指数函数
(一) 指数函数的概念：
函数y =a
x
(a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数. 其中x 是自变量. 函数的定义域为R .
在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y =kx +b (k ≠0) 的形式表示，反比例函数用形如y =
k
(k ≠0) 的形式表示，二次函数用y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的形式表示．这些函数x
对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值. 思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？
将a 如数轴所示分为：a
(1)如果a
、
等，在实数范围内函数值不存在；
(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； （4) 如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 很好，所以有规定a >0且a ≠1（对指数函数有一初步的认识）.
（二）指数函数的图象与性质：
研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 指数函数y =a (a >0且a ≠1) 的图象与性质：
x
(四) 指数函数性质的简单应用
例1. 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1
分析：对于这样两个数比大小，观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1. 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解． 2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论．
3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小． 解 : (1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5
(2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0-0.2,所以 0.8-0.1
(3) 观察图像可得,(0.3)-0.31.7 0 =1,093.10.93.10.93.1 总结：同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 . 不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1) 例3：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 : (l )2m 0.2n (3)a m 0）
解：(1) 因为y =2x 是一个单调递增函数，所以由题意m 1时y =a x 是一个单调递增函数，所以此时m
特点：已知幂值大小判断指数大小。可以构造指数函数，利用单调性解题。 1、求下列函数的定义域：
2 ．比较下列各题中两个值的大小 : （1）30.9 ,30.8; （2）0.75-0.2，0.750.2
3、已知a = 0.80.7, b = 0.80.9, c = 1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是 五、归纳小结，
本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点． 1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质． 2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用. 3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想. 思考：1．函数y =a
x -2
+1(a >0, 且a ≠1) 的图象必经过点___________．
x -1
2．解不等式：()
12
>1．
练习题
一、选择题1. 函数f (x ) =a （a >0，且a ≠1）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．f (xy ) =f (x ) f (y ) Ｃ．f (x +y ) =f (x ) f (y )
Ｂ．f (xy ) =f (x ) +f (y ) Ｄ．f (x +y ) =f (x ) +f (y )
x
2. 下列各式中，正确的是＿＿＿.(填序号)
①=(-a ) ;
②a
1
2
-
13
3a =
=-a (a
0) ；④() 4=a 、b ≠0) .
b 3. 当x ∈[-1, 1]时函数f (x ) =3-2的值域是（ ）
x
⎡5⎤
A. ⎢-,1⎥⎣3⎦
x
B. [-1,1]
⎡5⎤C. ⎢1, ⎥⎣3⎦
D. [0,1]
4. 函数y =a 在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3，则a =( ) A.
11 B.2 C.4 D. 24
2
2
11
11
5. 已知a >b , ab ≠0，下列不等式（1）a >b ；(2)2>2；(3)b 3；
a b
a b ⎛1⎫⎛1⎫
(5) ⎪
⎝3⎭⎝3⎭
a
b
A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个
1
的值域是（ ） x
2-1
A 、(-∞,1) B、(-∞,0) (0, +∞) C、(-1, +∞) D、(-∞, -1) (0, +∞)
6. 函数y =7. 函数
（
）的图象是（ ）
8. 下列函数式中，满足f (x +1) =A 、
1
f (x ) 的是( ) 2
11
(x +1) B、x + C、2x D 、2-x 24
，
，则函数
的图象一定在（ ）
9．若
A ．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
11．已知 且 ， ，则 是（ ）
A ．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与 有关
-23
二、1. 已知x
=4，则x =___________
2. 设y 1=40.9, y 2=80.48, y 3=() -1.5，则y 1, y 2, y 3的大小关系是________________ 3. 当a >0且a ≠1时，函数f (x ) =a
x -2
12
-3必过定点
-x
4. 函数f (x ) 的定义域为[1,4],则函数f (2) 的定义域为______________ 5已知
的定义域为
x
-x
,则 的定义域为__________.
6. 已知函数f (x ) =a +a 是 ． 7. 若f (5
2x -1
（a >0，a ≠1），且f (1)=3，则f (0) +f (1)的+f (2) 值
) =x -2，则f (125)=x
x
8. 函数y =(3-1) +8-2的定义域为9. 方程2
-x
+x 2=3的实数解的个数为________________
，当其值域为
时， 的取值范围是_________
10．已知三、解答题 1. 计算0.064
-1
3
41-70
-(-) +[(-2) 3]3+16-0.75+-0.012
2
3．已知 ，求函数 的值域．
4．若函数 （
x -12
且 ）在区间 上的最大值是14，求的值。
5．设0≤x ≤2，求函数y =46．已知函数f (x ) =(
-3∙2x +5的最大值和最小值
113 （1）求函数的定义域；
+) x 2x -12
（2）讨论函数的奇偶性； （3）证明：f (x ) >0
x
7. 已知函数f(x)＝a -1 (a>0且a ≠1).
