摘 要
自1947年由Cohn 引入脊波导后，人们对脊波导的研究从未间断。脊波导作为一种重要的微波传输线，因其与普通波导相比具有单模带宽更宽、主模截止波长更长等优点，它已被广泛应用到微波和毫米波工程中。在现代微波工程中，为了满足微波传输系统性能的某些需要，需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各类新型波导。因此，分析研究出具有更好传输特性的脊波导结构，对实际应用意义重大。
本次设计介绍了脊波导的发展以及本课题的实际意义；阐述了波导理论基础、矩形脊波导的传输特性及场分布；介绍了有限元法原理；应用有限元方法分析了对称梯形脊波导的传输特性、场结构。并根据现有资料，将对称双梯形对称脊波导与对称矩形脊波导进行对比分析。
本次设计在MATLAB 平台下，利用有限元PDE 工具箱计算了梯形脊波导的主模截止波长，单模带宽，并绘出了典型结构场结构图。计算结果表明：梯形脊波导在最中间位置时可获得最好的传输特性。且双脊间距越小，脊的开口越小，主模截止波长越长；单模带宽随着双脊间距脊、脊的开口、脊宽的增大先而先增大后减小，并对应每个变量的不同位置取到极大值。
关键词：脊波导；有限元法；截止波长；单模带宽
I
Abstract
Since the introduction in 1947 by Cohn ridge waveguide, the ridge waveguide of people have never stopped. As an important ridge waveguide microwave transmission line, because compared to ordinary single-mode waveguide wider bandwidth of the main advantages of a longer cutoff wavelength mode, it has been widely applied to microwave and millimeter wave engineering. In modern microwave engineering, microwave transmission system performance to meet certain needs, need to constantly explore and research the types of special cross-section shape of the new waveguide. So, come up with better transmission characteristics of ridge waveguide structure, the practical application of great significance.
This paper describes the development of ridge waveguide, and the practical significance of this issue; described waveguide theory, rectangular ridge waveguide transmission characteristics and distribution; introduced the principle of finite element method; application of finite element analysis of a symmetric trapezoidal ridge waveguide transmission characteristics, market structure. And according to the information available for the symmetric double trapezoidal symmetric ridge waveguide and symmetric rectangular ridge waveguide were compared.
The design uses the finite element PDE toolbox in the MATLAB environment to obtain cutoff wave numbers and single-mode bandwidth of T-ridge wave guide,and the typical field structure plots. Numerical results indicate that it is the best transmission characteristic with towarding the center place.Furthermore, the cutoff wave number is longer ,as the width s is more narrow, as the width e is wider, as the height d is smaller, as the depth f is deeper; the single-mode bandwidth is longer ,as the width s is more Double Ridge and the greater the spacing, the smaller the opening the ridge, the main mode cutoff wavelength longer; single-mode bandwidth, with Double Ridge ridge spacing, ridge openings, ridge width increases first and then decreased, and the corresponding take a different location each variable to maximum.
Key words: Ridge waveguide，Finite-element method，Cutoff wavelength，Single-mode bandwidth
II
目 录
摘 要 . .................................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................................II
1 绪论 . ....................................................................................................................................... 1
1.1 脊波导的发展 . ............................................................................................................ 1
1.2 课题意义 . .................................................................................................................... 2
2 导行电磁波 . ........................................................................................................................... 3
2.1 导行电磁波概论 . ........................................................................................................ 3
2.1.1 规则波导中的场分析 . ..................................................................................... 4
2.1.2 导行波波形的分类 . ......................................................................................... 4
2.2 矩形波导 . .................................................................................................................... 5
2.2.1 矩形波导中的场分布 . ..................................................................................... 5
2.2.2 矩形波导中波的传输特性 . ............................................................................. 7
2.2.3 矩形波导中的主模 . ......................................................................................... 8
3 有限元法 . ............................................................................................................................. 10
3.1 有限元法的基本原理 . .............................................................................................. 10
3.2 求解过程 . .................................................................................................................. 12
4 脊波导传输特性的研究 . ..................................................................................................... 13
4.1 对称梯形脊波导的传输特性 . .................................................................................. 13
4.1.1 数值计算结果 . ............................................................................................... 13
4.1.2 对称梯形脊波导的传输特性 . ....................................................................... 15
4.2 梯形脊波导的场图 . .................................................................................................. 28
4.2.1 对称梯形脊波导的场图 . ............................................................................... 28
结 论 . ....................................................................................................................................... 36
致 谢 . ....................................................................................................................................... 37
参 考 文 献 . ........................................................................................................................... 38 III
1 绪论
电磁波在有界空间的传播，就被称为导波系统中的电磁波。所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，它不仅是能量和信息的载体和传递工具，而且是构成各种高频、微波元件和仪器的基础。脊波导是其中的一种常见的导波结构，它是矩形波导的一种变形，又称凸缘波导。
近年来，微波因其本身的特点，在信息获取、传输中所占地位愈显重要，在这样的大环境下，各种高质量的微波器件（包括用脊波导制作的各种器件）会有很大的实际需求，在雷达及卫星通讯设备中，最常用的是矩形波导和圆波导，在现代微波工程中矩形脊波导具有较低的截止频率, 较宽的工作带宽, 低特性阻抗等优点, 使得矩形脊波导在微波和毫米波器件中被广泛应用，如：宽带脊波导滤波器、宽带定向耦合器、双工器、变频器、移相器、混频器、低噪声放大器、脊波导缝隙天线阵等。
