对数正态分布参数的最大似然估计

2007年第6期九江学院学报　　　　　　　　　　　　　　No, 6, 2007　Journal of jiujiang University (总第143期)

(Su m N0143)

对数正态分布参数的最大似然估计

于　洋　孙月静

(东北财经大学数学与数量经济学院　辽宁大连　116025)

　　摘要:利用最大似然估计法求出了对数正态分布两个参数的估计量, 并讨论了它们的

无偏性和相合性。　　关键词:对数正态分布; 最大似然估计; 无偏估计量; 相合估计量　　中图分类号:O 212　文献标识码:A 　文章编号:1673-4580(2007) 06-0055-(03)

1　对数正态分布

对数正态分布在经济学和金融学中有着重要

的应用。例如在金融市场的理论研究中, 著名的B lack -Scholes 期权定价公式, 程、广泛的应用。:

定义1　X 的函数1n X 服从正态

222

分布N (μ, σ) , σ>0, 则称X 服从参数为μ和σ的对数正态分布(logno r m al distribution ) , 记作X

2

～LN (μ, σ) 。

对数正态分布的密度函数为:

2

-e 2σ2, x >0

f (x ) =πσx 2

πσ=(2

2

2

Πi =1

n

-

2

i =1

2

(ln x i -μ) ,

n

x >=2, ) ,

2

πσ2) -ln L (μ, σ) =-ln (22

ln Πx i -i =1

n

σ2

2

i =1

2

ρ(ln x i -μ)

n

似然方程组为

2

n

=2ρ(ln x i -μ) =0

μ9σi =1

2

) n 2

) =0=-22+4ρ(ln x i -μσσσi =1922

解得

(1)

μ^=

　　　0, 　　　　x ≤0

文献[1]给出了服从对数正态分布的随机变量X 存在k (k 为正整数) 阶原点矩, 并且

EX

k

n i =1

ρln x i , σ^=

2

n

2

n i =1

ρ(ln x i -

n

n i =1

ρln x i ) ,

n

2

故μ与σ的最大似然估计量分别是n

μ^=ρln X i

n i =1

(4) (5)

=e

μk

2

当k 分别等于1和2时, 有

EX =e EX

2

n n 22σ^=ρ(ln X i -ρln X i )

n i =1

n i =1

(2)

μ2

2

=e

μ+2σ22

2

2

由(2) 式、(3) 式以及最大似然估计的不变[2]

性, 对数正态总体X 的均值EX 、方差DX 以及σ的最大似然估计量分别为

EX =e

μ^2

从而DX =EX -(EX ) =e -e =

22μ+σσ2

(e -1) (3) e

2

2　参数μ和σ的最大似然估计

2

设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机样本。根据最大似然估计法的原理, 由(1) 式,

(ln x -μ) 2n

2-似然函数为L (μ, σ) =Πe 2σ2

i =1

πσx i 2

收稿日期:2007-03-01

μ+2σ22μ+σ22

2

, DX =e

n

μσ2^+^2

(e

n

σ^2

-1) ,

2

σ^=

n i =1

ρ(ln X i -

n i =1

ρln X i ) 。

在实际应用时, 给定一组样本值, 代入计算便

σ2及其函数EX 、可求出参数μ、DX 和σ的最大似然估计值。

例如样本值为0125, 018, 1, 2, 215, 计算可得

作者简介:于洋(1979-　) , 男, 东北财经大学数学与数量经济学院教师, 理学硕士。

・56・μ^=

九江学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年第6期

n

n i =1

ρln x i =

×ln1=0, 5

(6)

22

根据定理1有ES Y =σ, 从而

22

σ2) n n 22

σ^=ρ(ln x i -ρln x i ) =×312916=

n i =1n i =15

01,

EX =e

02×016583

E ^=E

n

S Y =

n

2

≠σ

=113898,

2

016583

故σ^是σ的有偏估计量。但是

22

σ=σ2li m E ^=li m

n ϖ∞

n ϖ∞

22

n

(7)

