8上全等三角形证明题大全

1.截长补短与线段和差：

例1如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．

(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．

证 延长AB到F，使BF=CE，则由正方形性质知 AF=AB+BF=BC+CE．

下面我们利用全等三角形来证明AE=AF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角∠BGF=∠CGE，所以 Rt△BGF≌Rt△CGE(AAS)，

从而

于是 Rt△ABG≌Rt△ADM(SAS)，

所以

过G引GH⊥AE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以 ∠F=∠HEG，则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)， 即 AE=BC+CE． 说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．

练习：

1.如图所示，已知AC//BD,EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB=AC+BD

2.在四边形ABCD中，AC平分∠BAD ，CE⊥AB于点E ，且∠B+∠D=180° ，求证：AE=AD+BE

E

3．在三角形ABC中，∠C=2∠B ，∠1=∠2求证：AB=AC+CD

B

4.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

C

AD

F

B

C

E

5. 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

A

N

M BC

D

6.已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

E

DO

BC

7.如图，已知在ABC中，ABC3C，12，BEAE．求证：ACAB2BE．

A1E

B

C

截长补短与角：

例1如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.

A

CDB

由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，

将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.

上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.

练习：

1.在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.

A

E

B

C

2.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

A

F

BE

B

E

C

D

CD

3.在四边形ABCD中，AC平分∠BAD ，CE⊥AB于E ，并且AE=1/2（AB+AD）， 求证：∠B+∠D=180°。

D

B

4已知:在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC。 （1）求证：∠A+∠C=180°

（2）作DH⊥BC ，求证：BH=1/2（AB+BC）

5.如图：在四边形ABCD中，BC﹥BA ，AD=CD ，BD平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°

B

6.如图19所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B:∠C的值.

A

B

(19)

C

2.倍长中线法：

【夯实基础】

例1：ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法：倍长中线AD

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC中

方式1： 延长AD到

E，

AD是BC边中线

使DE=AD，

连接BE 方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接CD 连接BE

【经典例题】

例2：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边

例3：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF

方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H 证明ΔBDG≌ΔECH

例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，

求证：AF=EF

提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形

B

例5：已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.

A求证：AE平分BAC

提示：

方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH

F

B

D

E

C

第 1 题图

例6：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF 证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）

进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

练习：

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE、DF交于G

证明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC

2、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F. 求证：BECFEF

提示：

方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG 证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF 所以BE=EG、CF=FG

利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED至H，连结CH、FH 证明FH=EF、CH=BE

利用三角形两边之和大于第三边

E

A

FC

B

D

第 14 题图

3、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.

提示：过T作TN⊥AB于N 证明ΔBTN≌ΔECD

A

M

B

E

T

C

探究类题型：

1、在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。 （1）求证：CE=CF。

（2）在图中，若G点在AD上，且∠GCE=45° ，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

E

2.如图，在△ABC中，∠ABC=450，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (1)求证：BF=AC

1

（2）求证:CE=BF

2(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

E

B H

3、如图所示：已知长方形ABCD中，E是AD边上一动点（不包括A、D两点）。连接BE交CD的延长线于点F ，试说明当点E运动到什么位置时，长方形ABCD与△BCF的面积相等。

4.如图23，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，ED⊥DF，交AB于点E

，连结EG、EF

⑴求证：BG=CF

⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

5.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.

(1)写出点O 到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.

(2)若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的结论.

6.已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB

分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB=CD；

(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．

C

P

F A

B

7.如图22⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况，其余条件不变，那么图⑴中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由。

8.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

D

N

AMBE

巧用面积法：

1.四边形ABCD是梯形，AD∥BC ，若DE∥AC交BC的延长线于点E，且△ADC≌△ECD ，试问梯形ABCD的面积和△BDE的面积相等吗？谈谈你的看法。

B

C

E

2.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.

A

M

F

EB

C

3.如图12，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且

OD＝3，求△ABC的面积．

D 图12

C

4.求边长

12.如图，△ABC的周长为32，且ABAC，ADBC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为

B

D

C

13.如图所示，AB=AC ，AD⊥BC于D ，且AB+AC+BC=50，而AB+BD+AD=40，则AD为多少？（写过程）

A

D

14.如图，在△ABC中，AD⊥BC ，CE⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是多少？为什么？

B

15.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.

