曲线及其方程、充要条件
赵祖培
[问题精讲] 1．充要条件的辨析
例1. 用三种不同方法辨别充要条件 例2. 用图象法，集合辨别充要条件 2. 剖析曲线与几何的关系 3．求动点轨迹方程
例3. 单个动点轨迹方程的求法：直接法.
例4. 多个动点轨迹方程的求法：参数法.
[强化训练]
[内容概述
]
对于充要条件，请牢记：若 若
，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件。
，则A 、B 互为充要条件。
搞清这点，就没什么问题了。
关于曲线和方程，请特别留意，今天为你介绍的直接法与参数法将是高考几何大题中的“高频出镜”者，现在不加以掌握，那将是„„ [问题精讲]
1．充要条件的辨析
数学命题的四种形式和它们间相互关系，以及充分条件、必要条件和充要条件的辨析，是数学理论中最重要的问题之一；也是系统学好数学，理解数学，论证数学及应用数学的重要理论基础. 我们一定要学会用原命题与逆命题谁成立、
否命题与逆否命题谁成立、或用合中包含与被包含关系等三种不同的方法判断和辨析充要条件。
例1 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则丙是甲的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
分析：方法一（用原命题与逆命题谁成立）：
选A ；
方法二（否命题与逆否命题谁成立）：
且
，得
，即
，故选A ；
且
，即得
，即
故丙是甲的充分非必要条件，应
方法三（用集合包含与被包含关系）：依题意得：
，所以丙是甲的充分非必要条件：
注：法一中用箭头画图较为直观，对吗？
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例2 设命题，
则命题甲是命题乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
分析：设.
0
3x+2y-612x2-12x+3表示抛物线
曲线内部的点的集合. 故B 集合即为在第一象限
内直线3x+2y-6=0下方且抛物线 根据作图可知
内部的点的集合.
，所以甲是乙成立的必要非充分条件，应选B.
注：这是数形结合的一个经典范例！只是数字不太好.
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2．为什么说曲线和方程的关系是解析几何的灵魂？
“曲线上每一个点的坐标代入方程，都能使方程成立”；“能使方程成立的每一对实数，如果是点的坐标，则此点一定都在该议程表示的曲线上”. 曲线和方程的这两种关系把几何中点的轨迹等价于代数中的方程，使数学走向了数形结合的新纪元，才有“解析几何”这个紧密结合数形关系的数学分支，也才有解析几何的两大问题：由几何条件求动点轨迹方程，和由轨迹方程求轨迹的几何性质. 因此把曲线和方程关系称为解析几何的理论基础和灵魂是毫不为过的. 随着解析几何内容的加深，我们一定要深刻理会此处精髓. 3．求动点轨迹方程
求动点轨迹方程是解析几何的两大问题之一. 求动点轨迹方程的两种基本方法和技能技巧将贯穿于整个解析几何内容. (1)单个动点轨迹若题设中只有一个动点，且所求的即为此动点轨迹方程之中，此种题型即为两种基本题型之一，称为“直接法”。解此种题型主要是把题设中的几何条件转化为数量关系等式。将
来解析几何要学习的圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程推导都属于此种类型，摸底检测第三题是此类题型.
例3 已知定点A （a,0）(a>0)，B 是第一象限内的点，∠ABO=90°，则△OBA 的内切圆圆心P 的轨迹方程是（ ） A.x2+y2-ax-ay=0 B.x2+y2+ax+ay=0 C.x2+y2-ax=0 D.x2+y2-ay=0
分析：设P(x，y) 、OP 、AP 分别平分∠BOA和∠OAB， ∴∠OPA=135°，
，
，
整理得x 2+y2-ax-ay=0. 选A.
注：一个选择题的计算量这么大，真是恐怖！显然B 在以OA 为直径的半圆上移动，B 无限靠近A 时，P 也无限靠近A ，即（a ，0）在曲线上，∴A、C 为可能选项，画画图，C 是什么？分明是B 点的轨迹！所以A 最终入选了！
(2)多个动点轨迹 在轨迹问题中，有时存在两个或两个以上的动点. 我们称这样的轨迹为多动点轨迹. 在几个动点中，有主动点和被动点之分，通常是求被动点的轨迹方程. 解此种题型要以主动点坐标为参数，然后建立关于参数和动点坐标的方程组（方程组个数比参数的个数多一个），消去参数得所求动点轨迹方程，摸底检测的第四题即为此种类型.