DX =(113898) (e -1) =117992,

σ^=018114。

3　无偏性和相合性

2

前文给出了对数正态分布的两个参数μ与σ的最大似然估计量, 接下来本文将讨论所得估计量(见(4) 式和(5) 式) 的优良性。这里只讨论它们的无偏性和相合性。

定义2　设 ^= ^(X 1, …, X n ) 为未知参数 的估计量, 若E ^= , 则称 ^为 的无偏估计量, 否则称 ^为 的有偏估计量。若li m E ^= , n ϖ∞

因此σ^是σ的一个渐进无偏估计量。

2

虽然σ的最大似然估计量是有偏的, 但改进后的估计量

n n 22

^=ρ(ln X i -ρln X i ) n -1n -1i =1n i =1

2

却是σ定义　设 ^= ^(, n ) 为未知参数 , ^ε>0, 有li ^是 的相合估^1, 则称

ϖ22

^为 的渐进无偏估计量。

2定理1　设总体X N , >, X 1, X 2, …X n X ,

222

S =ρ1X ) 为样本方差, 则ES =

n -1i =1

σ2, DS 2=4。

n -1

[2]

有关定理1的证明见文献。

2

命题1　设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机

n n 2

样本, μ^=ρln X i 与σ^=ρ(ln X i -n i =1

n i =1

。

。一个相合估计量意味着, 只要样本容量n 足够大, 就可以保证估计误差达到任意给定的精度。如果一个估计量不是相合估计, 则它就不是一个好的估计量, 在应用中往往不考虑。下面的定理可以检验一个估计量是否为相合估计量:

定理2　设 ^= ^(X 1, …, X n ) 为参数 的一个估计量, 若

li m E ^= 且li m D ^=0,

n ϖ∞

n ϖ∞

n i =1

ρln X i ) 分别为μ与σ的最大似然估计量, 则μ^

2

2

n

22

是μ的无偏估计量, σ^是σ的渐进无偏估计量。

证明:令Y =ln X, Y i =ln X i (i =1, …, n ) , 则n n

=ρY i =ρln X i , Y

n i =1

n i =1

则 ^是 的相合估计量。

定理的证明见文献[3]。

2

命题2　设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机

n n 2

样本, μ^=ρln X i 与σ^=ρ(ln X i -n i =1

n i =1

n i =1

ρln X i ) 分别为μ与σ的最大似然估计量, 则μ^

2

2

n

22

由题设及定义1, Y =ln X ～N (μ, σ) , 于是

2

EY =E (1nX ) =μ, D Y =D (1nX ) =σ,

n n

μ从而E ^=E (ρln X i ) =ρE (ln X i ) =

n i =1

n i =1

E (ln X ) =μ, 即μ^是μ的无偏估计量。

2

另一方面, Y 的样本方差为n n 22

S Y =ρ(Y i - Y ) =ρ(ln X i -n -1i =1n -1i =1n i =1

与σ^分别是μ与σ的相合估计量。

2

证明:由题设, ln X ～N (μ, σ) , E (ln X ) =μ, 而ln X 1, ln X 2, …ln X n 可看作来自总体ln X 的简单随机样本, 于是E (ln X i ) =E (ln X ) =μ, i =1, …, n, 由辛钦大数定律, 对任意ε>0,

n

有li m P =ρln X i -

n i =1

n ϖ∞

li m P{μ^-

ρln X i )

n

2

n n 222

σ(于是^=ρln X i -ρln X i ) =S Y

n i =1

n i =1

n

根据定义3可知μ^是μ的相合估计量。

由(6) 式和定理1有

222

σ2() ()

D ^

=D

n S Y

=

n

DS Y

=2

于　洋, 等:对数正态分布参数的最大似然估计

・57・

4

2ϖ0(n ϖ∞) n

22

结合(7) 式和定理2可知σ^是σ的相合估计

量。

参考文献:

[1]叶林, 邓筱红. 对数正态型随机变量特征函数的性质[J ].九江师专学报(自然科学版) ,

2002(5) :12.

[2]龙永红主编. 概率论与数理统计(第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2004. 146.

