一、 由角平分线想到的辅助线
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
1、截取构全等
例1． 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADC ，求证：AD=AB+CD。
C
E
A
B
例2． 已知：如图，AB=2AC，∠BAD=∠CAD ，DA=DB，求证DC ⊥
AC
例3． 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC．
练习
1. 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC，求证：AE=2CE
2. 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD为∠BAC 的平分线，P 为AD 上任一点。求证：
BP-CP
2、角平分线上的点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180°
B
图2-1
例2． 如图，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD 。 求证：BC=AB+AD
练习
1. 已知：如图, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE ⊥AB ，AB+AD=2AE. 求证：∠D+∠B=180 。
2. 已知：如图, 在正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 为BC 上的点，∠EAF=∠DAF 。求证：AE=AD+CE。
3、作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图，AB=AC，∠BAC=90° ，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE. 求证：BD=2CE。
练习
1、已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。（提示：三角形的两边中点的连线平行于第三边，
并且等于第三边的一半）
2、已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
B
A
D
作业：
1．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC ⊥AC
A
C
2．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
3．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD
D
B
A
D
一、 由角平分线想到的辅助线
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
1、截取构全等
例1． 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADC ，求证：AD=AB+CD。
C
E
A
B
例2． 已知：如图，AB=2AC，∠BAD=∠CAD ，DA=DB，求证DC ⊥
AC
例3． 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC．
练习
1. 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC，求证：AE=2CE
2. 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD为∠BAC 的平分线，P 为AD 上任一点。求证：
BP-CP
2、角平分线上的点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180°
B
图2-1
例2． 如图，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD 。 求证：BC=AB+AD
练习
1. 已知：如图, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE ⊥AB ，AB+AD=2AE. 求证：∠D+∠B=180 。
2. 已知：如图, 在正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 为BC 上的点，∠EAF=∠DAF 。求证：AE=AD+CE。
3、作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图，AB=AC，∠BAC=90° ，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE. 求证：BD=2CE。
练习
1、已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。（提示：三角形的两边中点的连线平行于第三边，
并且等于第三边的一半）
2、已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
B
A
D
作业：
1．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC ⊥AC
A
C
2．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
3．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD
D
B
A
D