尽管脊波导的应用越来越广泛, 然而有关它的理论分析计算的资料却较少, 因此如何计算脊形波导振荡主模截止波长和单模带宽是一个值得研究讨论的问题。经过对论文的研究发现, 对梯形脊波导研究的文献很少, 在本文中将采用有限元法这一经典的数值方法结合强大的科学计算软件MATLAB 来分析对称梯形脊波导的传输特性。
有限元法是以变分原理为基础建立起来的，目前作为一种数值分析方法已普遍推广并成功地用来解决工程领域中的问题，本文将在MATLAB 的平台下，利用有限元法研究梯形脊波导的截止波长 c ，单模带宽Bw ，场结构Field ，并给出相应的数据和变化曲
线，为脊波导在今后广泛的应用中提供一定的数据参考，其研究结果有一定的科研价值，对波导的设计具有一定的指导作用。
1.1 脊波导的发展
早在1947年，Cohn Seymour. B在论文“Properties of ridged waveguide.” 中对脊波导特性进行了初步研究，利用横向谐振技术给出了求解矩形脊波导的截止波长和特性阻抗的方程和特性图[1]，从此脊波导便一直受到广泛的关注。
1955年，Hopfer 在论文“The Design of Ridged waveguides”中给出了一些不同外观比例的脊波导各个参数的计算方法，还给出了一些设计曲线。到了60年代，Pyle 用准静态法得到了任意外形比例的脊波导的特征值，其结果比Hopfer 的更精确。以上文章对脊波导的研究属于开创性的，但都只能解决脊波导的TEn0模的特征值问题，都对其它高次模的解无能为力，特别是当脊很薄和脊沟很窄时，其精度受很大限制。70年代初Konishi 等把用脊波导制作的12GHz 低噪声变频器等器件成功地用于卫星通信，并对矩 1
形脊波导的不连续性作了分析计算，使得矩形脊波导在微波和毫米波器件中被广泛应用。80年代，Monsour 用模式分析技术得到了双脊波导的TE 模的近似闭式表达式，其中用到了横向谐振的概念。90年代，J.Helszajn 用有限元法分析了脊波导的特性阻抗，给出了精确的曲线图，并提出了梯形脊波导，并分析了其阻抗特性。2000年Javis 给出了任意高度的双脊波导设计曲线（ c /a），他们所用的方法都属于与上述文章类似的等
效电路法。
国内在脊波导的研究领域起步较晚，但发展迅速。1997年黄彩华在文献“矩形变形脊波导主模截止波长和特性计算”中，用等效电路法得到了矩形变形脊波导的主模和特性阻抗[2]。1999年李永明等在论文“有限元外推法在波导本征值问题中的应用”中用有限元法对矩形双脊波导进行了研究，得到了主模截止波长相关数据。2004年任列辉等在“用电磁场算子理论分析脊波导的传输特性”中，用电磁场算子理论求解脊波导的本征值，在此基础上讨论了脊波导的的传输特性[3]。王萍在“脊波导各种参数的计算”一文中，用等效电路法对脊波导进行了分析，得到了截止波长，特性阻抗，功率容量等数据。2006年薛德强在论文“下限单脊矩形波导传输特性研究”中，用有限差分法对下限单脊矩形波导进行了研究。2007年陈小强教授等在论文“两种新型双脊波导传输特性的研究”中提出了三角形和倒梯形两种新型对称双脊波导，并计算了TE 模式的传输特性[4]。
1.2 课题意义
在现代微波工程中矩形脊波导具有较低的截止频率，较宽的工作带宽，低特性阻抗等优点，使得矩形脊波导被广泛应用。它常用作宽频带传输系统及宽频带测试系统，比如宽带脊波导滤波器、宽带定向耦合器、双工器等等；也常作为微波管的输出波导，比如：变频器、移相器、脊波导缝隙天线阵等等。为了满足微波传输系统性能的某些需求，我们还需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。最近几十年来各种结构形状的脊波导应运而生，它们可以看作是矩形波导的变形，本文所研究的梯形脊波导就是其中一种情形。
长期以来分析波导问题的解析方法和数值方法有很多，有限差分法和有限元法对复杂问题具有较强的适应性，近年来, 为了解决大规模电磁场数值计算问题，基于有限差分和有限元的区域分解法已受到人们的广泛重视。
本文就是采用有限元法对梯形脊波导的传输特性进行了分析，得到了它们的截止波长和单模带宽的一些变化规律，给脊波导在今后工程应用中提供了一定的数据参考价值。
2
2 导行电磁波
2.1 导行电磁波概论
电磁波的传播分为在无界空间的传播和有界空间的传播，电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波[5]。所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，使它不至于扩散到漫无边际的空间中去，被引导的电磁波称为导行波。波导系统，不仅是能量和信息的载体和传递工具，而且是构成各种高频、微波元件和仪器的基础。常见的波导系统有平行双线传输线、同轴线、圆波导、矩形波导、介质波导、微带线等。
波导可以由某种形状的金属材料所构成，也可以由某种形状的介质材料构成，还可以由某种形状的金属和介质构成。均匀波导是指横截面形状不变、尺寸不变、制造材料不变、填充材料不变的无限长直传输线。本论文仅讨论均匀波导。
常见的导波系统如图2.1，图2.2，图2.3所示：
图2.1 矩形波导 图2.2 同轴线传输线 图2.3 圆波导
不同的传输线上可以传输不同模式的电磁波。所谓不同模式的电磁波就是在垂直于电磁波传输方向的横截面上具有不同的场分布，每一种场分布称为一种模式。
2.1.1 规则波导中的场分析
任意截面的均匀导波系统，为讨论简单又不失一般性，可作如下假设：
(1) 波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场波与坐标z 无关。
(2) 构成波导壁的导体是理想导体，波导内填充的煤质为理想煤质。
(3) 波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。
设波导中电磁波沿+z方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件可将其电磁场量表示为：
-j βz ⎧⎪E =E 0(x , y ) e ⎨ -j βz ⎪⎩H =H 0(x , y ) e （2.1）
3
式中β为波导轴向的波数[6]。将上式代入亥姆霍兹方程中，并在直角坐标系内展开，又由麦克斯韦方程组的两个旋度式展开得到x,y,z 三个分量的六个标量方程，经过简单运算可将波导中的横向场分量用两个纵向场分量来表示：
β∂E z ωμ∂H z ⎧=-j (+) 2⎪E X ∂x β∂y k c ⎪
⎪β∂E z ωμ∂H z =j (-+) E Y ⎪2∂y β∂x k c ⎪⎨
⎪H =j β(ωε∂E z -∂H z ) X 2⎪∂x k c β∂y ⎪βωε∂E z ∂H z ⎪=-j (+) H Y 2⎪β∂x ∂y k c ⎩ （2.2）
由以上关系式可知，波导中的横向场分量可由纵向场分量确定。
2.1.2 导行波波形的分类
导行波波形是指能够在波导中单独存在的电磁场形式（即电磁场结构），也叫传输模式。在波导中传播的导行电磁波可能出现E z 和H z 分量[7]。因此可以依照E z 和H z 的存
在情况，将在波导中传播的导行电磁波分为三种模式：TEM 波形、TE 波形和TM 波形。
在无界空间和半无界空间中，电磁波通常以TEM 波形传播，TEM 波还可以在一些多导体波导系统，如双线、同轴线等这类导波系统中传播；TE 波和TM 波主要用于矩形波导、圆波导和光波导中传输信号；对于非均匀波导，由于单独的TE 波和TM 波不能满足复杂的边界条件，必须二者线性迭加方能有合适解，所以非均匀波导中传播的是TE 波和TM 波的合成波，又称混合波形。
(1) 横电磁波（TEM 波）
这种波既无TE 分量又无H z 分量，即E z =0、H z =0。由波的横场和纵场的关系
方程组可知，要使E (x , y ) 和H (x , y ) 不为零，只有k c =0时，横向分量才不为零。所以有：
γ2=-k 2或γ=jk =j ωμε （2.3）
(2) 横电波（TE 波）
当传播方向上只有磁场分量而无电场的分量（H z ≠0，E z =0）时，此导行波称为
TE 波。这种波的电力线全在导波系统的横截面内，磁力线为空间曲线。它的所有场分量可由纵向磁场分量H z 求出，H z 满足的边界条件为：
∂H z ∂n =0 （2.4）
S 式中，s 表示波导周界，n 为边界外法向单位矢量。
(3) 横磁波（TM 波）
4
当传播方向上只有电场分量而无磁场的分量（E z ≠0，H z =0），此导行波称为TM
波。这种波的磁力线全在导波系统的横截面内，电力线为空间曲线。它的所有场分量可由纵向电场分量E z 求出，E z 满足的边界条件为： E z S （2.5） =0
2.2 矩形波导
在微波工程中，实际应用的主要是矩形横截面的矩形金属波导管和圆形横截面的圆形金属波导管，目前应用最多的微波传输系统——矩形波导[8]。本论文讨论矩形金属波导管，由于在空心或填充介质的波导管内，不可能存在TEM 模，所以，空心金属波导管中只存在TE 模和TM 模，可用纵向场法求解。
2.2.1 矩形波导中的场分布
其横截面为矩形的空心金属管，宽边尺寸为a , 窄边尺寸为b 。波导内填充介质参数为ε、μ的理想煤质，波导壁为理想导体。如图2.4所示：
图2.4 矩形波导
(1) 矩形波导中的TM 波
波导内的电磁场量由E z 决定，在给定的矩形中，E z 满足下面的波动方程：
22E z0+k C E z0=0 ∇T （2.6）
⎧⎪E Z
边界条件： ⎨⎪⎩E Z X =0y =0=0, E Z =0, E Z X =a y =b =0=0 （2.7） 解波动方程得：
E Z 0=E 0s i n m π
a n πx ) s i n y ) b （2.8）
式中E 0是振幅常数，由导行波的激励源确定，m 、n 为不为零的任何正整数，否则，只
要m 、n 中有一个为零，场量将全部为零。
利用横纵场分量关系，得横向分量复振幅：
5
w εn πm πn π⎧=j () sin(x ) cos(y ) H E X002⎪b a b k c ⎪⎪w εm πm πn π=-j () cos(x ) sin(y ) ⎪H Y02E 0a a b k c ⎪ （2.9） ⎨βm πm πn π⎪E =-j () cos(x ) sin(y ) X02E 0⎪a a b k c ⎪βn πm πn π⎪) sin(x ) cos(y ) E Y0=-j 2E 0(⎪b a b k c ⎩
(2) 矩形波导中的TE 波
波导内的电磁场量由H z 决定，在给定的矩形中，H z 满足下面的波动方程：
22H z0+k C H z0=0 ∇T （2.10）
边界条件：
⎧⎪H Z
⎨⎪⎩H Z X =0y =0 =0, H Z =0, H Z X =a y =b =0=0 （2.11） 解波动方程得：
H Z0 =H 0cos(m π
a x ) cos(n π
b y ) （2.12）
同理，利用横纵场分量关系，得横向分量复振幅：
βm πm πn π⎧=j () s i n x ) c o s y ) H H X002⎪a a b k c ⎪
⎪βn πm πn π=j () c o s x ) s i n y ) H H 0⎪Y02b a b k ⎪c （2.13） ⎨ωμn πm πn π⎪E =j () c o s x ) s i n y ) X02H 0⎪b a b k c ⎪ωμm πm πn π⎪) s i n x ) c o s y ) E Y0=-j 2H 0(⎪a a b k c ⎩
从式(2.9) 和(2.13) 看出：矩形波导中无论TE 或TM 模的场分布沿着z 方向均为行波，而在横截面上均呈驻波分布；m 和n 为任意正整数，分别表示场在x 和y 方向的半驻波数，不同的m 和n 相应就有不同的场分布，因而在矩形波导中可以存在无限多个TM 模和TE 模。对于TE 模，当m =n =0时，则H z0=常数，其它场分量均为零，当m 和
n 不同时为零时，场分布存在，因此矩形波导中TE 模的最低模式为TE 10模。
6
虽然矩形波导中可能存在无穷多个TM 模和TE 模，但能否在波导内传输，还决定于工作频率、波导尺寸和激励方式，可以使需要的模式能在波导内传输，而不需要的方式不能传输。
2.2.2 矩形波导中波的传输特性
波导中波在传输方向的波数β由下式给出：
β
2
=
k
2
-
k
2c
=
(
2π
2
λ
)
-
(
2π
2
λc
)
（2.14）
式中k 为自由空间中同频率的电磁波的波数。要使波导中存在导波，则β必须为实数，即：
k
2
2
>k c 或λ
如果上式不满足，则电磁波不能在波导内传输，称为截止，k c 为截止波数，λc 为截止波长。矩形波导中TE 模和TM 模的截止波数k c 均为： k c =
相应的截止波长为：
λcTE
mn
k x +k y =
22
(a ) +(b )
22
=
2π
λc
（2.16）
=λcTM mn =
2πk cmn
=
2
(m a ) +(n b )
2
2
（2.17） =λc
相应的截止频率为：
f c =
12με
(m
n 22
) +() （2.18） a b
式中，λ=2πk 是无限介质中电磁波的波长，k =ωμε。TE mn 和TM mn 的下标m 表示在x 方向（即波导宽边a ）上场量变化的半波数，n 表示在y 方向（即波导窄边b ）上场量变化的半波数，可见截止频率和波长都与工作频率无关，仅与波导的尺寸和模式有关。
相同波导尺寸对于不同的模式有不同的截止波长λc ，当工作频率和波导尺寸给定后，矩形波导中TE 10模的截止波长最长λc =2a ，故截止频率最低，称为最低模式，也称为矩形波导中的主模，其余模式为高次模。
对应有三个区，如图2.5所示：
7
多模区 TE 3011 TE
单模区
截止区
TE 01
20 TE
TE 20
0 a
图2.5 矩形波导中的模式分布图
2a
(1) 截止区：为λ=2a ～∞。由于 ( c ) 是波导中能出现的最长截止波长，因此，当
