传动力学第2讲_拉格朗日运动方程

电气动的力学传理科普读原物二

之格朗拉运日方程动

第部分 拉二朗日运格方程

秦动平晓 021310.初--稿---0216.年9改

写1.

刚性动运弹和性动

运普通的运动统被称系为刚运动性统-系---运动体的物每质点个运的动速相同度或比成

例关系与。相对的是之弹性运系统。

如前动所，刚性运述动统也叫系单做量质运系统。动果如运的动机要素中械包弹性器件，括

这就

多质是的弹量机械性统。系高密、精高品质电的气传动统系必考虑须弹性系为的要统素，

析分性弹统系最的重要数学工的具是就 苫雾云（苫罩--han1s覆盖，）、 而生畏望的“格拉

日运动朗方程”。现 的工在作就把要这方程简单个，通俗化。

化

.2拉格日运朗动方和程牛运顿定动律的渊

在《源分力学析》，最基本中最核心、公的就是式拉“格日运动方程” ，朗写出来居然是就这 个样模够折，人磨呀！的

大鼎名 的鼎格拉朗运 日动 方程，说解后。在

d L L  Qx   td   xx

个这杂复的子真式够人吓啦的，导有数、又有导数、偏还有上头带点的脚下、带的标 咋，看真一要的退避三了舍。其实呀这个，式并子难不，只不过牛是顿二定第的另一种写律法而 ，或者说当拉格已日先生学朗会了牛第顿定律--二-力和加速度-的系关---之后，又稍微

-1/--6

气电动传的学力原科理读物之二

普拉格

朗日动运方

程往深

度琢磨了一里：下力产生加速度能那么这，个力从哪里来的呢是无？过就乎是弹、簧绳子的 力，这拉是物变形产体生的力弹；球吸地引重的力包括斜（面的上力重量）-分---是这 能势。有由速还产生度冲撞冲力，的然属虽动量于和量冲的范畴这，动能。这是样一，就想恍然 悟了大于，他是把F  am这 公个式改换另为种一写，法春雷一震天声响一，

伟个的大明发诞就了生。 顿的牛运动程方（顿牛第定二律）我们在

高中就时过牛学第二定顿，律成写数式子学就 F 是 m ，这是a顿牛程的方最 单的形简。如式果把一位于个2维面平的质上点牛的运动方程顿出来写是

就一把的运动扩维展二维。 到x轴和 轴y

  Fxm

x

 Fym

y（

1）



位移是对量时间的于二导数，也阶就加是 速 y式此中的、x是y质的点位移， 、

度。之所

以写成种形式，这是出于简洁目的的。以举可反三一联想到地字，头

母 上顶有面一点个则表示时间的一对导阶-数--速-度，即：x d x2 x2 。 就加是速度  td xd ，头上有两顶个点d t

先考

虑式1（）中边右的F之力来自势源，势能对于能位的导数移就是力想 。想蕴一着弹性势藏能的弹簧，形当变 x（为相当于学课中中的 x本） ，

则弹力 为x，k其势能

U 为 12 x k2

对Ux 求 导是就kx= F

能对势移的导数位就力是F= k，即

x

-/26

-

电

气传动的力学原理科普物之二读

拉

朗日格运方动程

xF 

U x

F

y 

U y

2（）

中式的负表号示的力方与向变形方的相向反使，偏导用数原的因因是自变量不 为有位仅移，有时还间这一素。要这就 是拉格日朗的新之创举---把-力和能势联系在一。起 用 （式） 2的势能中 U对移位导的代替力数顿运动方牛程式1（）中力的F就，可得以到



 m x

U x

  y

m U

y3）（

就是牛顿运动方程这的一另形式，种它显明带着格朗拉的印记日。样就引这 和牛出的运顿方动异程同工的曲拉朗格日动运程方。拉朗日就格了这做么点点一 突，就破成伟大的科为家学。

本节字母用 T 表动示能，字用母 U 示 表势能这。是为了文简洁。行后文有变改。

.拉3格朗日数函

质点运的动具有 既动能T 也 具 势能有 U ，把动能势能和的值 差T U 称为 拉朗格函数日L（granagain），称亦格拉朗量，日用号符L表示简，它为L。另 外称顿牛列的系动能表式是达T

