0 0A =
10010⎫
⎪0⎪⎪40. .(2007—Ⅰ) 设矩阵
000 ⎝00
1⎪0⎪⎭，则A 3的秩为