TE10
工作波长λ≥2a 时，电磁波就不能在波导中传播，所以该区称为截止区。
(2) 单模区：为λ=a ～2a 。在这一区域只有一个TE 10模出现，若工作波长在a
(3) 多模区：为λ=0～a 。若工作波长λ
因此，为保证在矩形波导中只有TE 10模单模传输，在波导尺寸给定的条件下，选择电磁波的工作波长λ应满足
a 2b (a >2b ) （2.19）
2.2.3 矩形波导中的主模
TE 10模是矩形波导的主模，也称H 10模。有以下突出优点：场结构简单，电场只有
E y 分量；波形稳定；具有最宽的工作频带；在给定的频率下具有最小的损耗；可以实
现单模传输电磁波；在截止波长相同的条件下，波导尺寸最小。当m =1,n =0时，其场分布表达式为：
8
πx -j βz ⎧
=c o e ⎪H z H 0
a
⎪
k ππx -j βz
⎪=j s i e 2H 0⎪H x
a a k c ⎨
⎪ωμππx -j βz ⎪E y =-j 2H 0s i e
a a k c
⎪
⎪E =E =H =0
z y ⎩x
（2.20）
TE 10
模只有H x 、H z 、E y 三个分量，这三个分量均与y 无关，各分量沿y 轴均匀分
布：电场E y 分量沿x 方向呈正弦分布，在x =a 2处电场最强，在x =0、x =a 处电场为零。H z 在z 方向和x 方向都呈余弦分布，在x =a 2处为零，在x =0、x =a 处有最大值。
H
x
沿x 方向和z 方向呈正弦分布，在x =a 2处有最大值，在x =0、x =a 处电场为零。
某一瞬间电场Ey 分布图如图2.6所示：
y
z
图2.6 TE10模某一瞬间Ey 分布图
9
某一瞬间磁场分布图如图2.7所示：
y
z
z y E
x H
图2.7 TE10模某一瞬间磁场分布图
将电场和磁场结构图结合起来，可得到电磁场完整场结构图。
10
3 有限元法
有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有40年的历史。它首先在本世纪40年代被提出，在50年代开始用于飞机设计。后来该方法得到了发展并被非常广泛的用于结构分析问题中。在其它领域的应用虽不太广泛，但有不断增加的趋势。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元方法已相当著名。
传统的有限元法以变分为理论基础，将要求解的微分方程数学模型—边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后利用剖分差值，离散化变分问题为普通多元函数的问题，最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求的边值问题。经过多年的发展，有限元法求解电磁场问题的理论已经非常成熟，并衍生出许多基于有限元法的新方法。由于有限元法其数学原理较为复杂，编程实现自动剖分被分析对象较难，所以本文采用传统的有限元法，主要利用Matlab 软件中的PDE （Partial Differential Equation ）TOOLBOX ，即偏微分方程工具箱来求解变形波导的主模。下面介绍其理论依据及分析求解的过程。
3.1 有限元法的基本原理
变分法的运算一般是先求出条件变分问题，然后归结为欧拉方程的解析解，但对电磁场问题的定解问题，由于场域边界的复杂性，很难甚至无法求出电磁场方程的解析解。随着计算机的发展在求解变分问题的数值解方面产生了历史性的变革，大大简化了计算，从而可能将微分形式的定解问题转化为等价变分问题，然后对它进行分析计算。 有限元法主要是根据欧拉方程与等价变分问题中对应的微分方程相当这一原则，把求解的电磁场方程看作欧拉方程，应用变分原理把待求的边值问题转化为等价的变分问题[9]。然后通过有限单元剖分的离散化处理，构造一个分片解析的有限元子空间，把变分问题近似的转化成有限子空间的多元函数极值问题，由此直接探求变分问题的近似解，以此作为所求边值问题近似解，这就是有限元法的变分原理。其基本应用步骤如下：
(1) 给出与待求边值问题相应的泛函及其等价变分问题； (2) 应用有限单元剖分场域，并选取相应的插值函数；
(3) 把变分问题离散化为多元的极值问题，导出一组联立的代数方程； (4) 选择适当的代数方法解有限元方程，即得待求边值问题的近似解。 以求解变形波导中的TE 模式为例，根据Maxwell （麦克斯韦）方程：
11
⎧∂D ∇⨯H =J +⎪
∂t ⎪
⎪∂B
⎨∇⨯E =- （3.1）
∂t ⎪ B =0⎪∇⋅ ⎪∇⋅D =ρ⎩
对于无源空间(J =0，ρ=0) ，介质均匀各向同性中，Maxwell 方程将化简为
Helmholtz （亥姆霍兹方程）方程：
⎧∇2E t +k 2E t =0
⎨2 2
⎩∇H t +k H t =0
（3.2）
上式中k =ωμε为电磁波在无限媒质中的波数。对于金属波导，假设波导是无限长，且波导是沿着z 轴方向传输，则有：
⎧E =E 0(x , y ) e (α-j β) z e j ωt
⎨
(α-j β) z j ωt
e ⎩H =H 0(x , y ) e
（3.3）
将式(3.3) 代入式(3.2) 中，将可得：
2
⎧∇E +k c E =0
⎨2 2
⎩∇t H +k c H =0
2t
（3.4）
式中k c 2=k 2+γ2。则波导中纵向电场分量E z (x , y ) 和磁场分量H z (x , y ) 满足方程：
∂E z ∂x
2
222
+
∂E z ∂y
2
2
2
+k c E z =0+k c H
2
2
（3.5）
∂H z ∂x
+
∂H z ∂y
2
z
=0 （3.6）
由于式(3.5) 和(3.6) 均满足齐次Helmholtz 方程：
∂H z ∂x
22
+
∂H z ∂y
2
2
+k c H
2
z
=0 （3.7）
对于TM 模，φ=H z ，φ在波导壁上满足齐次狄利克雷（Dirichlet ）边界条件φ=0。对于TE 模，φ=H z ，φ在波导壁上满足齐次诺曼（Neumann ）边界条件
∂φ∂n
=0, n
是指
波导壁的单位法线方向。求解式(3.7) 的解等价于对下式泛函的极值问题： J (φ) =
12
⎰⎰
⎡∂φ2∂φ222⎤() +() -k φc ⎢⎥dxdy ∂x ∂y ⎣⎦
（3.8）
利用三角单元对场域进行剖分，研究式(3.8)的变分问题。根据有限元理论分析，对于三角单元剖分的场域，总可以推导出下列本征值矩阵方程[10]：
12
[A ][φ]=k c 2[B ][φ] （3.9）
其中，[A ]和[A ]均为N ⨯N 阶方阵，N 为节点数的总和，k c 2表示待求的特征值，求解特征值方程(3.9) ，得到的最小非负特征值就是主模的截止波数k c ，得到的第二个最小非负特征值就是第一个高次模的截止波数，以此类推，这样就可以得到变形波导各高次模的截止波数。
3.2 求解过程
在用有限元法求解(3.7) 式时的关键一步就是对求解对象进行网格划分即自动剖分，本文正是利用Matlab 中的偏微分方程工具箱中自带的有限元自动剖分工具来对分析对象进行自动剖分的。
(1) 首先利用画图命令以相对尺寸画出所要求解的脊波导横截面，再进入PDE 工具箱，点击边界条件选项，打开边界模式，确定边界条件，如果是求TE 模式选择Neumann 条件[11]，求TM 模式选择Dirichlet 条件；
(2) 点击PDE 模式，确定微分方程模式为本征值方程，再点击Mesh 菜单进行剖分，可根据对计算结果精度的要求选择初始剖分或二次剖分；
(3) 剖分后可导出剖分后的各单元结点信息，利用自己编写的程序可求得导出本征值矩阵方程(3.9) 中的矩阵[A ]和[B ]，再利用MATLAB 的特征值求解函数求解得出最小的非负特征值k c ，再由λ=2π/k c 得到λc ，其它高次模的截止波长也由此依次求得；
(4) 知道了特征值k c 的大小，还可在PDE 工具箱中的Solve 中确定求解范围，直接利用工具箱求解，然后利用Plot 画图选项画出相应模式的场结构图。
有限元法具有更加坚实和完善的数学理论基础，其主要特点在于不直接去求解偏微分方程，而是求解与该微分方程等价的变分问题，即求出使某个泛函取极小值时的位函数。因此建立泛函的工作很重要，由于泛函问题的复杂性，建立求解对象的相应泛函的工作多为应用数学家来完成，由他们建立相关问题的对应泛函供需要的人来使用。在边界处理上有限元法以小三角形为基本单元，这样有限元法的网格形状更为灵活和任意，能处理更为复杂的边界，在模拟不规则边界时有更好的适应性。
本文采用MATLAB 的PDE 工具箱来求解各种变形波导的传输特性，PDE 工具箱可以对研究对象进行自动剖分，避开了直接编制有限元自动剖分程序的难题，降低了直接编程求解的难度。
人们不断探索新的脊波导计算方法，有限元法是获得求解这类波导特征值的简单并且精确的计算方法，它在分析脊波导的特征值方面是一种有效的方法，适于分析不同截
2
2
13
面的不同脊的波导，我们将在第四章中利用有限元法分析并求解梯形脊波导的传输特性。
14
4 脊波导传输特性的研究
4.1 对称梯形脊波导的传输特性
4.1.1 数值计算结果
使用MATLAB 中的PDE 工具箱经行计算后得到的矩阵如下，由于结果冗长且数值过多，只举例其中的若干矩阵。
分别以c/a，s/a，d/b为变量，主模归一化截止波长和单模带宽如下列图表所示：
表1 c/a=0.1，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
c/a
s/a 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
d/b=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4.0078 3.2026 2.8240 2.5825 2 .4100 2.2795 2.1792 2.1018 2.0431 3.9961 3.2101 2.8368 2.5966 2 .4247 2.2941 2.1922 2.1121 2.0490 3.9782 3.2106 2.8440 2.6063 2 .4356 2.3050 2.2022 2.1199 2.0535 3.9493 3.2026 2.8409 2.6076 2 .4391 2.3099 2.2072 2.1241 2.0559 3.9055 3.1796 2.8270 2.5993 2 .4346 2.3080 2.2069 2.1246 2.0565 3.8433 3.1426 2.7998 2.5798 2 .4208 2.2985 2.2010 2.1214 2.0552 3.7601 3.0873 2.7596 2.5492 2 .3981 2.2822 2.1899 2.1147 2.0522
表2 c/a=0.3，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
0.5 4.8842 0.6 4.7553 0.7 4.6205 0.8 4.4680 0.9 4.2968 3.6791 3.6083 3.5287 3.4392 3.3323 3.1337 3.0897 3.0364 2.9729 2.8972 2.7999 2.7702 2.7337 2.6885 2.6333 2.5670 2.5478 2.5232 2.4909 2.4508 2.3931 2.3818 2.3658 2.3435 2.3151 2.2581 2.2527 2.2432 2.2289 2.2097 2.1515 2.1499 2.1452 2.1369 2.1255 2.0669 2.0670 2.0653 2.0618 2.0567
表3 c/a=0.5，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
0.7 0.8 0.9
4.9317 3.5266 3.1136 2.7781 2 .5486 2.3795 2.2498 2.1476 2.0659 4.6906 3.6083 3.0126 2.7052 2 .4961 2.3434 2.2263 2.1341 2.0601 4.4268 3.3638 2.8992 2.6236 2 .4375 2.3021 2.1990 2.1180 2.0529
15
表4 c/a=0.7，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
0.7
0.8 0.9
4.5626 3.4142 2.9176 2.6275 2.4343 2.2961 2.1923 2.1127 2.0499 4.1850 3.1841 2.7596 2.5151 2.3544 2.2410 2.1565 2.0917 2.0407
表5 c/a=0.1，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4.5716 3.5947 3.1028 2.7828 2 .5551 2.3819 2.2475 2.1436 2.0628 4.6293 3.7011 3.1751 2.8376 2 .5973 2.4155 2.2743 2.1625 2.0730 4.6859 3.7605 3.2109 2.8614 2 .6155 2.4307 2.2868 2.1718 2.0783 4.7395 3.7493 3.1951 2.8471 2 .6048 2.4240 2.2834 2.1707 2.0781 4.7927 3.6785 3.1357 2.8012 2 .5702 2.3994 2.2672 2.1612 2.0741 4.6728 3.5712 3.0537 2.7389 2 .5234 2.3654 2.2439 2.1469 2.0675 4.5032 3.4535 2.9650 2.6718 2 .4733 2.3289 2.2186 2.1313 2.0604 4.3356 3.3380 2.8807 2.6085 2 .4261 2.2946 2.1950 2.1167 2.0534
