姓 名： 学 号：
Hefei University
课程报告
论文题目: 奈维-斯托克斯方程的分析 学科专业：__ _化工传递过程基础___ __ 作者姓名：__________吴 勰_____ 导师姓名：___ _______胡 坤 宏____ _ 完成时间：_______2014年10月9日______
奈斯-斯托克斯方程的分析
基本假设
在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为Ω，而其表面记为∂Ω。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。
实质导数
运动流体的属性的变化，譬如大气中的风速的变化，可以有两种不同的方法来测量。可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量。显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而第二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为实质或拉格朗日导数。例子请参看实质导数条目。
实质导数定义为算子（operator ）：
D ∂(*)
+(∨⋅∇)(*)(*)= Dt ∂t
其中∨是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在固定参照系中的
导数）而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为移流（advection ）。 L 的守恒定律在一个控制体积上的积分形式是：
d
Ld Ω=0 ∑Ω
dt
因为Ω是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。
d ∂∂
Ld Ω=Ld Ω+L (∨⋅nd ∂Ω) =[⎰Ω∂t ⎰∂Ω⎰Ω∂t L +∇⋅(L ∨)]d Ω=0 dt ⎰Ω
因为这个表达式对于所有Ω成立，它可以简化为：
D ∂
L +(∇⋅∨) L =L +∇⋅(∨L ) =0 Dt ∂t
对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），
D
给出了正确的共动时间导数。 Dt
守恒定律
NS 方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用状态定律来闭合。 在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒：质量、能量、动量、角动量
连续性方程
质量的守恒写作：
∂p
+∇⋅(ρν)=0 ∂t
其中ρ是流体的密度。
在不可压缩流体的情况 ρ不是时间或空间的函数。方程简化为：
∇⋅∨=0
动量守恒
动量守恒写作：
∂
(ρ∨)+∇(ρ∨⊗∨)=∑ρf ∂t
注意∨⊗∨是一个张量，⊗代表张量积。 我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为：
ρ
Dv
=∑ρf Dt
我们可以认出这就是通常的F =ma 。
方程组的形式
纳维-斯托克斯方程的一般形式是：
ρ
Dv
=∇P+ρf Dt
关于动量守恒。张量P代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，P是一个对称张量。一般来讲，我们有如下形式：
⎛σxx τxy τxz ⎫⎛ρ ⎪ P= τyx σyy τyz ⎪=- 0
0 τ⎪
⎝⎝zx τzy σzz ⎭
其中σ是法向约束，而τ是切向约束。
ρ
0⎫⎛σxx +ρτxy τxz ⎫
⎪⎪
0⎪+ τyx σyy +ρτyz ⎪
ρ⎪τzy σzz +ρ⎪⎭⎝τzx ⎭
迹σxx +σyy +σzz 在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。 我们再加上连续性方程：
D ρ
+ρ∇⋅∨=0 Dt
对于处于平衡的液体，P 的迹是3p 。
