《重叠问题》教学设计
教学目标：
1、让学生经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，体会集合图的好处，学
会利用集合的思想方法来思考问题。
2、使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，培养学生
用不同的方法解决问题的意识。
3、利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数
学的意识。
教学重难点：
教学重点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。
教学难点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义。
教学过程：
一、设疑引入。
1、出示通知。
师：同学们，你们知道再过几天是什么节日吗？
生：六一儿童节。
师：对，六一儿童节是属于你们的节日。有的同学唱歌，有的跳舞，有的诗歌朗诵，为了庆祝这一天，学校定于六一当天举行歌唱、跳舞比赛。要求每个班级选8名同学参加歌唱比赛，9名同学参加跳舞比赛。
师：根据学校的要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？
生：（齐）17人！
师：怎么算的？
生：8+9＝17(人)。
师：你们同意这种做法吗？
生：同意。
师（稍顿）：真同意？
生：同意！
2、查看原始数据，引出重复。
师：果真是这样吗？（在算式后打问号）请看三（3）班参加比赛的学生名
单（课件出示两组学生名单），左边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人，右边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。
书法比赛 绘画比赛
师：请仔细观察这份参赛的学生名单，你觉得我们刚才的答案怎么样？
生：错了。
师：怎么会错了呢？再仔细看看，谁来说说？
生：有重复的。
师：你这里的“重复”是什么意思？
生1：有的同学参加了两项比赛。
生2：有的同学既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。
师：谁重复了？有几个人重复了？
生：三个人重复了。
师：因为有重复的，解决我们班有多少人参加比赛直接用8+9怎么样？
生：不行了，那样的话王汝桢，周佳蕾，叶子豪就算了2次了。
3、揭示课题。
师：生活中像这样有重复现象的问题，在数学上我们把它叫做重叠问题（板书课题：重叠问题）。
二、探究新知。
1、激发探究欲望，明确探究要求。
师：刚才，我们通过仔细地查看我们班参赛的学生名单，发现有3个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪3个人重复了吗？（生流露出困难的神情）有难度是吧？
师：看来我这样记录不够清楚，大家想想办法，怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些?（课件出示要求: 既要能清楚地看出参加歌唱、跳舞比赛的是哪些同学，又要能明显地看 出是哪些同学重复参加了比赛。
2、学生探究画法，师巡视，从中找出有代表性的作品准备交流。
3、展示交流。
师：我发现咱们班同学的画法很有创意，我从中选了几份，咱们共同来分享一下。我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
师（出示作品1如下图）：我们来看这位同学的方法，他这样画的意思谁看懂了?
书法比赛 绘画比赛
生：他把李芳和杨明都放在前面了，我们就能看出是他们俩重复了。
师：那你觉得这种画法比刚才我出示的统计表怎么样？
生：这样能更清楚地看出谁重复了。
师（出示作品2如下图）：我们再来看这位同学的方法，他这样表示你们觉得怎么样？
书法比赛 绘画比赛
生：他把重复的同学圈出来了，比刚才的方法更清楚。
师（出示作品3如下图）：我们再来看这位同学的表示方法，大家觉得怎么样？
生1：我觉得这种方法很好。能一下子就看出重复参加两项比赛的同学是杨明和李芳。
生2:而且重复的两个同学他只写了一次。
师：他把参加两项比赛的同学单独放到一个圈里，更清楚了。而且重复的两个同学他只写了一遍，比刚才两边都要写的方法更简便了。可是参加书法比赛的是几个人？
生：5个人。
师：那为什么圈中只有3个人呀？
生：下面那个圈内还有两个同学是两项比赛都参加的，所以他们也是参加书法小组的，加起来就是5个了。