[3]滕素珍, 冯敬海编著. 数理统计学(第四版) [M].大连:大连理工大学出版社, 2005. 77.

THE MAX I M UN L IKE L I HOOD ESTI M A TI ON O F LOGNORMAL D I STR I BU TI ON P ARAM YU Yang; SUN -J (School of M athe m atics and Quantitative Econo m ics, D ongbei U ics, D alian, 116025) AB STRA C T 　This paper derives ors o on para meters by using of maxi m u m likeli 2

hood method and then esti at consistency esti m at or .

KEY W O maxi m u m likelihood esti m ati on; unbiased esti m at or; consistency esti 2

mat or

(责任编辑　陈平生)

(上接第39页)

[19]Schaffer G . B. , McCor m ick P .

[J ].Metall .

G . Anomal ous combusti on effects during mechanical all oying

Trans . A, 1991, 22A (12) :3019.

[20]Mulas G . , Loiselle S . , Schiffini L. , and Cocco G . The mechanoche m ical self -p r opagating reac 2

ti on bet w een hexachl or obenzene and calciu m hydride [J ].J. Solid State Che m. , 1997, 129:263.

[21]Dopp iu S . , Monagheddu M. , and Cocco G . . Mechanoche m istry of the titaniu m -silicon syste m:

compositi onal effects [J ].J. Mater . Res . , 2001(5) :1266.

RESEARCH PROGRESS O F THE REACTI ON M ECHAN ISM O F

SOL I D -STA TE COMBUSTI ON I NDUCED B Y M ECHAN ICAL ALLO YI NG

M A M ing -liang; SON G Sh i -hua

(Facu lty of m echanical eng ineering, J iu jiang U n iversity, J iujiang, J iangxi, 332005, China ) AB STRA C T 　The theory and characteristics of mechanical all oying have been briefly intr oduced . The reacti on

mechanis m of s olid -state combusti on induced by mechanical all oying has been e mphatically discussed, and the further devel op ing directi on has been put f or ward .

KEY W O RD S 　mechanical all oying; s olid -state combusti on reacti on; mechanis m

(责任编辑　陈平生)

2007年第6期九江学院学报　　　　　　　　　　　　　　No, 6, 2007　Journal of jiujiang University (总第143期)

(Su m N0143)

对数正态分布参数的最大似然估计

于　洋　孙月静

(东北财经大学数学与数量经济学院　辽宁大连　116025)

　　摘要:利用最大似然估计法求出了对数正态分布两个参数的估计量, 并讨论了它们的

无偏性和相合性。　　关键词:对数正态分布; 最大似然估计; 无偏估计量; 相合估计量　　中图分类号:O 212　文献标识码:A 　文章编号:1673-4580(2007) 06-0055-(03)

1　对数正态分布

对数正态分布在经济学和金融学中有着重要

的应用。例如在金融市场的理论研究中, 著名的B lack -Scholes 期权定价公式, 程、广泛的应用。:

定义1　X 的函数1n X 服从正态

222

分布N (μ, σ) , σ>0, 则称X 服从参数为μ和σ的对数正态分布(logno r m al distribution ) , 记作X

2

～LN (μ, σ) 。

对数正态分布的密度函数为:

2

-e 2σ2, x >0

f (x ) =πσx 2

πσ=(2

2

2

Πi =1

n

-

2

i =1

2

(ln x i -μ) ,

n

x >=2, ) ,

2

πσ2) -ln L (μ, σ) =-ln (22

ln Πx i -i =1

n

σ2

2

i =1

2

ρ(ln x i -μ)

n

似然方程组为

2

n

=2ρ(ln x i -μ) =0

μ9σi =1

2

) n 2

) =0=-22+4ρ(ln x i -μσσσi =1922

解得

(1)

μ^=

　　　0, 　　　　x ≤0

文献[1]给出了服从对数正态分布的随机变量X 存在k (k 为正整数) 阶原点矩, 并且

EX

k

n i =1

ρln x i , σ^=

2

n

2

n i =1

ρ(ln x i -

n

n i =1

ρln x i ) ,

n

2

故μ与σ的最大似然估计量分别是n

μ^=ρln X i

n i =1

(4) (5)