1 V m2， 写拉成朗格日式为形2

1 2 2 m 1  2 my  x y  2 T mx 2 2 2

这说动能是明速的度数，可函写成 同以，势能理是位的移数，函写 于成，是拉朗日函格数L 可以写

成（4）

 ,y) 。 T  T( xU  U ( x, y) 。

, y ) U (x, )yL T  U T( x

-36/

-

电传气动力学的原科理读物普之二

拉格朗日运动方程



2 my 2   U(x, y x)2

（

）

5 ，能势 依存于 x 、U 。把y拉朗格函数日L 对 x  偏求导数 ， y、 、 y要是：点动 能 T存依于 x 偏导求数的结果相同即， 、 y 与就动把 T 能对 x LT   m x  x  x LT   ym y  

y（6）

能动mV

2

2对度求速

导是

动量 m

V同

理把“函 L拉对 x 、y 求 偏导数就与，- U 把 x对 、y 求偏导数的结相同果 ”，

L即 U x

LxU   yy

（7

）

势能对位

求移是导力

通

过函拉L就，把移位速和与能量联系度一起。我在们又进了一步前。

3

.拉格朗 运日方程和动牛顿动方运的程学联数系

为便了叙于，述把牛顿运方动，即公程（式）3写再一遍

   mx

相这于当 mV

 U

x

 my

 Uy



还是公（式3，写又遍）一

我们

来先研究式上前一表达的式

  mx

U 

是 什玩么意？来原，等 号左的 边x m

x

对 间时 t 一阶的数，而 mx导 拉函 L是对 x 的偏导（见式数6），可得到 即它是 m  x mx

再来看该式看的边的右

 d) L d (xm

  dtdt x 

8（）

此相式于当 am

U 是么玩什意？原它来拉函 是 对Lx 的 偏导，即公式数（）7 x

此式当于相F

示的所



U

L  x x

（）

9把式（公）、8（9代入）式（3公，得）

到-4/6

-电气传

的动力学原理科读普物之

拉二朗格日运方动

程左

边是动 m量 V对时求导间即，ma

d

 L L  dt  x  x

右边是力 F

移

得到项

d

 L L  0  t   x d 

同x得到理 y轴 的达式

表 d L  L0  d t y  y

（

01-）a

忽

摩擦略内等力则右，为边 0

（

0-b1）

这是就节本开始介绍的拉所朗日运动格程方表达式的N，o w觉不神得秘吧，

 M  0这。的里或M是指F说白 了是amF-=。0式此也括转动情况，包当于 J相

合力或转合矩但不，包弹括内簧的摩擦部内等损力失。 如果虑到考擦摩内损力失上，式的右边就不是0而是体，现摩擦力的 Q内x和

y 。Q

这

是本章开就说到头的拉朗格运日方动：

程 d  L L xQ   d t x x d L L Qy   t d y  

y相

于 m当a-F=力

内（

1）1

呵呵！呵！

！

现在得不觉懂难吧，

了4. 拉

朗日运格动方的优程点

1）拉格 日朗运方程和牛顿动动方运本程质相。同可

是现偏导出数

了）2拉格 日运动朗方程不含加速度量，的除了消二阶导运算的复数性杂。 3 ）格拉日朗动运程建方在拉立格日函朗L数基的上础，入动引能和能的势

概5/6-

-电气动的力传原理科学读物普二之

拉格

朗运动日方

念程所以既，适用平动于，适用也于动。 转4 动）对能速度偏导的是数量，动量对动间求时导就是a；势m对能移位偏的导 数力是，强了化个概念这，动把学力的诸多本量基有机联系在一起，便地解于 复杂决的力学题。问5） 1把维运的动展扩到维或更2高维的数坐标系在不同，坐标的轴上，式公的形式相同

。看过后之有，什么感，消想除了神感秘吧了！萌生还怎出应样用的法想吧！以就是下各 应种例，有助用于加理解深

-。66-/

电气动的力学传理科普读原物二

之格朗拉运日方程动

第部分 拉二朗日运格方程

秦动平晓 021310.初--稿---0216.年9改

写1.