表6 c/a=0.3，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
5.7306 4.0848 3.3401 2.9198 2 .6455 2.4495 2.3007 2.1820 2.0841 5.6087 3.9119 3.2197 2.8321 2 .5810 2.4034 2.2689 2.1628 2.0753 5.3091 3.7316 3.0945 2.7408 2 .5135 2.3543 2.2350 2.1415 2.0652 5.0106 3.5560 2.9734 2.6530 2 .4489 2.3073 2.2024 2.1212 2.0554 4.7250 3.3905 2.8621 2.5736 2 .3914 2.2660 2.1740 2.1035 2.0473
表7 c/a=0.5，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
c/a
s/a 0.7 0.8 0.9 d/b=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 4.4075 3.2375 2.7630 2.5054 2 .3449 2.2359 2.1568 2.0958 2.0451 4.1573 3.0868 2.6601 2.4311 2 .2903 2.1954 2.1278 2.0768 2.0356 3.9029 2.9407 2.5627 2.3627 2 .2412 2.1604 2.1036 2.0614 2.0282
表8 c/a=0.7，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
0.9
3.0566 2.4619 2.2450 2.1415 2 .0858 2.0533 2.0334 2.0198 2.0095
16
4.1.2 对称梯形脊波导的传输特性
如图4.1所示为对称梯形脊波导的横截面图。
s
d c b
a 图4.1
对称梯形脊波导截面图
对称梯形脊波导的宽边为a ，窄边为b ，a =1，b =0.45，为说明本文所采用的有限元法的精确度以及所编程序的正确性，当对称梯形脊波导s/a=0.1～0.9，c/a=0.1～0.9，d/b=0.1～0.9时，计算对称梯形脊波导主模截止波长及单模带宽。
当波导中s/a=0.2，c/a=0.1时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.2 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.3 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中s/a=0.3，c/a=0.1，c/a=0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.4 对称梯形脊波导主模截止波长 图4.5 对称梯形脊波导单模带宽 17
当波导中s/a=0.4，c/a=0.1～0.3时的主模截止波长和单模带宽
图
4.6 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.7 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中s/a=0.5，c/a=0.1～0.4时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.8 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.9 对称梯形脊波导单模带宽
由对称梯形脊波导的主模截止波长和单模带宽可以得出以下结论：
(1) 由图4.2，图4.4，图4.6，图4.8得出，当波导中s 、c 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长随着双脊间距而变化。且当d/b=0.9时，其主模截止波长有极小值，即双脊间距最大时l c 最大；d/b=0.1时，其主模截止波长有极大值，即脊的深度最
大时归一化截止波长最大。
(2) 由图4.3，图4.5，图4.7，图4.9得出，当波导中s 、c 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着双脊间距的变化而变化。且当d/b=0.1时，单模带宽有极大值，即双脊间距在最小位置时BW 最大；当d/b=0.9时，双脊间距在最大时单模带宽最小。
18
当波导中d/b=0.1，c/a=0.1时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.10
对称梯形脊波导主模截止波长
图4.11 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.2，c/a=0.1、0.2时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.12 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.13 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.3，c/a=0.1～0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.14 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.15 对称梯形脊波导单模带宽
19
当波导中d/b=0.4，c/a=0.1、0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.16 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.17 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.5，c/a=0.1、0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.19 对称梯形脊波导单模带宽 图4.18 对称梯形脊波导主模截止波长
由对称梯形脊波导的主模截止波长和单模带宽可以得出以下结论：
(1) 由图4.10，图4.12，图4.14，图4.16，图4.18得出，当波导中c 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长随着s 的增大而减小。
(2) 由图4.11，图4.13，图4.15，图4.17，图4.19得出，当波导中c 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着s 而变化。且s/a=0.4～0.9时，单模带宽随着s 的增大而减小，下降趋势随c/a的值增大而减缓。
20
当波导中d/b=0.1，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图
4.20 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.21 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.2，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.22 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.23 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.3，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.24 对称梯形脊波导主模截止波长 图4.25 对称梯形脊波导单模带 21
当波导中d/b=0.4，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.26 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.27 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.5，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.28 对称梯形脊波导主模截止波长 图4.29 对称梯形脊波导单模带宽
由对称梯形脊波导的主模截止波长和单模带宽可以得出以下结论：
(1) 由图4.20，图4.22，图4.24，图4.26，图4.28得出，当波导中s 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长总体上随着c/a的增大先增大后减小。当c/a=0.3～0.50时，归一化截止波长有极大值。
(2) 由图4.21，图4.23，图4.25，图4.27，图4.29得出，当波导中s 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着c/a的增大而减小。
22
4.2 梯形脊波导的场图
4.2.1 对称梯形脊波导的场图
对称梯形脊波导的场结构图：
S s
d c b
a
图4.30 对称梯形脊波导截面图
当d/b=0.3，s/a、c/a分别取不同比值时的场结构图如下所示：
图4.31 s/a=0.3，c/a=0.1,d/b=0.3
图4.32 s/a=0.5,c/a=0.1,d/b=0.3
图4.33 s/a=0.5,c/a=0.3,d/b=0.3
图4.34 s/a=0.7,c/a=0.1,d/b=0.3
20
图4.35 s/a=0.7,c/a=0.3,d/b
=0.3 图4.36 s/a=0.7,c/a=0.5,d/b=0.3
图4.37 s/a=0.9,c/a=0.1,d/b
=0.3
图4.38 s/a=0.9,c/a=0.3,d/b=0.3
图4.39 s/a=0.9,c/a=0.5,d/b
=0.3
s 图4.40 s/a=0.9,c/a=0.7,d/b=0.3 d c b
a
图4.41 对称梯形脊波导截面图
当d/b=0.5，s/a、c/a分别取不同比值时的场结构图如下所示：
1
兰州交通大学毕业设计（论文）
图4.42 s/a=0.3,c/a=0.1,d/b
=0.5
图4.44 s/a=0.5,c/a=0.3,d/b
=0.5
图4.46 s/a=0.7,c/a=0.3,d/b
=0.5
图4.48 s/a=0.9,c/a=0.1,d/b
=0.5
24 图4.43 s/a=0.5,c/a=0.1,d/b=0.5
图4.45 s/a=0.7,c/a=0.1,d/b=0.5
图4.47 s/a=0.7,c/a=0.5,d/b=0.5
图4.49 s/a=0.9,c/a=0.3,d/b=0.5
图4.50 s/a=0.9,c/a=0.5,d/b
=0.5 图4.51 s/a=0.9,c/a=0.7,d/b=0.5
由图4.31～图4.70，我们可得出结论：
对称梯形脊波导脊背上的场密度较大，脊边场密度较小。且两脊之间场密度较脊边部大，因此波的主要能量是在两脊之间传输，且对称梯形脊波导上下两脊之间的间距越小，相应脊间场密度也就越大。
24
结 论
对称梯形脊波导的主模截止波长在2.0315～6.8373之间。双脊间距d 越小，脊的开口s 越小，主模截止波长越长当波导中s 、c 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长随着双脊间距而变化。且当d/b=0.9时，其主模截止波长有极大值，即双脊间距最大时截止波长最大；d/b=0.1时，其主模截止波长有极小值，即脊的深度最大时截止波长最小。
对称梯形脊波导的单模带宽在1.7402～5.7306之间。当脊在最中间位置时，单模带宽可获得最大值。当波导中c 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着s 而变化。且s/a=0.4～0.9时，单模带宽随着s 的增大而减小，下降趋势随c/a的值增大而减缓。
对于场图，实线表示的是电场的等值线，等值线密的地方表示场强大，疏的地方表示场强小。从中可以看出，梯形脊波导脊背上的场密度较大，脊边场密度较小。对于双T 脊波导，两脊之间场密度较脊边部大，且上下两脊的间距越小，其背部场密度越大。
2
参 考 文 献
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［3］任列辉, 邢锋, 徐诚等. 用电磁场算子理论分析脊波导的传输特性[J].电子与信息学报,2004,
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［4］陈小强, 逯迈, 任恩恩等. 两种新型双脊波导传输特性的研究[J].西安电子科技大学学报,2007,
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［5］李锦屏, 高继森, 孙春霞. 电磁场与电磁波[M].兰州:兰州大学出版社,2007.
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［7］陈孟尧, 许福永, 赵克玉. 电磁场与微波技术[M].北京:高等教育出版社,1989.