=e

μk

2

当k 分别等于1和2时, 有

EX =e EX

2

n n 22σ^=ρ(ln X i -ρln X i )

n i =1

n i =1

(2)

μ2

2

=e

μ+2σ22

2

2

由(2) 式、(3) 式以及最大似然估计的不变[2]

性, 对数正态总体X 的均值EX 、方差DX 以及σ的最大似然估计量分别为

EX =e

μ^2

从而DX =EX -(EX ) =e -e =

22μ+σσ2

(e -1) (3) e

2

2　参数μ和σ的最大似然估计

2

设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机样本。根据最大似然估计法的原理, 由(1) 式,

(ln x -μ) 2n

2-似然函数为L (μ, σ) =Πe 2σ2

i =1

πσx i 2

收稿日期:2007-03-01

μ+2σ22μ+σ22

2

, DX =e

n

μσ2^+^2

(e

n

σ^2

-1) ,

2

σ^=

n i =1

ρ(ln X i -

n i =1

ρln X i ) 。

在实际应用时, 给定一组样本值, 代入计算便

σ2及其函数EX 、可求出参数μ、DX 和σ的最大似然估计值。

例如样本值为0125, 018, 1, 2, 215, 计算可得

作者简介:于洋(1979-　) , 男, 东北财经大学数学与数量经济学院教师, 理学硕士。

・56・μ^=

九江学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年第6期

n

n i =1

ρln x i =

×ln1=0, 5

(6)

22

根据定理1有ES Y =σ, 从而

22

σ2) n n 22

σ^=ρ(ln x i -ρln x i ) =×312916=

n i =1n i =15

01,

EX =e

02×016583

E ^=E

n

S Y =

n

2

≠σ

=113898,

2

016583

故σ^是σ的有偏估计量。但是

22

σ=σ2li m E ^=li m

n ϖ∞

n ϖ∞

22

n

(7)

DX =(113898) (e -1) =117992,

σ^=018114。

3　无偏性和相合性

2

前文给出了对数正态分布的两个参数μ与σ的最大似然估计量, 接下来本文将讨论所得估计量(见(4) 式和(5) 式) 的优良性。这里只讨论它们的无偏性和相合性。

定义2　设 ^= ^(X 1, …, X n ) 为未知参数 的估计量, 若E ^= , 则称 ^为 的无偏估计量, 否则称 ^为 的有偏估计量。若li m E ^= , n ϖ∞

因此σ^是σ的一个渐进无偏估计量。

2

虽然σ的最大似然估计量是有偏的, 但改进后的估计量

n n 22

^=ρ(ln X i -ρln X i ) n -1n -1i =1n i =1

2

却是σ定义　设 ^= ^(, n ) 为未知参数 , ^ε>0, 有li ^是 的相合估^1, 则称

ϖ22

^为 的渐进无偏估计量。

2定理1　设总体X N , >, X 1, X 2, …X n X ,

222

S =ρ1X ) 为样本方差, 则ES =

n -1i =1

σ2, DS 2=4。

n -1

[2]

有关定理1的证明见文献。

2

命题1　设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机

n n 2

样本, μ^=ρln X i 与σ^=ρ(ln X i -n i =1

n i =1

。

。一个相合估计量意味着, 只要样本容量n 足够大, 就可以保证估计误差达到任意给定的精度。如果一个估计量不是相合估计, 则它就不是一个好的估计量, 在应用中往往不考虑。下面的定理可以检验一个估计量是否为相合估计量:

