第2章 插值法
1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底
2
设多项式为:P (x ) =a 0+a 1x +a 2x ，
x 0x 1x 2x 0x 1x 2
x 0x 1
x 0
222
1-12
11=-6 4
222
所以：A =x 1=x 2x 0x 1
222
f (x 0) a 0=f (x 1)
f (x 2) a 1=x 0x 1x 2x 0x 1x 2x 0x 1x 2
x 0
x 0
01-12
114
1-12
11=4
x 1=-3x 2
222
14-6
=-
73
x 2
222
4
f (x 0) f (x 1) f (x 2) x 0x 1x 2
0-34
114
1-12
11=4
x 1=x 2
-9-6
=
32
x 2
a 2=f (x 0) f (x 1) f (x 2)
x 0x
2
=1-1273
0-3432
56
1-12
11=4
212
-5-6
=
56
x 2
所以f(x)的二次插值多项式为：P (x ) =-（2）用Lagrange 插值基底
l 0(x ) =
(x -x 1)(x -x 2) (x 0-x 1)(x 0-x 2) (x -x 0)(x -x 2) (x 1-x 0)(x 1-x 2) (x -x 0)(x -x 1) (x 2-x 0)(x 2-x 1)
=
(x +1)(x -2) (1+1)(1-2) (x -1)(x -2) (-1-1)(-1-2) (x -1)(x +1) (2-1)(2+1)
+x +
x
2
l 1(x ) =
=
l 2(x ) =
=
Lagrange 插值多项式为：
L 2(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) =0+(-3) ⨯=56x +
2
16
(x -1)(x -2) +4⨯73
13
(x -1)(x +1)
32
x -
所以f(x)的二次插值多项式为：L 2(x ) =-(3) 用Newton 基底: 均差表如下：
73
+
32
x +
56
x
2
Newton N 2(x ) =f (x 0) +f [x 0, x 1](x -x 0) +f [x 0, x 1, x 2](x -x 0)(x -x 1) =0+=56
32
2
(x -1) +32x -
73
56
(x -1)(x +1)
x +
所以f(x)的二次插值多项式为：N 2(x ) =-
73
+
32
x +
56
x
2
由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
x
6、在-4≤x ≤4上给出f (x ) =e 的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似
值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有
R 2(x ) =
13!
f '''(ξ)(x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1), ξ∈(x i -1, x i +1)
式中x i -1=x -h , x i +1=x +h .
R 2(x ) =
16e
4
max
x i -1≤x ≤x i +1
(x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1) ≤
16
e
4
213
3
h =
3
e
4
93
h
3
令
e
4
93
h ≤10
3-6
得h ≤0. 00658
插值点个数
1+
4-(-4) N -1
=1216. 8≤1217
是奇数，故实际可采用的函数值表步长
h =
4-(-4) N -1
=
81216
≈0. 006579
8、f (x ) =x 7+x 4+3x +1，求f [20, 21, , 27]及f [20, 21, , 28]。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：
f [x 0, x 1, , x n ]=
f
(n )
(ξ)
n !
, ξ∈[a , b ]
所以有：f [2, 2, , 2]=
1
7
f
(7)
(ξ)
7! f
(8)
=
7! 7!
=1
f [2, 2, , 2]=
018
(ξ)
8!
=
08!
=0
15、证明两点三次Hermite 插值余项是
R 3(x ) =f
(4)
(ξ)(x -x k ) (x -x k +1) /4! , ξ∈(x k , x k +1)
22
并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。 证明：利用[xk ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件
H 3(x k ) =f (x k ), H 3(x k +1) =f (x k +1) H 3(x k ) =f '(x k ), H 3(x k +1) =f '(x k +1) '
'
知R 3(x ) =f (x ) -H 3(x ) 有二重零点x k 和k+1。设
R 3(x ) =k (x )(x -x k ) (x -x k +1)
2
2
确定函数k(x):
当x =x k 或x k+1时k(x)取任何有限值均可；
当x ≠x k , x k +1时，x ∈(x k , x k +1) ，构造关于变量t 的函数
g (t ) =f (t ) -H 3(t ) -k (x )(x -x k ) (x -x k +1)
2
2
显然有
g (x k ) =0, g (x ) =0, g (x k +1) =0g '(x k ) =0, g '(x k +1) =0
在[xk ,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在η1∈(x k , x ) 及η2∈(x , x k +1) 使得
g '(η1) =0, g '(η2) =0
在(x k , η1) ，(η1, η2) ，(η2, x k +1) 上对g '(x ) 使用Rolle 定理，存在ηk 1∈(x k , η1) ，
ηk 2∈(η1, η2) 和ηk 3∈(η2, x k +1) 使得
g ''(ηk 1) =g ''(ηk 2) =g ''(ηk 3) =0
再依次对g ''(t ) 和g '''(t ) 使用Rolle 定理，知至少存在ξ∈(x k , x k +1) 使得
g
(4)
(ξ) =0
而g (4) (t ) =f
(4)
(t ) -k
(4)
(t ) 4! ，将ξ
k (t ) =
1
代入，得到
f
(4)
4!
(ξ), ξ∈(x k , x k +1)
推导过程表明ξ依赖于x k , x k +1及x 综合以上过程有：R 3(x ) =f 确定误差限：
记I h (x ) 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。
x k =a +kh , (k =0, 1 , n ), h =
b -a n
(4)
(ξ)(x -x k ) (x -x k +1) /4!