A

D

B

E

C

其它：

1、如图所示：以△ABC的边BC、AC为边，向外侧作两个等腰直角三角形△ACE和△BCD，C为直角顶点，求证：AD⊥EB 。

A

2、如图所示：AB∥CD ，AD∥BC ，E、F分别在分别在AB、CD上，DF=BE，AC与EF相交于点M ，求证：AC、EF互相平分。

A

3、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AFBFEF．

A E

B

G

C D

4、在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC延长线于F，求证：∠FAC=∠B

B

F

5、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ，D是AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F ，CH⊥AB于H ，CH交AE于G 。求证：BD=CG 。

A

B

6、在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于O ，EF∥BC ，求证：EC平分∠FED 。

C

7、△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD‖BC交AB于

D，求证：AC＝AD。

8、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。

9.如图所示,已知AB⊥BC,DC⊥BC,E在BC上,且AE=AD,AB=BC. 求证:CE=CD.

A

D

B

E(22)

C

10、已知△ABC的外角∠CBD 、∠BCE的角平分线交于点F， 求证：（1）∠BFC=90°- 1/2∠A

（2）点F在∠DAE的平分线上

11、已知∠A=∠DBE ，∠ABC=∠EDB ，AC=BE ，求证：AC∥

BE

A

B

12、在四边形ABCD中，F是BC上的一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG 于点E ，且DE=DC，AD∥BC，∠B=900，AB=DC ，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

C

13、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F是垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E 。求证：（1）AB=2CE

D

14、如果两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等，那么它们第三边所对的角的关系是（ ） A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补

15.如图，已知AB＝AE，∠B＝∠

E，BC＝ED，F为CD的中点． 求证：AF平分∠BAE．

16.如图，∠B＝∠C＝90°，M是

BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠DMA＝90°．

三角形全等易错题练习

1.下面有四个命题：

①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等． 其中真命题是（ ）A．②，③ B．①，③ C．③，④ D．②，④

2.下列命题中，真命题的个数是（ ）

①如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等； ②如果两个三角形有两条边和其中一边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等； ③如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等； ④如果两个直角三角形有两条边对应相等，那么这两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.以下命题：

①有一条边相等的两个等腰直角三角形全等，

②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等， ③有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，

④两腰对应相等的两个三角形全等，⑤两边对应相等的两个直角三角形全等，⑥两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，

其中正确的序号是（ ）A．①②⑥ B．④⑤⑥ C．⑤⑥ D．③⑤⑥

4.下列4个判断：

①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

②两个三角形的6个边．角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 其中正确判断的编号是________

5.考查下列命题

（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6.下列的命题中，正确的命题是（ ）

A．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个

1.截长补短与线段和差：

例1如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．

(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．

证 延长AB到F，使BF=CE，则由正方形性质知 AF=AB+BF=BC+CE．

下面我们利用全等三角形来证明AE=AF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角∠BGF=∠CGE，所以 Rt△BGF≌Rt△CGE(AAS)，

从而

于是 Rt△ABG≌Rt△ADM(SAS)，

所以

过G引GH⊥AE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以 ∠F=∠HEG，则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)， 即 AE=BC+CE． 说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．

练习：

1.如图所示，已知AC//BD,EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB=AC+BD

2.在四边形ABCD中，AC平分∠BAD ，CE⊥AB于点E ，且∠B+∠D=180° ，求证：AE=AD+BE

E

3．在三角形ABC中，∠C=2∠B ，∠1=∠2求证：AB=AC+CD

B

4.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

C

AD

F

B

C

E

5. 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

A

N

M BC

D

6.已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

E

DO

BC

7.如图，已知在ABC中，ABC3C，12，BEAE．求证：ACAB2BE．

A1E

B

C

截长补短与角：

例1如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.

A

CDB

由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，

将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.

上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.

练习：

1.在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.

A

E

B

C

2.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

A

F

BE

B

E

C

D

CD

3.在四边形ABCD中，AC平分∠BAD ，CE⊥AB于E ，并且AE=1/2（AB+AD）， 求证：∠B+∠D=180°。

D

B

4已知:在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC。 （1）求证：∠A+∠C=180°

（2）作DH⊥BC ，求证：BH=1/2（AB+BC）

5.如图：在四边形ABCD中，BC﹥BA ，AD=CD ，BD平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°

B

6.如图19所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B:∠C的值.

A

B

(19)

C

2.倍长中线法：

【夯实基础】

例1：ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法：倍长中线AD

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC中

方式1： 延长AD到

E，

AD是BC边中线

使DE=AD，

连接BE 方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接CD 连接BE

【经典例题】

例2：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边

例3：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF

方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H 证明ΔBDG≌ΔECH

例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，

求证：AF=EF

提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形

B

例5：已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.