刚性动运弹和性动

运普通的运动统被称系为刚运动性统-系---运动体的物每质点个运的动速相同度或比成

例关系与。相对的是之弹性运系统。

如前动所，刚性运述动统也叫系单做量质运系统。动果如运的动机要素中械包弹性器件，括

这就

多质是的弹量机械性统。系高密、精高品质电的气传动统系必考虑须弹性系为的要统素，

析分性弹统系最的重要数学工的具是就 苫雾云（苫罩--han1s覆盖，）、 而生畏望的“格拉

日运动朗方程”。现 的工在作就把要这方程简单个，通俗化。

化

.2拉格日运朗动方和程牛运顿定动律的渊

在《源分力学析》，最基本中最核心、公的就是式拉“格日运动方程” ，朗写出来居然是就这 个样模够折，人磨呀！的

大鼎名 的鼎格拉朗运 日动 方程，说解后。在

d L L  Qx   td   xx

个这杂复的子真式够人吓啦的，导有数、又有导数、偏还有上头带点的脚下、带的标 咋，看真一要的退避三了舍。其实呀这个，式并子难不，只不过牛是顿二定第的另一种写律法而 ，或者说当拉格已日先生学朗会了牛第顿定律--二-力和加速度-的系关---之后，又稍微

-1/--6

气电动传的学力原科理读物之二

普拉格

朗日动运方

程往深

度琢磨了一里：下力产生加速度能那么这，个力从哪里来的呢是无？过就乎是弹、簧绳子的 力，这拉是物变形产体生的力弹；球吸地引重的力包括斜（面的上力重量）-分---是这 能势。有由速还产生度冲撞冲力，的然属虽动量于和量冲的范畴这，动能。这是样一，就想恍然 悟了大于，他是把F  am这 公个式改换另为种一写，法春雷一震天声响一，

伟个的大明发诞就了生。 顿的牛运动程方（顿牛第定二律）我们在

高中就时过牛学第二定顿，律成写数式子学就 F 是 m ，这是a顿牛程的方最 单的形简。如式果把一位于个2维面平的质上点牛的运动方程顿出来写是

就一把的运动扩维展二维。 到x轴和 轴y

  Fxm

x

 Fym

y（

1）



位移是对量时间的于二导数，也阶就加是 速 y式此中的、x是y质的点位移， 、

度。之所

以写成种形式，这是出于简洁目的的。以举可反三一联想到地字，头

母 上顶有面一点个则表示时间的一对导阶-数--速-度，即：x d x2 x2 。 就加是速度  td xd ，头上有两顶个点d t

先考

虑式1（）中边右的F之力来自势源，势能对于能位的导数移就是力想 。想蕴一着弹性势藏能的弹簧，形当变 x（为相当于学课中中的 x本） ，

则弹力 为x，k其势能

U 为 12 x k2

对Ux 求 导是就kx= F

能对势移的导数位就力是F= k，即

x

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-

电

气传动的力学原理科普物之二读

拉

朗日格运方动程

xF 

U x

F

y 

U y

2（）

中式的负表号示的力方与向变形方的相向反使，偏导用数原的因因是自变量不 为有位仅移，有时还间这一素。要这就 是拉格日朗的新之创举---把-力和能势联系在一。起 用 （式） 2的势能中 U对移位导的代替力数顿运动方牛程式1（）中力的F就，可得以到



 m x

U x

  y

m U

y3）（

就是牛顿运动方程这的一另形式，种它显明带着格朗拉的印记日。样就引这 和牛出的运顿方动异程同工的曲拉朗格日动运程方。拉朗日就格了这做么点点一 突，就破成伟大的科为家学。

本节字母用 T 表动示能，字用母 U 示 表势能这。是为了文简洁。行后文有变改。

.拉3格朗日数函

质点运的动具有 既动能T 也 具 势能有 U ，把动能势能和的值 差T U 称为 拉朗格函数日L（granagain），称亦格拉朗量，日用号符L表示简，它为L。另 外称顿牛列的系动能表式是达T