2
2
1
在区间[xk ，x k+1]上有
f (x ) -I h (x ) =f
(4)
(ξ)(x -x k ) (x -x k +1) /4! ≤
22
4! a ≤x ≤b
max f
(4)
(x ) max (x -x k ) (x -x k +1)
x k ≤x ≤x l +1
22
而最值
x k ≤x ≤x l +1
max (x -x k ) (x -x k +1)
22
=max s (s -1) h
0≤s ≤1
224
=
116
h , (x =x k +sh )
4
进而得误差估计：
f (x ) -I h (x ) ≤
1384
h max f
a ≤x ≤b
4(4)
(x )
16、求一个次数不高于4次的多项式p (x ) ，使它满足p (0) =p '(0) =0，
p (1) =p '(1) =0，p (2) =1。
解：满足
'(0) =0H 3(0) =H 3
,
'(1) =1H 3(1) =H 3
的Hermite 插值多项式为
(x 0=0, x 1=1)
1
H 3(x ) =
∑[H
j =0
3
'(x j ) βj (x )](x j ) a j (x ) +H 3
2
2
x -1⎤⎡x -0⎤⎡⎡x -0⎤
=⎢1-2+(x -1) ⎢⎥⎢1-0⎥1-0⎥⎣⎦⎣1-0⎦⎣⎦=2x -x
2
3
设P (x ) =H 3(x ) +Ax 2(x -1) 2，令P (2) =1得A 于是
P (x ) =2x -x +
2
3
=
14
14
14
x (x -1)
22
=x (x -3)
22
第3章 曲线拟合的最小二乘法
解：经描图发现t 和s 近似服从线性规律。故做线性模型s =a +bt , Φ=span {1, t }，计算离散内积有：
(1, 1)=∑1
j =05
5
2
=6，(1, t )=
5
∑t
j =0
j
=0+0. 9+1. 9+3. 0+3. 9+5. 0=14. 7
(t , t )=∑t 2j
j =05
=0+0. 9+1. 9+3. 0+3. 9+5. 0=53. 63
222222
(1, s )=∑s j
j =05
=0+10+30+50+80+110=280
(t , s )=∑t j s j
j =0
=0⨯0+0. 9⨯10+1. 9⨯30+3. 0⨯50+3. 9⨯80+5. 0⨯110=1078
求解方程组得：
⎛6 14. 7⎝
14. 7⎫⎛a ⎫⎛280⎫
⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪53. 63⎭⎝b ⎭⎝1078⎭
a =-7. 855048，b =22. 253761
运动方程为：s =-7. 855048+22. 253761t
2
平方误差：δ=
∑[s
j =0
5
j
-s (t j )
]
2
≈2. 1⨯10
2
用最小二乘法求形如y =a +bx 2的经验公式，并计算均方差。
2
1, x }，计算离散内积有： 解： Φ=span {
(1, 1)=∑1
j =0
4
2
=5，1, x
4
(
2
)=∑x
j =04
4
2
j
=19+25+31+38+44
22222
=5327
(x
2
, x
2
)=∑x
j =04
4j
=19+25+31+38+44
4444
=7277699
(1, y )=∑
j =0
4
y j =19. 0+32. 3+49. 0+73. 3+97. 8=271. 4
(x
2
, y =
)∑x
j =0
2j
y j =19⨯19. 0+25⨯32. 3+31⨯49. 0+38⨯73. 3+44⨯97. 8=369321. 5
22222
求解方程组得：
⎛5 5327⎝
⎫⎛a ⎫⎛271. 4⎫⎪ b ⎪⎪= 369321. 5⎪⎪ 7277699⎪⎭⎝⎭⎝⎭5327
a ≈0. 972579，b =0. 05035
所求公式为：y =0. 972579+0. 05035x
1
4⎧⎪
均方误差：δ=⎨∑y (x j ) -y j
⎪⎩j =0
2
2
[]
2
⎫⎪
⎬≈0. 1226 ⎪⎭
第4章 数值积分与数值微分
1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精
度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
（1）⎰
h -h
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h ) ；
（2）⎰
2h -2h 1
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h ) ；
（3）⎰f (x ) dx ≈[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3；
-1h
（4）⎰f (x ) dx ≈h [f (0)+f (h )]/2+ah 2[f '(0)-f '(h )]。
解：（1）⎰
h -h
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h ) ；
将f (x ) =1, x , x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得
h ⎧
A -1+A 0+A 1=⎰1dx =2h ⎪-h
⎪h ⎪
⎨-hA -1+0⋅A 0+hA 1=⎰-h xdx =0
⎪
⎪h 2A +A ⋅0+h 2A =h x 2dx =2h 3
-101⎰-h ⎪3⎩
解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于
故⎰ （2）⎰
2h -2h h -h
f (x ) dx ≈
h 3
f (-h ) +
4h 3
f (0)+
h 3
f (h ) 具有3次代数精确度。
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h )
2
f (x ) =1, x , x
分别代入公式两端并令其左右相等，得
⎧2h
⎪A -1+A 0+A 1=⎰1dx =4h
-2h ⎪
2h ⎪
-hA +0⋅A +hA = ⎨-101⎰-2h xdx =0
⎪2h
2h ⎪163⎡13⎤222
(-h ) A +A ⋅0+h A =x dx =x =h -101⎪⎰-2h ⎢3⎥3⎣⎦-2h ⎩
解得：A -1=A 1=
8h 3
, A 0=-
4h 3
令f (x ) =x ，得⎰
3
2h -2h
x dx =0=
3
8h 3
2h
(-h ) +
3
8h 3
⋅h =0
3
令
55
⎡x 5⎤64h 8h 8h 416h 444
=≠(-h ) +⋅h =f (x ) =x ，得⎰x dx =⎢⎥
-2h 55333⎣⎦-2h
2h
故求积分公式具有3次精确度。
（3）⎰f (x ) dx ≈[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3
-11
当f (x ) =1时，易知有
⎰
1-1
f (x ) dx ≈[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3
令求积分公式对f (x ) =x , x 2准确成立，即
⎰⎰
1-11-1