A求证：AE平分BAC

提示：

方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH

F

B

D

E

C

第 1 题图

例6：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF 证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）

进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

练习：

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE、DF交于G

证明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC

2、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F. 求证：BECFEF

提示：

方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG 证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF 所以BE=EG、CF=FG

利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED至H，连结CH、FH 证明FH=EF、CH=BE

利用三角形两边之和大于第三边

E

A

FC

B

D

第 14 题图

3、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.

提示：过T作TN⊥AB于N 证明ΔBTN≌ΔECD

A

M

B

E

T

C

探究类题型：

1、在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。 （1）求证：CE=CF。

（2）在图中，若G点在AD上，且∠GCE=45° ，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

E

2.如图，在△ABC中，∠ABC=450，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (1)求证：BF=AC

1

（2）求证:CE=BF

2(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

E

B H

3、如图所示：已知长方形ABCD中，E是AD边上一动点（不包括A、D两点）。连接BE交CD的延长线于点F ，试说明当点E运动到什么位置时，长方形ABCD与△BCF的面积相等。

4.如图23，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，ED⊥DF，交AB于点E

，连结EG、EF

⑴求证：BG=CF

⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

5.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.

(1)写出点O 到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.

(2)若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的结论.

6.已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB

分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB=CD；

(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．

C

P

F A

B

7.如图22⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况，其余条件不变，那么图⑴中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由。

8.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

D

N

AMBE

巧用面积法：

1.四边形ABCD是梯形，AD∥BC ，若DE∥AC交BC的延长线于点E，且△ADC≌△ECD ，试问梯形ABCD的面积和△BDE的面积相等吗？谈谈你的看法。

B

C

E

2.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.

A

M

F

EB

C

3.如图12，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且

OD＝3，求△ABC的面积．

D 图12

C

4.求边长

12.如图，△ABC的周长为32，且ABAC，ADBC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为

B

D

C

13.如图所示，AB=AC ，AD⊥BC于D ，且AB+AC+BC=50，而AB+BD+AD=40，则AD为多少？（写过程）

A

D

14.如图，在△ABC中，AD⊥BC ，CE⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是多少？为什么？

B

15.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.

A

D

B

E

C

其它：

1、如图所示：以△ABC的边BC、AC为边，向外侧作两个等腰直角三角形△ACE和△BCD，C为直角顶点，求证：AD⊥EB 。

A

2、如图所示：AB∥CD ，AD∥BC ，E、F分别在分别在AB、CD上，DF=BE，AC与EF相交于点M ，求证：AC、EF互相平分。

A

3、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AFBFEF．

A E

B

G

C D

4、在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC延长线于F，求证：∠FAC=∠B

B

F

5、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ，D是AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F ，CH⊥AB于H ，CH交AE于G 。求证：BD=CG 。

A

B

6、在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于O ，EF∥BC ，求证：EC平分∠FED 。

C

7、△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD‖BC交AB于

D，求证：AC＝AD。

8、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。

9.如图所示,已知AB⊥BC,DC⊥BC,E在BC上,且AE=AD,AB=BC. 求证:CE=CD.

A

D

B

E(22)

C

10、已知△ABC的外角∠CBD 、∠BCE的角平分线交于点F， 求证：（1）∠BFC=90°- 1/2∠A

（2）点F在∠DAE的平分线上

11、已知∠A=∠DBE ，∠ABC=∠EDB ，AC=BE ，求证：AC∥

BE

A

B

12、在四边形ABCD中，F是BC上的一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG 于点E ，且DE=DC，AD∥BC，∠B=900，AB=DC ，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

C

13、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F是垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E 。求证：（1）AB=2CE

D

14、如果两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等，那么它们第三边所对的角的关系是（ ） A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补

15.如图，已知AB＝AE，∠B＝∠

E，BC＝ED，F为CD的中点． 求证：AF平分∠BAE．

16.如图，∠B＝∠C＝90°，M是

BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠DMA＝90°．

三角形全等易错题练习

1.下面有四个命题：

①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等． 其中真命题是（ ）A．②，③ B．①，③ C．③，④ D．②，④

2.下列命题中，真命题的个数是（ ）

①如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等； ②如果两个三角形有两条边和其中一边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等； ③如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等； ④如果两个直角三角形有两条边对应相等，那么这两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.以下命题：

①有一条边相等的两个等腰直角三角形全等，

②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等， ③有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，

④两腰对应相等的两个三角形全等，⑤两边对应相等的两个直角三角形全等，⑥两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，

其中正确的序号是（ ）A．①②⑥ B．④⑤⑥ C．⑤⑥ D．③⑤⑥

4.下列4个判断：

①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

②两个三角形的6个边．角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 其中正确判断的编号是________

5.考查下列命题

（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6.下列的命题中，正确的命题是（ ）

A．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个