公式一
1. 众数【MODE】
（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算
未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。
（2） 组距分组数据众数的计算
对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。 下限公式： M0=L+
∆1
⨯i ∆1+∆2
式中：M0表示众数；L表示众数的下线；∆1表示众数组次数与上一组次数之差；∆2表示众数组次数与下一组次数之差；i表示众数组的组距。 上限公式：
M0=U-∆2
⨯i ∆1+∆2
式中：U表示众数组的上限。
2．中位数【MEDIAN】
（1）未分组数据中中位数的计算
根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为X1，X2，…，XN，中位数Me，为则有：
Me=X
（
N+1
2
当N为奇数
⎫1⎧⎪⎪
Me=⎨X⎛N⎫+X⎛N⎫⎬ 当N为偶数
2⎩⎪ +1⎪⎪⎪ ⎝2⎭⎝2⎭⎭
（2）分组数据中位数的计算
分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：
∑f
i=1
N
i
Me=L+
-Sm-1
fm
⨯d
式中：Me表示中位数；L表示中位数所在组的下限；Sm-1表示中位数所在组以下各组的累计次数；fm表示中位数所在组的次数；d表示中位数所在组的组距。
3．均值的计算【AVERAGE】
（1）未经分组均值的计算
xi
x1+x2+…xn∑=i=1 未经分组数据均值的计算公式为： =
nn
n
（2）分组数据均值计算
∑x1f1+x2f+2 +xkfk
=i=k分组数据均值的计算公式为： =
f1+f2+ +fk
4．几何平均数【GEOMEAN】
几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：
k
xifi
1i
∑f
i=1
式中：G表示几何平均数；∏表示连乘符号。
5．调和平均数【HARMEAN】
调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。 简单调和平均数： H=
n111++…+x1x2xn
=
n1
∑i=1xi
n
n
mi∑m1+m2+…+mn=1
加权调和平均数： H= =in
mnm1m2mi
++…+x1x2xn∑i=1xi式中：H表示调和平均数。
6．极差【Range】
极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即
xi R=max
()
-mxiin
()
式中：R表示极差；maxxi和minxi分别表示一组数据的最大值与最小值。
()
()
7．平均差【Mean Deviation】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。
（1） 根据未分组资料的计算公式： AD∑x-i=1
i
n
n
n
（2） 根据分组资料的计算公式： AD=
∑x-i=1
i
fi
∑f
i=1
n
i
式中：AD表示平均差
8．方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。
未分组数据方差的计算公式为： σ2=
∑(x-)
i=1
n
2
n
n
分组数据方差的计算公式为： σ2=
∑(x
i=1
i
-i
)
2
i
f
∑f
i=1
n
式中：σ2表示方差。
方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：
未分组数据：
σ=
分组数据：
σ=
式中：σ表示标准差。
9．离散系数
离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。
其计算公式为： Vσ=式中：Vσ表示离散系数。
σ
10．偏态【SKEW】
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。
n
⎡xi-⎤n
EXCEL中偏态系数的计算公式为： ∑⎢⎥
n-1n-2i=1⎣s⎦
3
11．峰值【KURT】
EXCEL中峰值系数的计算公式为：
42n⎧⎫xnn+13n-1⎛⎫()()⎪⎪i
⎨ ⎪⎬-∑n-1n-2n-3sn-1n-3i=1⎝⎭⎪⎪⎩⎭
式中：s 表示样本标准差。
公式二
1．
均值估计
（1）样本均值的标准差
样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。
样本均值的抽样平均误差计算公式为： 重复抽样方式： σ(
)==不重复抽样方式： σ(
)=
通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：
σ(
)=
在公式中，σ是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。
（2）大样本均值的极限误差 ∆=Zα2σ() （3）大样本下总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（1-α）的置信区间：
-zα2σ()≤μ≤+zα2σ()
即-zα2（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（1-α）的置信区间：
≤μ≤+zα2
-tα2σ()≤μ≤+tα2σ()
≤μ≤+tα2即
-tα2
2．比例估计
（1）样本比例的抽样平均误差
样本比例的抽样平均误差为：
重复抽样下： σ(p)
=
上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替。
不重复抽样下： σ(p)
=（2）样本比例的抽样极限误差
≈∆P=Zασ(p)
（3）总体比率的区间估计
总体比例P的置信度为（1-α）的置信区间为：
p-∆P≤p≤p+∆P
即 p-Zα2σ(p)≤p≤p+Zα2σ(p)
3． 总体均值检验
（1） 单一总体均值检验
①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验
检验统计量Z为：
Z=
②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验
检验统计量t为：
t=
（2） 两个总体的均值检验
①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本
Z检验统计量为：
Z=
--μ-μ
大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。
②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等
T检验统计量为：
--μ-μ Z=
sp=
1n11n22
其中： s=xi-1； s2=xi-2 ∑∑n1-1i=1n2-1i=1
2
1
()
2
()
2
4． 总体比例检验
（1） 单一总体的比例检验
Z检验统计量：
Z=
（2） 两个总体比例的检验
检验的统计量为：
Z=
ˆ=其中：p
ˆ1+n2pˆ2n1p
ˆ为当p1=p2时p1和p2的联合估计值。 ，p
n1+n2
5． 总体方差假设检验
（1） 单一正态总体方差的假设检验
检验统计量为：
n-1)s2( χ=2
2
σ0
其中：s=
2
∑(
i=1
n
xi-)
2
n-1
为σ2的估计量。
（2） 两个正态总体的方差假设检验
2
检验统计量为： F=s12s2
其中： s=
2
1
∑(
i=1
n1
xi-)
2
n1-1
； s=
22
∑(
i=1
n2
xi-)
2