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［9］金建铭. 电磁场有限元方法[M].西安:西安电子科技大学出版社,2001.
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24
摘 要
自1947年由Cohn 引入脊波导后，人们对脊波导的研究从未间断。脊波导作为一种重要的微波传输线，因其与普通波导相比具有单模带宽更宽、主模截止波长更长等优点，它已被广泛应用到微波和毫米波工程中。在现代微波工程中，为了满足微波传输系统性能的某些需要，需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各类新型波导。因此，分析研究出具有更好传输特性的脊波导结构，对实际应用意义重大。
本次设计介绍了脊波导的发展以及本课题的实际意义；阐述了波导理论基础、矩形脊波导的传输特性及场分布；介绍了有限元法原理；应用有限元方法分析了对称梯形脊波导的传输特性、场结构。并根据现有资料，将对称双梯形对称脊波导与对称矩形脊波导进行对比分析。
本次设计在MATLAB 平台下，利用有限元PDE 工具箱计算了梯形脊波导的主模截止波长，单模带宽，并绘出了典型结构场结构图。计算结果表明：梯形脊波导在最中间位置时可获得最好的传输特性。且双脊间距越小，脊的开口越小，主模截止波长越长；单模带宽随着双脊间距脊、脊的开口、脊宽的增大先而先增大后减小，并对应每个变量的不同位置取到极大值。
关键词：脊波导；有限元法；截止波长；单模带宽
I
Abstract
Since the introduction in 1947 by Cohn ridge waveguide, the ridge waveguide of people have never stopped. As an important ridge waveguide microwave transmission line, because compared to ordinary single-mode waveguide wider bandwidth of the main advantages of a longer cutoff wavelength mode, it has been widely applied to microwave and millimeter wave engineering. In modern microwave engineering, microwave transmission system performance to meet certain needs, need to constantly explore and research the types of special cross-section shape of the new waveguide. So, come up with better transmission characteristics of ridge waveguide structure, the practical application of great significance.
This paper describes the development of ridge waveguide, and the practical significance of this issue; described waveguide theory, rectangular ridge waveguide transmission characteristics and distribution; introduced the principle of finite element method; application of finite element analysis of a symmetric trapezoidal ridge waveguide transmission characteristics, market structure. And according to the information available for the symmetric double trapezoidal symmetric ridge waveguide and symmetric rectangular ridge waveguide were compared.
The design uses the finite element PDE toolbox in the MATLAB environment to obtain cutoff wave numbers and single-mode bandwidth of T-ridge wave guide,and the typical field structure plots. Numerical results indicate that it is the best transmission characteristic with towarding the center place.Furthermore, the cutoff wave number is longer ,as the width s is more narrow, as the width e is wider, as the height d is smaller, as the depth f is deeper; the single-mode bandwidth is longer ,as the width s is more Double Ridge and the greater the spacing, the smaller the opening the ridge, the main mode cutoff wavelength longer; single-mode bandwidth, with Double Ridge ridge spacing, ridge openings, ridge width increases first and then decreased, and the corresponding take a different location each variable to maximum.
Key words: Ridge waveguide，Finite-element method，Cutoff wavelength，Single-mode bandwidth
II
目 录
摘 要 . .................................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................................II
1 绪论 . ....................................................................................................................................... 1
1.1 脊波导的发展 . ............................................................................................................ 1
1.2 课题意义 . .................................................................................................................... 2
2 导行电磁波 . ........................................................................................................................... 3
2.1 导行电磁波概论 . ........................................................................................................ 3
2.1.1 规则波导中的场分析 . ..................................................................................... 4
2.1.2 导行波波形的分类 . ......................................................................................... 4
2.2 矩形波导 . .................................................................................................................... 5
2.2.1 矩形波导中的场分布 . ..................................................................................... 5
2.2.2 矩形波导中波的传输特性 . ............................................................................. 7
2.2.3 矩形波导中的主模 . ......................................................................................... 8
3 有限元法 . ............................................................................................................................. 10
3.1 有限元法的基本原理 . .............................................................................................. 10
3.2 求解过程 . .................................................................................................................. 12
4 脊波导传输特性的研究 . ..................................................................................................... 13
4.1 对称梯形脊波导的传输特性 . .................................................................................. 13
4.1.1 数值计算结果 . ............................................................................................... 13
4.1.2 对称梯形脊波导的传输特性 . ....................................................................... 15
4.2 梯形脊波导的场图 . .................................................................................................. 28
4.2.1 对称梯形脊波导的场图 . ............................................................................... 28
结 论 . ....................................................................................................................................... 36
致 谢 . ....................................................................................................................................... 37
参 考 文 献 . ........................................................................................................................... 38 III
1 绪论
电磁波在有界空间的传播，就被称为导波系统中的电磁波。所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，它不仅是能量和信息的载体和传递工具，而且是构成各种高频、微波元件和仪器的基础。脊波导是其中的一种常见的导波结构，它是矩形波导的一种变形，又称凸缘波导。