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例4 △ABC 中，A （3，0），|BC|=2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动，则△ABC 的外心P 的轨迹方程为 A.y2=6x-8
B.y2=6x-8(-2≤y ≤2且y ≠1) C.y2=6x
D.y=6x(-3≤y ≤3且y ≠1)
分析：BC 在y 轴上[-3，3]范围内运动，为主动点，因为BC 运动△ABC 的外心P 随着运动，P 为被动点，求P 的轨迹，设P （x ，y ），B （0，t ），C （0，t-2）(-1≤t ≤3) ，AC 中点
，
，线段AC
的垂直平分线方程：
2
，与BC 的垂直平分线方程y=t-1联立得y 2=6x-8，由
y=t-1（-1≤t ≤3）得-2≤y ≤2，且t ≠2，y ≠1，得出曲线方程，故应选B. 注：还有巧妙方法吗？当然！如图必有(a,0)在曲线上，其中a>0，∴排除C 、D ，又显然y 有取值范围，B 确定无疑了！ 注意求动点轨迹方程时，其变量x,y 的范围的求法既是重点又是难点. 若曲线变量有范围而未求出，整个题可以算错题. 注：本次讲义中由于选择题的特殊性，为你提供了一些简便方法. 但同样希望你将它们视为解答题详解一遍！其中的解题思路方法太重要了.
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[强化练习] 1. 已知直线ι
1
：y=k1x+b1与ι
2
：y=k2x+b2，k 1≠k 2是ι
1
与ι
2
相交的
A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充要条件
D.非充分亦非必要条件 2. 到直线x+2y-1=0的距离等于
的点的轨迹方程为________________.
3. 动点P(x,y)到定点A(-3,0)的距离等于点P 到直线x=-1的距离，则点的轨迹方程是___________.
4. 已知两定点A （-2，0），B （3，0），动点P 满足程.
答案与提示：
1. C k1或k 2不存在时，ι1
，求P 点的轨迹方
与ι
2
亦相交.
2. x+2y-6=0与x+2y+4=0；注意点到平面距离，去掉绝对值，要得正、负两
值.
3. y2+4x+8=0.
4. x2+y2+12x=0. 直接法求动点轨迹.
曲线及其方程、充要条件
赵祖培
[问题精讲] 1．充要条件的辨析
例1. 用三种不同方法辨别充要条件 例2. 用图象法，集合辨别充要条件 2. 剖析曲线与几何的关系 3．求动点轨迹方程
例3. 单个动点轨迹方程的求法：直接法.
例4. 多个动点轨迹方程的求法：参数法.
[强化训练]
[内容概述
]
对于充要条件，请牢记：若 若
，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件。
，则A 、B 互为充要条件。
搞清这点，就没什么问题了。
关于曲线和方程，请特别留意，今天为你介绍的直接法与参数法将是高考几何大题中的“高频出镜”者，现在不加以掌握，那将是„„ [问题精讲]
1．充要条件的辨析
数学命题的四种形式和它们间相互关系，以及充分条件、必要条件和充要条件的辨析，是数学理论中最重要的问题之一；也是系统学好数学，理解数学，论证数学及应用数学的重要理论基础. 我们一定要学会用原命题与逆命题谁成立、
否命题与逆否命题谁成立、或用合中包含与被包含关系等三种不同的方法判断和辨析充要条件。
例1 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则丙是甲的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
分析：方法一（用原命题与逆命题谁成立）：
选A ；
方法二（否命题与逆否命题谁成立）：
且
，得
，即
，故选A ；
且
，即得
，即
故丙是甲的充分非必要条件，应
方法三（用集合包含与被包含关系）：依题意得：
，所以丙是甲的充分非必要条件：
注：法一中用箭头画图较为直观，对吗？
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例2 设命题，
则命题甲是命题乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
分析：设.
0
3x+2y-612x2-12x+3表示抛物线
曲线内部的点的集合. 故B 集合即为在第一象限
内直线3x+2y-6=0下方且抛物线 根据作图可知
内部的点的集合.
，所以甲是乙成立的必要非充分条件，应选B.
注：这是数形结合的一个经典范例！只是数字不太好.