xdx =0=-1+2x 1+3x 2x dx =
2
23
(-1+2x =
2
1
+3x 2
2
)
3
⎧x 1=-0.2898979⎧x 1=0.6898979
则解得⎨或⎨
x =0.5265986x =-0.1265986⎩2⎩2
将f (x ) =x 3代入已确定的积分公式，则
⎰
1-1
f (x ) dx ≠[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3
故所求积分式具有2次代数精确度。
（4）⎰f (x ) dx ≈h [f (0)+f (h )]/2+ah 2[f '(0)-f '(h )]
0h
当f (x ) =1, x 时，有
⎰
h
0h
1dx ≈h [1+1]/2+ah [0-0] xdx ≈h [0+h ]/2+ah [1-1]
2
2
⎰
故令f (x ) =x 2时求积公式准确成立，即
⎰
h
x dx ≈h [0+h ]/2+ah [0-2h ]
112
222
解得a =。
将f (x ) =x 3, x 4代入上述确定的求积分公式，有
⎰⎰
h 0
⎡x 4⎤12332
x dx =⎢⎥=h [0+h ]/2+h [0-3h ]
12⎣4⎦0⎡x 5⎤12444
x dx =⎢⎥≠h [0+h ]/2+h [0-4h ]
12⎣5⎦0
h
h
h 0
故所求积公式具有3次代数精确度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： （1）⎰
10
x 4+x
2
, n =8;
（2
）⎰
9
1
, n =4; θ, n =6
（3
）⎰
π6
解（1）复化梯形公式，h =
18
7
h ⎡⎤
T 8=⎢f (0)+2∑f (x k ) +f (1)⎥=0.1114024
2⎣k =1⎦
复化辛普森公式，h =
18
77
⎤h ⎡
S 8=⎢f (0)+4∑f (x 1) +4∑f (x k ) +f (1)⎥=0.1115718
k +6⎣k =0k =12⎦3
h ⎡⎤
（2）h =2，T 4=⎢f (1)+2∑f (x k ) +f (9)⎥=17.3060005
2⎣k =1⎦
33
⎤h ⎡
S 4=⎢f (1)+4∑f (x 1) +4∑f (x k ) +f (9)⎥=16.7237505
k +6⎣k =0k =12⎦5h ⎡π⎤
（3）h =，T 6=⎢f (0)+2∑f (x k ) +f () ⎥=1.0356841
362⎣6⎦k =1
π
55
h ⎡π⎤
S 6=⎢f (0)+4∑f (x 1) +4∑f (x k ) +f () ⎥=1.0357639
k +6⎣6⎦k =0k =12
5、推导下列三种矩形求积公式：
⎰⎰⎰
b a b a b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) +f (x ) dx =(b -a ) f (a ) -f (x ) dx =(b -a ) f (
a +b 2
f '(η) 2
f '(η) 2) +
(b -a ) (b -a )
2
； ；
3
2
f ''(η) 24
(b -a )
。
解：（1）左矩形公式，将f(x)在a 处展开，得
f (x ) =f (a ) +f '(ξ)(x -a ), ξ∈(a , x )
两边在[a,b]上积分，得
⎰
b a
f (x ) dx =
⎰
b a
f (a ) dx +
⎰
b a
f '(ξ)(x -a ) dx
=(b -a ) f (a ) +
⎰
b a
f '(ξ)(x -a ) dx
由于x-a 在[a,b]上不变号，故由积分第二中值定理，有η∈(a , b )
⎰
⎰⎰
b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) +f '(η) ⎰(x -a ) dx
a
b
从而有
b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) +
1212
2
f '(η)(b -a ) , η∈(a , b )
（2）右矩形公式，同（1），将f （x ）在b 点处展开并积分，得
b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) -
2
f '(η)(b -a ) , η∈(a , b )
（3）中矩形分式，将f (x ) 在
f (x ) =f (
a +b 2
) +f '(
a +b 2
)(x -
a +b 2a +b 2
处展开，得
) +f ''(ξ)(x -
a +b 21
) , ξ∈(a , b )
2
a +b 2
两边积分并用积分中值定理，得
⎰
b a
f (x ) =f (
a +b 2
)(b -a ) +f '(
a +b 2
) ⎰(x -
a
b
a +b 2
) dx +
⎰2
b a
f ''(ξ)(x -) dx
2
=f (
a +b 2a +b 2
)(b -a ) +f ''(η) ⎰(x -
a
b
a +b 2
2
) dx
=f ()(b -a ) +
124
3
f ''(η)(b -a ) , η∈(a , b )
6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I =应分多少等份才能使截断误差不超过⨯10-5。
21
⎰
10
问区间[0,1]e dx ，
x
解：由于f (x ) =e x =f ''(x ) =f (4) (x ), b -a =1 由复合梯形公式的余项有：
R n [f
]
1⎛1⎫1-5
=-h f ''(ξ) ≤e ≤⨯10 ⎪
1212⎝n ⎭2
2
b -a
2
解得n ≥212.85可取n =213
由辛普森公公式的余项有：
R n [f ]
=
b -a 2880
h
4
f
(4)
(ξ) ≤
141-5() ≤⨯10 2880n 2
1
解得n ≥3.707可取n =4
8、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10-5 （1
（2）⎰
2π
10
e dx ；
x
03
x sin xdx ；
（3
）⎰。
n -1
⎧h ⎡⎤T =f (x ) +f (x ) +2f (x ) , k =0∑0n i ⎥⎪n ⎢
2⎣⎪i =1⎦
=⎨
k (k -1) (k -1) 4T 2n -T n ⎪
, k =1, 2, 3, k -1⎪⎩4
解：（1）T k (k )
18、用三点公式求f (x ) =1(1+x )
2
在x =1.0,1.1,1.2处的导数值，并估计误差。的
f '(x 0) =
12h 12h 12h
[-3f (x 0) +4f (x 1) -[-f (x 0) +
f (x 1) ]-
h
2
f (x 2) ]+
h
2
3
f '''(ε0)
f '(x 1) =
6
f '''(ε1)
2
f '(x 2) =
[f (x 0) -4f (x 1) +3f (x 2) ]+
h
3
f '''(ε2)
εi ∈(x 0, x 2), i =0,1, 2
取表中x =1.0,1.1,1.2，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。 由于f '''(εi ) ≤m ax f '''(x ) =m ax
1.0≤x ≤1.2
4!