近年来，微波因其本身的特点，在信息获取、传输中所占地位愈显重要，在这样的大环境下，各种高质量的微波器件（包括用脊波导制作的各种器件）会有很大的实际需求，在雷达及卫星通讯设备中，最常用的是矩形波导和圆波导，在现代微波工程中矩形脊波导具有较低的截止频率, 较宽的工作带宽, 低特性阻抗等优点, 使得矩形脊波导在微波和毫米波器件中被广泛应用，如：宽带脊波导滤波器、宽带定向耦合器、双工器、变频器、移相器、混频器、低噪声放大器、脊波导缝隙天线阵等。
尽管脊波导的应用越来越广泛, 然而有关它的理论分析计算的资料却较少, 因此如何计算脊形波导振荡主模截止波长和单模带宽是一个值得研究讨论的问题。经过对论文的研究发现, 对梯形脊波导研究的文献很少, 在本文中将采用有限元法这一经典的数值方法结合强大的科学计算软件MATLAB 来分析对称梯形脊波导的传输特性。
有限元法是以变分原理为基础建立起来的，目前作为一种数值分析方法已普遍推广并成功地用来解决工程领域中的问题，本文将在MATLAB 的平台下，利用有限元法研究梯形脊波导的截止波长 c ，单模带宽Bw ，场结构Field ，并给出相应的数据和变化曲
线，为脊波导在今后广泛的应用中提供一定的数据参考，其研究结果有一定的科研价值，对波导的设计具有一定的指导作用。
1.1 脊波导的发展
早在1947年，Cohn Seymour. B在论文“Properties of ridged waveguide.” 中对脊波导特性进行了初步研究，利用横向谐振技术给出了求解矩形脊波导的截止波长和特性阻抗的方程和特性图[1]，从此脊波导便一直受到广泛的关注。
1955年，Hopfer 在论文“The Design of Ridged waveguides”中给出了一些不同外观比例的脊波导各个参数的计算方法，还给出了一些设计曲线。到了60年代，Pyle 用准静态法得到了任意外形比例的脊波导的特征值，其结果比Hopfer 的更精确。以上文章对脊波导的研究属于开创性的，但都只能解决脊波导的TEn0模的特征值问题，都对其它高次模的解无能为力，特别是当脊很薄和脊沟很窄时，其精度受很大限制。70年代初Konishi 等把用脊波导制作的12GHz 低噪声变频器等器件成功地用于卫星通信，并对矩 1
形脊波导的不连续性作了分析计算，使得矩形脊波导在微波和毫米波器件中被广泛应用。80年代，Monsour 用模式分析技术得到了双脊波导的TE 模的近似闭式表达式，其中用到了横向谐振的概念。90年代，J.Helszajn 用有限元法分析了脊波导的特性阻抗，给出了精确的曲线图，并提出了梯形脊波导，并分析了其阻抗特性。2000年Javis 给出了任意高度的双脊波导设计曲线（ c /a），他们所用的方法都属于与上述文章类似的等
效电路法。
国内在脊波导的研究领域起步较晚，但发展迅速。1997年黄彩华在文献“矩形变形脊波导主模截止波长和特性计算”中，用等效电路法得到了矩形变形脊波导的主模和特性阻抗[2]。1999年李永明等在论文“有限元外推法在波导本征值问题中的应用”中用有限元法对矩形双脊波导进行了研究，得到了主模截止波长相关数据。2004年任列辉等在“用电磁场算子理论分析脊波导的传输特性”中，用电磁场算子理论求解脊波导的本征值，在此基础上讨论了脊波导的的传输特性[3]。王萍在“脊波导各种参数的计算”一文中，用等效电路法对脊波导进行了分析，得到了截止波长，特性阻抗，功率容量等数据。2006年薛德强在论文“下限单脊矩形波导传输特性研究”中，用有限差分法对下限单脊矩形波导进行了研究。2007年陈小强教授等在论文“两种新型双脊波导传输特性的研究”中提出了三角形和倒梯形两种新型对称双脊波导，并计算了TE 模式的传输特性[4]。
1.2 课题意义
在现代微波工程中矩形脊波导具有较低的截止频率，较宽的工作带宽，低特性阻抗等优点，使得矩形脊波导被广泛应用。它常用作宽频带传输系统及宽频带测试系统，比如宽带脊波导滤波器、宽带定向耦合器、双工器等等；也常作为微波管的输出波导，比如：变频器、移相器、脊波导缝隙天线阵等等。为了满足微波传输系统性能的某些需求，我们还需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。最近几十年来各种结构形状的脊波导应运而生，它们可以看作是矩形波导的变形，本文所研究的梯形脊波导就是其中一种情形。
长期以来分析波导问题的解析方法和数值方法有很多，有限差分法和有限元法对复杂问题具有较强的适应性，近年来, 为了解决大规模电磁场数值计算问题，基于有限差分和有限元的区域分解法已受到人们的广泛重视。
本文就是采用有限元法对梯形脊波导的传输特性进行了分析，得到了它们的截止波长和单模带宽的一些变化规律，给脊波导在今后工程应用中提供了一定的数据参考价值。
2
2 导行电磁波
2.1 导行电磁波概论
电磁波的传播分为在无界空间的传播和有界空间的传播，电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波[5]。所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，使它不至于扩散到漫无边际的空间中去，被引导的电磁波称为导行波。波导系统，不仅是能量和信息的载体和传递工具，而且是构成各种高频、微波元件和仪器的基础。常见的波导系统有平行双线传输线、同轴线、圆波导、矩形波导、介质波导、微带线等。
波导可以由某种形状的金属材料所构成，也可以由某种形状的介质材料构成，还可以由某种形状的金属和介质构成。均匀波导是指横截面形状不变、尺寸不变、制造材料不变、填充材料不变的无限长直传输线。本论文仅讨论均匀波导。
常见的导波系统如图2.1，图2.2，图2.3所示：
图2.1 矩形波导 图2.2 同轴线传输线 图2.3 圆波导
不同的传输线上可以传输不同模式的电磁波。所谓不同模式的电磁波就是在垂直于电磁波传输方向的横截面上具有不同的场分布，每一种场分布称为一种模式。
2.1.1 规则波导中的场分析
任意截面的均匀导波系统，为讨论简单又不失一般性，可作如下假设：
(1) 波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场波与坐标z 无关。
(2) 构成波导壁的导体是理想导体，波导内填充的煤质为理想煤质。
(3) 波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。
设波导中电磁波沿+z方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件可将其电磁场量表示为：
-j βz ⎧⎪E =E 0(x , y ) e ⎨ -j βz ⎪⎩H =H 0(x , y ) e （2.1）
3
式中β为波导轴向的波数[6]。将上式代入亥姆霍兹方程中，并在直角坐标系内展开，又由麦克斯韦方程组的两个旋度式展开得到x,y,z 三个分量的六个标量方程，经过简单运算可将波导中的横向场分量用两个纵向场分量来表示：
β∂E z ωμ∂H z ⎧=-j (+) 2⎪E X ∂x β∂y k c ⎪
⎪β∂E z ωμ∂H z =j (-+) E Y ⎪2∂y β∂x k c ⎪⎨
⎪H =j β(ωε∂E z -∂H z ) X 2⎪∂x k c β∂y ⎪βωε∂E z ∂H z ⎪=-j (+) H Y 2⎪β∂x ∂y k c ⎩ （2.2）
由以上关系式可知，波导中的横向场分量可由纵向场分量确定。
2.1.2 导行波波形的分类
导行波波形是指能够在波导中单独存在的电磁场形式（即电磁场结构），也叫传输模式。在波导中传播的导行电磁波可能出现E z 和H z 分量[7]。因此可以依照E z 和H z 的存
在情况，将在波导中传播的导行电磁波分为三种模式：TEM 波形、TE 波形和TM 波形。
在无界空间和半无界空间中，电磁波通常以TEM 波形传播，TEM 波还可以在一些多导体波导系统，如双线、同轴线等这类导波系统中传播；TE 波和TM 波主要用于矩形波导、圆波导和光波导中传输信号；对于非均匀波导，由于单独的TE 波和TM 波不能满足复杂的边界条件，必须二者线性迭加方能有合适解，所以非均匀波导中传播的是TE 波和TM 波的合成波，又称混合波形。
(1) 横电磁波（TEM 波）
这种波既无TE 分量又无H z 分量，即E z =0、H z =0。由波的横场和纵场的关系
方程组可知，要使E (x , y ) 和H (x , y ) 不为零，只有k c =0时，横向分量才不为零。所以有：
γ2=-k 2或γ=jk =j ωμε （2.3）
(2) 横电波（TE 波）
当传播方向上只有磁场分量而无电场的分量（H z ≠0，E z =0）时，此导行波称为
TE 波。这种波的电力线全在导波系统的横截面内，磁力线为空间曲线。它的所有场分量可由纵向磁场分量H z 求出，H z 满足的边界条件为：
∂H z ∂n =0 （2.4）
S 式中，s 表示波导周界，n 为边界外法向单位矢量。
(3) 横磁波（TM 波）
4
当传播方向上只有电场分量而无磁场的分量（E z ≠0，H z =0），此导行波称为TM
波。这种波的磁力线全在导波系统的横截面内，电力线为空间曲线。它的所有场分量可由纵向电场分量E z 求出，E z 满足的边界条件为： E z S （2.5） =0
2.2 矩形波导
在微波工程中，实际应用的主要是矩形横截面的矩形金属波导管和圆形横截面的圆形金属波导管，目前应用最多的微波传输系统——矩形波导[8]。本论文讨论矩形金属波导管，由于在空心或填充介质的波导管内，不可能存在TEM 模，所以，空心金属波导管中只存在TE 模和TM 模，可用纵向场法求解。
2.2.1 矩形波导中的场分布
其横截面为矩形的空心金属管，宽边尺寸为a , 窄边尺寸为b 。波导内填充介质参数为ε、μ的理想煤质，波导壁为理想导体。如图2.4所示：
图2.4 矩形波导
(1) 矩形波导中的TM 波
波导内的电磁场量由E z 决定，在给定的矩形中，E z 满足下面的波动方程：
22E z0+k C E z0=0 ∇T （2.6）
⎧⎪E Z
边界条件： ⎨⎪⎩E Z X =0y =0=0, E Z =0, E Z X =a y =b =0=0 （2.7） 解波动方程得：
E Z 0=E 0s i n m π
a n πx ) s i n y ) b （2.8）
式中E 0是振幅常数，由导行波的激励源确定，m 、n 为不为零的任何正整数，否则，只
要m 、n 中有一个为零，场量将全部为零。
利用横纵场分量关系，得横向分量复振幅：
5
w εn πm πn π⎧=j () sin(x ) cos(y ) H E X002⎪b a b k c ⎪⎪w εm πm πn π=-j () cos(x ) sin(y ) ⎪H Y02E 0a a b k c ⎪ （2.9） ⎨βm πm πn π⎪E =-j () cos(x ) sin(y ) X02E 0⎪a a b k c ⎪βn πm πn π⎪) sin(x ) cos(y ) E Y0=-j 2E 0(⎪b a b k c ⎩
(2) 矩形波导中的TE 波
波导内的电磁场量由H z 决定，在给定的矩形中，H z 满足下面的波动方程：
22H z0+k C H z0=0 ∇T （2.10）
边界条件：
⎧⎪H Z
⎨⎪⎩H Z X =0y =0 =0, H Z =0, H Z X =a y =b =0=0 （2.11） 解波动方程得：
H Z0 =H 0cos(m π
a x ) cos(n π
b y ) （2.12）
同理，利用横纵场分量关系，得横向分量复振幅：
βm πm πn π⎧=j () s i n x ) c o s y ) H H X002⎪a a b k c ⎪
⎪βn πm πn π=j () c o s x ) s i n y ) H H 0⎪Y02b a b k ⎪c （2.13） ⎨ωμn πm πn π⎪E =j () c o s x ) s i n y ) X02H 0⎪b a b k c ⎪ωμm πm πn π⎪) s i n x ) c o s y ) E Y0=-j 2H 0(⎪a a b k c ⎩
从式(2.9) 和(2.13) 看出：矩形波导中无论TE 或TM 模的场分布沿着z 方向均为行波，而在横截面上均呈驻波分布；m 和n 为任意正整数，分别表示场在x 和y 方向的半驻波数，不同的m 和n 相应就有不同的场分布，因而在矩形波导中可以存在无限多个TM 模和TE 模。对于TE 模，当m =n =0时，则H z0=常数，其它场分量均为零，当m 和
n 不同时为零时，场分布存在，因此矩形波导中TE 模的最低模式为TE 10模。
6
虽然矩形波导中可能存在无穷多个TM 模和TE 模，但能否在波导内传输，还决定于工作频率、波导尺寸和激励方式，可以使需要的模式能在波导内传输，而不需要的方式不能传输。
2.2.2 矩形波导中波的传输特性
波导中波在传输方向的波数β由下式给出：
β
2
=
k
2
-
k
2c
=
(
2π
2
λ
)
-
(
2π
2
λc
)
（2.14）
式中k 为自由空间中同频率的电磁波的波数。要使波导中存在导波，则β必须为实数，即：
k
2
2
>k c 或λ
如果上式不满足，则电磁波不能在波导内传输，称为截止，k c 为截止波数，λc 为截止波长。矩形波导中TE 模和TM 模的截止波数k c 均为： k c =
相应的截止波长为：
λcTE
mn
k x +k y =
22
(a ) +(b )
22
=
2π
λc
（2.16）
=λcTM mn =
2πk cmn
=
2
(m a ) +(n b )
2
2
（2.17） =λc
相应的截止频率为：
f c =
12με
(m
n 22
) +() （2.18） a b