师：把参加书法比赛和参加绘画比赛的同学都分到了两个圈里，你觉得这样表示怎么样？清楚吗？
生：我觉得还是放在一个圈里比较清楚。
师：大家觉得呢？
生齐：放在一个圈里更清楚。
师：那我们能不能把这种方法改进一下？让参加书法比赛和参加绘画比赛的同学还在一个圈里呢？（学生思考）
师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个圈圈出来，再把参加绘画比赛的那6个同学圈出来，此时出现了不规则的韦恩图“雏形”。
歌唱比赛 跳舞比赛
丁刚 张伟 王强 周晓
陈东 朱雨 于丽
杨明 李芳
师：你们觉得这样表示怎么样？生1：这样表示很清楚。
生2：我觉得这种方法很好，能一下子就看出参加书法比赛和参加绘画比赛的各是哪些人，还能很清楚地看出两项比赛都参加的是哪两个人。
4、揭示韦恩图。
师：同学们的表现这么精彩，让我不禁想起了一个人，他就是英国的数学家韦恩，在100多年以前，他第一个想到了这样的图，因此这种图就叫韦恩图（板书：韦恩图），也叫集合图。我们同学真了不起，都和韦恩想到一块去了。
5、整理画法，完成板书。
师:下面我们把同学们创造出来的韦恩图搬到屏幕上来。用一个圈来表示参加歌唱比赛的同学，再用一个圈来表示参加跳舞比赛的同学，还是两个圈，不同的是这两个圈不是分开的，而是有一部分重叠在一块的，利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么？
生：既参加歌唱比赛又参加跳舞比赛的。
师：有几个人？是谁？
生：王汝桢，周佳蕾，叶子豪。
师：我们只把参加两项比赛的同学写了一遍，但是参加歌唱比赛的圈里有了吗？参加跳舞比赛的圈里有了吗？这可真是一举——（生答）两得！
师：参加歌唱比赛的除了这三位同学之外，还有几个人？（生：5个人。）应该写在哪里？
生：左边。
师：同是参加歌唱比赛的8名同学，这5名与这3名有什么不同？
生：这5名同学是只参加歌唱比赛的。这3名不但参加了歌唱比赛，还参加了跳舞比赛。
师：那右边月牙形的这一部分表示什么？
生：只参加跳舞比赛的。
师：有几个人？
生：6 个。
师：同学们请看，我们只用了简单的两个圈，就清楚地表示出了这么多的信息，韦恩图好不好？韦恩的发明简单不简单？原来发明创造就这么简单！你们可以吗？其实我们每个人都可以有自己的创造！
6、深化对韦恩图的认识。
师：对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗？请同位两个同学互相说一说。（学生同伴互说）
7、数形结合，解决问题。
师：现在，你能不能根据韦恩图列算式来解决三（3）班一共有多少人参加了这两项比赛？
整理算法：
生1：8＋9－3＝14（人）
生2：5＋3＋6＝14（人）
生3：8－3＋9＝14（人）
生4：9－3＋8＝14（人）
师：现在我们能用这么多的方法算出三（3）班参加比赛的一共是14个人，是谁帮了我们的大忙啊？
生：韦恩图。
师：韦恩图确实好吧？想不想用韦恩图来解决几个生活中的问题？
三、综合应用。
1、动物的问题。
师出示一组动物图片：这些动物有会游泳的，有会飞的，把这些动物的序号填在合适的位置。
师：这里还有一种动物，我把它填在了这个位置（两圈外围），你知道这是一种怎样的动物吗？
生：既不会游泳也不会飞的动物。
师：这样的动物有哪些？
生1：兔子
生2：老虎
师：太多了，我们不一一去说了。原来韦恩图的外面也可以表示一种信息！
2、文具店的问题。
出示下题：
师：看到这个问题，你首先注意的是什么？你们在观察什么？
生：看有没有重复的。
师：你真棒，思考问题更全面了！
师：可以怎么计算？（生答略）
师：有很多的方法，其中的一种可以这样做（课件出示）：5＋5－3＝7（种）
3、拓展练习，回扣课始的问题。
师：课上到这里，同学们还这么有精神，真棒！为了奖励大家，老师带来两个奖品和。
我们现在再来思考一个问题，三（1）班是9人，其它班级呢？每个班一定
是9人吗？
生：不一定。
师：还可以是多少人？
生1：8人
生2：11人
生3：6至11人。
师：什么情况下是11人？
生：没有重复的情况下。
师：也就是说我们一开始的做法有没有考虑重复的情况？（板书：无重复） 师：至少是多少人？
生：6人。
师：什么情况下是6人？
生：有5人重复了，参加书法比赛的同学全部参加绘画比赛。
师（出示一大一小两个圈）：如果用这个小圈来表示参加书法比赛的同学，用这个大圈来表示参加绘画比赛的同学，我这样放表示的是哪种情况？（分开的）
生：没有重复的。
师：这样呢？（两圈有重叠部分）
生：有重复的。
师：这样呢？（小圈放入大圈）
生：参加书法比赛的同学全部参加了绘画比赛。
师：同学们，这样一个我们本来觉得很简单的问题，经过我们深入地思考，原来还有这么多的学问。