1.0≤x ≤1.2
(1+x )
5
=
4! 2
5
=0.75
数值积分法, 令ϕ(x ) =f '(x ) ，由
f (x k +1) =f (x k ) +
⎰
x k +1x k
ϕ(x ) dx
对积分采用梯形公式，得
f (x k +1) =f (x k ) +
x k +1-x k
2
[ϕ(x k ) +ϕ(x k +1) ]-
(x k +1-x k )
12
3
ϕ''(ηk ), ηk ∈(x k , x k +1)
令k=0,1,得
ϕ(x 0) +ϕ(x 1) ≈ϕ(x 1) +ϕ(x 2) ≈
2h 2h
[f (x 1) -[f (x 2) -
f (x 0) ] f (x 1) ]
同样对
f (x k +1) =f (x k -1) +
⎰
x k +1x k -1
ϕ(x ) dx
有
f (x k +1) =f (x k -1) +
x k +1-x k -1
2
[ϕ(x k -1) +ϕ(x k +1) ]-
(x k +1-x k -1)
12
3
ϕ''(ηk ), ηk ∈(x k -1, x k +1)
从而有
ϕ(x 0) +ϕ(x 2) ≈
1h
[f (x 2) -f (x 0) ]
代入数值，解方程，即得ϕ(x k ), k =0,1, 2如下
第5章 解线性方程的直接方法
7、用列主元消去法解线性方程组
⎧12x 1-3x 2+3x 3=15⎪
⎨-18x 1+3x 2-x 3=-15 ⎪x 1+x 2+x 3=6⎩
并求出系数矩阵A 的行列式的值。
⎡
⎢
15⎤⎢-18
⎥⎢-15⎥ ⎢06⎥⎢⎦⎢
⎢0⎣
3-176
-1731718
⎤
⎡⎥
⎢-18-15⎥
⎢⎥
5⎥ ⎢0
⎢⎥
⎢
31⎥⎢0
⎥6⎦⎣
3760
-11718227
⎤-15⎥
⎥31⎥6⎥⎥66
⎥7⎦
[A
⎡12⎢
b ]=⎢-18
⎢1⎣
-331
3-11
A =-18⨯
76
⨯
227
=-66
x 3=3, x 2=2, x 1=1
8、用直接三角分解求线性方程组的解。
11⎧1x +x +⎪41526x 3=9⎪
11⎪1x +x +x 3=8 ⎨12
45⎪3
⎪1
x 1+x 2+2x 3=8⎪⎩2
解：由公式u 1i =a 1i (i =1, 2, , n ), l i 1=a i 1/u 11, i =2, 3, , n
r -1
u ri =a ri -∑l rk u ki , i =r , r +1, , n ;
k =1r -1
l ir =(a ir -∑l ik u kr ) /u rr , i =r +1, , n ; r ≠n
k =1
知
⎡1⎢4
A =LU =⎢
⎢3⎢2⎣
01-36
⎡10⎤⎢4⎥⎢0⎥⎢0⎥⎢⎢1⎥⎦⎢0⎢⎣
15-1600
1⎤
6⎥⎥1⎥- 45⎥⎥13
⎥15⎥⎦
⎡1
⎢4
b =LY =⎢
⎢3⎢2⎣
01-36
0⎤
⎡9⎤⎥
⎢⎥
0⎥Y =8
⎢⎥⎥
⎢⎣8⎥⎦1⎥⎦
⎡9⎤
⎢⎥Y =-4 ⎢⎥
⎢⎣-154⎥⎦
⎡1⎢4⎢
U X =⎢0
⎢⎢⎢0⎢⎣
15-1600
1⎤
6⎥
⎡9⎤⎥
1⎥⎢⎥-X =Y ==-4 ⎢⎥45⎥
⎢⎥⎣-154⎥⎦13
⎥⎥15⎦
x 1=-227.08, x 2=476.92, x 3=-177.69
12、设A =
⎛0.6⎝0.1
0.5⎫
⎪, 计算0.3⎭
n
A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。
解：A
∞
=
m ax ∑
1≤i ≤n n
a ij =1.1
j =1
A
1
=
m ax ∑
1≤j ≤n
i =1
a ij =0.8
2
A
F
⎛n ⎫2
= ∑a ij ⎪=⎝i , j =1⎭
0.1⎤⎡0.6
⎥⎢0.3⎦⎣0.1
=0.8426150
0.5⎤⎡0.37
⎥=⎢
0.3⎦⎣0.33
0.33⎤
⎥ 0.34⎦
⎡0.6T
A A =⎢
⎣0.5
T
λm ax (A A ) =0.6853407
13、求证：（1）x
∞
≤x
1
≤n x
∞
；（2
F
≤A
2
≤A
F
证明：（1）由定义知
n
n
∞
x
∞
=
m ax
1≤i ≤n
x i ≤
∑
i =1
x i =x
1
≤
∑m ax
i =1
1≤i ≤n
x i =∑x
i =1
∞
=n x
∞
x
∞
≤x
≤n x
∞
（2）由范数定义，有
A
22
=λmax (A A ) ≤λ1(A A ) +λ2(A A ) + +λn (A A )
n
n
2
i 1
n
2i 2
n
2in
n
2ij
T T T T
A
22
=
∑a
i =1
+
∑a
i =1
+ +
∑a
i =1
=
∑∑a
j =1i =1
=A
2F
A
22
=λm ax(A T A ) ≥
1
⎡+λ1(A T A )+λ2(A T A )+ +λN n ⎣
=(A A )⎤⎦
T
1n
A
2F
故
F
≤A
2
≤A
F
第6章 解线性方程的迭代法
1、设线性方程组
⎧5x 1+2x 2+x 3=-12
⎪
⎨-x 1+4x 2+2x 3=20 ⎪2x -3x +10x =6
23⎩1
（1） 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性；
（2） 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组，要求当
x
(k +1)
-x
(k )
∞
-4
时迭代终止。
解：（1）因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比迭代法与高斯-塞德迭代法均收敛。
（2）雅可比迭代法格式为
2(k ) 1(k ) 12⎧(k +1)
x =-x 2-x 3-⎪1
555
⎪
1(k ) 1(k ) ⎪(k +1)
x =x 1-x 3+5 ⎨2
42⎪
1(k ) 3(k ) 3⎪(k +1)
x =-x +x +12⎪3
51010⎩
取x (0) =(1,1,1)T ，迭代到17次达到精度要求
x
(0)
=(-4.0000186, 2.9999915, 2.0000012)
T
高斯-塞德迭代格式为
2(k ) 1(k ) 12⎧(k +1)
x =-x 2-x 3-⎪1
555
⎪
1(k ) 1(k ) ⎪(k +1)
=x 1-x 3+5 ⎨x 2
42⎪
1(k ) 3(k ) 3⎪(k +1)
x =-x +x +12⎪3
51010⎩
取x (0) =(1,1,1)T ，迭代到8次达到精度要求
x
(0)
=(-4.0000186, 2.9999915, 2.0000012)
T
第七章
第八章
第九章
第2章 插值法
1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底
2
设多项式为:P (x ) =a 0+a 1x +a 2x ，
x 0x 1x 2x 0x 1x 2
x 0x 1
x 0
222
1-12