n2-1
。
公式三
1.单因素方差分析
设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为nj的样本。 （1） 计算各项离差平方和
在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total ）代表：
SST=∑∑xij-x
i=1j=1nj
k
()
2
式中：x表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：
x=
x
n
ij
误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：
SSE=∑∑(xij-j)
i=1j=1nj
k
2
式中：j表示第j种水平的样本均值，j=
∑x
i=1
nj
ij
nj
水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。
SSA的计算公式为： SSA=∑∑j-x
i=1j=1nj
k
()
2
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（n-1）；对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（n-r）。与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：
n-1=（r-1）+（n-r）
对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差）为： MSA=
SSA
r-1SSE
n-r
对于SSE，其平均平方MSE（组内均方差）为： MSE=
MSA
MSE
（3） 检验统计量F F=
2．两因素方差分析
设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。 （1） 计算各项离差平方和
在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和。
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total）代表： SST=∑∑xij-x
()
2
1nk
式中：x表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为： x=∑∑xij
nki=1j=1
水平项离差平方和可以分别用SSA（Sum of Squares for Factor A）和SSB（Sum of Squares for Factor B）表示。
SSA的计算公式为： SSA=∑∑∙j-x
i=1j=1n
k
()
2
1n
式中： ∙j=∑xij
ni=1
SSB的计算公式为： SSB=∑∑i∙-x
i=1j=1
nk
()
2
1k
式中： i∙=∑xi j
kj=1
误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表： SSE=∑∑xij-i∙-∙j+x
i=1j=1n
k
()
2
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：
MSA=
SSASSBSSE
MSB= MSE= k-1n-1k-1n-1（3） 检验统计量F
F(A)=
MSAMSB
F(B)= MSEMSE
公式四
1．拟合优度的检验统计量：
χ2=∑
i=1k
(fi-fe)
fe
2
式中：fi表示类别i的观察频数；fe表示假设H0为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数。 注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的χ2分布。
公式一
1. 众数【MODE】
（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算
未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。
（2） 组距分组数据众数的计算
对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。 下限公式： M0=L+
∆1
⨯i ∆1+∆2
式中：M0表示众数；L表示众数的下线；∆1表示众数组次数与上一组次数之差；∆2表示众数组次数与下一组次数之差；i表示众数组的组距。 上限公式：
M0=U-∆2
⨯i ∆1+∆2
式中：U表示众数组的上限。
2．中位数【MEDIAN】
（1）未分组数据中中位数的计算
根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为X1，X2，…，XN，中位数Me，为则有：
Me=X
（
N+1
2
当N为奇数
⎫1⎧⎪⎪
Me=⎨X⎛N⎫+X⎛N⎫⎬ 当N为偶数
2⎩⎪ +1⎪⎪⎪ ⎝2⎭⎝2⎭⎭
（2）分组数据中位数的计算
分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：
∑f
i=1
N
i
Me=L+
-Sm-1
fm
⨯d
式中：Me表示中位数；L表示中位数所在组的下限；Sm-1表示中位数所在组以下各组的累计次数；fm表示中位数所在组的次数；d表示中位数所在组的组距。
3．均值的计算【AVERAGE】
（1）未经分组均值的计算
xi
x1+x2+…xn∑=i=1 未经分组数据均值的计算公式为： =
nn
n
（2）分组数据均值计算
∑x1f1+x2f+2 +xkfk
=i=k分组数据均值的计算公式为： =
f1+f2+ +fk
4．几何平均数【GEOMEAN】
几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：
k
xifi
1i
∑f
i=1
式中：G表示几何平均数；∏表示连乘符号。
5．调和平均数【HARMEAN】
调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。 简单调和平均数： H=
n111++…+x1x2xn
=
n1
∑i=1xi
n
n
mi∑m1+m2+…+mn=1
加权调和平均数： H= =in
mnm1m2mi
++…+x1x2xn∑i=1xi式中：H表示调和平均数。
6．极差【Range】
极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即
xi R=max
()
-mxiin
()
式中：R表示极差；maxxi和minxi分别表示一组数据的最大值与最小值。
()
()
7．平均差【Mean Deviation】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。
（1） 根据未分组资料的计算公式： AD∑x-i=1
i
n
n
n
（2） 根据分组资料的计算公式： AD=
∑x-i=1
i
fi
∑f
i=1
n
i
式中：AD表示平均差
8．方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。
未分组数据方差的计算公式为： σ2=
∑(x-)
i=1
n
2
n
n
分组数据方差的计算公式为： σ2=
∑(x
i=1
i
-i
)
2
i
f
∑f
i=1
n
式中：σ2表示方差。
方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：
未分组数据：
σ=
分组数据：
σ=
式中：σ表示标准差。
9．离散系数
离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。