a x +1
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
一、选择题
1．(2011·济南模拟) 定义运算a ⊗b ＝⎨
⎧⎪a (a ≤b )⎪⎩b (a >b )
，则函数f (x ) ＝1⊗2的图象大致为(
)
x
2．函数f (x ) ＝x －bx ＋c 满足f (1＋x ) ＝f (1－x ) 且f (0)＝3，则f (b ) 与f (c ) 的大小关系是( )
x x x x
A ．f (b ) ≤f (c ) B．f (b ) ≥f (c )
x x
C ．f (b )>f (c ) D．大小关系随x 的不同而不同
x
3．函数y ＝|2－1|在区间(k －1，k ＋1) 内不单调，则k 的取值范围是( )
A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C．(－1,1) D ．(0,2)
4．设函数f (x ) ＝ln [(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x ) ＝lg(a －2－1) 的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3
B ．a ≥3 C．a >5
D ．a 5
*
2
x x
⎧⎪(3－a )x －3，x ≤7，
5．已知函数f (x ) ＝⎨x －6
⎪a ，x >7.⎩
若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ) ，且{a n }是递增数列，
则实数a 的取值范围是( ) 9
A ．，3)
4
9
B ．(，3) C．(2,3)
4
D ．(1,3)
12x
6．(2011·龙岩模拟) 已知a >0且a ≠1，f (x ) ＝x －a ，当x ∈(－1,1) 时，均有f (x a
2的取值范围是( ) 1
A ．(0，]∪[2，＋∞)
21
C ．，1) ∪(1,2]
2二、填空题
7．函数y ＝a (a >0，且a ≠1) 在[1,2]上的最大值比最小值大，则a 的值是________．
2
8．若曲线|y |＝2＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．
|x |
9．(2011·滨州模拟) 定义：区间[x 1，x 2](x 1
＝2
x
x
1
B ．[，1) ∪(1,4]
41
D ．(0，) ∪[4，＋∞)
4
a
的定义域、值域和单调区间．
11．(2011·银川模拟) 若函数y ＝a ＋2a －1(a >0且a ≠1) 在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．
x ax x
12．已知函数f (x ) ＝3，f (a ＋2) ＝18，g (x ) ＝λ·3－4的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；
(2)若函数g (x ) 在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
2x x
指数函数
(一) 指数函数的概念：
函数y =a
x
(a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数. 其中x 是自变量. 函数的定义域为R .
在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y =kx +b (k ≠0) 的形式表示，反比例函数用形如y =
k
(k ≠0) 的形式表示，二次函数用y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的形式表示．这些函数x
对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值. 思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？
将a 如数轴所示分为：a
(1)如果a
、
等，在实数范围内函数值不存在；
(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； （4) 如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 很好，所以有规定a >0且a ≠1（对指数函数有一初步的认识）.
（二）指数函数的图象与性质：
研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 指数函数y =a (a >0且a ≠1) 的图象与性质：
x
(四) 指数函数性质的简单应用
例1. 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1
分析：对于这样两个数比大小，观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1. 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解． 2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论．
3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小． 解 : (1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5
(2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0-0.2,所以 0.8-0.1
(3) 观察图像可得,(0.3)-0.31.7 0 =1,093.10.93.10.93.1 总结：同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 . 不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1) 例3：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 : (l )2m 0.2n (3)a m 0）
解：(1) 因为y =2x 是一个单调递增函数，所以由题意m 1时y =a x 是一个单调递增函数，所以此时m
特点：已知幂值大小判断指数大小。可以构造指数函数，利用单调性解题。 1、求下列函数的定义域：
2 ．比较下列各题中两个值的大小 : （1）30.9 ,30.8; （2）0.75-0.2，0.750.2
3、已知a = 0.80.7, b = 0.80.9, c = 1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是 五、归纳小结，
本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点． 1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质． 2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用. 3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想. 思考：1．函数y =a
x -2
+1(a >0, 且a ≠1) 的图象必经过点___________．
x -1
2．解不等式：()
12
>1．
练习题
一、选择题1. 函数f (x ) =a （a >0，且a ≠1）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．f (xy ) =f (x ) f (y ) Ｃ．f (x +y ) =f (x ) f (y )
Ｂ．f (xy ) =f (x ) +f (y ) Ｄ．f (x +y ) =f (x ) +f (y )
x
2. 下列各式中，正确的是＿＿＿.(填序号)
①=(-a ) ;
②a
1
2
-
13
3a =
=-a (a
0) ；④() 4=a 、b ≠0) .
b 3. 当x ∈[-1, 1]时函数f (x ) =3-2的值域是（ ）
x
⎡5⎤
A. ⎢-,1⎥⎣3⎦
x
B. [-1,1]
⎡5⎤C. ⎢1, ⎥⎣3⎦
D. [0,1]
4. 函数y =a 在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3，则a =( ) A.