11=-6 4
222
所以：A =x 1=x 2x 0x 1
222
f (x 0) a 0=f (x 1)
f (x 2) a 1=x 0x 1x 2x 0x 1x 2x 0x 1x 2
x 0
x 0
01-12
114
1-12
11=4
x 1=-3x 2
222
14-6
=-
73
x 2
222
4
f (x 0) f (x 1) f (x 2) x 0x 1x 2
0-34
114
1-12
11=4
x 1=x 2
-9-6
=
32
x 2
a 2=f (x 0) f (x 1) f (x 2)
x 0x
2
=1-1273
0-3432
56
1-12
11=4
212
-5-6
=
56
x 2
所以f(x)的二次插值多项式为：P (x ) =-（2）用Lagrange 插值基底
l 0(x ) =
(x -x 1)(x -x 2) (x 0-x 1)(x 0-x 2) (x -x 0)(x -x 2) (x 1-x 0)(x 1-x 2) (x -x 0)(x -x 1) (x 2-x 0)(x 2-x 1)
=
(x +1)(x -2) (1+1)(1-2) (x -1)(x -2) (-1-1)(-1-2) (x -1)(x +1) (2-1)(2+1)
+x +
x
2
l 1(x ) =
=
l 2(x ) =
=
Lagrange 插值多项式为：
L 2(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) =0+(-3) ⨯=56x +
2
16
(x -1)(x -2) +4⨯73
13
(x -1)(x +1)
32
x -
所以f(x)的二次插值多项式为：L 2(x ) =-(3) 用Newton 基底: 均差表如下：
73
+
32
x +
56
x
2
Newton N 2(x ) =f (x 0) +f [x 0, x 1](x -x 0) +f [x 0, x 1, x 2](x -x 0)(x -x 1) =0+=56
32
2
(x -1) +32x -
73
56
(x -1)(x +1)
x +
所以f(x)的二次插值多项式为：N 2(x ) =-
73
+
32
x +
56
x
2
由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
x
6、在-4≤x ≤4上给出f (x ) =e 的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似
值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有
R 2(x ) =
13!
f '''(ξ)(x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1), ξ∈(x i -1, x i +1)
式中x i -1=x -h , x i +1=x +h .
R 2(x ) =
16e
4
max
x i -1≤x ≤x i +1
(x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1) ≤
16
e
4
213
3
h =
3
e
4
93
h
3
令
e
4
93
h ≤10
3-6
得h ≤0. 00658
插值点个数
1+
4-(-4) N -1
=1216. 8≤1217
是奇数，故实际可采用的函数值表步长
h =
4-(-4) N -1
=
81216
≈0. 006579
8、f (x ) =x 7+x 4+3x +1，求f [20, 21, , 27]及f [20, 21, , 28]。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：
f [x 0, x 1, , x n ]=
f
(n )
(ξ)
n !
, ξ∈[a , b ]
所以有：f [2, 2, , 2]=
1
7
f
(7)
(ξ)
7! f
(8)
=
7! 7!
=1
f [2, 2, , 2]=
018
(ξ)
8!
=
08!
=0
15、证明两点三次Hermite 插值余项是
R 3(x ) =f
(4)
(ξ)(x -x k ) (x -x k +1) /4! , ξ∈(x k , x k +1)
22
并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。 证明：利用[xk ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件
H 3(x k ) =f (x k ), H 3(x k +1) =f (x k +1) H 3(x k ) =f '(x k ), H 3(x k +1) =f '(x k +1) '
'
知R 3(x ) =f (x ) -H 3(x ) 有二重零点x k 和k+1。设
R 3(x ) =k (x )(x -x k ) (x -x k +1)
2
2
确定函数k(x):
当x =x k 或x k+1时k(x)取任何有限值均可；
当x ≠x k , x k +1时，x ∈(x k , x k +1) ，构造关于变量t 的函数
g (t ) =f (t ) -H 3(t ) -k (x )(x -x k ) (x -x k +1)
2
2
显然有
g (x k ) =0, g (x ) =0, g (x k +1) =0g '(x k ) =0, g '(x k +1) =0
在[xk ,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在η1∈(x k , x ) 及η2∈(x , x k +1) 使得
g '(η1) =0, g '(η2) =0
在(x k , η1) ，(η1, η2) ，(η2, x k +1) 上对g '(x ) 使用Rolle 定理，存在ηk 1∈(x k , η1) ，
ηk 2∈(η1, η2) 和ηk 3∈(η2, x k +1) 使得
g ''(ηk 1) =g ''(ηk 2) =g ''(ηk 3) =0
再依次对g ''(t ) 和g '''(t ) 使用Rolle 定理，知至少存在ξ∈(x k , x k +1) 使得
g
(4)
(ξ) =0
而g (4) (t ) =f
(4)
(t ) -k
(4)
(t ) 4! ，将ξ
k (t ) =
1
代入，得到
f
(4)
4!
(ξ), ξ∈(x k , x k +1)
推导过程表明ξ依赖于x k , x k +1及x 综合以上过程有：R 3(x ) =f 确定误差限：
记I h (x ) 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。
x k =a +kh , (k =0, 1 , n ), h =
b -a n
(4)
(ξ)(x -x k ) (x -x k +1) /4!
