(解一元二次方程,配方法)

用开平方法解一元二次方程

形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，可以用直接开平方的方法，求出方程的解。例1：解下列方程：

=3（1）-2（y-1）2+5=0 （2）2t+2）

例2：解方程：（2x-1）2=（x+3）2

值得注意：形如(mx+n)2=kx形式的一元二次方程是不能运用此方法求解。一、配方

例：在下列各空白处填上适当的数，使等式成立。

（1）x2+12x+_____=(x+____)2 (2)x2-3x+_____=(x-____)2

111

（3）x2+x+____=(x+____)2 (4)x2-___x+=(x-)2

393

规律：常数项是一次项系数一半的平方。二、用配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

用配方法解一元二次方程，需先将原方程设法转化成（x+n）2=p的形式，再用开平方法解这个方程。

例1：用配方法解方程：x2-2x-2=0 x2-4x=5 6x2-x-12=0

用配方法解一元二次方程可归纳成如下步骤：

（1）移项将二次项、一次项保留在方程的左边，把常数“孤立”在方程的右边（2）化二次项系数为1 两边同时除以二次项的系数

（3）配方两边同时加上一次项系数一半的平方（4）降次两边开平方

（5）写出方程的解解一元一次方程

（1）和（2）可以互换位置，没有明确的规定。用配方法解下列方程

（1） X2-2x-2=0 （2） x2-3x-1=0 （3）x2+4x+2=0

（4）（x+2）2=4x2 （5）（x-1）(x-2)=42

（6） x2-2px+q=0 （p.q为常数且p2-q＞0）

例2：用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是（）

A、（a+2）2-1 B、（a+2）2-5 C、（a+2）2+4 D、（a+2）2-9 例3：求证：不论a取何值，2a2-a+1的值总是一个正数。

例4：x为任意实数时，二次三项式x2-6x+c的值都不小于0，则常数c满足的条件是（） A、c≥0 B、c≥9 C、c＜9 D、c≤9

练一练

1、方程（x-2）2=9的解是（）

Ａ、ｘ１＝５ｘ２＝－１Ｂ、ｘ１＝－５ｘ２＝１Ｃ、ｘ１＝１１ｘ２＝－７Ｄ、ｘ１＝－１１ｘ２＝７２、用配方法解一元二次方程ｘ２－４ｘ＝５的过程中，配方正确的是（）Ａ、（ｘ＋２）２＝１Ｂ、（ｘ－２）２＝１

Ｃ、（ｘ＋２）２＝９Ｄ、（ｘ－２）２＝９

3、已知方程x2-6x+q=0可以配成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配成（） A、（x-p）2=5 B、（x-p）2=9 C、（x-p+2）2=9 D、（x-p+2）2=5 4、用配方法解下列方程，配方有错误的是（）

7281

（t-）= A、x2-2x-99=0化为（x-1）2=100 B、2t2-7t-4=0化为

4163210（x-）= C、x2+8x+9=0化为（x+4）2=25 D、3x2-4x-2=0化为

5、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（）

p2p2-4qp24q-p2p2p2-4qp24q-p2

（x+）=（x+）=（x-）=（x-）= A、 B、 C、 D、

24242424

6、一元二次方程x2-mx-1=0配方后为（x-n）2=17，那么一元二次方程x2-mx+1=0配方后为( )

A、（x-4）2=15 B、（x+4）2=15

C、（x-4）2=17或（x+4）2=17 D、（x-4）2=15 或（x+4）2=15 7、当x变化时，-2x2+2x-1的值（）

A、恒大于0 B、恒小于0 C、恒等于0 D、可能大于0，也可能小于0 8、不论x、y为何实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）

A、总小于2 B、总不小于2 C、可以为任何实数 D、不能为负数 9、用配方法解方程x22x50时，原方程应变形为（）

A. (x1)26 B. (x2)29 C. (x1)26 D. (x2)29 10、关于方程式88(x2)295的两根，下列判断何者正确？

A、一根小于1，另一根大于3 B、一根小于－2，另一根大于2 C、两根都小于0 D、两根都大于2 11、方程3x2120的解是（）

A、x1x22 B、x1x22 C、x12,x22 D

、x1x2 12.已知方程x26xq0可以配方成(xp)27的形式, 那么x26xq2可以配方成下列的（）.

A、 (xp)25 B、 (xp)29 C、 (xp2)29 D、 (xp2)25 13、方程2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是 ( )

31313

A、 x16 B、2x C、 x D、以上都不对

416416214．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．

A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 15．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．

A．x2-8x+（-4）=31 B．x2-8x+（-4）=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11

222

16．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9

17．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（）．

18218110

A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=

393393918．下列方程中，一定有实数解的是（）．

A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（19．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）． A．1 B．2 C．-1 D．-2

20用配方法解方程x24x20，下列配方正确的是（）A A．(x2)22 二、填空

x2x2

1．方程x+4x-5=0的解是________．代数式的值为0，则x的值为________． 2

x1

x-a）2=a 2

B．(x2)22 C．(x2)22

D．(x2)26

2．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．

3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求

出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______． 4、方程（x-1）2=4的解是_____

5、一元二次方程（x+6）2=5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是

一个一次方程是______

6、定义一种运算，a※b=a2-b2，则方程（4※3）※x=13的解为______ 7、把方程x2化成（x+m）2=k的形式后，m=______,k=_____ 8、不论m取何值，m2+4m+5的值都不可能小于_______

9、

5010、在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊bab，根据这个规则，方程(x2)＊

的解为

三、解决问题 1、x2y2

2、已知a-4a+b-b2+16=0，求a



4x2y250,求x2y2



3、已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求

x2y

的值．

x2y2

4．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

5．如果x2-4x+y2

，求（xy）z的值．

6、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数

7、

已知a10，求一元二次方程bxxa0的解.

先用配方法说明：不论x取何值，代数式x5x7的值总大于0；再求出当x取何值时，代数式x5x7的值最小？最小是多少？