其中p 是压强最后，我们得到：
ρ
D ν
=-∇ρ+∇⋅T+ρf Dt
其中T是P 的非对角线部分。
闭合问题
这些方程是不完整的。要对它们进行完备化，必须对P的形式作一些假设。例如在理想流体的情况τ分量为0。用于完备方程组的方程是状态方程。再如，压强可以主要是密度和温度的函数。要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。P 的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。P 是对称的，除非存在非零的自旋密度。
所谓非牛顿流体是就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体 些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。
牛顿流体
在牛顿流体中，如下假设成立:
⎛∂υ∂υj 2⎫i
τij =μ +-δ∇⋅∨⎪
∂χ∂χ3ij ⎪
i ⎝j ⎭
其中μ是液体的粘滞度。
ρ
1⎛∂v ⎫⎛⎫
+∇v v ⎪=ρf -∇ρ+μ ∆v +∇(∇⋅v ) ⎪
3⎝∂t ⎭⎝⎭
2
⎛∂v i ⎛∂2v i ∂v i ⎫∂p 1∂v j ρ +v j =ρf i -+μ +⎪ ∂t ⎪ ∂x j ⎭∂x i ⎝⎝∂x j ∂x j 3∂x i ∂x j ⎫
⎪⎪⎭
其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。 不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：
动量守恒：
ρ
⎛∂u ∂u ∂u ∂u ⎫
+u +v +w ⎪=
∂t ∂y ∂z ⎭⎝∂t
∂p ∂⎡⎛∂u 2⎫⎤∂⎡⎛∂u ∂v ⎫⎤∂+μ⋅2⋅-⋅∇⋅v +⎢μ⋅ ⎪⎥+ ⎪⎥+∂x ∂x ⎢∂x 3∂y ∂y ∂x ⎭⎦⎣⎝⎭⎦∂z ⎣⎝
k x -
()
⎡⎛∂w ∂u ⎫⎤
⎢μ⋅ ∂x +∂z ⎪⎥
⎭⎦⎣⎝
ρ
⎛∂v ∂v ∂v ∂v ⎫
+u +v +w ⎪=
∂x ∂y ∂z ⎭⎝∂t
⎫⎤∂⎡⎛∂v ∂w ⎫⎤∂⎡⎛∂u ∂v ⎫⎤∂p ∂⎡⎛∂u 2
k y -+-⋅∇⋅v ⎪⎥+++⎢μ⋅ 2⋅⎢μ⋅ ⎢μ⋅ ⎪⎥+⎪⎥
∂y ∂y ⎣⎝∂y 3∂z ∂z ∂y ∂x ∂y ∂x ⎭⎦⎭⎦⎭⎦⎣⎝⎣⎝
()
ρ
⎛∂w ∂w ∂w ∂w ⎫+u +v +w ⎪=∂t ∂x ∂y ∂z ⎝⎭
∂p ∂⎡⎛∂w 2⎫⎤∂⎡⎛∂w ∂u ⎫⎤∂
+μ⋅2⋅-⋅∇⋅v μ⋅ + ⎪⎥+⎪⎥+⎢⎢∂z ∂z ⎣⎝∂z 3⎭⎦∂x ⎣⎝∂x ∂z ⎭⎦∂y
k z -
()
⎡⎛∂v ∂w ⎫⎤
+⎢μ⋅ ⎪⎥∂z ∂y ⎭⎦⎣⎝
质量守恒：
∂ρ∂(ρ⋅u )∂(ρ⋅v )∂(ρ⋅w )+++=0
∂t ∂x ∂y ∂z
因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。 能量守恒：
ρ
⎛∂e ∂e ∂e ∂e ⎫
+u +v +w ⎪=∂x ∂y ∂z ⎭⎝∂t
⎫∂⎛∂T ⎪+ λ⋅⎭∂y ⎝∂y
⎫∂⎛∂T ⎪+ λ⋅⎭∂z ⎝∂z
⎫⎫
⎪⎪-p ⋅∇⋅v +k ⋅v +ρ⋅q s +μ⋅φ⎭⎭
⎛∂⎛∂T λ⋅⎝∂x ⎝∂x
其中：
()
⎡⎛∂u ⎫2⎛∂v ⎫2⎛∂w ⎫2⎤⎛∂v ∂u ⎫2⎛∂w ∂w ⎫2⎛∂u ∂w ⎫2
Φ=2⋅⎢ ++x ⎪+ +⎪+ ⎪+ ⎪+ ⎪⎥+ ⎪-
⎢⎣⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭⎝∂z ⎭⎥⎦⎝∂x ∂y ⎭⎝∂y ∂y ⎭⎝∂z ∂x ⎭2⎛∂u ∂v ∂w ⎫⋅ ++⎪3⎝∂x ∂y ∂z ⎭
假设一个理想气体：
2
e =c p ⋅T-
p
ρ
上面是一个６个方程６个未知数的系统。（u ， v， w， T， e 以及 ρ）。 注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。