2
2
1
在区间[xk ，x k+1]上有
f (x ) -I h (x ) =f
(4)
(ξ)(x -x k ) (x -x k +1) /4! ≤
22
4! a ≤x ≤b
max f
(4)
(x ) max (x -x k ) (x -x k +1)
x k ≤x ≤x l +1
22
而最值
x k ≤x ≤x l +1
max (x -x k ) (x -x k +1)
22
=max s (s -1) h
0≤s ≤1
224
=
116
h , (x =x k +sh )
4
进而得误差估计：
f (x ) -I h (x ) ≤
1384
h max f
a ≤x ≤b
4(4)
(x )
16、求一个次数不高于4次的多项式p (x ) ，使它满足p (0) =p '(0) =0，
p (1) =p '(1) =0，p (2) =1。
解：满足
'(0) =0H 3(0) =H 3
,
'(1) =1H 3(1) =H 3
的Hermite 插值多项式为
(x 0=0, x 1=1)
1
H 3(x ) =
∑[H
j =0
3
'(x j ) βj (x )](x j ) a j (x ) +H 3
2
2
x -1⎤⎡x -0⎤⎡⎡x -0⎤
=⎢1-2+(x -1) ⎢⎥⎢1-0⎥1-0⎥⎣⎦⎣1-0⎦⎣⎦=2x -x
2
3
设P (x ) =H 3(x ) +Ax 2(x -1) 2，令P (2) =1得A 于是
P (x ) =2x -x +
2
3
=
14
14
14
x (x -1)
22
=x (x -3)
22
第3章 曲线拟合的最小二乘法
解：经描图发现t 和s 近似服从线性规律。故做线性模型s =a +bt , Φ=span {1, t }，计算离散内积有：
(1, 1)=∑1
j =05
5
2
=6，(1, t )=
5
∑t
j =0
j
=0+0. 9+1. 9+3. 0+3. 9+5. 0=14. 7
(t , t )=∑t 2j
j =05
=0+0. 9+1. 9+3. 0+3. 9+5. 0=53. 63
222222
(1, s )=∑s j
j =05
=0+10+30+50+80+110=280
(t , s )=∑t j s j
j =0
=0⨯0+0. 9⨯10+1. 9⨯30+3. 0⨯50+3. 9⨯80+5. 0⨯110=1078
求解方程组得：
⎛6 14. 7⎝
14. 7⎫⎛a ⎫⎛280⎫
⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪53. 63⎭⎝b ⎭⎝1078⎭
a =-7. 855048，b =22. 253761
运动方程为：s =-7. 855048+22. 253761t
2
平方误差：δ=
∑[s
j =0
5
j
-s (t j )
]
2
≈2. 1⨯10
2
用最小二乘法求形如y =a +bx 2的经验公式，并计算均方差。
2
1, x }，计算离散内积有： 解： Φ=span {
(1, 1)=∑1
j =0
4
2
=5，1, x
4
(
2
)=∑x
j =04
4
2
j
=19+25+31+38+44
22222
=5327
(x
2
, x
2
)=∑x
j =04
4j
=19+25+31+38+44
4444
=7277699
(1, y )=∑
j =0
4
y j =19. 0+32. 3+49. 0+73. 3+97. 8=271. 4
(x
2
, y =
)∑x
j =0
2j
y j =19⨯19. 0+25⨯32. 3+31⨯49. 0+38⨯73. 3+44⨯97. 8=369321. 5
22222
求解方程组得：
⎛5 5327⎝
⎫⎛a ⎫⎛271. 4⎫⎪ b ⎪⎪= 369321. 5⎪⎪ 7277699⎪⎭⎝⎭⎝⎭5327
a ≈0. 972579，b =0. 05035
所求公式为：y =0. 972579+0. 05035x
1
4⎧⎪
均方误差：δ=⎨∑y (x j ) -y j
⎪⎩j =0
2
2
[]
2
⎫⎪
⎬≈0. 1226 ⎪⎭
第4章 数值积分与数值微分
1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精
度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
（1）⎰
h -h
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h ) ；
（2）⎰
2h -2h 1
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h ) ；
（3）⎰f (x ) dx ≈[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3；
-1h
（4）⎰f (x ) dx ≈h [f (0)+f (h )]/2+ah 2[f '(0)-f '(h )]。
解：（1）⎰
h -h
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h ) ；
将f (x ) =1, x , x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得
h ⎧
A -1+A 0+A 1=⎰1dx =2h ⎪-h
⎪h ⎪
⎨-hA -1+0⋅A 0+hA 1=⎰-h xdx =0
⎪
⎪h 2A +A ⋅0+h 2A =h x 2dx =2h 3
-101⎰-h ⎪3⎩
解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于
故⎰ （2）⎰
2h -2h h -h
f (x ) dx ≈
h 3
f (-h ) +
4h 3
f (0)+
h 3
f (h ) 具有3次代数精确度。
f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h )
2
f (x ) =1, x , x
分别代入公式两端并令其左右相等，得
⎧2h
⎪A -1+A 0+A 1=⎰1dx =4h
-2h ⎪
2h ⎪
-hA +0⋅A +hA = ⎨-101⎰-2h xdx =0
⎪2h
2h ⎪163⎡13⎤222
(-h ) A +A ⋅0+h A =x dx =x =h -101⎪⎰-2h ⎢3⎥3⎣⎦-2h ⎩
解得：A -1=A 1=
8h 3
, A 0=-
4h 3
令f (x ) =x ，得⎰
3
2h -2h
x dx =0=
3
8h 3
2h
(-h ) +
3
8h 3
⋅h =0
3
令
55
⎡x 5⎤64h 8h 8h 416h 444
=≠(-h ) +⋅h =f (x ) =x ，得⎰x dx =⎢⎥
-2h 55333⎣⎦-2h
2h
故求积分公式具有3次精确度。
（3）⎰f (x ) dx ≈[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3
-11
当f (x ) =1时，易知有
⎰
1-1
f (x ) dx ≈[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3
令求积分公式对f (x ) =x , x 2准确成立，即