式中，λ=2πk 是无限介质中电磁波的波长，k =ωμε。TE mn 和TM mn 的下标m 表示在x 方向（即波导宽边a ）上场量变化的半波数，n 表示在y 方向（即波导窄边b ）上场量变化的半波数，可见截止频率和波长都与工作频率无关，仅与波导的尺寸和模式有关。
相同波导尺寸对于不同的模式有不同的截止波长λc ，当工作频率和波导尺寸给定后，矩形波导中TE 10模的截止波长最长λc =2a ，故截止频率最低，称为最低模式，也称为矩形波导中的主模，其余模式为高次模。
对应有三个区，如图2.5所示：
7
多模区 TE 3011 TE
单模区
截止区
TE 01
20 TE
TE 20
0 a
图2.5 矩形波导中的模式分布图
2a
(1) 截止区：为λ=2a ～∞。由于 ( c ) 是波导中能出现的最长截止波长，因此，当
TE10
工作波长λ≥2a 时，电磁波就不能在波导中传播，所以该区称为截止区。
(2) 单模区：为λ=a ～2a 。在这一区域只有一个TE 10模出现，若工作波长在a
(3) 多模区：为λ=0～a 。若工作波长λ
因此，为保证在矩形波导中只有TE 10模单模传输，在波导尺寸给定的条件下，选择电磁波的工作波长λ应满足
a 2b (a >2b ) （2.19）
2.2.3 矩形波导中的主模
TE 10模是矩形波导的主模，也称H 10模。有以下突出优点：场结构简单，电场只有
E y 分量；波形稳定；具有最宽的工作频带；在给定的频率下具有最小的损耗；可以实
现单模传输电磁波；在截止波长相同的条件下，波导尺寸最小。当m =1,n =0时，其场分布表达式为：
8
πx -j βz ⎧
=c o e ⎪H z H 0
a
⎪
k ππx -j βz
⎪=j s i e 2H 0⎪H x
a a k c ⎨
⎪ωμππx -j βz ⎪E y =-j 2H 0s i e
a a k c
⎪
⎪E =E =H =0
z y ⎩x
（2.20）
TE 10
模只有H x 、H z 、E y 三个分量，这三个分量均与y 无关，各分量沿y 轴均匀分
布：电场E y 分量沿x 方向呈正弦分布，在x =a 2处电场最强，在x =0、x =a 处电场为零。H z 在z 方向和x 方向都呈余弦分布，在x =a 2处为零，在x =0、x =a 处有最大值。
H
x
沿x 方向和z 方向呈正弦分布，在x =a 2处有最大值，在x =0、x =a 处电场为零。
某一瞬间电场Ey 分布图如图2.6所示：
y
z
图2.6 TE10模某一瞬间Ey 分布图
9
某一瞬间磁场分布图如图2.7所示：
y
z
z y E
x H
图2.7 TE10模某一瞬间磁场分布图
将电场和磁场结构图结合起来，可得到电磁场完整场结构图。
10
3 有限元法
有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有40年的历史。它首先在本世纪40年代被提出，在50年代开始用于飞机设计。后来该方法得到了发展并被非常广泛的用于结构分析问题中。在其它领域的应用虽不太广泛，但有不断增加的趋势。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元方法已相当著名。
传统的有限元法以变分为理论基础，将要求解的微分方程数学模型—边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后利用剖分差值，离散化变分问题为普通多元函数的问题，最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求的边值问题。经过多年的发展，有限元法求解电磁场问题的理论已经非常成熟，并衍生出许多基于有限元法的新方法。由于有限元法其数学原理较为复杂，编程实现自动剖分被分析对象较难，所以本文采用传统的有限元法，主要利用Matlab 软件中的PDE （Partial Differential Equation ）TOOLBOX ，即偏微分方程工具箱来求解变形波导的主模。下面介绍其理论依据及分析求解的过程。
3.1 有限元法的基本原理
变分法的运算一般是先求出条件变分问题，然后归结为欧拉方程的解析解，但对电磁场问题的定解问题，由于场域边界的复杂性，很难甚至无法求出电磁场方程的解析解。随着计算机的发展在求解变分问题的数值解方面产生了历史性的变革，大大简化了计算，从而可能将微分形式的定解问题转化为等价变分问题，然后对它进行分析计算。 有限元法主要是根据欧拉方程与等价变分问题中对应的微分方程相当这一原则，把求解的电磁场方程看作欧拉方程，应用变分原理把待求的边值问题转化为等价的变分问题[9]。然后通过有限单元剖分的离散化处理，构造一个分片解析的有限元子空间，把变分问题近似的转化成有限子空间的多元函数极值问题，由此直接探求变分问题的近似解，以此作为所求边值问题近似解，这就是有限元法的变分原理。其基本应用步骤如下：
(1) 给出与待求边值问题相应的泛函及其等价变分问题； (2) 应用有限单元剖分场域，并选取相应的插值函数；
(3) 把变分问题离散化为多元的极值问题，导出一组联立的代数方程； (4) 选择适当的代数方法解有限元方程，即得待求边值问题的近似解。 以求解变形波导中的TE 模式为例，根据Maxwell （麦克斯韦）方程：
11
⎧∂D ∇⨯H =J +⎪
∂t ⎪
⎪∂B
⎨∇⨯E =- （3.1）
∂t ⎪ B =0⎪∇⋅ ⎪∇⋅D =ρ⎩
对于无源空间(J =0，ρ=0) ，介质均匀各向同性中，Maxwell 方程将化简为
Helmholtz （亥姆霍兹方程）方程：
⎧∇2E t +k 2E t =0
⎨2 2
⎩∇H t +k H t =0
（3.2）
上式中k =ωμε为电磁波在无限媒质中的波数。对于金属波导，假设波导是无限长，且波导是沿着z 轴方向传输，则有：
⎧E =E 0(x , y ) e (α-j β) z e j ωt
⎨
(α-j β) z j ωt
e ⎩H =H 0(x , y ) e
（3.3）
将式(3.3) 代入式(3.2) 中，将可得：
2
⎧∇E +k c E =0
⎨2 2
⎩∇t H +k c H =0
2t
（3.4）
式中k c 2=k 2+γ2。则波导中纵向电场分量E z (x , y ) 和磁场分量H z (x , y ) 满足方程：
∂E z ∂x
2
222
+
∂E z ∂y
2
2
2
+k c E z =0+k c H
2
2
（3.5）
∂H z ∂x
+
∂H z ∂y
2
z
=0 （3.6）
由于式(3.5) 和(3.6) 均满足齐次Helmholtz 方程：
∂H z ∂x
22
+
∂H z ∂y
2
2
+k c H
2
z
=0 （3.7）
对于TM 模，φ=H z ，φ在波导壁上满足齐次狄利克雷（Dirichlet ）边界条件φ=0。对于TE 模，φ=H z ，φ在波导壁上满足齐次诺曼（Neumann ）边界条件
∂φ∂n
=0, n
是指
波导壁的单位法线方向。求解式(3.7) 的解等价于对下式泛函的极值问题： J (φ) =
12
⎰⎰
⎡∂φ2∂φ222⎤() +() -k φc ⎢⎥dxdy ∂x ∂y ⎣⎦
（3.8）
利用三角单元对场域进行剖分，研究式(3.8)的变分问题。根据有限元理论分析，对于三角单元剖分的场域，总可以推导出下列本征值矩阵方程[10]：
12
[A ][φ]=k c 2[B ][φ] （3.9）
其中，[A ]和[A ]均为N ⨯N 阶方阵，N 为节点数的总和，k c 2表示待求的特征值，求解特征值方程(3.9) ，得到的最小非负特征值就是主模的截止波数k c ，得到的第二个最小非负特征值就是第一个高次模的截止波数，以此类推，这样就可以得到变形波导各高次模的截止波数。
3.2 求解过程
在用有限元法求解(3.7) 式时的关键一步就是对求解对象进行网格划分即自动剖分，本文正是利用Matlab 中的偏微分方程工具箱中自带的有限元自动剖分工具来对分析对象进行自动剖分的。
(1) 首先利用画图命令以相对尺寸画出所要求解的脊波导横截面，再进入PDE 工具箱，点击边界条件选项，打开边界模式，确定边界条件，如果是求TE 模式选择Neumann 条件[11]，求TM 模式选择Dirichlet 条件；
(2) 点击PDE 模式，确定微分方程模式为本征值方程，再点击Mesh 菜单进行剖分，可根据对计算结果精度的要求选择初始剖分或二次剖分；
(3) 剖分后可导出剖分后的各单元结点信息，利用自己编写的程序可求得导出本征值矩阵方程(3.9) 中的矩阵[A ]和[B ]，再利用MATLAB 的特征值求解函数求解得出最小的非负特征值k c ，再由λ=2π/k c 得到λc ，其它高次模的截止波长也由此依次求得；
(4) 知道了特征值k c 的大小，还可在PDE 工具箱中的Solve 中确定求解范围，直接利用工具箱求解，然后利用Plot 画图选项画出相应模式的场结构图。
有限元法具有更加坚实和完善的数学理论基础，其主要特点在于不直接去求解偏微分方程，而是求解与该微分方程等价的变分问题，即求出使某个泛函取极小值时的位函数。因此建立泛函的工作很重要，由于泛函问题的复杂性，建立求解对象的相应泛函的工作多为应用数学家来完成，由他们建立相关问题的对应泛函供需要的人来使用。在边界处理上有限元法以小三角形为基本单元，这样有限元法的网格形状更为灵活和任意，能处理更为复杂的边界，在模拟不规则边界时有更好的适应性。
本文采用MATLAB 的PDE 工具箱来求解各种变形波导的传输特性，PDE 工具箱可以对研究对象进行自动剖分，避开了直接编制有限元自动剖分程序的难题，降低了直接编程求解的难度。
人们不断探索新的脊波导计算方法，有限元法是获得求解这类波导特征值的简单并且精确的计算方法，它在分析脊波导的特征值方面是一种有效的方法，适于分析不同截
2
2
13
面的不同脊的波导，我们将在第四章中利用有限元法分析并求解梯形脊波导的传输特性。
14
4 脊波导传输特性的研究
4.1 对称梯形脊波导的传输特性
4.1.1 数值计算结果
使用MATLAB 中的PDE 工具箱经行计算后得到的矩阵如下，由于结果冗长且数值过多，只举例其中的若干矩阵。
分别以c/a，s/a，d/b为变量，主模归一化截止波长和单模带宽如下列图表所示：
表1 c/a=0.1，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
c/a
s/a 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
d/b=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4.0078 3.2026 2.8240 2.5825 2 .4100 2.2795 2.1792 2.1018 2.0431 3.9961 3.2101 2.8368 2.5966 2 .4247 2.2941 2.1922 2.1121 2.0490 3.9782 3.2106 2.8440 2.6063 2 .4356 2.3050 2.2022 2.1199 2.0535 3.9493 3.2026 2.8409 2.6076 2 .4391 2.3099 2.2072 2.1241 2.0559 3.9055 3.1796 2.8270 2.5993 2 .4346 2.3080 2.2069 2.1246 2.0565 3.8433 3.1426 2.7998 2.5798 2 .4208 2.2985 2.2010 2.1214 2.0552 3.7601 3.0873 2.7596 2.5492 2 .3981 2.2822 2.1899 2.1147 2.0522
表2 c/a=0.3，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
0.5 4.8842 0.6 4.7553 0.7 4.6205 0.8 4.4680 0.9 4.2968 3.6791 3.6083 3.5287 3.4392 3.3323 3.1337 3.0897 3.0364 2.9729 2.8972 2.7999 2.7702 2.7337 2.6885 2.6333 2.5670 2.5478 2.5232 2.4909 2.4508 2.3931 2.3818 2.3658 2.3435 2.3151 2.2581 2.2527 2.2432 2.2289 2.2097 2.1515 2.1499 2.1452 2.1369 2.1255 2.0669 2.0670 2.0653 2.0618 2.0567
表3 c/a=0.5，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
0.7 0.8 0.9
4.9317 3.5266 3.1136 2.7781 2 .5486 2.3795 2.2498 2.1476 2.0659 4.6906 3.6083 3.0126 2.7052 2 .4961 2.3434 2.2263 2.1341 2.0601 4.4268 3.3638 2.8992 2.6236 2 .4375 2.3021 2.1990 2.1180 2.0529
15
表4 c/a=0.7，s/a与d/b取不同值时的主模截止波长
0.7
0.8 0.9
4.5626 3.4142 2.9176 2.6275 2.4343 2.2961 2.1923 2.1127 2.0499 4.1850 3.1841 2.7596 2.5151 2.3544 2.2410 2.1565 2.0917 2.0407