姓 名： 学 号：
Hefei University
课程报告
论文题目: 奈维-斯托克斯方程的分析 学科专业：__ _化工传递过程基础___ __ 作者姓名：__________吴 勰_____ 导师姓名：___ _______胡 坤 宏____ _ 完成时间：_______2014年10月9日______
奈斯-斯托克斯方程的分析
基本假设
在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为Ω，而其表面记为∂Ω。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。
实质导数
运动流体的属性的变化，譬如大气中的风速的变化，可以有两种不同的方法来测量。可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量。显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而第二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为实质或拉格朗日导数。例子请参看实质导数条目。
实质导数定义为算子（operator ）：
D ∂(*)
+(∨⋅∇)(*)(*)= Dt ∂t
其中∨是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在固定参照系中的
导数）而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为移流（advection ）。 L 的守恒定律在一个控制体积上的积分形式是：
d
Ld Ω=0 ∑Ω
dt
因为Ω是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。
d ∂∂
Ld Ω=Ld Ω+L (∨⋅nd ∂Ω) =[⎰Ω∂t ⎰∂Ω⎰Ω∂t L +∇⋅(L ∨)]d Ω=0 dt ⎰Ω
因为这个表达式对于所有Ω成立，它可以简化为：
D ∂
L +(∇⋅∨) L =L +∇⋅(∨L ) =0 Dt ∂t
对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），
D
给出了正确的共动时间导数。 Dt
守恒定律
NS 方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用状态定律来闭合。 在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒：质量、能量、动量、角动量
连续性方程
质量的守恒写作：
∂p
+∇⋅(ρν)=0 ∂t
其中ρ是流体的密度。
在不可压缩流体的情况 ρ不是时间或空间的函数。方程简化为：
∇⋅∨=0
动量守恒
动量守恒写作：
∂
(ρ∨)+∇(ρ∨⊗∨)=∑ρf ∂t
注意∨⊗∨是一个张量，⊗代表张量积。 我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为：
ρ
Dv
=∑ρf Dt
我们可以认出这就是通常的F =ma 。
方程组的形式
纳维-斯托克斯方程的一般形式是：
ρ
Dv
=∇P+ρf Dt
关于动量守恒。张量P代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，P是一个对称张量。一般来讲，我们有如下形式：
⎛σxx τxy τxz ⎫⎛ρ ⎪ P= τyx σyy τyz ⎪=- 0
0 τ⎪
⎝⎝zx τzy σzz ⎭
其中σ是法向约束，而τ是切向约束。
ρ
0⎫⎛σxx +ρτxy τxz ⎫
⎪⎪
0⎪+ τyx σyy +ρτyz ⎪
ρ⎪τzy σzz +ρ⎪⎭⎝τzx ⎭
迹σxx +σyy +σzz 在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。 我们再加上连续性方程：
D ρ
+ρ∇⋅∨=0 Dt
对于处于平衡的液体，P 的迹是3p 。