⎰⎰
1-11-1
xdx =0=-1+2x 1+3x 2x dx =
2
23
(-1+2x =
2
1
+3x 2
2
)
3
⎧x 1=-0.2898979⎧x 1=0.6898979
则解得⎨或⎨
x =0.5265986x =-0.1265986⎩2⎩2
将f (x ) =x 3代入已确定的积分公式，则
⎰
1-1
f (x ) dx ≠[f (-1) +2f (x 1) +3f (x 2)]/3
故所求积分式具有2次代数精确度。
（4）⎰f (x ) dx ≈h [f (0)+f (h )]/2+ah 2[f '(0)-f '(h )]
0h
当f (x ) =1, x 时，有
⎰
h
0h
1dx ≈h [1+1]/2+ah [0-0] xdx ≈h [0+h ]/2+ah [1-1]
2
2
⎰
故令f (x ) =x 2时求积公式准确成立，即
⎰
h
x dx ≈h [0+h ]/2+ah [0-2h ]
112
222
解得a =。
将f (x ) =x 3, x 4代入上述确定的求积分公式，有
⎰⎰
h 0
⎡x 4⎤12332
x dx =⎢⎥=h [0+h ]/2+h [0-3h ]
12⎣4⎦0⎡x 5⎤12444
x dx =⎢⎥≠h [0+h ]/2+h [0-4h ]
12⎣5⎦0
h
h
h 0
故所求积公式具有3次代数精确度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： （1）⎰
10
x 4+x
2
, n =8;
（2
）⎰
9
1
, n =4; θ, n =6
（3
）⎰
π6
解（1）复化梯形公式，h =
18
7
h ⎡⎤
T 8=⎢f (0)+2∑f (x k ) +f (1)⎥=0.1114024
2⎣k =1⎦
复化辛普森公式，h =
18
77
⎤h ⎡
S 8=⎢f (0)+4∑f (x 1) +4∑f (x k ) +f (1)⎥=0.1115718
k +6⎣k =0k =12⎦3
h ⎡⎤
（2）h =2，T 4=⎢f (1)+2∑f (x k ) +f (9)⎥=17.3060005
2⎣k =1⎦
33
⎤h ⎡
S 4=⎢f (1)+4∑f (x 1) +4∑f (x k ) +f (9)⎥=16.7237505
k +6⎣k =0k =12⎦5h ⎡π⎤
（3）h =，T 6=⎢f (0)+2∑f (x k ) +f () ⎥=1.0356841
362⎣6⎦k =1
π
55
h ⎡π⎤
S 6=⎢f (0)+4∑f (x 1) +4∑f (x k ) +f () ⎥=1.0357639
k +6⎣6⎦k =0k =12
5、推导下列三种矩形求积公式：
⎰⎰⎰
b a b a b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) +f (x ) dx =(b -a ) f (a ) -f (x ) dx =(b -a ) f (
a +b 2
f '(η) 2
f '(η) 2) +
(b -a ) (b -a )
2
； ；
3
2
f ''(η) 24
(b -a )
。
解：（1）左矩形公式，将f(x)在a 处展开，得
f (x ) =f (a ) +f '(ξ)(x -a ), ξ∈(a , x )
两边在[a,b]上积分，得
⎰
b a
f (x ) dx =
⎰
b a
f (a ) dx +
⎰
b a
f '(ξ)(x -a ) dx
=(b -a ) f (a ) +
⎰
b a
f '(ξ)(x -a ) dx
由于x-a 在[a,b]上不变号，故由积分第二中值定理，有η∈(a , b )
⎰
⎰⎰
b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) +f '(η) ⎰(x -a ) dx
a
b
从而有
b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) +
1212
2
f '(η)(b -a ) , η∈(a , b )
（2）右矩形公式，同（1），将f （x ）在b 点处展开并积分，得
b a
f (x ) dx =(b -a ) f (a ) -
2
f '(η)(b -a ) , η∈(a , b )
（3）中矩形分式，将f (x ) 在
f (x ) =f (
a +b 2
) +f '(
a +b 2
)(x -
a +b 2a +b 2
处展开，得
) +f ''(ξ)(x -
a +b 21
) , ξ∈(a , b )
2
a +b 2
两边积分并用积分中值定理，得
⎰
b a
f (x ) =f (
a +b 2
)(b -a ) +f '(
a +b 2
) ⎰(x -
a
b
a +b 2
) dx +
⎰2
b a
f ''(ξ)(x -) dx
2
=f (
a +b 2a +b 2
)(b -a ) +f ''(η) ⎰(x -
a
b
a +b 2
2
) dx
=f ()(b -a ) +
124
3
f ''(η)(b -a ) , η∈(a , b )
6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I =应分多少等份才能使截断误差不超过⨯10-5。
21
⎰
10
问区间[0,1]e dx ，
x
解：由于f (x ) =e x =f ''(x ) =f (4) (x ), b -a =1 由复合梯形公式的余项有：
R n [f
]
1⎛1⎫1-5
=-h f ''(ξ) ≤e ≤⨯10 ⎪
1212⎝n ⎭2
2
b -a
2
解得n ≥212.85可取n =213
由辛普森公公式的余项有：
R n [f ]
=
b -a 2880
h
4
f
(4)
(ξ) ≤
141-5() ≤⨯10 2880n 2
1
解得n ≥3.707可取n =4
8、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10-5 （1
（2）⎰
2π
10
e dx ；
x
03
x sin xdx ；
（3
）⎰。
n -1
⎧h ⎡⎤T =f (x ) +f (x ) +2f (x ) , k =0∑0n i ⎥⎪n ⎢
2⎣⎪i =1⎦
=⎨
k (k -1) (k -1) 4T 2n -T n ⎪
, k =1, 2, 3, k -1⎪⎩4
解：（1）T k (k )
18、用三点公式求f (x ) =1(1+x )
2
在x =1.0,1.1,1.2处的导数值，并估计误差。的
f '(x 0) =
12h 12h 12h
[-3f (x 0) +4f (x 1) -[-f (x 0) +
f (x 1) ]-
h
2
f (x 2) ]+
h
2
3
f '''(ε0)
f '(x 1) =
6
f '''(ε1)
2
f '(x 2) =
[f (x 0) -4f (x 1) +3f (x 2) ]+
h
3
f '''(ε2)
εi ∈(x 0, x 2), i =0,1, 2
取表中x =1.0,1.1,1.2，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。 由于f '''(εi ) ≤m ax f '''(x ) =m ax
1.0≤x ≤1.2
4!