定理2　设 ^= ^(X 1, …, X n ) 为参数 的一个估计量, 若

li m E ^= 且li m D ^=0,

n ϖ∞

n ϖ∞

n i =1

ρln X i ) 分别为μ与σ的最大似然估计量, 则μ^

2

2

n

22

是μ的无偏估计量, σ^是σ的渐进无偏估计量。

证明:令Y =ln X, Y i =ln X i (i =1, …, n ) , 则n n

=ρY i =ρln X i , Y

n i =1

n i =1

则 ^是 的相合估计量。

定理的证明见文献[3]。

2

命题2　设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机

n n 2

样本, μ^=ρln X i 与σ^=ρ(ln X i -n i =1

n i =1

n i =1

ρln X i ) 分别为μ与σ的最大似然估计量, 则μ^

2

2

n

22

由题设及定义1, Y =ln X ～N (μ, σ) , 于是

2

EY =E (1nX ) =μ, D Y =D (1nX ) =σ,

n n

μ从而E ^=E (ρln X i ) =ρE (ln X i ) =

n i =1

n i =1

E (ln X ) =μ, 即μ^是μ的无偏估计量。

2

另一方面, Y 的样本方差为n n 22

S Y =ρ(Y i - Y ) =ρ(ln X i -n -1i =1n -1i =1n i =1

与σ^分别是μ与σ的相合估计量。

2

证明:由题设, ln X ～N (μ, σ) , E (ln X ) =μ, 而ln X 1, ln X 2, …ln X n 可看作来自总体ln X 的简单随机样本, 于是E (ln X i ) =E (ln X ) =μ, i =1, …, n, 由辛钦大数定律, 对任意ε>0,

n

有li m P =ρln X i -

n i =1

n ϖ∞

li m P{μ^-

ρln X i )

n

2

n n 222

σ(于是^=ρln X i -ρln X i ) =S Y

n i =1

n i =1

n

根据定义3可知μ^是μ的相合估计量。

由(6) 式和定理1有

222

σ2() ()

D ^

=D

n S Y

=

n

DS Y

=2

于　洋, 等:对数正态分布参数的最大似然估计

・57・

4

2ϖ0(n ϖ∞) n

22

结合(7) 式和定理2可知σ^是σ的相合估计

量。

参考文献:

[1]叶林, 邓筱红. 对数正态型随机变量特征函数的性质[J ].九江师专学报(自然科学版) ,

2002(5) :12.

[2]龙永红主编. 概率论与数理统计(第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2004. 146.

[3]滕素珍, 冯敬海编著. 数理统计学(第四版) [M].大连:大连理工大学出版社, 2005. 77.

THE MAX I M UN L IKE L I HOOD ESTI M A TI ON O F LOGNORMAL D I STR I BU TI ON P ARAM YU Yang; SUN -J (School of M athe m atics and Quantitative Econo m ics, D ongbei U ics, D alian, 116025) AB STRA C T 　This paper derives ors o on para meters by using of maxi m u m likeli 2

hood method and then esti at consistency esti m at or .

KEY W O maxi m u m likelihood esti m ati on; unbiased esti m at or; consistency esti 2

mat or

(责任编辑　陈平生)

(上接第39页)

[19]Schaffer G . B. , McCor m ick P .

[J ].Metall .

G . Anomal ous combusti on effects during mechanical all oying

Trans . A, 1991, 22A (12) :3019.

[20]Mulas G . , Loiselle S . , Schiffini L. , and Cocco G . The mechanoche m ical self -p r opagating reac 2

ti on bet w een hexachl or obenzene and calciu m hydride [J ].J. Solid State Che m. , 1997, 129:263.

[21]Dopp iu S . , Monagheddu M. , and Cocco G . . Mechanoche m istry of the titaniu m -silicon syste m:

compositi onal effects [J ].J. Mater . Res . , 2001(5) :1266.

RESEARCH PROGRESS O F THE REACTI ON M ECHAN ISM O F

SOL I D -STA TE COMBUSTI ON I NDUCED B Y M ECHAN ICAL ALLO YI NG

M A M ing -liang; SON G Sh i -hua

(Facu lty of m echanical eng ineering, J iu jiang U n iversity, J iujiang, J iangxi, 332005, China ) AB STRA C T 　The theory and characteristics of mechanical all oying have been briefly intr oduced . The reacti on

mechanis m of s olid -state combusti on induced by mechanical all oying has been e mphatically discussed, and the further devel op ing directi on has been put f or ward .

KEY W O RD S 　mechanical all oying; s olid -state combusti on reacti on; mechanis m

(责任编辑　陈平生)