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2．为什么说曲线和方程的关系是解析几何的灵魂？
“曲线上每一个点的坐标代入方程，都能使方程成立”；“能使方程成立的每一对实数，如果是点的坐标，则此点一定都在该议程表示的曲线上”. 曲线和方程的这两种关系把几何中点的轨迹等价于代数中的方程，使数学走向了数形结合的新纪元，才有“解析几何”这个紧密结合数形关系的数学分支，也才有解析几何的两大问题：由几何条件求动点轨迹方程，和由轨迹方程求轨迹的几何性质. 因此把曲线和方程关系称为解析几何的理论基础和灵魂是毫不为过的. 随着解析几何内容的加深，我们一定要深刻理会此处精髓. 3．求动点轨迹方程
求动点轨迹方程是解析几何的两大问题之一. 求动点轨迹方程的两种基本方法和技能技巧将贯穿于整个解析几何内容. (1)单个动点轨迹若题设中只有一个动点，且所求的即为此动点轨迹方程之中，此种题型即为两种基本题型之一，称为“直接法”。解此种题型主要是把题设中的几何条件转化为数量关系等式。将
来解析几何要学习的圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程推导都属于此种类型，摸底检测第三题是此类题型.
例3 已知定点A （a,0）(a>0)，B 是第一象限内的点，∠ABO=90°，则△OBA 的内切圆圆心P 的轨迹方程是（ ） A.x2+y2-ax-ay=0 B.x2+y2+ax+ay=0 C.x2+y2-ax=0 D.x2+y2-ay=0
分析：设P(x，y) 、OP 、AP 分别平分∠BOA和∠OAB， ∴∠OPA=135°，
，
，
整理得x 2+y2-ax-ay=0. 选A.
注：一个选择题的计算量这么大，真是恐怖！显然B 在以OA 为直径的半圆上移动，B 无限靠近A 时，P 也无限靠近A ，即（a ，0）在曲线上，∴A、C 为可能选项，画画图，C 是什么？分明是B 点的轨迹！所以A 最终入选了！
(2)多个动点轨迹 在轨迹问题中，有时存在两个或两个以上的动点. 我们称这样的轨迹为多动点轨迹. 在几个动点中，有主动点和被动点之分，通常是求被动点的轨迹方程. 解此种题型要以主动点坐标为参数，然后建立关于参数和动点坐标的方程组（方程组个数比参数的个数多一个），消去参数得所求动点轨迹方程，摸底检测的第四题即为此种类型.
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例4 △ABC 中，A （3，0），|BC|=2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动，则△ABC 的外心P 的轨迹方程为 A.y2=6x-8
B.y2=6x-8(-2≤y ≤2且y ≠1) C.y2=6x
D.y=6x(-3≤y ≤3且y ≠1)
分析：BC 在y 轴上[-3，3]范围内运动，为主动点，因为BC 运动△ABC 的外心P 随着运动，P 为被动点，求P 的轨迹，设P （x ，y ），B （0，t ），C （0，t-2）(-1≤t ≤3) ，AC 中点
，
，线段AC
的垂直平分线方程：
2
，与BC 的垂直平分线方程y=t-1联立得y 2=6x-8，由
y=t-1（-1≤t ≤3）得-2≤y ≤2，且t ≠2，y ≠1，得出曲线方程，故应选B. 注：还有巧妙方法吗？当然！如图必有(a,0)在曲线上，其中a>0，∴排除C 、D ，又显然y 有取值范围，B 确定无疑了！ 注意求动点轨迹方程时，其变量x,y 的范围的求法既是重点又是难点. 若曲线变量有范围而未求出，整个题可以算错题. 注：本次讲义中由于选择题的特殊性，为你提供了一些简便方法. 但同样希望你将它们视为解答题详解一遍！其中的解题思路方法太重要了.
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[强化练习] 1. 已知直线ι
1
：y=k1x+b1与ι
2
：y=k2x+b2，k 1≠k 2是ι
1
与ι
2
相交的
A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充要条件
D.非充分亦非必要条件 2. 到直线x+2y-1=0的距离等于
的点的轨迹方程为________________.
3. 动点P(x,y)到定点A(-3,0)的距离等于点P 到直线x=-1的距离，则点的轨迹方程是___________.
4. 已知两定点A （-2，0），B （3，0），动点P 满足程.
答案与提示：
1. C k1或k 2不存在时，ι1
，求P 点的轨迹方
与ι
2
亦相交.
2. x+2y-6=0与x+2y+4=0；注意点到平面距离，去掉绝对值，要得正、负两
值.
3. y2+4x+8=0.
4. x2+y2+12x=0. 直接法求动点轨迹.