11 B.2 C.4 D. 24
2
2
11
11
5. 已知a >b , ab ≠0，下列不等式（1）a >b ；(2)2>2；(3)b 3；
a b
a b ⎛1⎫⎛1⎫
(5) ⎪
⎝3⎭⎝3⎭
a
b
A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个
1
的值域是（ ） x
2-1
A 、(-∞,1) B、(-∞,0) (0, +∞) C、(-1, +∞) D、(-∞, -1) (0, +∞)
6. 函数y =7. 函数
（
）的图象是（ ）
8. 下列函数式中，满足f (x +1) =A 、
1
f (x ) 的是( ) 2
11
(x +1) B、x + C、2x D 、2-x 24
，
，则函数
的图象一定在（ ）
9．若
A ．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
11．已知 且 ， ，则 是（ ）
A ．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与 有关
-23
二、1. 已知x
=4，则x =___________
2. 设y 1=40.9, y 2=80.48, y 3=() -1.5，则y 1, y 2, y 3的大小关系是________________ 3. 当a >0且a ≠1时，函数f (x ) =a
x -2
12
-3必过定点
-x
4. 函数f (x ) 的定义域为[1,4],则函数f (2) 的定义域为______________ 5已知
的定义域为
x
-x
,则 的定义域为__________.
6. 已知函数f (x ) =a +a 是 ． 7. 若f (5
2x -1
（a >0，a ≠1），且f (1)=3，则f (0) +f (1)的+f (2) 值
) =x -2，则f (125)=x
x
8. 函数y =(3-1) +8-2的定义域为9. 方程2
-x
+x 2=3的实数解的个数为________________
，当其值域为
时， 的取值范围是_________
10．已知三、解答题 1. 计算0.064
-1
3
41-70
-(-) +[(-2) 3]3+16-0.75+-0.012
2
3．已知 ，求函数 的值域．
4．若函数 （
x -12
且 ）在区间 上的最大值是14，求的值。
5．设0≤x ≤2，求函数y =46．已知函数f (x ) =(
-3∙2x +5的最大值和最小值
113 （1）求函数的定义域；
+) x 2x -12
（2）讨论函数的奇偶性； （3）证明：f (x ) >0
x
7. 已知函数f(x)＝a -1 (a>0且a ≠1).
a x +1
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
一、选择题
1．(2011·济南模拟) 定义运算a ⊗b ＝⎨
⎧⎪a (a ≤b )⎪⎩b (a >b )
，则函数f (x ) ＝1⊗2的图象大致为(
)
x
2．函数f (x ) ＝x －bx ＋c 满足f (1＋x ) ＝f (1－x ) 且f (0)＝3，则f (b ) 与f (c ) 的大小关系是( )
x x x x
A ．f (b ) ≤f (c ) B．f (b ) ≥f (c )
x x
C ．f (b )>f (c ) D．大小关系随x 的不同而不同
x
3．函数y ＝|2－1|在区间(k －1，k ＋1) 内不单调，则k 的取值范围是( )
A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C．(－1,1) D ．(0,2)
4．设函数f (x ) ＝ln [(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x ) ＝lg(a －2－1) 的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3
B ．a ≥3 C．a >5
D ．a 5
*
2
x x
⎧⎪(3－a )x －3，x ≤7，
5．已知函数f (x ) ＝⎨x －6
⎪a ，x >7.⎩
若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ) ，且{a n }是递增数列，
则实数a 的取值范围是( ) 9
A ．，3)
4
9
B ．(，3) C．(2,3)
4
D ．(1,3)
12x
6．(2011·龙岩模拟) 已知a >0且a ≠1，f (x ) ＝x －a ，当x ∈(－1,1) 时，均有f (x a
2的取值范围是( ) 1
A ．(0，]∪[2，＋∞)
21
C ．，1) ∪(1,2]
2二、填空题
7．函数y ＝a (a >0，且a ≠1) 在[1,2]上的最大值比最小值大，则a 的值是________．
2
8．若曲线|y |＝2＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．
|x |
9．(2011·滨州模拟) 定义：区间[x 1，x 2](x 1
＝2
x
x
1
B ．[，1) ∪(1,4]
41
D ．(0，) ∪[4，＋∞)
4
a
的定义域、值域和单调区间．
11．(2011·银川模拟) 若函数y ＝a ＋2a －1(a >0且a ≠1) 在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．
x ax x
12．已知函数f (x ) ＝3，f (a ＋2) ＝18，g (x ) ＝λ·3－4的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；
(2)若函数g (x ) 在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
2x x