【评析：教师设计的应用练习从简单到复杂，从收敛到开放，从正向到逆向，既链接了丰富的课程资源，又实现了对数学思维的层层拓展。前两道题的素材来源于课本习题，但教师对此都进行了“二度加工”，使学生不只掌握了知识，而且受到了思想方法的熏陶。第三道题目是在课始问题基础上做出的横向（素材上）和纵向（思维上）的自然延伸，学生对“重叠问题”完成了结构化水平的自主建构。如此广度与深度兼具的数学课堂，实属难得！】
四、总结延伸。
师：同学们，这节课我们解决了很多问题，关于韦恩图和重叠问题，你还有
新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！
师：重叠现象更复杂了是吧？怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢？同学们课下可以继续研究，有兴趣吗？好，这节课就上到这里，下课！
《重叠问题》教学设计
教学目标：
1、让学生经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，体会集合图的好处，学
会利用集合的思想方法来思考问题。
2、使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，培养学生
用不同的方法解决问题的意识。
3、利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数
学的意识。
教学重难点：
教学重点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。
教学难点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义。
教学过程：
一、设疑引入。
1、出示通知。
师：同学们，你们知道再过几天是什么节日吗？
生：六一儿童节。
师：对，六一儿童节是属于你们的节日。有的同学唱歌，有的跳舞，有的诗歌朗诵，为了庆祝这一天，学校定于六一当天举行歌唱、跳舞比赛。要求每个班级选8名同学参加歌唱比赛，9名同学参加跳舞比赛。
师：根据学校的要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？
生：（齐）17人！
师：怎么算的？
生：8+9＝17(人)。
师：你们同意这种做法吗？
生：同意。
师（稍顿）：真同意？
生：同意！
2、查看原始数据，引出重复。
师：果真是这样吗？（在算式后打问号）请看三（3）班参加比赛的学生名
单（课件出示两组学生名单），左边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人，右边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。
书法比赛 绘画比赛
师：请仔细观察这份参赛的学生名单，你觉得我们刚才的答案怎么样？
生：错了。
师：怎么会错了呢？再仔细看看，谁来说说？
生：有重复的。
师：你这里的“重复”是什么意思？
生1：有的同学参加了两项比赛。
生2：有的同学既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。
师：谁重复了？有几个人重复了？
生：三个人重复了。
师：因为有重复的，解决我们班有多少人参加比赛直接用8+9怎么样？
生：不行了，那样的话王汝桢，周佳蕾，叶子豪就算了2次了。
3、揭示课题。
师：生活中像这样有重复现象的问题，在数学上我们把它叫做重叠问题（板书课题：重叠问题）。
二、探究新知。
1、激发探究欲望，明确探究要求。
师：刚才，我们通过仔细地查看我们班参赛的学生名单，发现有3个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪3个人重复了吗？（生流露出困难的神情）有难度是吧？
师：看来我这样记录不够清楚，大家想想办法，怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些?（课件出示要求: 既要能清楚地看出参加歌唱、跳舞比赛的是哪些同学，又要能明显地看 出是哪些同学重复参加了比赛。
2、学生探究画法，师巡视，从中找出有代表性的作品准备交流。
3、展示交流。
师：我发现咱们班同学的画法很有创意，我从中选了几份，咱们共同来分享一下。我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
师（出示作品1如下图）：我们来看这位同学的方法，他这样画的意思谁看懂了?