其中p 是压强最后，我们得到：
ρ
D ν
=-∇ρ+∇⋅T+ρf Dt
其中T是P 的非对角线部分。
闭合问题
这些方程是不完整的。要对它们进行完备化，必须对P的形式作一些假设。例如在理想流体的情况τ分量为0。用于完备方程组的方程是状态方程。再如，压强可以主要是密度和温度的函数。要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。P 的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。P 是对称的，除非存在非零的自旋密度。
所谓非牛顿流体是就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体 些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。
牛顿流体
在牛顿流体中，如下假设成立:
⎛∂υ∂υj 2⎫i
τij =μ +-δ∇⋅∨⎪
∂χ∂χ3ij ⎪
i ⎝j ⎭
其中μ是液体的粘滞度。
ρ
1⎛∂v ⎫⎛⎫
+∇v v ⎪=ρf -∇ρ+μ ∆v +∇(∇⋅v ) ⎪
3⎝∂t ⎭⎝⎭
2
⎛∂v i ⎛∂2v i ∂v i ⎫∂p 1∂v j ρ +v j =ρf i -+μ +⎪ ∂t ⎪ ∂x j ⎭∂x i ⎝⎝∂x j ∂x j 3∂x i ∂x j ⎫
⎪⎪⎭
其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。 不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：
动量守恒：
ρ
⎛∂u ∂u ∂u ∂u ⎫
+u +v +w ⎪=
∂t ∂y ∂z ⎭⎝∂t
∂p ∂⎡⎛∂u 2⎫⎤∂⎡⎛∂u ∂v ⎫⎤∂+μ⋅2⋅-⋅∇⋅v +⎢μ⋅ ⎪⎥+ ⎪⎥+∂x ∂x ⎢∂x 3∂y ∂y ∂x ⎭⎦⎣⎝⎭⎦∂z ⎣⎝
k x -
()
⎡⎛∂w ∂u ⎫⎤
⎢μ⋅ ∂x +∂z ⎪⎥
⎭⎦⎣⎝
ρ
⎛∂v ∂v ∂v ∂v ⎫
+u +v +w ⎪=
∂x ∂y ∂z ⎭⎝∂t
⎫⎤∂⎡⎛∂v ∂w ⎫⎤∂⎡⎛∂u ∂v ⎫⎤∂p ∂⎡⎛∂u 2
k y -+-⋅∇⋅v ⎪⎥+++⎢μ⋅ 2⋅⎢μ⋅ ⎢μ⋅ ⎪⎥+⎪⎥
∂y ∂y ⎣⎝∂y 3∂z ∂z ∂y ∂x ∂y ∂x ⎭⎦⎭⎦⎭⎦⎣⎝⎣⎝
()
ρ
⎛∂w ∂w ∂w ∂w ⎫+u +v +w ⎪=∂t ∂x ∂y ∂z ⎝⎭
∂p ∂⎡⎛∂w 2⎫⎤∂⎡⎛∂w ∂u ⎫⎤∂
+μ⋅2⋅-⋅∇⋅v μ⋅ + ⎪⎥+⎪⎥+⎢⎢∂z ∂z ⎣⎝∂z 3⎭⎦∂x ⎣⎝∂x ∂z ⎭⎦∂y
k z -
()
⎡⎛∂v ∂w ⎫⎤
+⎢μ⋅ ⎪⎥∂z ∂y ⎭⎦⎣⎝
质量守恒：
∂ρ∂(ρ⋅u )∂(ρ⋅v )∂(ρ⋅w )+++=0
∂t ∂x ∂y ∂z
因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。 能量守恒：
ρ
⎛∂e ∂e ∂e ∂e ⎫
+u +v +w ⎪=∂x ∂y ∂z ⎭⎝∂t
⎫∂⎛∂T ⎪+ λ⋅⎭∂y ⎝∂y
⎫∂⎛∂T ⎪+ λ⋅⎭∂z ⎝∂z
⎫⎫
⎪⎪-p ⋅∇⋅v +k ⋅v +ρ⋅q s +μ⋅φ⎭⎭
⎛∂⎛∂T λ⋅⎝∂x ⎝∂x
其中：
()
⎡⎛∂u ⎫2⎛∂v ⎫2⎛∂w ⎫2⎤⎛∂v ∂u ⎫2⎛∂w ∂w ⎫2⎛∂u ∂w ⎫2
Φ=2⋅⎢ ++x ⎪+ +⎪+ ⎪+ ⎪+ ⎪⎥+ ⎪-
⎢⎣⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭⎝∂z ⎭⎥⎦⎝∂x ∂y ⎭⎝∂y ∂y ⎭⎝∂z ∂x ⎭2⎛∂u ∂v ∂w ⎫⋅ ++⎪3⎝∂x ∂y ∂z ⎭
假设一个理想气体：
2
e =c p ⋅T-
p
ρ
上面是一个６个方程６个未知数的系统。（u ， v， w， T， e 以及 ρ）。 注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。