4.4 反证法
【学习目标】
1、了解反证法的含义.
2、了解反证法的基本步骤.
3、会利用反证法证明简单命题．
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
【学习内容】书本P86—P87
【学习过程】
一、复习导入
1.“a
A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
二、知识梳理：
2.反证法的概念：
在证明一个命题时，有时先假设 不成立，从这样的假设出发，经过 得出和已知 矛盾，者与 ， ， 等矛盾,从而得出假设 不成立是错误的，即所求证的命题 . 种证明方法叫做反证法.
3.有关定理.
在 内，如果一条直线与两条 直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
在 内，如果两条直线都和第三条直线 ，那么这两条直线也互相 .
三、应用新知
★老师提醒1：用反证法证明命题的一般步骤：一反设（否定结论）；二归缪（利用已知条件和反设，已学过的公理、定理、定义、法则进行推理，得出与已学过的公理、定理、或与已知条件、或与假设矛盾）；三写出结论（肯定原命题成立）.
4.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，则这两条直线不平行. 已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1≠∠2.
求证：直线a不平行于直线b.
证明：假设 ,
那么∠1=∠2( )..
这与 矛盾.
∴假设 不成立.
∴直线a不平行于直线b.
答案：a∥b 两直线平行，同位角相等 ∠1≠∠2 a∥b
5. 在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设„„„„„„„„„（ ）
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角 D
．三角形中三个角都是直角或钝角
答案：B
6．完成下列证明：
如图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
1
证明：假设结论不成立，则∠是______或______．
当∠B是____时，则________ _，这与_____ ___矛盾；
当∠B是____时，则______ ___，这与_______ _矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
答案：直角 钝角 直角 ∠B+∠C=180° 三角形的三个内角和等于180° 钝
角 ∠B+∠C>180° 三角形的三个内角和等于180°
★老师提醒2：应用反证法证题时，首先要正确分清命题的题设和结论，正确全
面地否定结论. 如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确.
7.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证明: 假设____________,即_________.
∵_________（已知）,
∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,
这与“_______________________ _____________”矛盾.
∴假设不成立,即求证的命题正确.
∴l3与l2相交.
★老师提醒3：证明两直线相交的又一判定方法.
8.求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
★老师提醒4：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.
四、回顾小结
这一节课有什么收获?
五、能力提升
9. 不论x为何实数，在直角坐标系中，点(x,x3)不可能在„„„„„„„„„„„（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：∵x>x-3，∴x0不可能成立，即点(x，x-3)不可能在第二象限.
答案：B
10.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b
；④a∥c； ⑤a⊥c. 以其中两个论断作为条件，一个作为结论，组成一个你认为正确的命题________. 解析：成立的命题有：①②→④；①④→②；②④→①；②③→⑤；②⑤→③；③⑤→②. 2
答案：如条件①②，结论④.
11.如图，APC4,PCD,BAP60 ，AB∥CD，则的度数
是 .
解析：过P作AB的平行线，可证得∠APC=∠A+∠C.
答案：15°
12.用反证法证明：连结直线外一点和直线上所有各点的线段中垂线段最
短.
已知：如图，P为直线AB外一点，PC⊥AB于C，PD和AB不垂直.
求证：PC
证明：假设PC≥PD.
(1)当PC=PD时，那么∠PCD=∠PDC=90°，即PD⊥AB，这与PD和AB不
垂直矛盾. ∴PC≠PD.
(2)当PC>PD时，那么∠PDC>∠PCD. 而∠PCD=90°，这与三角形三个内
角和等于180°矛盾.
∴PC
3 PDCB
4.4 反证法
【学习目标】
1、了解反证法的含义.
2、了解反证法的基本步骤.
3、会利用反证法证明简单命题．
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
【学习内容】书本P86—P87
【学习过程】
一、复习导入
1.“a
A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
二、知识梳理：
2.反证法的概念：
在证明一个命题时，有时先假设 不成立，从这样的假设出发，经过 得出和已知 矛盾，者与 ， ， 等矛盾,从而得出假设 不成立是错误的，即所求证的命题 . 种证明方法叫做反证法.
3.有关定理.
在 内，如果一条直线与两条 直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
在 内，如果两条直线都和第三条直线 ，那么这两条直线也互相 .
三、应用新知
★老师提醒1：用反证法证明命题的一般步骤：一反设（否定结论）；二归缪（利用已知条件和反设，已学过的公理、定理、定义、法则进行推理，得出与已学过的公理、定理、或与已知条件、或与假设矛盾）；三写出结论（肯定原命题成立）.
4.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，则这两条直线不平行. 已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1≠∠2.
求证：直线a不平行于直线b.
证明：假设 ,
那么∠1=∠2( )..
这与 矛盾.
∴假设 不成立.
∴直线a不平行于直线b.
答案：a∥b 两直线平行，同位角相等 ∠1≠∠2 a∥b
5. 在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设„„„„„„„„„（ ）
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角 D
．三角形中三个角都是直角或钝角
答案：B
6．完成下列证明：
如图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
1
证明：假设结论不成立，则∠是______或______．
当∠B是____时，则________ _，这与_____ ___矛盾；
当∠B是____时，则______ ___，这与_______ _矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
答案：直角 钝角 直角 ∠B+∠C=180° 三角形的三个内角和等于180° 钝
角 ∠B+∠C>180° 三角形的三个内角和等于180°
★老师提醒2：应用反证法证题时，首先要正确分清命题的题设和结论，正确全
面地否定结论. 如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确.
7.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证明: 假设____________,即_________.
∵_________（已知）,
∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,
这与“_______________________ _____________”矛盾.
∴假设不成立,即求证的命题正确.
∴l3与l2相交.
★老师提醒3：证明两直线相交的又一判定方法.
8.求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
★老师提醒4：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.
四、回顾小结
这一节课有什么收获?
五、能力提升
9. 不论x为何实数，在直角坐标系中，点(x,x3)不可能在„„„„„„„„„„„（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：∵x>x-3，∴x0不可能成立，即点(x，x-3)不可能在第二象限.
答案：B
10.对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b
；④a∥c； ⑤a⊥c. 以其中两个论断作为条件，一个作为结论，组成一个你认为正确的命题________. 解析：成立的命题有：①②→④；①④→②；②④→①；②③→⑤；②⑤→③；③⑤→②. 2
答案：如条件①②，结论④.
11.如图，APC4,PCD,BAP60 ，AB∥CD，则的度数
是 .
解析：过P作AB的平行线，可证得∠APC=∠A+∠C.
答案：15°
12.用反证法证明：连结直线外一点和直线上所有各点的线段中垂线段最
短.
已知：如图，P为直线AB外一点，PC⊥AB于C，PD和AB不垂直.
求证：PC
证明：假设PC≥PD.
(1)当PC=PD时，那么∠PCD=∠PDC=90°，即PD⊥AB，这与PD和AB不
垂直矛盾. ∴PC≠PD.
(2)当PC>PD时，那么∠PDC>∠PCD. 而∠PCD=90°，这与三角形三个内
角和等于180°矛盾.
∴PC
3 PDCB