其计算公式为： Vσ=式中：Vσ表示离散系数。
σ
10．偏态【SKEW】
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。
n
⎡xi-⎤n
EXCEL中偏态系数的计算公式为： ∑⎢⎥
n-1n-2i=1⎣s⎦
3
11．峰值【KURT】
EXCEL中峰值系数的计算公式为：
42n⎧⎫xnn+13n-1⎛⎫()()⎪⎪i
⎨ ⎪⎬-∑n-1n-2n-3sn-1n-3i=1⎝⎭⎪⎪⎩⎭
式中：s 表示样本标准差。
公式二
1．
均值估计
（1）样本均值的标准差
样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。
样本均值的抽样平均误差计算公式为： 重复抽样方式： σ(
)==不重复抽样方式： σ(
)=
通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：
σ(
)=
在公式中，σ是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。
（2）大样本均值的极限误差 ∆=Zα2σ() （3）大样本下总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（1-α）的置信区间：
-zα2σ()≤μ≤+zα2σ()
即-zα2（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（1-α）的置信区间：
≤μ≤+zα2
-tα2σ()≤μ≤+tα2σ()
≤μ≤+tα2即
-tα2
2．比例估计
（1）样本比例的抽样平均误差
样本比例的抽样平均误差为：
重复抽样下： σ(p)
=
上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替。
不重复抽样下： σ(p)
=（2）样本比例的抽样极限误差
≈∆P=Zασ(p)
（3）总体比率的区间估计
总体比例P的置信度为（1-α）的置信区间为：
p-∆P≤p≤p+∆P
即 p-Zα2σ(p)≤p≤p+Zα2σ(p)
3． 总体均值检验
（1） 单一总体均值检验
①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验
检验统计量Z为：
Z=
②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验
检验统计量t为：
t=
（2） 两个总体的均值检验
①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本
Z检验统计量为：
Z=
--μ-μ
大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。
②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等
T检验统计量为：
--μ-μ Z=
sp=
1n11n22
其中： s=xi-1； s2=xi-2 ∑∑n1-1i=1n2-1i=1
2
1
()
2
()
2
4． 总体比例检验
（1） 单一总体的比例检验
Z检验统计量：
Z=
（2） 两个总体比例的检验
检验的统计量为：
Z=
ˆ=其中：p
ˆ1+n2pˆ2n1p
ˆ为当p1=p2时p1和p2的联合估计值。 ，p
n1+n2
5． 总体方差假设检验
（1） 单一正态总体方差的假设检验
检验统计量为：
n-1)s2( χ=2
2
σ0
其中：s=
2
∑(
i=1
n
xi-)
2
n-1
为σ2的估计量。
（2） 两个正态总体的方差假设检验
2
检验统计量为： F=s12s2
其中： s=
2
1
∑(
i=1
n1
xi-)
2
n1-1
； s=
22
∑(
i=1
n2
xi-)
2
n2-1
。
公式三
1.单因素方差分析
设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为nj的样本。 （1） 计算各项离差平方和
在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total ）代表：
SST=∑∑xij-x
i=1j=1nj
k
()
2
式中：x表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：
x=
x
n
ij
误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：
SSE=∑∑(xij-j)
i=1j=1nj
k
2
式中：j表示第j种水平的样本均值，j=
∑x
i=1
nj
ij
nj
水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。
SSA的计算公式为： SSA=∑∑j-x
i=1j=1nj
k
()
2
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（n-1）；对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（n-r）。与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：
n-1=（r-1）+（n-r）
对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差）为： MSA=
SSA
r-1SSE
n-r
对于SSE，其平均平方MSE（组内均方差）为： MSE=
MSA
MSE
（3） 检验统计量F F=
2．两因素方差分析
设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。 （1） 计算各项离差平方和
在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和。
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total）代表： SST=∑∑xij-x
()
2
1nk
式中：x表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为： x=∑∑xij
nki=1j=1
水平项离差平方和可以分别用SSA（Sum of Squares for Factor A）和SSB（Sum of Squares for Factor B）表示。
SSA的计算公式为： SSA=∑∑∙j-x
i=1j=1n
k
()
2
1n
式中： ∙j=∑xij
ni=1
SSB的计算公式为： SSB=∑∑i∙-x
i=1j=1
nk
()
2
1k
式中： i∙=∑xi j
kj=1
误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表： SSE=∑∑xij-i∙-∙j+x
i=1j=1n
k
()
2
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：
MSA=
SSASSBSSE
MSB= MSE= k-1n-1k-1n-1（3） 检验统计量F
F(A)=
MSAMSB
F(B)= MSEMSE
公式四
1．拟合优度的检验统计量：
χ2=∑
i=1k
(fi-fe)
fe
2
式中：fi表示类别i的观察频数；fe表示假设H0为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数。 注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的χ2分布。