书法比赛 绘画比赛
生：他把李芳和杨明都放在前面了，我们就能看出是他们俩重复了。
师：那你觉得这种画法比刚才我出示的统计表怎么样？
生：这样能更清楚地看出谁重复了。
师（出示作品2如下图）：我们再来看这位同学的方法，他这样表示你们觉得怎么样？
书法比赛 绘画比赛
生：他把重复的同学圈出来了，比刚才的方法更清楚。
师（出示作品3如下图）：我们再来看这位同学的表示方法，大家觉得怎么样？
生1：我觉得这种方法很好。能一下子就看出重复参加两项比赛的同学是杨明和李芳。
生2:而且重复的两个同学他只写了一次。
师：他把参加两项比赛的同学单独放到一个圈里，更清楚了。而且重复的两个同学他只写了一遍，比刚才两边都要写的方法更简便了。可是参加书法比赛的是几个人？
生：5个人。
师：那为什么圈中只有3个人呀？
生：下面那个圈内还有两个同学是两项比赛都参加的，所以他们也是参加书法小组的，加起来就是5个了。
师：把参加书法比赛和参加绘画比赛的同学都分到了两个圈里，你觉得这样表示怎么样？清楚吗？
生：我觉得还是放在一个圈里比较清楚。
师：大家觉得呢？
生齐：放在一个圈里更清楚。
师：那我们能不能把这种方法改进一下？让参加书法比赛和参加绘画比赛的同学还在一个圈里呢？（学生思考）
师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个圈圈出来，再把参加绘画比赛的那6个同学圈出来，此时出现了不规则的韦恩图“雏形”。
歌唱比赛 跳舞比赛
丁刚 张伟 王强 周晓
陈东 朱雨 于丽
杨明 李芳
师：你们觉得这样表示怎么样？生1：这样表示很清楚。
生2：我觉得这种方法很好，能一下子就看出参加书法比赛和参加绘画比赛的各是哪些人，还能很清楚地看出两项比赛都参加的是哪两个人。
4、揭示韦恩图。
师：同学们的表现这么精彩，让我不禁想起了一个人，他就是英国的数学家韦恩，在100多年以前，他第一个想到了这样的图，因此这种图就叫韦恩图（板书：韦恩图），也叫集合图。我们同学真了不起，都和韦恩想到一块去了。
5、整理画法，完成板书。
师:下面我们把同学们创造出来的韦恩图搬到屏幕上来。用一个圈来表示参加歌唱比赛的同学，再用一个圈来表示参加跳舞比赛的同学，还是两个圈，不同的是这两个圈不是分开的，而是有一部分重叠在一块的，利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么？
生：既参加歌唱比赛又参加跳舞比赛的。
师：有几个人？是谁？
生：王汝桢，周佳蕾，叶子豪。
师：我们只把参加两项比赛的同学写了一遍，但是参加歌唱比赛的圈里有了吗？参加跳舞比赛的圈里有了吗？这可真是一举——（生答）两得！
师：参加歌唱比赛的除了这三位同学之外，还有几个人？（生：5个人。）应该写在哪里？
生：左边。
师：同是参加歌唱比赛的8名同学，这5名与这3名有什么不同？
生：这5名同学是只参加歌唱比赛的。这3名不但参加了歌唱比赛，还参加了跳舞比赛。
师：那右边月牙形的这一部分表示什么？
生：只参加跳舞比赛的。
师：有几个人？
生：6 个。
师：同学们请看，我们只用了简单的两个圈，就清楚地表示出了这么多的信息，韦恩图好不好？韦恩的发明简单不简单？原来发明创造就这么简单！你们可以吗？其实我们每个人都可以有自己的创造！
6、深化对韦恩图的认识。