1 V m2， 写拉成朗格日式为形2

1 2 2 m 1  2 my  x y  2 T mx 2 2 2

这说动能是明速的度数，可函写成 同以，势能理是位的移数，函写 于成，是拉朗日函格数L 可以写

成（4）

 ,y) 。 T  T( xU  U ( x, y) 。

, y ) U (x, )yL T  U T( x

-36/

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电传气动力学的原科理读物普之二

拉格朗日运动方程



2 my 2   U(x, y x)2

（

）

5 ，能势 依存于 x 、U 。把y拉朗格函数日L 对 x  偏求导数 ， y、 、 y要是：点动 能 T存依于 x 偏导求数的结果相同即， 、 y 与就动把 T 能对 x LT   m x  x  x LT   ym y  

y（6）

能动mV

2

2对度求速

导是

动量 m

V同

理把“函 L拉对 x 、y 求 偏导数就与，- U 把 x对 、y 求偏导数的结相同果 ”，

L即 U x

LxU   yy

（7

）

势能对位

求移是导力

通

过函拉L就，把移位速和与能量联系度一起。我在们又进了一步前。

3

.拉格朗 运日方程和动牛顿动方运的程学联数系

为便了叙于，述把牛顿运方动，即公程（式）3写再一遍

   mx

相这于当 mV

 U

x

 my

 Uy



还是公（式3，写又遍）一

我们

来先研究式上前一表达的式

  mx

U 

是 什玩么意？来原，等 号左的 边x m

x

对 间时 t 一阶的数，而 mx导 拉函 L是对 x 的偏导（见式数6），可得到 即它是 m  x mx

再来看该式看的边的右

 d) L d (xm

  dtdt x 

8（）

此相式于当 am

U 是么玩什意？原它来拉函 是 对Lx 的 偏导，即公式数（）7 x

此式当于相F

示的所



U

L  x x

（）

9把式（公）、8（9代入）式（3公，得）

到-4/6

-电气传

的动力学原理科读普物之

拉二朗格日运方动

程左

边是动 m量 V对时求导间即，ma

d

 L L  dt  x  x

右边是力 F

移

得到项

d

 L L  0  t   x d 

同x得到理 y轴 的达式

表 d L  L0  d t y  y

（

01-）a

忽

摩擦略内等力则右，为边 0

（

0-b1）

这是就节本开始介绍的拉所朗日运动格程方表达式的N，o w觉不神得秘吧，

 M  0这。的里或M是指F说白 了是amF-=。0式此也括转动情况，包当于 J相

合力或转合矩但不，包弹括内簧的摩擦部内等损力失。 如果虑到考擦摩内损力失上，式的右边就不是0而是体，现摩擦力的 Q内x和

y 。Q

这

是本章开就说到头的拉朗格运日方动：

程 d  L L xQ   d t x x d L L Qy   t d y  

y相

于 m当a-F=力

内（

1）1

呵呵！呵！

！

现在得不觉懂难吧，

了4. 拉

朗日运格动方的优程点

1）拉格 日朗运方程和牛顿动动方运本程质相。同可

是现偏导出数

了）2拉格 日运动朗方程不含加速度量，的除了消二阶导运算的复数性杂。 3 ）格拉日朗动运程建方在拉立格日函朗L数基的上础，入动引能和能的势

概5/6-

-电气动的力传原理科学读物普二之

拉格

朗运动日方

念程所以既，适用平动于，适用也于动。 转4 动）对能速度偏导的是数量，动量对动间求时导就是a；势m对能移位偏的导 数力是，强了化个概念这，动把学力的诸多本量基有机联系在一起，便地解于 复杂决的力学题。问5） 1把维运的动展扩到维或更2高维的数坐标系在不同，坐标的轴上，式公的形式相同

。看过后之有，什么感，消想除了神感秘吧了！萌生还怎出应样用的法想吧！以就是下各 应种例，有助用于加理解深

-。66-/