1.0≤x ≤1.2
(1+x )
5
=
4! 2
5
=0.75
数值积分法, 令ϕ(x ) =f '(x ) ，由
f (x k +1) =f (x k ) +
⎰
x k +1x k
ϕ(x ) dx
对积分采用梯形公式，得
f (x k +1) =f (x k ) +
x k +1-x k
2
[ϕ(x k ) +ϕ(x k +1) ]-
(x k +1-x k )
12
3
ϕ''(ηk ), ηk ∈(x k , x k +1)
令k=0,1,得
ϕ(x 0) +ϕ(x 1) ≈ϕ(x 1) +ϕ(x 2) ≈
2h 2h
[f (x 1) -[f (x 2) -
f (x 0) ] f (x 1) ]
同样对
f (x k +1) =f (x k -1) +
⎰
x k +1x k -1
ϕ(x ) dx
有
f (x k +1) =f (x k -1) +
x k +1-x k -1
2
[ϕ(x k -1) +ϕ(x k +1) ]-
(x k +1-x k -1)
12
3
ϕ''(ηk ), ηk ∈(x k -1, x k +1)
从而有
ϕ(x 0) +ϕ(x 2) ≈
1h
[f (x 2) -f (x 0) ]
代入数值，解方程，即得ϕ(x k ), k =0,1, 2如下
第5章 解线性方程的直接方法
7、用列主元消去法解线性方程组
⎧12x 1-3x 2+3x 3=15⎪
⎨-18x 1+3x 2-x 3=-15 ⎪x 1+x 2+x 3=6⎩
并求出系数矩阵A 的行列式的值。
⎡
⎢
15⎤⎢-18
⎥⎢-15⎥ ⎢06⎥⎢⎦⎢
⎢0⎣
3-176
-1731718
⎤
⎡⎥
⎢-18-15⎥
⎢⎥
5⎥ ⎢0
⎢⎥
⎢
31⎥⎢0
⎥6⎦⎣
3760
-11718227
⎤-15⎥
⎥31⎥6⎥⎥66
⎥7⎦
[A
⎡12⎢
b ]=⎢-18
⎢1⎣
-331
3-11
A =-18⨯
76
⨯
227
=-66
x 3=3, x 2=2, x 1=1
8、用直接三角分解求线性方程组的解。
11⎧1x +x +⎪41526x 3=9⎪
11⎪1x +x +x 3=8 ⎨12
45⎪3
⎪1
x 1+x 2+2x 3=8⎪⎩2
解：由公式u 1i =a 1i (i =1, 2, , n ), l i 1=a i 1/u 11, i =2, 3, , n
r -1
u ri =a ri -∑l rk u ki , i =r , r +1, , n ;
k =1r -1
l ir =(a ir -∑l ik u kr ) /u rr , i =r +1, , n ; r ≠n
k =1
知
⎡1⎢4
A =LU =⎢
⎢3⎢2⎣
01-36
⎡10⎤⎢4⎥⎢0⎥⎢0⎥⎢⎢1⎥⎦⎢0⎢⎣
15-1600
1⎤
6⎥⎥1⎥- 45⎥⎥13
⎥15⎥⎦
⎡1
⎢4
b =LY =⎢
⎢3⎢2⎣
01-36
0⎤
⎡9⎤⎥
⎢⎥
0⎥Y =8
⎢⎥⎥
⎢⎣8⎥⎦1⎥⎦
⎡9⎤
⎢⎥Y =-4 ⎢⎥
⎢⎣-154⎥⎦
⎡1⎢4⎢
U X =⎢0
⎢⎢⎢0⎢⎣
15-1600
1⎤
6⎥
⎡9⎤⎥
1⎥⎢⎥-X =Y ==-4 ⎢⎥45⎥
⎢⎥⎣-154⎥⎦13
⎥⎥15⎦
x 1=-227.08, x 2=476.92, x 3=-177.69
12、设A =
⎛0.6⎝0.1
0.5⎫
⎪, 计算0.3⎭
n
A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。
解：A
∞
=
m ax ∑
1≤i ≤n n
a ij =1.1
j =1
A
1
=
m ax ∑
1≤j ≤n
i =1
a ij =0.8
2
A
F
⎛n ⎫2
= ∑a ij ⎪=⎝i , j =1⎭
0.1⎤⎡0.6
⎥⎢0.3⎦⎣0.1
=0.8426150
0.5⎤⎡0.37
⎥=⎢
0.3⎦⎣0.33
0.33⎤
⎥ 0.34⎦
⎡0.6T
A A =⎢
⎣0.5
T
λm ax (A A ) =0.6853407
13、求证：（1）x
∞
≤x
1
≤n x
∞
；（2
F
≤A
2
≤A
F
证明：（1）由定义知
n
n
∞
x
∞
=
m ax
1≤i ≤n
x i ≤
∑
i =1
x i =x
1
≤
∑m ax
i =1
1≤i ≤n
x i =∑x
i =1
∞
=n x
∞
x
∞
≤x
≤n x
∞
（2）由范数定义，有
A
22
=λmax (A A ) ≤λ1(A A ) +λ2(A A ) + +λn (A A )
n
n
2
i 1
n
2i 2
n
2in
n
2ij
T T T T
A
22
=
∑a
i =1
+
∑a
i =1
+ +
∑a
i =1
=
∑∑a
j =1i =1
=A
2F
A
22
=λm ax(A T A ) ≥
1
⎡+λ1(A T A )+λ2(A T A )+ +λN n ⎣
=(A A )⎤⎦
T
1n
A
2F
故
F
≤A
2
≤A
F
第6章 解线性方程的迭代法
1、设线性方程组
⎧5x 1+2x 2+x 3=-12
⎪
⎨-x 1+4x 2+2x 3=20 ⎪2x -3x +10x =6
23⎩1
（1） 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性；
（2） 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组，要求当
x
(k +1)
-x
(k )
∞
-4
时迭代终止。
解：（1）因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比迭代法与高斯-塞德迭代法均收敛。
（2）雅可比迭代法格式为
2(k ) 1(k ) 12⎧(k +1)
x =-x 2-x 3-⎪1
555
⎪
1(k ) 1(k ) ⎪(k +1)
x =x 1-x 3+5 ⎨2
42⎪
1(k ) 3(k ) 3⎪(k +1)
x =-x +x +12⎪3
51010⎩
取x (0) =(1,1,1)T ，迭代到17次达到精度要求
x
(0)
=(-4.0000186, 2.9999915, 2.0000012)
T
高斯-塞德迭代格式为
2(k ) 1(k ) 12⎧(k +1)
x =-x 2-x 3-⎪1
555
⎪
1(k ) 1(k ) ⎪(k +1)
=x 1-x 3+5 ⎨x 2
42⎪
1(k ) 3(k ) 3⎪(k +1)
x =-x +x +12⎪3
51010⎩
取x (0) =(1,1,1)T ，迭代到8次达到精度要求
x
(0)
=(-4.0000186, 2.9999915, 2.0000012)
T
第七章
第八章
第九章