师：对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗？请同位两个同学互相说一说。（学生同伴互说）
7、数形结合，解决问题。
师：现在，你能不能根据韦恩图列算式来解决三（3）班一共有多少人参加了这两项比赛？
整理算法：
生1：8＋9－3＝14（人）
生2：5＋3＋6＝14（人）
生3：8－3＋9＝14（人）
生4：9－3＋8＝14（人）
师：现在我们能用这么多的方法算出三（3）班参加比赛的一共是14个人，是谁帮了我们的大忙啊？
生：韦恩图。
师：韦恩图确实好吧？想不想用韦恩图来解决几个生活中的问题？
三、综合应用。
1、动物的问题。
师出示一组动物图片：这些动物有会游泳的，有会飞的，把这些动物的序号填在合适的位置。
师：这里还有一种动物，我把它填在了这个位置（两圈外围），你知道这是一种怎样的动物吗？
生：既不会游泳也不会飞的动物。
师：这样的动物有哪些？
生1：兔子
生2：老虎
师：太多了，我们不一一去说了。原来韦恩图的外面也可以表示一种信息！
2、文具店的问题。
出示下题：
师：看到这个问题，你首先注意的是什么？你们在观察什么？
生：看有没有重复的。
师：你真棒，思考问题更全面了！
师：可以怎么计算？（生答略）
师：有很多的方法，其中的一种可以这样做（课件出示）：5＋5－3＝7（种）
3、拓展练习，回扣课始的问题。
师：课上到这里，同学们还这么有精神，真棒！为了奖励大家，老师带来两个奖品和。
我们现在再来思考一个问题，三（1）班是9人，其它班级呢？每个班一定
是9人吗？
生：不一定。
师：还可以是多少人？
生1：8人
生2：11人
生3：6至11人。
师：什么情况下是11人？
生：没有重复的情况下。
师：也就是说我们一开始的做法有没有考虑重复的情况？（板书：无重复） 师：至少是多少人？
生：6人。
师：什么情况下是6人？
生：有5人重复了，参加书法比赛的同学全部参加绘画比赛。
师（出示一大一小两个圈）：如果用这个小圈来表示参加书法比赛的同学，用这个大圈来表示参加绘画比赛的同学，我这样放表示的是哪种情况？（分开的）
生：没有重复的。
师：这样呢？（两圈有重叠部分）
生：有重复的。
师：这样呢？（小圈放入大圈）
生：参加书法比赛的同学全部参加了绘画比赛。
师：同学们，这样一个我们本来觉得很简单的问题，经过我们深入地思考，原来还有这么多的学问。
【评析：教师设计的应用练习从简单到复杂，从收敛到开放，从正向到逆向，既链接了丰富的课程资源，又实现了对数学思维的层层拓展。前两道题的素材来源于课本习题，但教师对此都进行了“二度加工”，使学生不只掌握了知识，而且受到了思想方法的熏陶。第三道题目是在课始问题基础上做出的横向（素材上）和纵向（思维上）的自然延伸，学生对“重叠问题”完成了结构化水平的自主建构。如此广度与深度兼具的数学课堂，实属难得！】
四、总结延伸。
师：同学们，这节课我们解决了很多问题，关于韦恩图和重叠问题，你还有
新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！
师：重叠现象更复杂了是吧？怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢？同学们课下可以继续研究，有兴趣吗？好，这节课就上到这里，下课！