表5 c/a=0.1，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4.5716 3.5947 3.1028 2.7828 2 .5551 2.3819 2.2475 2.1436 2.0628 4.6293 3.7011 3.1751 2.8376 2 .5973 2.4155 2.2743 2.1625 2.0730 4.6859 3.7605 3.2109 2.8614 2 .6155 2.4307 2.2868 2.1718 2.0783 4.7395 3.7493 3.1951 2.8471 2 .6048 2.4240 2.2834 2.1707 2.0781 4.7927 3.6785 3.1357 2.8012 2 .5702 2.3994 2.2672 2.1612 2.0741 4.6728 3.5712 3.0537 2.7389 2 .5234 2.3654 2.2439 2.1469 2.0675 4.5032 3.4535 2.9650 2.6718 2 .4733 2.3289 2.2186 2.1313 2.0604 4.3356 3.3380 2.8807 2.6085 2 .4261 2.2946 2.1950 2.1167 2.0534
表6 c/a=0.3，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
5.7306 4.0848 3.3401 2.9198 2 .6455 2.4495 2.3007 2.1820 2.0841 5.6087 3.9119 3.2197 2.8321 2 .5810 2.4034 2.2689 2.1628 2.0753 5.3091 3.7316 3.0945 2.7408 2 .5135 2.3543 2.2350 2.1415 2.0652 5.0106 3.5560 2.9734 2.6530 2 .4489 2.3073 2.2024 2.1212 2.0554 4.7250 3.3905 2.8621 2.5736 2 .3914 2.2660 2.1740 2.1035 2.0473
表7 c/a=0.5，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
c/a
s/a 0.7 0.8 0.9 d/b=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 4.4075 3.2375 2.7630 2.5054 2 .3449 2.2359 2.1568 2.0958 2.0451 4.1573 3.0868 2.6601 2.4311 2 .2903 2.1954 2.1278 2.0768 2.0356 3.9029 2.9407 2.5627 2.3627 2 .2412 2.1604 2.1036 2.0614 2.0282
表8 c/a=0.7，s/a与d/b取不同值时的单模带宽
0.9
3.0566 2.4619 2.2450 2.1415 2 .0858 2.0533 2.0334 2.0198 2.0095
16
4.1.2 对称梯形脊波导的传输特性
如图4.1所示为对称梯形脊波导的横截面图。
s
d c b
a 图4.1
对称梯形脊波导截面图
对称梯形脊波导的宽边为a ，窄边为b ，a =1，b =0.45，为说明本文所采用的有限元法的精确度以及所编程序的正确性，当对称梯形脊波导s/a=0.1～0.9，c/a=0.1～0.9，d/b=0.1～0.9时，计算对称梯形脊波导主模截止波长及单模带宽。
当波导中s/a=0.2，c/a=0.1时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.2 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.3 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中s/a=0.3，c/a=0.1，c/a=0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.4 对称梯形脊波导主模截止波长 图4.5 对称梯形脊波导单模带宽 17
当波导中s/a=0.4，c/a=0.1～0.3时的主模截止波长和单模带宽
图
4.6 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.7 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中s/a=0.5，c/a=0.1～0.4时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.8 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.9 对称梯形脊波导单模带宽
由对称梯形脊波导的主模截止波长和单模带宽可以得出以下结论：
(1) 由图4.2，图4.4，图4.6，图4.8得出，当波导中s 、c 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长随着双脊间距而变化。且当d/b=0.9时，其主模截止波长有极小值，即双脊间距最大时l c 最大；d/b=0.1时，其主模截止波长有极大值，即脊的深度最
大时归一化截止波长最大。
(2) 由图4.3，图4.5，图4.7，图4.9得出，当波导中s 、c 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着双脊间距的变化而变化。且当d/b=0.1时，单模带宽有极大值，即双脊间距在最小位置时BW 最大；当d/b=0.9时，双脊间距在最大时单模带宽最小。
18
当波导中d/b=0.1，c/a=0.1时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.10
对称梯形脊波导主模截止波长
图4.11 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.2，c/a=0.1、0.2时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.12 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.13 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.3，c/a=0.1～0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.14 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.15 对称梯形脊波导单模带宽
19
当波导中d/b=0.4，c/a=0.1、0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.16 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.17 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.5，c/a=0.1、0.3时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.19 对称梯形脊波导单模带宽 图4.18 对称梯形脊波导主模截止波长
由对称梯形脊波导的主模截止波长和单模带宽可以得出以下结论：
(1) 由图4.10，图4.12，图4.14，图4.16，图4.18得出，当波导中c 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长随着s 的增大而减小。
(2) 由图4.11，图4.13，图4.15，图4.17，图4.19得出，当波导中c 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着s 而变化。且s/a=0.4～0.9时，单模带宽随着s 的增大而减小，下降趋势随c/a的值增大而减缓。
20
当波导中d/b=0.1，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图
4.20 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.21 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.2，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.22 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.23 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.3，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.24 对称梯形脊波导主模截止波长 图4.25 对称梯形脊波导单模带 21
当波导中d/b=0.4，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.26 对称梯形脊波导主模截止波长
图4.27 对称梯形脊波导单模带宽
当波导中d/b=0.5，s/a=0.8、0.9时的主模归一化截止波长与单模带宽
图4.28 对称梯形脊波导主模截止波长 图4.29 对称梯形脊波导单模带宽
由对称梯形脊波导的主模截止波长和单模带宽可以得出以下结论：
(1) 由图4.20，图4.22，图4.24，图4.26，图4.28得出，当波导中s 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长总体上随着c/a的增大先增大后减小。当c/a=0.3～0.50时，归一化截止波长有极大值。
(2) 由图4.21，图4.23，图4.25，图4.27，图4.29得出，当波导中s 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着c/a的增大而减小。
22
4.2 梯形脊波导的场图
4.2.1 对称梯形脊波导的场图
对称梯形脊波导的场结构图：
S s
d c b
a
图4.30 对称梯形脊波导截面图
当d/b=0.3，s/a、c/a分别取不同比值时的场结构图如下所示：
图4.31 s/a=0.3，c/a=0.1,d/b=0.3
图4.32 s/a=0.5,c/a=0.1,d/b=0.3
图4.33 s/a=0.5,c/a=0.3,d/b=0.3
图4.34 s/a=0.7,c/a=0.1,d/b=0.3
20
图4.35 s/a=0.7,c/a=0.3,d/b
=0.3 图4.36 s/a=0.7,c/a=0.5,d/b=0.3
图4.37 s/a=0.9,c/a=0.1,d/b
=0.3
图4.38 s/a=0.9,c/a=0.3,d/b=0.3
图4.39 s/a=0.9,c/a=0.5,d/b
=0.3
s 图4.40 s/a=0.9,c/a=0.7,d/b=0.3 d c b
a
图4.41 对称梯形脊波导截面图
当d/b=0.5，s/a、c/a分别取不同比值时的场结构图如下所示：
1
兰州交通大学毕业设计（论文）
图4.42 s/a=0.3,c/a=0.1,d/b
=0.5
图4.44 s/a=0.5,c/a=0.3,d/b
=0.5
图4.46 s/a=0.7,c/a=0.3,d/b
=0.5
图4.48 s/a=0.9,c/a=0.1,d/b
=0.5
24 图4.43 s/a=0.5,c/a=0.1,d/b=0.5
图4.45 s/a=0.7,c/a=0.1,d/b=0.5
图4.47 s/a=0.7,c/a=0.5,d/b=0.5
图4.49 s/a=0.9,c/a=0.3,d/b=0.5
图4.50 s/a=0.9,c/a=0.5,d/b
=0.5 图4.51 s/a=0.9,c/a=0.7,d/b=0.5
由图4.31～图4.70，我们可得出结论：
对称梯形脊波导脊背上的场密度较大，脊边场密度较小。且两脊之间场密度较脊边部大，因此波的主要能量是在两脊之间传输，且对称梯形脊波导上下两脊之间的间距越小，相应脊间场密度也就越大。
24
结 论
对称梯形脊波导的主模截止波长在2.0315～6.8373之间。双脊间距d 越小，脊的开口s 越小，主模截止波长越长当波导中s 、c 尺寸一定时，对称梯形脊波导的主模截止波长随着双脊间距而变化。且当d/b=0.9时，其主模截止波长有极大值，即双脊间距最大时截止波长最大；d/b=0.1时，其主模截止波长有极小值，即脊的深度最大时截止波长最小。
对称梯形脊波导的单模带宽在1.7402～5.7306之间。当脊在最中间位置时，单模带宽可获得最大值。当波导中c 、d 尺寸一定时，对称梯形脊波导的单模带宽随着s 而变化。且s/a=0.4～0.9时，单模带宽随着s 的增大而减小，下降趋势随c/a的值增大而减缓。
对于场图，实线表示的是电场的等值线，等值线密的地方表示场强大，疏的地方表示场强小。从中可以看出，梯形脊波导脊背上的场密度较大，脊边场密度较小。对于双T 脊波导，两脊之间场密度较脊边部大，且上下两脊的间距越小，其背部场密度越大。
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参 考 文 献
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