毛细管粘度计的工作原理

毛

设不可压缩的粘性流体在水平管中作稳态层流流动，并设所考察的部位远离管道进、出口，且流动为沿轴向(z方向)的一维流动，如下图所示:

物理模型：

1. 稳态、层流、不可压缩牛顿型流体

2. 沿ｚ方向的一维流动，uru0 ，uz0 3. 远离进出口

柱坐标下的连续性方程：

11

(rur)(u)(uz)0 （1） 'rrrz

式中，'为时间；r为径向坐标；z为轴向坐标；为方位角；ur、.u和uz 分别是流速在柱坐标（r,θ,z）方向上的分量。可简化为：

uz

0 （２） z

柱坐标的奈维-斯托克斯方程： r分量

ururuuru2u

uruzr'rrrz

（３）

2

11pd2u2ur1ur

rur222v2rrrrrrz

θ分量

uuuuuuu

urruz'rrrz

（４）

2

11pd2ur2u1u

ru222v2rrrrrrrz

z分量

uuzuuzuzuu

urzuzz'rrrz

（５）

1uz12uz2uz1pdvr22zrrrrz

现在先考察z方向的奈维-斯托克斯方程。对于一维稳态流动，式（5）中的

uz

0,ur0，'

u0;由于流动对于管轴对称，uz



20，uz

2

0。将以上条件及（2）得到

pd1uz

[(r)] （6） zrrr

同理，对θ、r方向的奈维-斯托克斯方程化简，可得

pd

0 （7） 

pd

0 （8） r

从式（6）、（7）、（8）可以看出，该式左侧的pd仅是z的函数；而右侧uz仅是r的函数。因此，式（6）可写成常微分方程，即

duz1d1dpd

(r)rdrdrdz （9）

上式为右侧仅为z的函数，左侧仅为r的函数，而r、z又为独立变量，故两边应等于同一

常数才成立，即

duz1d1dpd(r)常数

（10） rdrdrdz

边界条件：

BC1：rri时，uz0 BC2：r0时，对（10）式积分得

duz

0 dr

r

duz1dpd2

（11） rC1 （C1 为常数）

dr2dz

由边界条件BC1得，C10

duzdr1dpd

2dz

r 对此式积分得

u1dpdz

4dzr2

C2 由边界条件BC2得，C1dpd24dz

r2

i

把上式代入（12）得，

u1dpdz

4dz

(r2r2

i)

udpdmax

14dz

r2

i ur2

zumax[(1(r)] i

再求平均流速ub。 体积流率微元

dVs2uzrdr Vs

ri

uz2rdr

把（15）式代入此式得， V

2

s

2

riumax

C2 为常数）

12） 13）

14）

15） （ （ （ （ （



ub

Vs

2Ari

riumax

2



umax

（16） 2

再求单位长度的压降

pfL



1dpd2

ri2ub

4dz

pfL



8ubri

2

2

（17）



ripf8ubL

（18）

对于一支毛细管粘度计其流体流过的长度是确定的，直径是确定的，再测定其流过的压

降和体积流率，即可由式（18）求得粘度。值得注意的是流体在毛细管的流动应是层流。

毛

设不可压缩的粘性流体在水平管中作稳态层流流动，并设所考察的部位远离管道进、出口，且流动为沿轴向(z方向)的一维流动，如下图所示:

物理模型：

1. 稳态、层流、不可压缩牛顿型流体

2. 沿ｚ方向的一维流动，uru0 ，uz0 3. 远离进出口

柱坐标下的连续性方程：

11

(rur)(u)(uz)0 （1） 'rrrz

式中，'为时间；r为径向坐标；z为轴向坐标；为方位角；ur、.u和uz 分别是流速在柱坐标（r,θ,z）方向上的分量。可简化为：

uz

0 （２） z

柱坐标的奈维-斯托克斯方程： r分量

ururuuru2u

uruzr'rrrz

（３）

2

11pd2u2ur1ur

rur222v2rrrrrrz

θ分量

uuuuuuu

urruz'rrrz

（４）

2

11pd2ur2u1u

ru222v2rrrrrrrz

z分量

uuzuuzuzuu

urzuzz'rrrz

（５）

1uz12uz2uz1pdvr22zrrrrz

现在先考察z方向的奈维-斯托克斯方程。对于一维稳态流动，式（5）中的

uz

0,ur0，'

u0;由于流动对于管轴对称，uz



20，uz

2

0。将以上条件及（2）得到

pd1uz

[(r)] （6） zrrr

同理，对θ、r方向的奈维-斯托克斯方程化简，可得

pd

0 （7） 

pd

0 （8） r

从式（6）、（7）、（8）可以看出，该式左侧的pd仅是z的函数；而右侧uz仅是r的函数。因此，式（6）可写成常微分方程，即

duz1d1dpd

(r)rdrdrdz （9）

上式为右侧仅为z的函数，左侧仅为r的函数，而r、z又为独立变量，故两边应等于同一

常数才成立，即

duz1d1dpd(r)常数

（10） rdrdrdz

边界条件：

BC1：rri时，uz0 BC2：r0时，对（10）式积分得

duz

0 dr

r

duz1dpd2

（11） rC1 （C1 为常数）

dr2dz

由边界条件BC1得，C10

duzdr1dpd

2dz

r 对此式积分得

u1dpdz

4dzr2

C2 由边界条件BC2得，C1dpd24dz

r2

i

把上式代入（12）得，

u1dpdz

4dz

(r2r2

i)

udpdmax

14dz

r2

i ur2

zumax[(1(r)] i

再求平均流速ub。 体积流率微元

dVs2uzrdr Vs

ri

uz2rdr

把（15）式代入此式得， V

2

s

2

riumax

C2 为常数）

12） 13）

14）

15） （ （ （ （ （



ub

Vs

2Ari

riumax

2



umax

（16） 2

再求单位长度的压降

pfL



1dpd2

ri2ub

4dz

pfL



8ubri

2

2

（17）



ripf8ubL

（18）

对于一支毛细管粘度计其流体流过的长度是确定的，直径是确定的，再测定其流过的压

降和体积流率，即可由式（18）求得粘度。值得注意的是流体在毛细管的流动应是层流。